Задача Коши для вырождающегося уравнения гиперболического типа в гильбертовом пространстве Семенов Сергей Митрофанович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Уравнение с вырождающимся множителем при А 15

1. Задача Коши для простейшего уравнения первого типа 15

2. Разрешимость задачи Коши для общего уравнения при нулевых начальных данных и быстро убывающей правой части 20

3. Общая задача в случае произвольного порядка вырождения 32

4. Общая задача при вырождении не быстрее степенного 42

5. Приложение к вырождающимся гиперболическим уравнениям 55

Глава 2. Уравнения с вырождающимся множителем при второй производной 59

6. Разрешимость в классе быстро убывающих функций 59

7. Общая задача 6.1 , 2.2 73

8. Приложения к дифференциальным уравнениям в частных производных 83

Литература 85

• Разрешимость задачи Коши для общего уравнения при нулевых начальных данных и быстро убывающей правой части
• Общая задача в случае произвольного порядка вырождения
• Приложение к вырождающимся гиперболическим уравнениям
• Приложения к дифференциальным уравнениям в частных производных

Введение к работе

В диссертации рассматриваются уравнения двух типов в гильбертовом пространстве Н *&)«^tt+Afr)«-+B(-t№'+C#)u=ffc) (-beCojij). СЮ

Предполагается, что А (*У при всех V /^J - положительно определенный самосопряженный оператор с независящей от ~Ь областью определения, 36^) ) С ft) А ^С^) л Eft) ~ линейные ограниченные операторы ; функция tt-^OjlJ—^fy-too) непрерывна

Будем называть уравнения (і) уравнениями первого типа, а вида (2) - второго типа.

Для уравнения (і)- или (2) ставится задача Коши с начальными данными в точке вырождения

Решением (гладким) уравнения (і) или (2) назовем функцию -U- , определенную на [O.ll со значениями в 2)(^/ , удовлетворяющую (і) или (2) , и такую, что функции -и^А^л-*с непрерывны на D_}lJ,-bt" А^тл*_у A -W- непрерывны Ba(o_}lJ_t

Невырждающееся уравнение ("когда с^№) = 1І ) изучено . Соболевским П.Е. и Погореленко В.A. [ll .

Уравнение (і; при <&)* І*0*>0)₁ АСФА_} 3#) = Ш=Р с помощью бесселевых функций от оператора изучалось Вайнерма-ном Л.И. [2 ] .

Уравнения первого типа изучалось также Каролем Р.В. и Шовальтером Р.Э. В [з] рассматривалось уравнение где A - положительно определенный самосопряженный оператор, ^0) 3ft)_} С&) л & C~k) - линейные ограниченные операторы, &&)> 0_} яШ' ;—* О . Предполагалось, что все операторы коммутируют, и ставился вопрос о существовании дважды непрерывно дифференцируемого решения, удовлетворяющего начальным данным ъ*(0) ~ -vl'(o) - D .

Была получена однозначная разрешимость в классе функций, достаточно быстро стремящихся к нулю при ~t —^ О , при правой части т , достаточно быстро стремящихся к нулю при і -» О .

Заметим, что коммутируемость операторных коэффициентов в приложениях к уравнениям в частных производных означает, что коэффициенты-уравнения не-зависят от пространственной переменной. Оставался также открытым вопрос о разрешимости задачи Коши при правой части, не стремящейся к нулю.

Уравнения второго типа изучалось Егоровым И.Е. В (4J рассматривалась задача Коши где Aft) и В ft)' - самосопряженные ограниченные операторы.

Предполагалось, что В ft) - ~^А &)% $ или 3ft)~^Aft) Ъ $^ > О ,. Эти условия не позволяют 3 С~у вырождаться, поэтому за такими уравнениями утвердилось название гиперболо-параболических.

В качестве приложений абстрактных уравнений (і) или 60 могут служить вырождающиеся уравнения в частных производных гиперболического типа

Приведем сначала работы по уравнениям в частных производных - 5--первого типа. Рассматривается уравнение

И. ^С (X6RJ в полупространстве ir > D (^по повторяющимся индексам подразумевается суммирование ) . Будем называть уравнение (4^) вырождающимся гиперболическим, если при любых X R , ~t ^ О квадратичная форма (Х^ыС^ x)l $. неотрицательна.

