Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Задача Геллерстедта для одной системы уравнений смешанного типа 24
1.1. Постановка задачи 24
1.2. Экстремальные свойства модуля решений в области эллиптичности 26
1.3. Экстремальные свойства модуля решений в области гиперболичности 30
1.4. Экстремальные свойства модуля решений в смешанной области 32
1.5. Примеры 36
1.6. Условная разрешимость задачи Геллерстедта 41
Глава 2. Существование решения задачи Геллерстедта для одной системы уравнений смешанного типа 48
2.1. Постановка задачи 48
2.2. Интегральное представление решения задачи Коши - Гурса . 50
2.3. Интегральное представление решения задачи Хольмгрена . 75
2.4. Сведение задачи Геллерстедта к системе сингулярных интегральных уравнений 84
Глава 3. Разностный метод решения задачи Геллерстедта для одной системы уравнений смешанного типа 100
3.1. Аппроксимация дифференциальной системы уравнений разностной. Постановка разностной задачи Gh 100
3.2. Принцип максимума в области эллиптичности 106
3.3. Принцип максимума в области гиперболичности .109
3.4. Принцип максимума в смешанной области и его применения .114
Библиографический список 121
- Экстремальные свойства модуля решений в области эллиптичности
- Экстремальные свойства модуля решений в смешанной области
- Интегральное представление решения задачи Хольмгрена
- Принцип максимума в области эллиптичности
Введение к работе
*
В 20 - х годах прошлого века первыми исследованиями в теории уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа явились работы Ф. Трикоми. Результаты итальянского ученого были обобщены в трудах С. Геллерстедта. Изучаемые ими задачи стали классическими и теперь известны в литературе как «задача Трикоми» и «задача Геллерстедта».
Обнаруженные в конце 40-х годов многочисленные приложения уравнений смешанного типа в газовой динамике, в безмоментной теории оболочек, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, аэродинамике дали новый толчок исследованиям в этой области. Фундаментальными работами стали труды М.А. Лаврентьева, Ф.И. Франкля, А.В. Бицадзе, К.И. Бабенко. В этих работах наряду с классическими в теории уравнений смешанного типа были поставлены и решены новые задачи.
В дальнейшем краевые задачи для уравнений смешанного типа изучались в работах многих отечественных и зарубежных ученых. Обзор основных результатов можно найти в монографиях А.В. Бицадзе, Т.Д. Джураева, М.М. Смирнова, М.С. Салахитдинова, Е.И. Моисеева.
Классической задачей в теории уравнений смешанного типа является задача Геллерстедта, возникающая в теории сопел Лаваля при нахождении потока сверхзвуковой струи из сосуда с плоскими стенками в случае несимметричного сопла.
Начало исследованиям этой задачи в своих трудах положил в 1937 г. S. Gellerstedt [58]. Это было первым обобщением классического результата F. Tricomi [52].
Для уравнения
утихх + иуу = 0, (0.1)
где т - натуральное нечетное число, в области D = D+ U D\ U D2 U A\A2, ограниченной простой кривой Жордана Г, лежащей в полуплоскости у > О с концами в точках Аі(аі,0) и .Аг(аг, 0), а при у < 0 - характеристиками А\Си С\Е, ЕС2, С2А2 уравнения (0.1), где Е(е, 0), сц < е < а2, D+ = D Г) {у > 0}, D\ = DC) {у < ОПх < е} и D2 = Dn {у <.0Пх > е}, он исследовал краевые задачи с данными на Г U ЛіСі U А2С2 (задача G\) и с данными на Г U С\Е U ЕС2 (задача G2). Существование упомянутых задач доказано методом интегральных уравнений в случае, когда Г совпадает с «нормальной» кривой Го : х2 + <т+2)2Ут+2 — 1', У ^ 0.
В работе С.S. Morawetz [59] единственность решения задачи G2 для уравнения Чаплыгина
К(у)ихх + иуу = 0,
где уК{у) > 0 при ?/ > 0, К(0) = 0, К'(у) > 0, К(у) - достаточно гладкая функция, доказывается методом вспомогательных функций и «abc» при некоторых ограничениях на рост градиента решения в окрестности точек А\, Е и А2, и звездной относительно точки Е кривой Г.
Некоторое обобщение результатов С. Геллерстедта получено в [21], где рассматривается задача G2 для уравнения Чаплыгина, когда
/
К{У) = {
уаищу>0,
0 приу = 0, а,/3>0.
-(-у)0 при у < 0,
Для более общего уравнения
sgn у \у\тихх + иуу + а(х, у)их + b(x, у)иу + с(х,у)и = d(x, у), (0.2)
в [45] изучены аналоги задач Gi, G2, в классе обобщенных решений К.И. Бабенко, когда на эллиптической границе Г задано третье граничное условие. При этом существенными оказываются условия малости коэффициентов уравнения вблизи линии у = 0. Относительно Г предполагаются выполненными известные условия К.И. Бабенко [49, с. 131].
В совместной работе А.Н. Кучкаровой [44] для одного уравнения смешанного типа вида (0.2) установлены принципы максимума решения задач G\ и Gi из которых следует единственность решений без каких-либо ограничений геометрического характера на эллиптическую границу области. На основании экстремальных свойств доказана обобщенная разрешимость поставленных задач при произвольном подходе эллиптической границы области к оси Ох. Доказательство существования обобщенного решения задачи Трикоми для уравнения (0.2) было предложено в [42].
При всей полноте исследований краевые задачи для систем уравнений смешанного типа изучены сравнительно мало, при этом традиционно рассматривается задача Трикоми.
