Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Геометрия Больяи-Лобачевского 12
1. Определение пространства Больяи-Лобачевского 12
2. Интерпретация геометрии Больяи-Лобачевского в евклидовом пространстве. Карта Пуанкаре 15
Глава II. Критерии стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в пространстве Больяи-Лобачевского 23
1. Постановка задачи 23
2. Нечетномерный случай 24
3. Четномерный случай 34
4. Необходимое и достаточное условия стабилизации 39
5. Необходимое и достаточное условие стабилизации в терминах специальных усреднений 45
6. Равномерная стабилизация 58
Глава III. Свойства шаровых средних в пространстве Больяи-Лобачевского 62
1. Эквивалентность шаровых средних в четномерном пространстве 62
2. Соотношения между шаровыми средними в евклидовом пространстве 66
3. Специфика поточечной стабилизации в пространстве Больяи-Лобачевского 68
4. Задача Коши в евклидовом полупространстве и в шаре 71
Литература 74
- Интерпретация геометрии Больяи-Лобачевского в евклидовом пространстве. Карта Пуанкаре
- Четномерный случай
- Необходимое и достаточное условие стабилизации в терминах специальных усреднений
- Соотношения между шаровыми средними в евклидовом пространстве
Введение к работе
Вопросы стабилизации решений уравнений математической физики гиперболического [8, 12] и параболического типов в евклидовом пространстве Еп изучены достаточно полно в работах М. Кжижанского, Ф. О. Порпера, С. Д. Эйдельмана, В. Д. Репникова, В. В. Жикова, В. Н. Денисова, Ю. Н. Валицкого.
Если в первых работах по стабилизации изучалось асимптотическое поведение решений задачи Коши для уравнения теплопроводности и параболических уравнений с коэффициентами, зависящими только от t, то со временем те же вопросы решаются в классах неограниченных [9, 13, 21, 23, 37] и обобщенных [3-4, 14-15] функций, для решений уравнений порядка выше второго [1], ультрапараболических [14], сингулярных [22] и уравнений с переменными коэффициентами [18, 32, 33, 39]. Изучены вопросы стабилизации решений краевых задач [6-7] и решений квазилинейных уравнений [17]. Наконец, в работе [38] получено необходимое и достаточное условие стабилизации для решения уравнения теплопроводности в самом широком классе функций — тихоновском классе. Обзор некоторых результатов для параболического случая содержится в работах [9, 11].
Исследования по стабилизации в пространствах Больяи-Лобачевского или пространствах постоянной отрицательной кривизны пока не могут сравниться по полноте с результатами, полученными в евклидовом пространстве Еп. Существование предела u(t, х) при t +00 в Еп тесно связано с существованием предела усреднений по определенным телам (например, шарам), и отличие геометрии пространства Больяи-Лобачевского от евклидовой геометрии определяет иные подходы к исследованиям вопросов стабилизации.
Работа Репникова В. Д. [40] положила начало исследованиям по стабилизации решения уравнения теплопроводности в пространстве Больяи-Лобачевского. В ней было рассмотрено двумерное пространство постоянной отрицательной кривизны — к2 0 и найдены необходимое и достаточное условия стабилизации u(t, х) для ограниченных начальных функций. В предельном случае, когда к = 0, эти условия совпадают с необходимым и достаточным условием стабилизации в евклидовой плоскости, однако в случае — к2 0 они различны.
Целью данной диссертационной работы является получение необходимого условия, совпадающего с достаточным, для пространства Больяи -4 Лобачевского любой размерности.
Диссертация состоит из трех глав. Первая глава носит вводный характер и посвящена определению пространства Больяи-Лобачевского. Здесь возможны два подхода. С одной стороны, пространством Больяи-Лобачевского мы будем называть такое пространство, в котором реализуется геометрия Больяи-Лобачевского. Набор аксиом, необходимый для построения этой геометрии, состоит из аксиом евклидовой геометрии [5], за одним исключением — аксиома Евклида о параллельных заменяется постулатом Лобачевского: через точку проходит более одной прямой параллельной данной. С другой стороны, пространство Больяи-Лобачевского является частным случаем риманова пространства1 а именно, пространством постоянной отрицательной кривизны — к2 0 или гиперболическим пространством. Последний подход дает возможность использовать метрику пространства Больяи-Лобачевского, то есть находить длину дуги произвольной кривой в этом пространстве, определяемую метрическим тензором, и объем тела. Разумеется, для этого необходимо соответствующим образом определить координаты метрического тензора.