Карапетян К.И. [ъ] впервые рассмотрел задачу Коши для уравнения О)* вырождающегося только на гиперплоскости 77 — О , с начальными данными. ^_;^=^J_? ^(0_}&) = +tl(&) О)

Был исследован случай не слишком быстрого вырождения: если где квадратичная форма р C^^%)hh равномерно положительно определена, то это соответствует случаю, когда A-fa) стремится к нулю не быстрее ~Ь

Одейник О.А [б] рассмотрела задачу (&),(ь) при условии ос-Ь(с% f* Aa?$_tі, + a-hih С^Аі^и>0 (?) - - - . . ..- .. і ,

Это условие не позволяет квадратичной форме fc C^j ^J^i і: вырождаться на множестве произвольного вида, например, лишь в одной внутренней точке. ......... . _t

Если рассматривать условие О) как ограничение на рост С"при -Ь —> + О , то оно согласуется с требованиями, накладывае мыми в случае одного пространственного переменного и вырождения только при "Ь =- О (^обширная библиография таких работ представлена в монографиях Смирнова М.М. [ч] и Бицадзе А.В. [в]), Нерсесян А.Б. в [э] получил условия на С ^с похожие на (7^.

Им рассматривалось уравнение (&), выроадающееся только на гиперплоскости т = О , с коэффициентами, зависящими только от t . В частном случае, когда квадратичная форма &_ь (jir)ii і> не-отрицательна, эти условия означают, что Cc^Li-) - величина порядка С^-ь) , где Л -/^ , тогда как в [б] - <1 I \ г порядка ~т& &-t .В случае произвольного порядка вырождения условие Нерсесяна А.Б. менее ограничительно.

Отметим также работу Агабабяна Л.Ш. ^ioj , в которой обоб щаются результаты [6 J на случай уравнения _f где — ос <: ос^< d. , Здесь допускается вырождение разного типа по разным направлениям.

Перейдем к рассмотрению уравнений в частных производных второго типа. Начнем с плоского случая в полуплоскости ~и "^ О при. 0 <^ /^ ^ /2 . Линия параболического вырождения ~Ь ~ О является характеристикой уравнения. Поведение решения (8) существенно зависит от коэффициента "& и показателя fft- . Для уравнения "8) кроме обычной задачи Коши, которая может оказаться неразрешимой, естественно исследовать задачу Коши с видоизмененными начальными данными /*W ipf-b. ос)- О ^ и/fax,) = О_х

Исследованию этой задачи посвящены работы Терсенова С.A. fllj » Сунь Хе-шена [_12~] и других авторов. Было показано, что при

0 -s: Нг

В [уJ было показано, что при условии существования причем *и - при / ^ ж.

Многомерный аналог уравнения (ъ) при 0 н*. < Z ч к Ъ m- *1 '_% ъ видоизмененными начальными данными рассматривался Терсеновым С.A. l3j . Вид начальных условий подбирался путем построения общего решения уравнения .1/--0 и изучения поведения этого¹ общего решения при -k- -+о,

Барановский Ф.Т. fl4J показал корректность задачи Коши для уравнения _к^ _)г1 -_л%_х)«_л._х. ₊ С$х)+1₄ + + С Y*, ^ъ-ъ.-ь- olfc ^)i^^ fft₀ *>) (і- > ) (*) с начальными данными (Ъ) при к(~Ь_} 9с) - Л*(ту в случае медленного вырождения - при некоторых ълС&)1)) CijC_XjC$_}^^ ^> О

К работам, касающимся такой задачи, следует отнести также уже упоминавшуюся работу Агабабяна Л.Ш.

Задача Коши для уравнения (9) в цилиндрической области u ~t^)~^]^xJ) ^ J) С R - ограниченная связная область с гладкой границей У , с начальными и краевыми условиями til =0 4L I =0 -Я / = О **о t=o [o,t]*V в случае гиперболо-параболического вырождения рассматривалась Брюхановым В.А. іб], Братовым В.Н. fl6j, Каратопраклиевым Г.Д. l7j. Ограничений на скорость стремления kft^) к нулю при -Ь —> О не накладывается, но имеется условие гипер- боло-параболического вырождения Z ёОс;-t)~ к_ьСк_}Ь) ъ S > о . СЩ

Следует особо отметить работы Попиванова Н.И 18,19J , который рассматривал уравнение (э) , когда может вырождаться как kft^x) _t так и квадратичная форма (^ijftj^)ti%^ в произвольной ограниченной или неограниченной области с кусочно гладкой границей. Рассматривался случай гиперболо- параболического вырождения - для некоторых констант р и С > О к_ь- 2 ' + рк ЪС .