В работе [26] были получены экстремальные свойства модуля
\Щх,у)\ =
\
^2^(х,у) (*)
1=1
решений задачи Трикоми для системы
Л* УЩхх + Щуу + 22 гк(х, y)Uk = 0
fc=l
(сік{х,у)), г, к = T7n, n ^ 2 - отрицательно-определенная матрица, компоненты которой в области эллиптичности удовлетворяют условиям:
(п - 1) (сік{х, у) + сы(х, у)) < 2 (сц(х, у)скк(х, у))1/2 ,іфк,
а в гиперболической области достаточно малы, на основании которых следует единственность решения. Если граничные функции достаточно гладкие и кривая Г оканчивается ортогонально к оси Ох или сколь угодно малыми дугами «нормальной» кривой, то на основе теоремы единственности методом интегральных уравнений получена теорема существования решения задачи Трикоми.
В работе [11] для системы
LU = G{y)Uxx - Uyy + (К(у) + \)U = Н(х,у),
где U = (щ,и2,.. .,ип), G(y), К (у) - заданные квадратные симметричные матрицы, Л = const ^ 0 устанавливается существование и единственность сильного решения из W\ задач с данными на одной из характеристик и на границе эллиптической части области при ортогональном подходе кривой Г к оси Ох.
М.М. Овезова [35] для системы
LU = sgnz/ - Uxx + иуу - С(х, y)U = F(x:y),
U = (ui,...,m„), С{х,у) = 11(ж,у)И?, F = (/і,...,/п) доказала единственность решения задачи Трикоми методом вспомогательных функций при ограничении на рост модуля градиента решения вблизи концов линии вырождения. В предположении, что эллиптическая граница области оканчивается отрезками перпендикулярных прямых, методом интегральных уравнений доказано существование решения. Для системы вида
sgny Uxx + иуу + А(х,y)Ux + В(аг,y)Uy + С(х, y)U = О,
где А(х,у), В(х,у), Ах(х,у), Ву(х,у), С(х,у) - ограниченные матрицы в областях эллиптичности и гиперболичности при условии, что в эллиптической
области
liraі В(х,у) >0,
y-»0+ n
- Y^ *№з > Ло1*|2, ^o » 1, (0.3)
1../=1
доказана единственность решения задачи Трикоми [37].
В [13], [14] в области с двумя линиями изменения типа рассматривается система
LU = sgny \y\lUxx + xmUyy + A(x,y)Ux + B{x,y)Uy + C(x,y)U = 0,
где U = (щ,...,ип), A(x,y), B(x,y), C(x,y) - квадратные матрицы размерности п. В случае, когда матрицы Ах(х,у), Ву{х,у) являются неположительно определенными, а С(х,у) отрицательно определенной, доказана единственность решения аналога задачи Трикоми. При условии малости на коэффициенты системы в классе обобщенных решений К.И. Бабенко доказана однозначная разрешимость поставленной задачи, когда эллиптическая граница совпадает с «нормальной» кривой.
Задача Геллерстедта для общих линейных систем уравнений смешанного типа рассматривалась лишь в работе [38]. В ней рассматривается система вида
LU = K(y)Uxx + Uyy + А(х, y)Ux + В(х, y)Uy + С(х, y)U = 0, (0.4)
где U = К...,О, уК(у) > 0 при у ^ 0, К(0) = 0, К'{у) < 0, А(х,у) = \\ау(х,у)\$, В(х,у) = \\Ьу(х,у)\\Т, С{х,у) = \\сц{х,у)\\Ъ a{j = азі, fyj = bji, для всех і, j = 1,...,п, п^ 2. Методом «abc» при некоторых ограничениях на коэффициенты системы (0.4) и границу эллиптической части области доказана единственность решения и(х,у) однородной задачи Gi-
В работе К.Б. Сабитова [40] устанавливаются экстремальные свойства модуля (*) решения задачи Трикоми для системы уравнений смешанного типа
(0.4), когда А(х,у), В(х,у) - числовые функции, С(х,у) - квадратная матрица порядка п, на основании которых следует единственность решения поставленной задачи без каких-либо ограничений на эллиптическую границу области и при более слабых условиях на коэффициенты системы, которые присутствуют в перечисленных выше работах. В данной диссертации идея, предложенная для доказательства принципа максимума модуля решения задачи Трикоми для систем переносится на случай задачи Геллерстедта.
Задача Геллерстедта для систем первого порядка изучалась в работах Танеева P.M. [7], [8].
Теория разностных методов решения краевых задач для уравнений смешанного типа начала свое развитие в работах [54], [19], [24], [5].В работах [54], [19] при условии существования точного решения предложен метод конечных разностей для определения приближенного решения Uh задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе в смешанной области. Приближенное решение щ задачи Трикоми сводится к решению алгебраической системы с количеством неизвестных равным количеству узлов сетки внутри всей области D.
В [24], [5] задача Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе сводится к эллиптической задаче, которая решается методом конечных разностей. В работе [53] изучена разностная задача для уравнения Трикоми, методом конечных разностей во всей смешанной области D. В [60] и [22] показано, что метод, изложенный в [53] применим и для более общего уравнения типа (0.2). В [20] впервые применен метод сеток для доказательства существования решения задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. В [15] — [17] рассмотрены разностные аналоги задач Трикоми и Геллерстедта для модельных уравнений смешанного типа с одной и двумя перпендикулярными линиями изменения типа. Решение краевых задач для систем уравнений смешанного
типа разностными методами не проводилось.
Как видно из анализа, первые исследования в теории уравнений смешанного типа проводились для модельных уравнений Лаврентьева-Бицадзе, Три-коми и обобщенного уравнения Трикоми. Изучение этих задач имело важное прикладное значение. В последствии, различные обобщения стали носить чисто теоретический характер. Такие обобщения шли в следующих направлениях: во-первых, усложнение уравнений за счет добавления новых слагаемых, повышения порядка вырождения, образования нелинейности, во-вторых, увеличение количества рассматриваемых уравнений (изучение систем), в-третьих, изменение геометрии области, в-четвертых, замена классических краевых условий новыми, в частности, нелокальными, в-пятых, изучение спектральных задач и т.д. Однако, до сих пор, несмотря на большое количество работ в этой области, остаются нерешенными в полной мере классические задачи. И особенно ценным в таких условиях является результат, где получены известные факты, но при существенно более слабых ограничениях на коэффициенты, геометрию области, граничные функции.
