Содержание к диссертации
Стр. ВВЕДЕНИЕ.
ГЛАВА I. О корректной разрешимости смешанных
задач для одного класса систем не
типа Коши-Ковалевской в четверти
пространства.
I. Основные определения и предположения. 19
2. Решение смешанной задачи с постоян
ными коэффициентами. 28
3, Решение смешанной задачи с перемен
ными коэффициентами. 69
ГЛАВА II. О сведении смешанных задач в цилин
дрической области,для одного класса
систем не типа Коши-Ковалевской?к
уравнениям Фредгольма второго рода.
4.Определения и предположения. 85
5. Сведение смешанных задач к уравне
ниям Фредгольма второго рода. 89
6.06 условиях ортогональности на
правые части. 100
ГЛАВА III. О доведении при t—> <*=> решения
первой смешанной краевой задачи
для п -мерной системы Соболева С.Л.
7. Оценки внутри области при "t — с>0
решения первой смешанной краевой
задачи для И - мерной системы
Соболева С.Л. 108
Стр.
8,0 поведении решения первой смешан
ной краевой задачи для и- мерной систе
мы Соболева С.І. ,в случае,когда
область имеет специальный вид. **9
ЗАКМНЕНИЕ. 139
ЛИТЕРАТУРА. 141
Введение к работе
диссертация посвящена изучению общих смешанных краевых задач для одного класса систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных, определитель матриц которых не разрешен относительно старшей производной по времени
а также исследованию в отдельных случаях поведения решения при Ь -—*
В рассмотренный класс систем CD входят различные линеаризации системы уравнений Бавье-Стокса имеющие приложение в гидродинамике.
Так например система
1| -[\7хсЗ]^ушс(р = о
ollvV = О,
(2)
здесь V -вектор скорости, Р-давление, Се)=(0;0;1), рассмотренная в 1943г. С.Л. Соболевым в связи с исследованием устойчивости движения симметрического волчка обладающего полостью,заполненной жидкостью.
С.Л.Соболевым была установлена разрешимость задачи Коши,а также первой и второй краевых задач в ограниченной области,получены критерии устойчивости по первому приближению в случае когда полость цилиндр.Результаты исследований были опубликованы им позднее C.7CQ , JVl] и в дальнейшем систему (2) стали называть системой Соболева.
С системой вида
S-i-asLxCf+^o,
Qt > (3)
52. - вектор угловой скорости вращения Земли,аналогичной системе Соболева и принадлежащей нашему классу (I) связано изучение гироскопических волн в жидкоети,см,например [46], там же имеется библиография работ посвященных некоторым исследованиям этих волн,наиболее полно уровень исследований отражает [17] . В рассмотренный класс (I) входит также система
^-/V-f-fP^o,
Цф+j-P^O, (4)
№іЧ)6І7 ,где r - ограниченная область,моделирукъ щая при различных j 0=0^=СОИ^Х ,длинные гравитационные волны в однородной жидкости, при условии,что поверхность жесткая и плоская |4б] , баротропные планетарные волны в однородной жидкости,при условии,что поверхностные колебания малы [4б] , горизонтально-поперечные колебания на поверхности вращавдегося глобуса [48] .
Как уже отмечалось,развитие теории подобных неклассических задач было положено в работах С.Л.Соболева [70] ,[7І],где было введено уравнение
^AUV|^U=:0; (5)
И= 3 ,тесно связанное с системой (2),получено решение зада-
чи Коши для (5) .проведены некоторые качественные исследования. Эти исследования были развиты в работах Р.А. Александряна
[3 - б], Т.И.Зеленяка [25 - 34] , С.А. Гальперна [l3,I4] , А.С. Калашникова [37j , В.Н. Масленниковой [50 - 59] , М.Е. Боговского [56,58,59] , А.А. Дезина [18 - 20] и др. Особенно значительные результаты получены в последнее время в работах СВ. Успенского [83 - 87]и Г.В. Демиденко [21,86,87,22] . Достаточно полную библиографию обсуждаемых вопросов можно найти в выше перечисленных работах.
Вопросам существования,единственности и представления решения граничных задач для операторов вида (2), (5) посвящено большое количество работ.TaKfсуществование,единственность, представление решения задачи Коши для операторов типа Соболева исследовались в работах С.А.Гальперна [13,14] ,где впервые рассмотрены условия ортогональности, А.Г.Костюченко, А.И.Вольперта и СИ. Худяева [12^ , Ю.А. Дубинского {24], А.С Калашникова \ЗІ\ , В.Н. Масленниковой [52^ ,где методом преобразования Фурье было получено явное представление решения задачи
3? -[\hu]+radF^>
oltvV- О,
(6)
с начальными данными
V| - VC*1 ЫIV V — 0 в области
S)^{i^)lxe^t^oj для u)^(o,o/u))i
где GJ — СЛЭКАЪ> О , в виде сверток начальных данных
7 с с^гадаменталъными решениями,имеющими локально интегрируемые особенности , В.Н.Масленниковой и М.Е. Боговского [58] ,где рассмотрено представление решения аналогичной задачи для системы с учётом конвективных членов.