В случае вырождения квадратичной формы (Я 0^^у5'Л\ накладывалось условие, аналогичное (і).

Калашников А.С. [20] рассмотрел задачу без начальных усло-вий для уравнения (д) в [0_}Т]х R при условии

О С_ч кС,к) й ^zCb*) *А*^А С^С*А ><>)'

При некоторых ограничениях на допустимое поведение решения при \х\ —* оо и при т^г —=> -ь О были получены теоремы существования и единственности.

Отметим, что вырождающееся уравнение (А) относится к уравнениям с кратными характеристиками. Такие уравнения изучались Иврием В.Я. и Петковым В.М. [21J .

Для уравнения второго типа оставался открытым вопрос о разрешимости-задачи Коши в случае быстрого вырождения, когда коэффициент при первой производной по ~Ь стремится к нулю доста- - .9 - точно быстро (или вообще равен нулю) . Вторая глава данной диссертации посвящена выяснению этого вопроса.

Первая глава диссертация посвящена уравнениям вида (l") , а вторая - вида (2) . В первой главе 5 параграфов, во второй - 3.

В 1 рассматривается задача Коши для простейшего уравнения первого типа с постоянным оператором А _іл^1,_{+ Ь^Аіл ~fCty} при $ > О .На примере продемонстрирован применяемый в диссертации метод исследования, который заключается в следующем.

На первом этапе доказывается однозначная разрешимость задачи Коши при нулевых начальных данных и правой части, достаточно быстро стремящейся к нулю при , в классе решений, достаточно быстро стремящихся к нулю. Для этого с помощью замены независимой переменной уравнение сводится к интегральному уравнению, с последующим применением принципа сжимающих отображений.

На втором этапе показывается, что в случае принадлежности начальных данных D[A^-J и достаточной гладкости вблизи нуля функции A ^zf задачу можно свести к предыдущему случаю.

В 2 проводится первый этап для уравнения (_!). Предполагая, что решение l) со своей первой производной с достаточной скоростью стремится к нулю при ~Ь —^ + О , приходим к системе интегральных уравнений относительно пары функций ~ A*"Vt . Показывается, что в классе решений, удовлетворяющих условию . //7 ) 4- р ~рг7Т\ _; А іЛ.(іг) -* О со скоростью (X (ir) р >± к этой системе применим принцип сжимающих отображений, если операторные коэффициенты удовлетворяют некоторым ограничениям на рост при '~Ь ~~* О : _т>^В№_{^о> h}^icArt>l_^> ~k p+1.

При этих условиях получаем однозначную разрешимость системы интегральных уравнений при функции j- , стремящейся к нулю со скоростью d G. Ob) Для того, чтобы решение системы интегральных уравнений было решением уравнения (1^ , приходится дополнительно предположить, что функция А ²'f- стремится к нулю со скоростью <Я OC(-t) и

При этих условиях получаем существование такого решения урав нения (і), что функции 'ZrA^'bt и /1« стремятся к нулю со скоростью

В 3 рассматривается общая задача (l),(b). Показывается, что заменой неизвестной функции вида где *V - новая неизвестная функция, а функция j определяется данными задачи, можно свести задачу к случаю, рассмотренному в 1, если наложить на данные задачи дополнительные условия гладкости. Требуется, чтобы при некотором DL> -g ^₀^1^и(А(с)). функция А (у)у- была непрерывна, ограничена, оператор-функции

А*(оШа*Р), %&А*~Ь)Ф)А^Л0), А(о)Е(ь)А(о),Г(о)АШАСо) были сильно непрерывны, равномерно ограничены по норме. -^п - .

Если' ic₀~ -Uc- О , для некоторого -/ ^~) функция _{а6 і} ~jjjAf непрерывна, ограничена, то можно от операторных коэффициентов дополнительно требовать только, чтобы были сильно не- прерывны А*Со)ВШ~Щ,АС^сфА^е))А*(о)Е{$$&),

Функция % для замены неизвестной функции подбирается как решение задачи Коши для некоторым образом "регуляризованно-га* уравнения, в котором фигурируют только ограниченные операторные коэффициенты.