Практически во всех указанных работах авторы не избавляются от ограничений геометрического характера на область, в которой исследуется задача: ортогональность подхода эллиптической границы области к оси Ох; малость длины линии вырождения. При доказательстве теорем единственности и существования в определенном смысле решения задачи Геллерстедта накладываются жесткие ограничения относительно коэффициентов системы: существенная знакоопределенность; малость по норме L^. Задача Геллерстедта изучалась в пространстве обобщенных решений W\ С.Л. Соболева или классе %\ К.И. Бабенко, а существование регулярного решения задачи Геллерстедта доказано не было.
Объектом изучения диссертационной работы является система
LiU = K(y)uixx + uiyy + Д-(я, у)щх + Ві{х, у)щу + ^ Cik{x, у)щ = 0, (0.5)
'*
k=l
і = l,n, n ^ 2, yK(y) > 0 при у ^ 0, U = (wi,W2, ...,wn), рассматриваемая в области Д ограниченной простой кривой Жордана Г и лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках Аі(а\,0) и ^2(02,0), а\ < а,2, характеристиками А\С\, С\Е, ЕС2, С2А2 системы (0.5) при у < 0, где #(е, 0), «і < е < а2, ^(^,2/^), и С2(^,2/С2). Пусть ж = s(s), г/ - y(s) - параметрические уравнения кривой Г, s - длина дуги кривой, отсчитываемой от Лг к Аь0 ^ s ^ I, I- длина кривой Г. D+ - Dn{y > 0}, А = Dn{y < Оґїя < є} и D2 = D П {y < 0 П x > e}.
В областях D\ и D2 перейдем в характеристические координаты
у у
= х+ I\/-K(t)dt, т] = х- [ y/-K(t)dt.
о о
Тогда система (0.5) примет вид
п
tfU EEUifr + fliK, 7/) + &i(f, ??)W^ + ^ С^(, Г))ик = 0, (0.6)
fc=l
Область Рі отобразится в область Ді = {(,??) І і < С < »7.< є}, а область >2 в А2 = {(,??) |е < < 77 < (}.
Для системы (0.5) в области D поставлена задача Геллерстедта (задача G).
Задача G. Найти функцию U(x,y), удовлетворяющую условиям:
U{x,y)eC{~D)^C\D); (0.7)
U(x, у) Є C2(D+), ЦЩх, у) = 0, і = 1~R, (x, у)
Uto&ri) Є C(Ai U Л2), Lp^rj) = О, t = TJl, for?) є Ai U A2; (0.9)
= Щх), a^x^^-^, (0.11)
Aid Z
= Щх), ~^^x^a2, (0.12)
A2C2 Z
и{х,у).= Ф(8)і0^8^1; (0.10)
Щх, у)
U(x,y)
где Ф =((pi,(p2,---,
исследование экстремальных свойств решений задачи G в областях эллиптичности, гиперболичности и, в целом, в смешанной области D в классе регулярных и обобщенных решений системы (0.5);
доказательство существования и единственности регулярного решения задачи G для системы (0.5) при ортогональном подходе эллиптической границы области к линии вырождения;
доказательство существования обобщенного решения задачи G для системы (0.5) произвольном подходе эллиптической части границы области к линии изменения типа, за исключением случая касания.
4) разработка численного метода решения задачи G для системы (0.5).
Следуя идее, предложенной в [40], вводится максимум модуля \U(x,y)\ =
Y^uHx>y) Решения системы (0.5). В главе 1 установлен принцип макси-мума модуля регулярного и обобщенного решения задачи Геллерстедта для системы уравнений (0.5), из которого следует единственность решения поставленной задачи без каких-либо ограничений геометрического характера
на эллиптическую границу Г области. На основании принципа максимума альтернирующим методом типа Шварца доказана однозначная обобщенная разрешимость задачи Геллерстедта для системы при произвольном подходе эллиптической границы к оси Ох за исключением случаев касания.
В 1.1 приведена постановка задачи Геллерстедта. В 1.2 в эллиптической области доказаны утверждения о знаке производной модуля решения по нормали в точке и вблизи точки изолированного максимума модуля решения системы (0.5) на линии вырождения.
Лемма 0.1. Пусть: 1) в D+ коэффициенты системы (0.5) ограничены и С(х, у) - неположительно определенная матрица; 2) U(x, у) Є C(D ) П Cl(D+ U AiE U ЕА2) П C2(D+); 3) max\U(x,y)\ = \U(Q)\ > 0,-4) \U(x,y)\ имеет изолированный положительный максимум \U(Q)\ в точке Е; 5) в малой окрестности точки Е: а) функция K(y)U% 4- Uy суммируема; б) Ах и Ву непрерывны вплоть до границы; в) 2(е, Le) — Ах — Ву ^ 0, В(х, 0) ^ 0,
е = U/\U\. Тогда в любой выколотой окрестности U С А\А% точки Е
найдется точка Q\ — (х\, 0) Є U такая, что
Дш^У <0.
у-»0+0 оу
В данной лемме ограничение (0.3) значительно ослабляется.
В 1.3 для системы (0.5) в областях гиперболичности исследованы экстремальные свойства модуля решения.