Отметим ещё работу А.Л.Павлова [бЗ], посвященную изучению общих краевых задач в полупространстве для уравнений,не разрешенных относительно старшей производной.
В работе СВ. Успенского и Г.В.Демиденко [Q&\ были рассмотрены общие краевые задачи в полупространстве для уравнений с постоянными коэффициентами вида
где L L&xJ - эллиптический оператор, получены явные представления решений общих краевых задач, в частности представление решения задачи Коши для h -мерного уравнения Соболева (5). Более подробно на исследованиях задачи Коши для операторов Соболева останавливаться мы не будем,так как в данной работе мы не затронем этого вопроса.
Вопросы существования и единственности решений общих смешанных краевых задач в квадранте, для уравнений не разрешенных относительно старшей производной изучались в работе А.Л.Павлова бЗ] Первая и вторая смешанная краевая задача для однородной системы С.Л. Соболева с постоянными коэффициентами в квадранте :
dtvV= О.
pi = (x;t) ш v) - v«t)
IX3-0 Ц=0
исследовалась в работе B.H. Масленниковой [КҐ| ,ею было получено условие ортогональности
Yc*;i)o/x'=o (7)
на правую часть граничного условия в случае второй смешанной краевой задачи,представление решений,а также оценки .В работе Г.В, Демиденко [2І\ были исследованы общие смешанные краевые задачи в квадранте Е =\t>0;Xh*>0;X6 Б^-± I для
уравнений с переменными коэффициентами вида
ц.ц*> ^ u+EKkfr ^ и - / (8)
L К-0
В этот класс уравнений вошло уравнение Соболева (5) ,а рассматриваемый класс смешанных задач для него содержал первую и вторую краевые задачи.Было выяснено,что в отличие от
параболических и гиперболических уравнений, смешанные краевые
г + + '
задачи в квадранте Пч.^ для уравнений типа
Соболева,удовлетворяющие условию Лопатинского,не всегда разрешимы в соболевских классах W^ , с экспотешщальным весом по Xj при гладких правых частях (/, fif %... У^). В этой работе был выделен класс правых частей Ц^± %...)» ортогональных некоторым полиномам,для которых соответствующая краевая задача корректно разрешима, при этом число условий ортогональности зависит от порядков операторов и размерности пространства. В [22] приведен пример,показывающий что эти условия необходимы для разрешимости в классах V% v .
Исследования проведенные в [21] существенно опираются на работы С.В.Успенского [83-85].
В главе I настоящей работы,основываясь на результатах [83-85], {21,22} и некоторых других,изучаются общие смешанные краевые задачи в квадранте h ^It^O.X^O, ЭееР А
для одного класса систем уравнений, определитель матриц которых, не разрешен относительно старшей производной по времени (подробнее определение класса см. в I).Строится явное представление решений смешанных задач для систем с постоянными коэффициентами,доказаны теоремы существования и единственности решений,проведены оценки решений через правые части.Затем результаты исследований переносятся на системы с переменными коэффициентами,достаточно мало отличающимися от постоянных. В качестве примеров рассматриваются первая и вторая смешанные краевые задачи для системы Соболева с переменными коэффициентами. Результаты исследования для систем уравнений аналогичны результатам для уравнений C2l3, т.е. смешанные краевые зада-
Г + +
чи в квадранте Е^+1 для рассмотренного класса систем, удовлетворяющие условию Лопатинского, не всегда разрешимы в пространствах, типа Соболева W^ v с экспотенциальным весом по t ? при гладких правых частях (/, Y) .Установлены условия ортогональности на правую часть/A f) ,при выполнении которых соответствующая смешанная краевая задача корректно разрешима,при этом число условий ортогональности зависит от порядков операторов и размерности пространства. В случае второй смешанной краевой задачи для системы Соболева^при правой части ( 0^ yj , условие ортогональности совпадает с условием (7) полученным В.Н. Масленниковой. В заключении 2 гл.1 приведен пример показывающий,что условие ортогональности
необходимо для разрешимости в классах типа щ. ^ В цилин
дрических областях - ограниченная
область) смешанные краевые задачи для операторов типа Соболева
изучались различными авторами,Одной из первых следует отметить
работу М.И. Випшка [ЇОД » в которой для уравнений вида (8),
со старшей производной по t второго порядка и некоторыми
условиями на операторы ик (х)« доказана корректная разре
шимость задачи Дирихле в классах \л/^ .Исследование
первой краевой задачи для одного класса уравнений^не разрешен
ных относительно старшей производной проведено в работах
Р.Шовалтера и Т.Тинга [76-81] .Для таких уравнений в работах
Дзк.Лагнезе [42-43] рассматриваются более общие постановки
краевых задач,доказываются теоремы о разрешимости в классах С.