В случае произвольного порядка вырождения для доказательства единственности решения задачи (і), (з), хотя бы классического -когда 'Ct . А ^а-0б А *Ы непрерывны на [0, 1 ] , приходится вводить несколько большие ограничения на рост операторных коэффициентов: sup ±гжАій< oo. ъШшмЫьм**, f^)fj7;J^Et^sM^

В 4 рассматривается задача (l),(b)_t когда функция d(~b)стремится к нулю не быстрее т fi > Q. Точнее, при условии

В этом случае могут быть установлены более точные результаты, чем в 3. Доказана единственность классического решения без до-полнительных ограничений на рост Ц&(1г)Ц и /1СА*~&)11 Получена теорема существования решения задачи ОО/з) в пред-положении непрерывности и ограниченности функции A *-+zp J!. при некоторых ftfip-lft-pJ^eC-lj] при К6D(A^{Z +}**&)),

В 5 даются приложения результатов 3 к уравнениям в частных производных, когда Н - ^ (R J , а операторы A ft) » В ft) Сft) » Eft) - дифференциальные. Выписаны теоремы существования и единственности решения задачи (^),(5)

В 6 для уравнения (2) проводятся рассуждения, аналогичные тем, что были проведены для уравнения (і) в 2. Доказана един-ственность такого решения (2), что функции & ы & А*"!*-при некотором р > "1 ограничены, если ^Y 1ВЩг+ о, ^ ИсЛуИг?- о .

Если дополнительно оператор-функции силь- но непрерывно дифференцируемы, -р /g -^jfCA*) равномерно ограничены, при некотором р > d функции оС^-р ^~,6l^-fi непрерывны, ограничены, то доказано существование такого решения (2), что функции (X -и<^; * ft. Рдз-^і a Alt ограничены.

В 7 рассматривается задача Коши (2)_t(b) в классе таких функций, что A^XyU . A"U непрерывны вплоть до нуля, а -Фі при ~Ь —> О растет не слишком быстро - не быстрее А (&), при некотором р Є (1у 2 J .

При такой постановке возникают необходимые условия существования решения - ІЗ - B(o)nl + С(о)*и> + А(о)і<и =fO0

И, ПРИ , 7 >. О » УСЛ0ВИЄ B'6>)uj4- C'(v)i)<(4+A^{(o)<*>+A(0)

Таким образом, на начальные данные имеются алгебраические ограничения, причем при медленном вырождении одно, а при быстром - два. Поэтому термин "задача Коши" имеет в данном случае некоторую условность. Если существует [A(b)-t С(рУ\ ^то элемент -І4* однозначно определяется по . (&) и -І4^ . а если вырождение быстрое, то оба элемента *ЬСо и «о однозначно определяются по tfo)) У (0/ и мы можем говороить только об одном уравнения (2).решении.

Показано, что задача (2)_%(ъ) при достаточной гладкости данных может быть сведена к случаю, рассмотренному в 6.

Доказаны две теоремы существования решения С%)*(?) в предположении непрерывной дифференцируемоети правой части и сильной непрерывной дифференцируемости операторных кэффициентов .

Первая теорема относится к случаю не слишком быстрого вы-рождения - когда ^("^) стремится к нулю не быстрее і _? f$ll. При этом от производных правой части и операторных коэффициентов требуется, чтобы при медленном вырождении, когда ftp ~ ± они росли не быстрее a (-t) & (~t) , а при ftp 7* d. стремились к своему значению в нуле со скоростью fr* Oty Glf*ft) >

Вторая теорема относится к случаю, когда функция $ ограничена. От правой части операторных коэффициентов требуется существование третьих производных, причем первые производные непрерывны ('соответственно сильно непрерывны) вплоть до нуля, вторые растут не быстрее CL (~t) , а третьи растут не быстрее л'Л ( Р^& (І)*!)-

Установлена единственность решения задачи (2) ,(ъ) в случае, когда 0~С"6~) стремится к нулю не быстрее " * J2 ^ і . В случае, когда функция d ограничена, единственность установлена при дополнительных ограничениях на рост операторных коэффициентов / | т idi < со. 6 уі*&№ < оо.