Пусть сц = а, Ъ{ = Ь, і — 1,п, а — а/3, (3 = exp(fbd), а* = Ь/3*, /3* = exp(/orfr/), hi = а^ + аЬ - сц, Щ = Ьц + аЬ - сц. Функции а(, 77),^(^, 77), 6(^,77),^(^,77) непрерывны в Дь кроме, быть может, отрезка
А\Е и удовлетворяют условию
<*(,17) - J I Ы 4Д i2cl)dt>0>ai<t
Функции &(, 77), &,,(, 77), а(, rj), c^ff, rj) непрерывны в Д2, кроме, быть может,
отрезка ЕАч и удовлетворяют условию
<**(,*?) + / KI +/*\ Ё 4 d' < > е < * < ^ < «2- (Лі)
ч V V^1 J
Определение 0.1. Регулярным в Ai(A2) решением системы (0.6) назовем функцию U(t;,r)), удовлетворяющую условию U(,7]) є С(Аі) П C^Ai), {U(^T]) Є C(A2) ПС^Дг)), (0.9) и, кроме того, производная \]ц (Щ) непре-
рывна на множестве Аі\А\Е (Д2\А2|).
Лемма 0.2. Пусть: 1) коэффициенты системы (0.6) в области Д^, і = 1,2, обладают отмеченной выше гладкостью и удовлетворяют условию (Д); 2) и(,г)) -регулярное в Дг- решение системы (0.6), равное нулю на характеристике АіСі\ 3) max\U(,rj)\ = \U(Q)\ > 0. Тогда максимум \U(Q)\
Д.-
достигается только на отрезке A{E\Ai.
В 1.4 установлены экстремальные свойства модуля решений системы (0.5) в классе регулярных и обобщенных решений в смешанной области.
Определение 0.2. Регулярным решением системы (0.5) в области D назовем функцию удовлетворяющую условиям (0.7) - (0.9) и, кроме того, произ-
водные Utj, U% непрерывны на множествах А\\АіЕ, Д2\А2Е, соответственно. Теорема 0.1. Пусть: 1) С(х,у) - неположительно определенная матрица в D+, 2) выполнено условие 5) леммы 0.1; 3) коэффициенты системы (0.6) в областях Ді и Д2 удовлетворяют, соответственно, условиям (А\) и (А2); 4) U(x,y) - регулярное в D решение системы (0.5), равное нулю на характеристиках А\С\ и АчСч; 5) max|U(x,у)| = |C/(Q)| > 0. Тогда макси-
мум \U(Q)\ достигается только на кривой Г.
Определение 0.3. Обобщенным в области D решением системы (0.5) назовем функцию U(x,y), если существует последовательность регулярных в области D решений {Up(x}y)} системы (0.5) равномерно сходящаяся
к U{x, у) в замкнутой области D.
Утверждение о принципе максимума переносится в класс обобщенных решений системы (0.5), из которого следует единственность обобщенного решения задачи G без каких-либо ограничений геометрического характера на Г.
В 1.5 на примерах показано применение теории, изложенной в главе 1.
В 1.6 доказано существование обобщенного решения задачи G при произвольном подходе эллиптической части границы области к линии изменения типа, за исключением случая касания.
Пусть К (у) - sgny \у\т, т = const ^ 0, А(х,у), В(х,у) Є С^ЇҐ) П С2(Д), Cik(x, у) Є C(D U Di), і = 1,2, и удовлетворяют условиям теоремы 1 о принципе максимума; Г - кривая из класса Ляпунова, Го - «нормальная» кривая системы (0.5), заданная уравнением (х — (а2 + ai)/2)2 + 4ут+2/(т + 2)2 = (о2 — ai)2/4; Do - область, ограниченная кривыми Г0, А\С\, С\Е, ЕС2, С2А2.
Определение 0.4. Регулярное решение системы (0.5), удовлетворяющее граничным условиям (0.10) - (0.12), назовем регулярным решением задачи G для системы (0.5).
Определение 0.5. Равномерный в D предел последовательности регулярных решений задачи G назовем обобщенным решением задачи G.
Теорема 0.2. Пусть в области D при условии, когда кривая Г оканчивается в точках А\ и А2 сколь угодно малыми дугами «нормальной» кривой и при гладких краевых функциях Ф(в) Є С^О, І] и Фі(#) Є С2[а\, (а\ + е)/2], ^2{х) Є С2[(аг + е)/2,а2], существует регулярное решение задачи G для системы (0.5). Тогда если Ф(в) Є С[0,1] и Фі(ж) Є С2[аъ {ах + е)/2], Ф2(ж) Є С2[(а2 + е)/2,а2], Фі(аі) = Ф2(а2) = Ф(0) = Ф(0 = 0, то суще-
ствует единственное обобщенное решение U(x,y) задачи G с граничными данными U = Ф на Г и U — Фі на А\С\, U = Ф2 wa А4С4 при произвольном подходе кривой Г к оси у = 0, за исключением случая, когда в достаточно малых окрестностях концов кривой Г производная dy/ds = О.
Доказательство этого утверждения проводится на основании принципа максимума альтернирующим методом типа Шварца. Ранее этот метод был предложен для одного общего уравнения смешанного типа [42].