Явный вид координат метрического тензора позволяет записать среднее значение любой функции на сфере, используемое для нахождения условий стабилизации, но для пространств больших размерностей вопрос нахождения метрического тензора достаточно сложен, и пользоваться формулой дифференциала дуги в явном виде мы будем только при использовании моделей пространства Больяи-Лобачевского в евклидовом полупространстве и в шаре.
В параграфе 2 рассмотрен частный случай модели в полупространстве — интерпретация Пуанкаре двумерного пространства Больяи-Лобачевского на евклидовой полуплоскости у 0. Известно [20], что на ней можно определить геометрические объекты ("прямые" и "точки"), а также соотношения между ними ("принадлежать", "лежать между" и "быть конгруентными") таким образом, что полученная геометрия окажется геометрией Больяи-Лобачевского. Но для дальнейших исследований потребуется найти дифференциал дуги в плоскости Больяи-Лобачевского. Для этого используется тот факт [25], что псевдосфера является поверхностью постоянной отрицательной кривизны, и на ней локально реализуется геометрия Больяи-Лобачевского.
При этом, несмотря на то, что образ псевдосферы не охватывает всей полуплоскости2 , полученная формула (1) верна для всех х € R и у О, так как "прямые" и "точки", полученные при отображении, а также соотношения между ними, определяемые выражением (1), те же, что и в интерпретации Пуанкаре. Таким образом, аксиомы геометрии Больяи-Лобачевского выполняются для них на всей полуплоскости.
Заметим, что в трехмерном евклидовом пространстве не существует поверхности, на которой глобально реализуется геометрия Больяи-Лобачевского [41, с. 154].
Основными главами диссертации являются вторая и третья. Целью второй главы является изучение асимптотического поведения решения уравнения теплопроводности для ограниченных начальных функций в пространстве Больяи-Лобачевского. Рассмотрим задачу
В заключение автор выражает глубокую благодарность своему руководителю Репникову В. Д. за ценные замечания и обсуждение результатов работы.
Интерпретация геометрии Больяи-Лобачевского в евклидовом пространстве. Карта Пуанкаре
Известно, [34, с. 599], что пространства постоянной кривизны являются конформно евклидовыми — допускающими конформное отображение на локально евклидово пространство. То есть квадратичная форма da2 евклидова пространства отличается от квадратичной формы пространства Больяи-Лобачевского ds2 множителем а, зависящим только от выбора точки M(xi,...,xn) и не зависящим от направления бесконечно малого смещения dx\,..., dxn: где a = a(xi,..., xn). Используя теорию конформных отображений можно получить реализацию геометрии Лобачевского в i?2, как это сделано Б. А. Фуксом [42]. Но для большей наглядности мы воспользуемся другим фактом из теории римановых пространств, а именно тем, что для реализации (с сохранением метрики) риманова пространства Vm на некоторой поверхности в Еп необходимо взять n = т+1 [34, с. 595]. При этом реализация Vm в виде поверхности в Еп гарантируется не в целом, а лишь в некоторой области. Более того, доказано, что, например, в Е$ не существует аналитической поверхности, на которой реализовывалась бы геометрия гиперболической плоскости в целом (если рассматривать геодезические линии этой поверхности как гиперболические прямые). В целом риманово пространство может быть реализовано в евклидовом при достаточно большом п. Нас будет интересовать случай т = 2. В этом случае получаем, что двумерное пространство Больяи-Лобачевского локально реализуется на некоторой поверхности в Е$. Построим такую поверхность. Рассмотрим трактрису — евклидову кривую с таким свойством, что отрезок касательной к ней от точки касания до точки пересечения с данной прямой а, равен постоянной величине, которую мы обозначим 1/к (Рис. 1). Уравнение трактрисы в плоскости рС, будет иметь вид: Заметим, что уравнения (2.3) при р = const описывают параллели псевдосферы (окружности), а при ср = const — меридианы псевдосферы (трактрисы). Записав уравнение псевдосферы в векторной форме где , 77, С — функции аргументов р и р, определяемые равенствами (2.3), и воспользовавшись известными формулами (см. например [2] с. 414-415), можно найти коэффициенты первой и второй квадратичной формы псевдосферы Таким образом, псевдосфера — это поверхность постоянной отрицательной кривизны.