Основные результаты диссертации опубликованы в 32, 33j . В совместной с П.Е. Соболевским работе научному, руководителю принадлежит постановка задачи, а доказательства теорем при над-лежат автору диссертации.

Автор диосертации выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф. Соболевскому П.Е. за постоянное внимание к работе.

Разрешимость задачи Коши для общего уравнения при нулевых начальных данных и быстро убывающей правой части

Предполагается, что А ( У при всех V / J - положительно определенный самосопряженный оператор с независящей от Ь областью определения, 36 ) ) С ft) А С ) л Eft) линейные ограниченные операторы ; функция tt- OjlJ— fyoo) непрерывна Будем называть уравнения (і) уравнениями первого типа, а вида (2) - второго типа. Для уравнения (і)- или (2) ставится задача Коши с начальными данными в точке вырождения Решением (гладким) уравнения (і) или (2) назовем функцию -U- , определенную на [O.ll со значениями в 2)( / , удовлетворяющую (і) или (2) , и такую, что функции -и Ал- с непрерывны на D}lJ,-bt" А тл у A -W- непрерывны Ba(o}lJt Невырждающееся уравнение ("когда с №) = 1І ) изучено . Соболевским П.Е. и Погореленко В.A. [ll . Уравнение (і; при &) І 0 0)1 АСФА} 3#) = Ш=Р с помощью бесселевых функций от оператора изучалось Вайнерма-ном Л.И. [2 ] . Уравнения первого типа изучалось также Каролем Р.В. и Шовальтером Р.Э. В [з] рассматривалось уравнение где A - положительно определенный самосопряженный оператор, oC.fi 0) 3ft)} С&) л & C k) - линейные ограниченные операторы, &&) 0} яШ ;— О . Предполагалось, что все операторы коммутируют, и ставился вопрос о существовании дважды непрерывно дифференцируемого решения, удовлетворяющего начальным данным ъ (0) -VL (O) - D . Была получена однозначная разрешимость в классе функций, достаточно быстро стремящихся к нулю при t — О , при правой части т , достаточно быстро стремящихся к нулю при і -» О . Заметим, что коммутируемость операторных коэффициентов в приложениях к уравнениям в частных производных означает, что коэффициенты-уравнения не-зависят от пространственной переменной.

Оставался также открытым вопрос о разрешимости задачи Коши при правой части, не стремящейся к нулю. Уравнения второго типа изучалось Егоровым И.Е. В (4J рассматривалась задача Коши где Aft) и В ft) - самосопряженные ограниченные операторы. Предполагалось, что В ft) - А &)% $ или 3ft) Aft) Ъ $ О ,. Эти условия не позволяют 3 С у вырождаться, поэтому за такими уравнениями утвердилось название гиперболо-параболических. В качестве приложений абстрактных уравнений (і) или 60 могут служить вырождающиеся уравнения в частных производных гиперболического типа Приведем сначала работы по уравнениям в частных производных -первого типа. Рассматривается уравнение И. С (X6RJ в полупространстве ir D ( по повторяющимся индексам подразумевается суммирование ) . Будем называть уравнение (4 ) вырождающимся гиперболическим, если при любых X R , t О квадратичная форма (ХыС X)L $. неотрицательна. Карапетян К.И. [ъ] впервые рассмотрел задачу Коши для уравнения О) вырождающегося только на гиперплоскости 77 — О , с начальными данными.

Общая задача в случае произвольного порядка вырождения

Оказывается, что заменой неизвестной функции вида где 1 - новая неизвестная функция, функция & определяется данными задачи, можно свести задачу к случаю теоремы 2.2 при условии, что для достаточно большого X функция /} f непрерывна, По,4ь!&І (/.і). Этому вопросу посвящены 3,4. Б дальнейшем мы будем существенно использовать следующие два утверждения, являющиеся простыми следствиями теории функций от самосопряженных операторов (см. [28]J . Лемма 3.1. Пусть А - положительно определенный самосопряженный оператор, W!и&)Т]- LPj+c ) - непрерывная функция, причем Ц/ С0) - ) 4у &) О при "Ь Р О . Тогда оператор-функция [lyfrJA] -e/KpJj-iyftjAl при oi О сильно непрерывна на [ОуТ] . Лемма 3.2. В условиях леммы 3.1 для любого j3 &[O J one-ратор-функция \}у(Ь)1\\ 1Ъ р(г СЩ 1\сильно непрерывна на [OjTj . Для удобства дальнейших рассуждений введем положительно определенный самосопряженный оператор Л , имеющий область определения D [А (&)) . Например, в качестве А можно взять А (о) . В приложениях это может быть другой, хорошо изученный оператор.