Экстремальные свойства модуля решений в области эллиптичности
Здесь установим экстремальные свойства модуля /(ж,г/) решения системы (1.1) в области D+. Лемма 1.1. Пусть: 1) в области D+ коэффициенты системы (1.1) непрерывны и ограничены, С(х, у) - неполооюительно определенная матрица; 2) отличного от постоянного, не может достигать локального максимума ни в одной точке области D . Лемма 1.2. Пусть: 1) в области D+ коэффициенты системы (1.1) огра ничены и С(х,у) - неположительно определенная матрица; 2) U(x,y) Є C(D )nC1(D+UA1EUEA2)nC2{D+);3) maxC/(x,y) = \U(Q)\ 0. Тогда, если Q Лемма 1.3. Пусть: 1) выполнены условия 1) — 3) леммы 1.2; 2) функция \U{x,y)\ имеет изолированный положительный максимум \U(Q)\ в точке Е; 3) в малой окрестности точки Е: а) функция K(y)U% + Uy суммируема; б) производные Ах и By непрерывны вплоть до границы; в) 2(е, Le) — Ах — о By 0, В(х, 0) 0. Тогда в любой выколотой окрестности Ц С А\А% о точки Е найдется точка Q\ = (a?i,0) Є Ы такая, что Доказательство. В силу леммы 1.1 модуль [/"(ж,т/) решения системы (1.1), отличного от постоянного не может достигать максимума в области D+. Пусть точка Q = Е, т.е. f/(Q) = \U(E)\. Допустим, что существует о о выколотая окрестность Ы\ точки Е такая, что для всех Р(х, 0) Є Ы\ П А\А% у- о+о ду В области D+ введем вектор е = (еі,Є2,... ,е„), ег- = щ/\и\. Тогда U = \U\e и система (1.1) принимает вид LU = L(\U\e) = K(y)\U\xxe + \и\ууе + \U\x(2Kex + Ае) +\U\y{2Key + Be) + \U\Le = 0. Полученное векторное уравнение умножим на вектор є скалярно. Тогда получим эллиптическое в D+ уравнение относительно модуля \U(x,y)\: при этом (е, Le) 0. В самом деле, Пусть г Є (0, C/(Q)). Число г возьмем настолько близким к числу C/"(Q), чтобы кривая 7, составленная из линии уровня \U(x,y)\ = г, целиком лежала в Ы\ и для всех точек (х,у), принадлежащих области С, ограниченной кривой 7 и отрезком А1А2, \U(x,y)\ г. Поскольку функция \U\ является в области D+ решением эллиптического уравнения М(/) = 0, то в силу теоремы о представлении решений эллиптических уравнений [2, гл.6] следует существование такой кривой 7- Причем, не теряя общности рассуждений, можно считать, что кривая у является спрямляемой [50]. Обозначим через В\ и #2 точки пересечения кривой 7 с отрезком А\А2. В области
С рассмотрим функцию v(x,y) = \U(x,y)\ — г, которая является решением эллиптического уравнения и удовлетворяет граничным условиям: Интегрируя тождество по области G с учетом условий (1.10), (1.11), получим Из равенства (1.13), в силу наложенных на коэффициенты условий и неравенства (1.12), следует, что v(x,y) = 0 в G, то есть \U(x,y)\ = const в G, что противоречит условию изолированности максимума в точке Е. Следователь о о но, в любой окрестности U С А1А2 точки Е существует точка Qi єи такая, что справедливо неравенство (1.9). Выясним, насколько существенно условие (е, Le) 0 для лемм 1.1 - 1.3. Рассмотрим в квадрате D = {{х,у) ЄІ2 : 0 х,у к/к, к 0} систему, записанную по компонентам искомого решения U = (щ,іі2) : Щхх + «і«« + к2щ + к2и2 = 0, U2xx + и2уу-\- к2щ + k2U2 = 0. Для этой системы Р=1 Система (1.14) имеет решение Легко видеть, что модуль 1Г(:с,у)I = \/2smkx smky достигает своего наибольшего положительного значения в D в точке (-ir/2k, п/2к) Є D. На найденных решениях щ и U2 соотношение (1.15) равно: Следовательно, нарушение условия (е, Le) 0 существенно влияет на справедливость этих лемм. Рассмотрим систему (1.2) на множестве А\ U Дг. Пусть а = а/3, (3 = exp(/bdf), а = Ь(3\ р = exp(fadrj), ht = а + аЪ- сц, h\ = Ьщ + аЪ- сц. Функции а(, rj), а{(, rj), Ь(, г]), Cik(, г]) непрерывны в Дь кроме, быть мо жет, отрезка А\Е и удовлетворяют одному из следующих условий: Определение 1.1. Регулярным в Дг-, і = 1,2, решением системы (1.2) назовем функцию U(,r/), удовлетворяющую условиям: 1) U(,rj) Є C(Aj) П СЧД,), 1 Є С(Д ); 2) ?/(, 77) = О, (,77) Є Аг-; 3) производная Х1Ц (Щ) непрерывна на &і\АіЕ (ДгУЛг-Е). Лемма 1.4. Пусть: 1) коэффициенты системы (1.2) в области Af, г = 1,2, обладают отмеченной выше гладкостью и удовлетворяют условию (АІ) или (Вг); 2) U(, 77) - регулярное в Д,- решение системы (1.2), равное нулю на характеристике АгС{; 3) maxC/(,77) = l (Q) 0- ог ?а максимум Д [/"(Q) достигается только на отрезке А{Е\А{. Доказательство леммы проводится аналогично [40, 61]. Следствие 1.1. Если
Экстремальные свойства модуля решений в смешанной области