Покажем теперь, что достаточно малую окрестность обыкновенной точки псевдосферы можно отобразить на гиперболическую плоскость с сохранением метрики. При этом необходимо отметить, что соответствие между псевдосферой и гиперболической плоскостью не полное: на псевдосфере можно получить изображение только части гиперболической плоскости. -18 Рассмотрим следующее отображение псевдосферы на евклидову плоскость: пусть точке псевдосферы с координатами р, /?, z (О р 1/к, —7г р +7г; z 0), соответствует точка плоскости ху, которая определяется прямоугольными декартовыми координатами С помощью преобразования (2.6) мы получим в плоскости ху карту той части псевдосферы (2.3), для точек которой С 0. Образ псевдосферы, который мы получили, ограничен прямыми х = ±7г//г, у — 1/к, включая точки первых двух из этих прямых (Рис. 3, стр. 19). При этом параллели псевдосферы перейдут в прямые параллельные оси х, а меридианы — в прямые параллельные оси у. Вычислим метрику данного отображения, то есть покажем как, зная длину дуги а на "карте" можно найти величину s — прообраза этой дуги на псевдосфере, которую преобразование (2.6) перевело в дугу а плоскости ху. Из равенства (2.1) следует, что Равенства (2.8) и (2.9) определяют метрику отображения (2.6). При этом можно показать [41, с.155], что это отображение является конформным. Полученная интерпретация геометрии Лобачевского в ограниченной области полуплоскости позволяет построить в 1 интерпретацию гиперболической геометрии, называемую картой Пуанкаре. При этом аксиомы геометрии Больяи-Лобачевского будут выполняться не только в области \х\ 7т/к, у Х/к (Рис. 3), но и на всей верхней полуплоскости Е2 Гиперболической прямой полуплоскости у 0, метрика которой определяется равенством (2.8), назовем линию, по которой измеряется кратчайшее расстояние между двумя точками этой полуплоскости. На карте Пуанкаре это будут полупрямые перпендикулярные оси х и полуокружности с центрами на оси х [42, с. 37] (Рис. 4). Расстояние между точками Aw. В лежащими на гиперболической прямой х — const согласно (2.8) будет равно
Четномерный случай
Рассмотрим пространство Больяи-Лобачевского размерности п = 2га, га Є N. Решение u(t,x) в этом пространстве согласно (1.3) имеет следующий вид: y Как и в нечетномерном случае, преобразуем этот интеграл, чтобы получить затем сопоставимую ему функцию, удобную для получения критериев стабилизации. Для этого проинтегрируем выражение (3.1) т раз по частям. При этом все получившиеся внеинтегральные члены будут равны нулю, так как Q(0, х) = 0, а при р — со из-за функции е -»« , содержащейся как сомножитель в каждом внеинтегральном члене. Таким образом, после интегрирования получим Функция В(р, х) является специального вида усреднением функции f(x) в шаре радиуса р с центром в точке х, т. к. В(р, х) = 1, если f(x) = 1. Для упрощения вида подынтегральной функции интеграла (3.3) нам потребуется последующая лемма: где г/ = 2 77 — (т — ) т - а л Sj i Пг і — некоторые константы, причем riij Sij для всех г, j. Аналогично нечетномерному случаю можно показать, что при т 1 второй интеграл выражения (3.6) является ограниченной функцией, а первый интеграл стремится к нулю при t —» со, т. к. п S(j для всех г, J. А поскольку каждый из этих интегралов умножается на функцию е-2к (m-l)t то ПрИ 771 1 всё ВЬіраЖЄНИЄ (3.6) являются не только ограниченными, но и стремятся к нулю при t — со. Таким образом, возвращаясь к (3.5), полАналогично нечетномерному случаю можно показать, что при т 1 второй интеграл выражения (3.6) является ограниченной функцией, а первый интеграл стремится к нулю при t —» со, т. к. п S(j для всех г, J. А поскольку каждый из этих интегралов умножается на функцию е-2к (m-l)t то ПрИ 771 1 всё ВЬіраЖЄНИЄ (3.6) СТрвМИТСЯ К НуЛЮ ГфИ t — со. Если же га = 1, то и оба интеграла выражения (3.6) являются не только ограниченными, но и стремятся к нулю при t — со. Таким образом, возвращаясь к (3.5), получим, что функция V\(t, х) сопоставима с первым слагаемым выражения (3.5). Обозначим это слагаемое через V2(t, х). Тогда Рассуждая так же, как и в случае пространств нечетной размерности можно показать, что функция J (t, х) сопоставима с функцией Так же, как и в нечетномерном случае, можно показать, что Рт = 1. Таким образом окончательно получим, что в пространстве размерности п — 2т, т Є N решение u(t, х) задачи (1.1)-(1.2) сопоставимо с функцией Как показано в предыдущих параграфах, в пространстве размерности п = 2т + 1, га Є N решение u(t, х) сопоставимо с интегралом (2.15), а в четномерном пространстве Больяи-Лобачевского — с интегралом (3.7).