Из сильной непрерывной дифференцируемости оператор-функции А (НА следует, что оператор-функции A fflA С L j lj сильно непрерывно дифференцируемы. Поэтому оператор-функции А А С ) сильно непрерывны. Таким образом, непрерывность, ограниченность функции A f эквивалентна непрерывности, ограниченности функции А У 3.2. Теотзема 3.1. Пусть Щл & ПРИ Ь- +й . Пусть относительно оператор-функций А } &j С . дополнительно к условиям теоремы 2.2 выполняется следующее. Оператор-функции A ZBA л АСА3"-, А Е А А сильно непрерывны на (о} і J. AXAA"S сильно непрерывна, ограничена на ( -f J , Іілсюл ІІ о, - 34 -для некоторого Q- Qo -г ) Пусть Co- Uo- О , функция jpA f" непрерывна, ограничена на С#; /J . Тогда существует решение задачи (2.1),(2.2). Доказательство. Условия на операторные коэффициенты уравнения (2Л) таковы, что чем уже область определения, на которой задан операторный коэффициент, тем быстрее он на этой области стремит ся к нулю при с областью определения Т (/1) - со скоростью d Qt) , с областью DtA3-) - А (-і).

Воспользу емся этим. Отбросим в (2.1) члены с неограниченными операторны ми коэффициентами и решим задачу Копій для получившегося уравне ния. Это решение возьмем в качестве 2 в замене (з.і). Просто отбросить член C(ir) u. мы не можем, так как он недостаточно быстро стремится к нулю. Разобьем -COfy на две части, ограниченную #р[-a. &)S0& Д) ЛjCftj , которую оставим, и неограниченную которую отбросим. Таким образом, относительно имеем задачу Нам будет удобно перейти от этой задачи к интегральному уравнению. Положим _ где / - решение интегрального уравнения "& s 4. S в классе таких функций, что А -Х - . Для доказательства существования такого решения рассмотрим уравнение относительно По условию І fi, C) W J, (/ Q№)(І удовлетворяет таким же ограничениям на рост, что и \ЕЛ ffj . Это следует из леммы 3.1 и формулы Свободный член в уравнении (З.з) принадлежит f -f Иль зуясь техникой доказательства 2.1 и 2.2, легко показать, что к (З.З) применим ПСО в _ . Таким образом, существует решение (3.3) в Е . Очевидно, что = А2# - такое решение (3.2), что А2-к 6 Е . Функцию % мы построили. Про нее известно, что функции 1Л / ля. /IV и А»ідц, 2 рез Я. правую часть в уравнении после замены ҐЗ.і). Покажем, что 7 /( б1 р при р — Z- . Тем самым мы сведем задачу к условиям теоремы 2.2. Разобьем Я- на два слагаемых - Представим их в виде ± ± г и з Из этих формул и леммы 3.2 следует, что где функции , и Qz непрерывны, ограничены. Оценим множители при Q и 2 . Воспользуемся тем, что Щтг т- 0 ЯРИ " —9 О и Функция a fir) воз- растает. Имеем Итак, функции д/а«:і /t Л., . u - А3" и-2 непрерывны, ограни чены. Теорема доказана. Заметим, что при быстром вырождении, например, при &&)- ь , условие теоремы 3.1 предполагает стремление fC ) к нулю при t -= +0 , а при медленном вырождении, например, степенном, в зависимости от функция f может и расти, и стремиться к нулю.