А.А.Дезин,исследуя инвариантные дифференциальные операторы и
граничные задачи,получил в частности П - мерное обобщение
системы Соболева: і і
см. [їв] , здесь it уже произвольная кусочно непрерывная коварианта не зависящая от V . Там же он рассмотрел смешанные краевые задачи для системы (9) в ограниченной области :в случае первой смешанной краевой задачи было доказано существование и единственность решения,а в случае второй смешанной краевой задачи оказалось,что для разрешимости нужно требовать выполнение условия ортогональности
5>|л*1=о>
(10)
а для единственности условия
5)РЛ*1=0.
(Юа)
В.Н.Масленникова в [5l] получила априорные оценки решения первой и второй смешанных краевых задач для системы Соболева с переменными коэффициентами
^ -[V, S(a,t)]+0lfe,t)ywtclp={;x6e,t>Q,
dlvV-O,
там же было введено условие ортогональности на правую часть граничного условия в случае второй краевой задачи f
Об (П)
Для уравнения (5) Y\ =3 отметим работу Т.И.Зеленяка [28] , а также Б.В. Капитонова [39] .В работе СВ.Успенского и Г.В. Демиденко [87] были рассмотрены общие смешанные краевые задачи в цилиндрической области &*(0
В главе II данной работы, пользуясь методикой [87] , а также существованием регуляризаторов для эллиптических операторов (см. например [її] ), исследуются общие смешанные краевые задачи для одного класса систем,определитель матриц которых не разрешен относительно старшей производной по
/ \ V.
'штя CU*)
«J
?
MS,
aaite) Q(x)& , .
времени ,с переменными коэффициентами (подробнее определение класса см. в 4 гл.II).Показано,что решение смешанных краевых задач сводится к решению операторного уравнения Фред-гольма второго рода,рассмотрены условия однозначной разрешимости ,дана оценка решения через правые части в пространствах типа Соболева. Особое внимание уделено условиям ортогональности на правые части, доказано 6 гл. II,что эти условия вообще говоря необходимы для разрешимости смешанных краевых задач,в пространствах типа W v удовлетворяющих условиям Лопатинского с гладкими правыми частями ( л ? f ). В качестве примера рассмотрена первая и вторая смешанная краевая задача для И - мерной системы Соболева с переменными коэффициентами :
(12)
, dt
d*
awifccii
X6,t>0f
P| = Ї , t > о V5?L-Y,t>0
при "t < О
(первая краевая задача)
(вторая краевая задача)
Эта система при Y\ = 2,3 содержит системы (2),(3) (4). Для первой смешанной краевой задачи доказано,что решение существует и единственно.В случае же второй смешанной краевой задачи показано,что для разрешимости необходимо и достаточно выполнения условия ортогональности
а для единственности условия ортогональности г постоянным в скалярном произведении Ь„(&) т.е. условия (10а) . Следует обратить внимание на то,что если рассматривать вторую смешанную задачу для системы (12) при СКэь)=г и(х) =1 ,то при 4 0 условие (13) совпадает с условием (10), рассмотренным А.А.Дезиным в [18] , а при 0,= 0 уеловие (13) совпадает с условием (II), введенным В.Н.Масленниковой в [5l]. Пока мы говорили только о корректности постановок граничных задач .Другим важным вопросом теории дифференциальных урав-. нений является исследование поведения решения при Г—* . Этим вопросом для операторов вида (2),(5), после исследования С.Л.Соболева [70,71] , занималось ряд авторов.