Теорема 1.1. Пусть: 1) С(х,у) - неположительно определенная матрица в D+, 2) выполнено условие 3) леммы 1.3; 3) коэффициенты системы (1.1) в областях D\ и D% в характеристических координатах (,г)) удовлетворяют, соответственно, условиям (Лі) и (Аг) или (В{) и (Дг); 4) U(x, у) -регулярное в D решение системы (1.1), равное нулю на характеристиках А\С\ и А-іСч; 5) max\U(x,y)\ = \U(Q)\ 0. Тогда максимум \U(Q)\ дости гается только на кривой Г. Доказательство. Пусть max\U(x,y)\ = \U(Q)\ 0. Поскольку выполне D ны условия леммы 1.4, то точка Q Є D . В силу леммы 1.1 точка (0+. Тогда Q Є Г U АХЕ U ЕА2 U Е. Пусть Q єАгЕ, т.е. = (а?0,0), Оі ж0 е. В этой точке из леммы 1.4 следует, что d\U(xo, 0 — 0)/cfy 0. Последнее, согласно лемме 1.2, противоречит неравенству d/(:ro,0 + 0)/dy 0. Если точка Q Є ЕА2, то, рассуждая аналогично, получим противоречие. Следовательно Q Є Г U Е. Допустим, что Q f Г. Тогда Q — Е. В этом случае Е является единственной точкой изолированного глобального положительного максимума функции \U(x,y)\. Линии уровня \U(x,y)\ = г функции \U(x, у)\, где г Є (0, (Q)), в малой окрестности точки Е будут располагаться в области D+ в виде концентрических линий вокруг точки Е с концами на А\Е U ЕА2. Докажем это. Допустим противное, т.е. в малой окрестности точки Е на оси у = 0 существуют точки х\ и х2 такие, что х\ х2 е и /(жі,0) = t/(#2 0). Тогда возможна линия уровня С/(аг,ї/) = С/(ж2,0) = d 0. Функция С/(ж,0) в некоторой точке XQ Є {х\,х2) имеет положительный максимум: [/(о,0)= max /(ж,0). Пусть G+ - область, ограничен Xi Х Х2 ная отрезком Е\Е2 оси у = 0, Е\ = (#i,0), Е2 = (#2,0) и линией уровня \U(x, у}\ = d, такая, что при всех (ж, у) Є G+: \U(x, у)\ d. В силу принципа экстремума для эллиптических уравнений max U(х, у) = U(хо, 0) . Далее из точки Е2 проведем характеристику системы (1.1) до пересечения с характеристикой А\С\ в точке С и рассмотрим область GL, ограниченную линиями ЛіС, СЕ2, и Е2А\. По лемме 1.4 тах(7(ж, /) 0 достигается на отрезке G А\Е2. Не теряя общности рассуждений можно считать, что этот максимум достигается в точке (#0,0). По лемме 1.2 в точке d\U(xo,Q + 0)\/ду 0, а с другой стороны на основании леммы 1.4: d\U(xo,Q — 0)\/ду 0. Получено противоречие. Отсюда следует, что в малой окрестности точки Е функция С/(ж,0) при х - е монотонно возрастает к значению C/(Q). Пусть [&i, е), где ai Ьі е, промежуток оси у = 0, где \U(x, 0) возрастает при х -» е-0. Покажем, что d\U(x, 0)\/ду 0 при всех х Є [&і, е).
Пусть - любая точка из [Ьі, е). Из точки К = (, 0) опустим перпендикуляр с концом в точке N Є Di, через точку N проведем характеристику системы (1.1) до пересечения с характеристикой А\С\ в точке М. Обозначим через Я область, ограниченную характеристиками NM, МА\ и отрезками А\К, KN. Анало гично лемме 1.4 можно показать, что max \U(x, у)\ 0 достигается только на отрезке AiK, а именно в точке К. Тогда в этой точке д/(, 0 — 0)\/ду 0. Следовательно, в силу произвольности точки Є [&i, е) d\U(x, 0 — 0)\/ду = d\U(x,0-hO)\/dy 0 на [&і,е). Аналогично показывается, что существует отрезок (е,о2], где е &2 а2, такой, что d\U(x,0 — 0)\/ду 0 при всех х Є (e,b2]. Тогда d\U(x,0 - 0)\/ду = d\U(x,0 + 0)\/ду 0 при всех х (bi,e) U (е, о2). С другой стороны, в силу леммы 1.2 на (&і,е) или на (е,62) найдется точка х\ такая, что d\U(xi,0)\/dy 0, что противоречит неравенству d\U(x,0)\/dy 0 на [6i, е) U (е, &2]. Следовательно, максимум не достигается в точке Е и точка Q Є Г. Следствие 1.3. aj слм выполнены условия теоремы 1.1, то для всея (x,y)ED: б) Если коэффициенты системы (1.1) удовлетворяют условиям теоремы 1.1 и в классе регулярных в D решений системы (1.1) существует решение задачи G, то оно единственно. Определение 1.3. Обобщенным в области D решением системы (1.1) назовем функцию U(x,y), если существует последовательность регулярных в области D решений {Up(x,y)} системы (1.1) равномерно сходящаяся к U(x,y) в замкнутой области D. Теорема 1.2. Пусть выполнены условия 1) - 3) теоремы 1.1 и U(x,y) - обобщенное в области D решение системы (1.1), равное нулю на харак теристиках А\С\, АчСч. Тогда если max.\U(x}y)\ О, то этот максимум _ D достигается на кривой Г. Доказательство. Пусть max\U(x,y)\ = J7(Q) = М 0 и допустим, что Q&T. ТогдаQ Є D\T. Обозначим через Е = {(х,у) Є D\T\ \U(x,у)\ = М}. Множество Е замкнуто и не имеет общих точек с кривой Г. Поскольку множества Г и Е замкнуты, ограничены и не имеют общих точек, то расстояние между ними больше нуля. Поэтому существует простая кривая сг, лежащая в области D+, с концами в точках А\ и А% такая, что а П Е = 0 и Е С Дг, где Дг - область, ограниченная кривой а и характеристиками системы (1.1). Так как U(x,y) - обобщенное решение системы (1.1), равное нулю на А\С\ U А2С2, тогда существует последовательность регулярных в D решений {Up(x, у)} = {(и\, и\,..., и?)} системы (1.1) таких, что Up(x, у) = О на А\С\ U А2С2 и {Up(x, у)} в D равномерно сходится к U(x,y). Поскольку в области Дг выполнены условия теоремы 1.1, то max.\Up(x,y)\ достигает-ся на кривой а. Пусть max\U(x,y)\ = Mo- Ясно, что MQ М. Обозна-чим є = (М — Мо)/2. В силу равномерной сходимости последовательности {Up(x,y)} в Ду для взятого є 0 существует номер ро, что для всехр ро, и (х, у) Є Da выполняется условие
Интегральное представление решения задачи Хольмгрена