Приложение к вырождающимся гиперболическим уравнениям

Пусть функция #- положительна при i 0. fay fax)J - при любом (,# «52. - симметрическая, положительно определенная матрица, точнее Лд = #/«. , для некоторого ( - т О f любых Z L Тогда уравнение ( 5.1 ) - гиперболического типа. Будем рассматривать функции, определенные на J2. как функции переменного Т - / 7 со значениями в гильбертовом пространстве оС — Z (R ) . Пусть функции (/С CL непрерывны, ограничены вое. Тогда при любом ІГ & [Я, 1J оператор A ( tj , задаваемый является положительно определенным, самосопряженным с областью определения W 2 . Оператор A (&) (чГ&(ОчИ)) имеет область определения В качестве оператора /1 удобно взять При f О & (Л ) V\/ , причем соответствие между v и ед , которое устанавливает оператор /1 , взаимно однозначно, в обе стороны непрерывно. _ Для непрерывности функции A j достаточно, чтобы произ- водные по X от У порядка не менее 2 были непрерывны как функции переменной и со значениями в 2 2 Нам следует выяснить, как интерпретировать требование, что для линейного оператора / оператор А ТА при некото- рых ТГ - О , оС О ограничены. Очевидно, что это условие будет выполнено, если / ограничен как оператор из Wz в И//Г .

Для дифференциального оператора где 2) - какая-либо производная по X порядка \г\— ( , это будет выполняться, если функция . имеет непрерывные, ограниченные производные по # до порядка ZT включительно, причем для некоторого М О то для сильной непрерывности Лщфференцируемости ) оператор-функ- ции A T()A достаточно, чтобы производные по % от ( ) Д порядка Л Т" были непрерывны, ограничены ( имели непрерывные, ограниченные производные по и J Для удобства, обозначим через С пространство функций, непрерывных и ограниченных вместе со своими производными по ОС до порядка Wi на Если мы хотим применить к изучению разрешимости задачи (5.1),(5.2) развитую в предыдущих параграфах абстрактную теорию, то под решением (ьл),(ь.2) следует подразумевать функцию ІЛ. , имеющую вторые производные по 7Г , / , непрерывные по ZT как функции в Л первые производные непрерывны на J[0j 1 1 » а -вторые - на (Ojl] J , для которой выполняются соотношения (5.1),(5.2,).

Приведем утверждения, являющиеся следствиями теорем 3. Теорема 5.1. Пусть функция Л непрерывна на \_0 1J , непрерывно дифференцируема при "6 О } &-(&)- Р ; A (-6) 0 при Ь О . Пусть функции (р , ( , непрерывны при t Py Пусть А у (Х вС #, \ОІ Є С . Тогда существует не более одного такого решения задачи (5.1,),(5.2), что производные второго порядка по "6 % оч 4 t непрерывны как функции переменной на 10,12 со значениями в /л . Теорема 5.2. Пусть относительно CL выполняются условия теоремы 5.1, функции ) if) непрерывны при 77 Р для некоторого Є (о. $) Функция непрерывна, ограничена как функция Ь 6?/1 ] со значениями в W Тогда существует решение задачи (5.1),(5.2), причем функции т ; -ЬхІ ) х &. непрерывны как функции "T fO J в W« . Теорема 5.3. Пусть дополнительно к условиям теоремы 5.2 от-носительно функций Д , [р} {//} }a. j V) CL} Ы выполняется следую-щее. Функции ір- ь ограничены, а єС -S oLeC С Є С . Пусть -U.0 /м Q Wz функция 7 непрерывна как функ- ция b Gjo l в Wz . Тогда существует решение задачи (5.1),(5.2,), причем функции . . . . . . ит ж- 2+МЛ 2. непрерывны как функции і & (й} f J со значениями в W, Эти функции непрерывны на [0} 1 J , если ) У; непрерывны на /Г 0, J

Приложения к дифференциальным уравнениям в частных производных

Таким образом, при В итоге имеем, что "п( Л іл Є- Ер при р= 0 Осталось воспользоваться теоремой 2.2. Теорема доказана. Посмотрим, когда решение задачи (2.1),(2.2), существование которого утверждается в этой теореме, является классическим. Рассмотрим отдельно функции и V . Из (4.11),(4.12,) следует, что /7 а ьС_% . Эта функция непрерывна на Г О ч 7 » если & Ъ- А % непрерывна на Г0 й] . . В случае о—7ГГТ- ? О можно воспользоваться тем, что » делаем вывод, что функция /1 2- непрерывна [0)1 J . Что касается функции , то для р - -jf -1 функции dJ? /\ v принадлежат Bp , следовательно непрерывны на p3"?J . Как было замечено после доказательства теоремы 2.2, функция ф1 непрерывна на #;2 J , если U й. ftr) т О . Из 4.1) и леммы 4.1 следует, что для некоторого М О Таким образом, при cCCf ) Р З Р ш имеем классическое решение.