В работах В.Н. Масленниковой и Н.Е.Боговского[56,58,59] исследовано асимптотическое поведение решений задачи Еоши и первых двух.краевых задач в квадранте для системы Соболева при И ^ 3 .В случае учёта вязкости^ вопрос поведения решения задачи Коши рассмотрен в работах В.Н. Масленниковой [53-55], И.М.Петунина [64], В случае учёта вязкости и сжимаемости вопрос асимптотики решения задачи Коши исследован А.В.Глушко в [15]. В работе С.В.Успенского и Г.В. Демиденко [8б] для уравнения (5) при произвольном У\ получены оценки решения
задачи Коши: )uCx,t)|^r(l1"*1,/'S' х6 К »ПРИ n^ 3 они следуют из работ В.Н. Масленниковой.Таким образом асимптотика решения задачи Коши исследована достаточно полно.Сложнее дело обстоит с исследованием поведения решения при t—* смешанных задач для операторов вида (2),(5) в цилиндре 6x(0
Рассмотрим несколько подробнее работы посвященные этому вопросу.При исследовании поведения решения смешанных задач когда t —> , даже для (2) или (5) не удаётся получить асимптотического разложения решения при t —> .Здесь можно выделить два подхода.Дать определенную характеристику поведения решения при t —> может оценка решения и его производных при больших t .Этот подход развивался в работах Т.И.Зеленяка,см.например [зі], Б.В.Капитонова [38] ,где были получены оценки решения первой смешанной краевой задачи для уравнения (5) при Y\ =3 ,а также для системы Соболева (2), В.В.Сказки [б8],где были получены оценки решений смешанных задач для уравнения. (5) в плоском случае,А.М.Ильина [Зб]. С.В.Успенским и Г.В. Демиденко в [87]проведены оценки решения, при t —> , первой смешанной краевой задачи для уравнения (5) при произвольном П , а также оценки решения первой смешанной краевой задачи для уравнения
a. AU -+ Эл и=0, t>0 хеG с- Еп.
При этом для вывода оценок решений ими была использована схема получения априорных оценок решений краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка.
В 7 гл. III настоящей работы автор рассматривает на основании методики проведенной в [В7] оценки решения первой смешанной краевой задачи внутри области & для одной из у\ - мерных систем Соболева по работе А.А. Дезина [18];
\
'I
'2l
bt О
О О
1>t
О ^
о п
к)
V,
= 0,t>o,
fa)
1L 'S-
^- о
/
***» —»
и-1
olivV0=0, pj^O , Ы =(-1) Ой
Эта система содержит при Г) = 2,3 системы (2),(3), (4) с постоянными коэффициентами.При И =2 в 8 гл. III характер поведения решения (14) приведен более точно,оно является периодической функцией (см. Замечание 3.1),
: Другим подходом изучения поведения решения смешанных задач для операторов вида (2),(5) является исследование поведения решений этих задач в областях специального вида.
Это вызвано тем,что поведение решений при t—* существенно зависит от геометрических свойств области. Основные
результаты здесь,для уравнения (5) при ft =2,3 и системы Соболева (2) получены в работах Р.А. Александряна [3-6] Т.И.Зеленяка 29-31,34^ Р. Т. Денчева [23]?С.Г.0всепяна [62] Г.В. Вирабяна9], В.П.Маслова [60] ,М.В.Фокина [88], Ю.Н.Григорьева \1в\ , В.Г.Лежнева [4.
В 8 гл. III настоящей работы проводится исследование поведения решения первой смешанной краевой задачи,для одной из Y\ -мерных систем Соболева (14), в случае когда область G имеет специальный вид : ( = ( X S » & - область с достаточно гладкой границей в плоскости Х<, X. , & -область с достаточно гладкой границей в пространстве К, (для VI = 3 (j - есть цилиндр с образующей параллельной оси Хъ ) .Показана ограниченность решения и его производных когда t —> .при V\ - 3 аналогичный результат см. например в работе Ю.Н.Григорьева іб] или Т.И.Зеленяка, М.В.Фокина [33J .Вторая смешанная краевая задача для системы Соболева (2) (И s з) в областях подобного вида рассмотрена Т. И. Зеленяком в 343
диссертация состоит из введения, трех глав,объединяющих 8 параграфов,заключения и библиографии,содержащей 93 наимено-вания.В главу I вошли I, 2, 3 , в главу II 4, 5, 6, в главу III 7, 8 .Нумерация формул,лемм,теорем,замечаний и следствий сплошная для каждой главы,ссылка на формулу другой главы содержит номер соответствующей главы.Леммы,теоремы, замечания и следствия всюду снабжены двойным индексом, первая компонента которого указывает на принадлежность к соответствующей главе,а вторая порядковый номер.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [91] ,[.923 » 1933и били доложены на заседании семинара академика С.Л. Соболева (институт математики СО АН СССР),
на международной конференции по дифференциальным уравнениям (г.Новосибирск 1983 г.)
Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору С.В.Успенскому,к.ф.-м.н. Г.В.Демиден-ко, а также сотруднику Института математики СО АВ СССР Г.А.Щуиреву за постоянную поддержку и внимание к его работе.