Рассмотрим систему п Ц(и) = утщхх + щуу + АІ(х, у)щх + В((х, у)щу + 2 сгк{х, у)ик = 0, (2.45) к=і где г = l,n, т = const функцию U(x,y) = (ui,W2, . ,ип), удовлетворяющую условиям: известна функция Грина G(, 77; аг, у) задачи Я и решение задачи Я для уравнения (2.50) представимо в виде [49] -L»( , 77; a:, 2/) - регулярное решение уравнения (2.50) в области D+y Введем в рассмотрение функцию где ЦІ{,Г}) ограниченная в D функция. Справедлива следующая Лемма 2.1. Пусть щ(х,у) ограничена в D . Тогда щ, ріХ, ріу Є C(D+). Если щ{х,у) Є C(D )nC1(D+), mo (pi 6 C(D )CiC2(D+) и удовлетворяет уравнению Доказательство этого утверждения приводится в [47]. Решение задачи Я для (2.45) будем искать в виде где и\ (х,у) определяется формулой (2.51). Для отыскания / (}??) продифференцируем (2.53) достаточное число раз и подставим в (2.45). В силу леммы 2.1 получим систему интегральных уравнений Ai(x,y) = 0(y"2") при у — 0. Тогда в D справедливо неравенство где СІ - постоянные, не зависящие от , 7], х, у. Доказательство. Вычислением можно убедиться в справедливости оценок В силу условия леммы вблизи линии у = 0 имеет место представление А((х,у) Є C(D ). Учитывая (2.55), (2.57) (2.58), а также непрерывность функций Bi(x,y), Cik{x,y) в C(D ) получим требуемое неравенство. По лемме 2.2 ядра ifj(j Ц] # У) имеет слабую особенность относительно г в точке х = ,у = п, чтобы перейти к системе с ядрами из L 2(D+), рассмотрим итерированную систему интегральных уравнений где где Сі, Сг - постоянные, не зависящие от , т?, ж, у. Ядро ИГ,- (f, rj ,x,y) является квадратично интегрируемым, следовательно теория Фредгольма применима к системе (2.59). Лемма 2.3. Число 1 не является собственным значением уравнений системы (2.54). Доказательство. Рассмотрим однородную систему соответствующую системе (2.54). Пусть ц\ (x,y),i = 1, п - непрерывно дифференцируемые в D+ решения системы (2.61). Тогда в силу леммы (2.1) функция будет решением задачи Н с нулевыми граничными условиями. Из теоремы единственности решения задачи Н следует, что Z{(x, у) = 0 в D .Из (2.55) и (2.61 0, в области D+, ограниченной простой кривой Жордана Г с концами в точках А\(—1,0), Аг(1,0) и отрезком A\A i оси абсцисс. Пусть кривая Г задана параметрическими уравнениями х = x(s), У — y(s)i 0 s I, I - длина кривой Г. Относительно кривой Г будем предполагать, что выполнены условия К.И. Бабенко {В): 1) функции x(s), y(s) имеют непрерывные производные x (s), y (s) на отрезке [0,/], не обращающиеся одновременно в нуль; производные x"(s), y"{s) удовлетворяют условию Гельдера на [0,1]; 2) в окрестности точек Лі и А і на кривой Г выполняется условие В области D+ для системы (2.45) следующую краевую задачу.
Задача Н. Найти функцию U(x,y) = (ui,W2, . ,ип), удовлетворяющую условиям: известна функция Грина G(, 77; аг, у) задачи Я и решение задачи Я для уравнения (2.50) представимо в виде [49] -L»( , 77; a:, 2/) - регулярное решение уравнения (2.50) в области D+y Введем в рассмотрение функцию где ЦІ{,Г}) ограниченная в D функция. Справедлива следующая Лемма 2.1. Пусть щ(х,у) ограничена в D . Тогда щ, ріХ, ріу Є C(D+). Если щ{х,у) Є C(D )nC1(D+), mo (pi 6 C(D )CiC2(D+) и удовлетворяет уравнению Доказательство этого утверждения приводится в [47]. Решение задачи Я для (2.45) будем искать в виде где и\ (х,у) определяется формулой (2.51). Для отыскания / (}??) продифференцируем (2.53) достаточное число раз и подставим в (2.45). В силу леммы 2.1 получим систему интегральных уравнений Ai(x,y) = 0(y"2") при у — 0. Тогда в D справедливо неравенство где СІ - постоянные, не зависящие от , 7], х, у. Доказательство. Вычислением можно убедиться в справедливости оценок В силу условия леммы вблизи линии у = 0 имеет место представление А((х,у) Є C(D ). Учитывая (2.55), (2.57) (2.58), а также непрерывность функций Bi(x,y), Cik{x,y) в C(D ) получим требуемое неравенство. По лемме 2.2 ядра ifj(j Ц] # У) имеет слабую особенность относительно г в точке х = ,у = п, чтобы перейти к системе с ядрами из L 2(D+), рассмотрим итерированную систему интегральных уравнений где где Сі, Сг - постоянные, не зависящие от , т?, ж, у. Ядро ИГ,- (f, rj ,x,y) является квадратично интегрируемым, следовательно теория Фредгольма применима к системе (2.59). Лемма 2.3. Число 1 не является собственным значением уравнений системы (2.54). Доказательство. Рассмотрим однородную систему соответствующую системе (2.54). Пусть ц\ (x,y),i = 1, п - непрерывно дифференцируемые в D+ решения системы (2.61). Тогда в силу леммы (2.1) функция будет решением задачи Н с нулевыми граничными условиями. Из теоремы единственности решения задачи Н следует, что Z{(x, у) = 0 в D .Из (2.55) и (2.61) имеем
Принцип максимума в области эллиптичности