Если мы хотим подобным образом изучать разрешимость задачи (2Л),(2.2) при ненулевых начальных данных, то приходится вводить более существенные ограничения на рост операторных коэффициентов. Теотэема 4.3. Пусть дополнительно к условиям теоремы 4.1 для некоторого $ Є C2.p-1jpl , некоторого / b,-0 оператор-функции і,А В ft) л\ ЬА ЕМА сильно непрерывны, ограничены на (0)1 J » оператор-функция Ах/\ А х сильно непрерывна на / Пусть fftJ O, « &2)С/+Щ) (&СА Тогда существует решение задачи (2.1),(2.2). Доказательство. Путем замены неизвестной функции З.і) при задача сводится к уже изученным случаям. Действительно, начальные данные для Ф - нулевые, правая часть после замены разбивается на следующие слагаемые А Од = - вшю -ЕШ№Р Нетрудно проверить, что функции А % -Л % дл. +2p g. непрерывны на [0 1 J . Отсюда видно, что ft удовлетворяет условию теоремы 4.2 при S — 0 , я2 - при $- -, Слагаемое At, , как и в доказательстве теоремы 4.2, удовлетворяет условию теоремы 2.2 при р Из формулы . .7 . г, видно, что Я $ удовлетворяет условию теоремы 4.2 при S ft-l, Теорема доказана. Нетрудно видеть, что решение, о котором говорится в этой теореме, будет классическим, если = О . Замечание 4.1. Можно было в условии теоремы 4.3 ограничение Г+2. _.f _ 72LS- л на рост взять более слабое - оператор- функция Q1U) A PCftJA 2+2 сильно непрерывна, ограничена. 4.4. Перед тем, как перейти к приложениям, сделаем два заме -чания. Замечание 4.2. Теоремы 2-4 сохраняют силу, если под Ер понимать пространство таких функций X 6 Т1 Н , что функция О- С непрерывна на [tfjT J » с той же нормой. Замечание 4.3.

Естественно задать вопрос, повышается ли гладкость решения при повышении гладкости данных задачи. Например, верно ли следующее утверждение. Пусть для некоторого С? относительно оператор-функций Л АЛ ,АВЛ ,ЛСЛ Л В Л Функции Л f , эле- Р ментов у\ -и, /[4 выполняются те же условия, что и условия от носительно , соответственно /т /5 С Е- « У"5 - , Uo в какой-либо из теорем - 2.2, 3.1, 3.2, 4.2, 4.3. Тогда существует такое решение задачи (2.1),(2.2 что функции А А 1 А А и непрерывны на 0}lj .

Похожие диссертации на Задача Коши для вырождающегося уравнения гиперболического типа в гильбертовом пространстве



Об оценках решений задачи Коши для уравнений типа Шредингера в пространствах Lp и BpqШлекис, Пятрас Пятрович

Задача Коши для параболических псевдодифференциальных уравнений с начальными условиями в пространствах обощенных функций типа распределенийЛитовченко, Владислав Антонович



Асимптотическое поведение решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в пространствах постоянной отрицательной кривизны Погорелов Юрий Владимирович

Задача Коши для параболических уравнений с некоторыми вырождениями в пространствах обобщенных функцийЖитарюк, Иван Васильевич



Задача Коши для эллиптических уравнений, порождаемых оператором Лапласа в комплексном пространствеШалагинов Сергей Дмитриевич

Осилляционные интегралы и их приложения к решению задачи Коши для уравнений типа ШредингераКуркиев, Ахмет Бесланович



Задача Коши для уравнений соболевского типа на римановых многообразияхШафранов Дмитрий Евгеньевич



«Комплексная задача Коши в пространствах аналитических функций с интегральными метриками»Бирюков Алексей Михайлович

Некоторые вопросы корректности абстрактной задачи Коши первого порядка в банаховом пространствеАльшанский, Максим Алексеевич

Задача Коши для системы уравнений, описывающих движение суспензии в жидкостиАнощенко, Ольга Алексеевна