Для дальнейших рассуждений удобно преобразовать уравнение (3.4) к ВИ Теорема 3.1. Пусть: 1) RiU 0 в D; 2) условия выполнены в D для всех і = 1,п. Тогда, если max max u$ 0, то он дости-гается на Гд U А\Ач. Доказательство. Пусть max maxщ = Uj(k,m) 0. Допустим, что точка і D+ Q = (к, т) Tk U А1Л2. Тогда точка не является граничной, поэтому най дутся четыре ее соседние точки в которых Щ Uj{Q), і = 1,п и не у всех в этих соседних точках Uj = Uj(Q). В силу условий (3.12) - (3.14) вычислим но с другой стороны RjU(Q) 0. Полученное противоречие и доказывает принцип максимума. Если предположить, что во всех соседних с точкой Q узлах выполняется щ = Uj(Q), то проводя аналогичные действия для этих узлов, придем к противоречию или к тому, что функция U(k, т) постоянна в области D. Замечание 3.3. Условия (3.12), (3.13) являются следствием известных условий (2) из [46, с. 226]. Следствие 3.1. Пусть выполнены условия 1), 2) теоремы 3.1 и, кроме того, щ(к,т) 0 на ГЛ; щ(х,0) М на А\А2, М = const 0. Тогда, если Uj(Q) = М, Q = (xq,0) Є АіА2, то Uj(xq,0) Uj(xq,y2). Доказательство. Согласно теореме 3.1 имеем щ(к, т) М, і = 1, п в D. Если точка (xq, у2) Є Г/,, то утверждение очевидно. Пусть (xq, у2) Є D\, предположим, что Uj(xq,y2) = М. Тогда из (3.4) с учетом (3.12), (3.13) получим RjU(Q) 0, что противоречит условию RjU(Q) 0 или, что Uj = М в каждой из четырех соседних с узлом (xq, у2) точках. В частности, Uj(xq, 2/4) = М. Продолжая подобные рассуждения конечное число раз, мы придем к противоречию с RjU(Q) 0 в D или получим щ = М в некоторой точке из Г , что противоречит условию. Замечание 3.4. Если коэффициенты АІ, Д-, системы (3.1) в области D+ непрерывны, ограничены и то при достаточно малом шаге h коэффициенты системы (3.7) в области Dh удовлетворяют условиям (3.12) - (3.13) теоремы 3.1. Действительно, условие (3.13) выполняется в силу ограниченности В{ и малости 1т. Рассмотрим условие (3.12). Имеем Тогда Выражение в квадратных скобках больше 1/2: В силу условия (3.15) существует такое 5 0, что при 0 ут 5 справедливо ( ). При ут 5 и достаточно малых h условие (3.12) справедливо в силу ограниченности К(ут) снизу положительной постоянной и ограниченности
В областях Di, D i перейдем к характеристическим координатам (, 77). При этом система уравнений (3.1) принимает вид (1.2). Область D\ преобразуется в Ai = {(, rj)\ — а rj 0}, а Дг в 2 = {{? f])\ 0 V а}. За обозначениями образов вершин характеристического треугольника оставлены обозначения прообразов, (см. рис. 6) Ячейки сетки DihUD2h становятся квадратными со стороной /i\/2. Множество узлов принадлежащих Ai (А2) обозначим Д (Дгл). Пронумеруем узлы A\h . сначала узлы лежащие на А\С\ в порядке возрастания rj: (0,0), (0,1), (0,2),..., (0, iV/2); затем узлы лежащие на = h — а в том же порядке: (1,0), (1,1), (1,2), ..., (1, N/2 — 1) и так далее, а узлы Агл следующим образом: сначала узлы лежащие на А Сч в порядке убывания : (0,0), (0,1), (0,2),..., (0, N/2); затем узлы лежащие на rj = а — h в том же порядке: (1,0), (1,1), (1,2), ..., (1, N/2 — 1) и так далее. В дальнейшем, под значением какой-либо функции в узле (fc,m) области Д будем понимать ее значение в точке с координатами (kh — а,(т + k)h — а), а в узле (к, т) области Дгл - значение в точке (а — kh,а— (га + k)h). Рассмотрим узел {k)m) Є ДІЛ- Заменим значения частных производных в этом узле на соответствующие разностные отношения: где щ, bi, Cij, fi - значения соответствующих коэффициентов системы уравнений (1.2) в узле (к,т). Система разностных уравнений (3.16) - (3.17) аппроксимирует систему дифференциальных уравнений (1.2). Теорема 3.2. Пусть: 1) U(k, т) определена в Д иДг/г и R U(k, т) О б Ді 2, і — l,n; 2) коэффициенты систем (3.16), (3.17), соответственно, в A\h и Д2/г удовлетворяют условию 3) существует ho О, что для всех О h ho в A\h выполняются неравенства: п ,2 (1 + щ(к + 1, га - 1)4(1 + bi(k, m)h) 1 + cii(k,m)h + bi(k, m)h + hr J] су(&, га) 0, (3.20) а в области Дгл" Доказательство. Требуемое неравенство докажем в области Діь по индукции относительно А;.
Пусть неравенства имеют место при к = 1,2,..., ко — 1, т = 1,2,..., N/2 — к — 1. Покажем их справедливость для к = /. Будем рассматривать последовательно узлы і wp(&o, m). Из того, что cPj(ko, т) 0, р І» получаем, что В силу (3.23), неотрицательности Rp U(ko,m) и индуктивного предположения имеем: n Чтобы распространить последнее соотношение на остальные компоненты функции U(ko,m) следует, рассматривая их в порядке возрастания, провести рассуждения аналогичные вышеизложенным. Используя условие 5) в качестве базы индукции при помощи подобных шагов получаем требуемое в сеточной области Дід. Точно также доказывается в Дгд. Неотрицательность компонент щ(к,т) в т. Е очевидна в силу (3.6) и доказанного выше. Следствие 3.2. Пусть выполнены условия 2) - 3) теоремы 3.2 и U(k,m) - решение системы (3.16) - (3.17), равное нулю на характеристиках А\С\, А2С2; fi{k,m) 0, (к, т) Є ДІЛ U Дгь, і = 1,п. Тогда если max_max щ(к,т) О, то этот максимум достигается на А1А2. Доказательство. Пусть