При этом в формуле (2.15) функция В(р,х) является средним по шару в пространстве Б ольяи-Лобачевского с учетом соответствующей метрики, а в формуле (3.7) — усреднением по шару специального вида. Однако, для получения дальнейших результатов различие этих усреднений не важно1, поэтому здесь и далее их обозначения совпадают. Сопоставимость решения задачи (1.1)-(1.2) с интегралами (2.15) и (3.7) позволяет получить следующие результаты. Заметим, что пределы интегрирования интегралов (2.15) и (3.7) отличаются только константой, поэтому доказательство теорем можно провести для конкретного значения га, например, для трехмерного случая. Таким образомучим, что функция V\(t, х) сопоставима с первым слагаемым выражения (3.5). Обозначим это слагаемое через V2(t, х). Тогда Рассуждая так же, как и в случае пространств нечетной размерности можно показать, что функция J (t, х) сопоставима с функцией Так же, как и в нечетномерном случае, можно показать, что Рт = 1. Таким образом окончательно получим, что в пространстве размерности п — 2т, т Є N решение u(t, х) задачи (1.1)-(1.2) сопоставимо с функцией Как показано в предыдущих параграфах, в пространстве размерности п = 2т + 1, га Є N решение u(t, х) сопоставимо с интегралом (2.15), а в четномерном пространстве Больяи-Лобачевского — с интегралом (3.7). При этом в формуле (2.15) функция В(р,х) является средним по шару в пространстве Б ольяи-Лобачевского с учетом соответствующей метрики, а в формуле (3.7) — усреднением по шару специального вида. Однако, для получения дальнейших результатов различие этих усреднений не важно1, поэтому здесь и далее их обозначения совпадают. Сопоставимость решения задачи (1.1)-(1.2) с интегралами (2.15) и (3.7) позволяет получить следующие результаты. Заметим, что пределы интегрирования интегралов (2.15) и (3.7) отличаются только константой, поэтому доказательство теорем можно провести для конкретного значения га, например, для трехмерного случая. Таким образом, при доказательстве теорем будет использоваться сопоставимость u(t, х) с интегралом (2.15) при га = 1: Доказательство теоремы 2.1 проведем для произвольной точки х = XQ. Без ограничения общности можно считать с(хо) = 0, в противном случае перейдем к рассмотрению решения u(t,Xo), построенного по начальной функции р(х) = f(x) — C(XQ). Рассмотрим функцию Поскольку B(z, хо) определена при z 0, то w(t, Т, хо) — при t ln2T. Будем считать, что t Є [ln2T, Т], и докажем сопоставимость u(t,T, XQ) С 1В 1 главы III будет показано, что в четномерном пространстве их пределы при t — со одновременно либо существуют и равны, либо не существуют. функцией u(t, хо) при Т — -f оо. Для этого воспользуемся сопоставимостью uj(t,T,xo) с функцией U\(t,xo), определенной формулой (4.1), которая следует из оценки \В(р,XQ)\ 1 и соотношений: Так как Ui(t, хо) сопоставимо с u(t,xo), то отсюда следует, что условие теоремы 2.1 равносильно равенству Urn oj(t,T,xo) = 0. Поэтому и
Необходимое и достаточное условие стабилизации в терминах специальных усреднений
Существование предела среднего значения начальной функции в шаре, а также предела повторного усреднения, которое является одновременно необходимым и достаточным условием стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в евклидовом пространстве [35], перестает быть таковым в пространстве Больяи-Лобачевского. Однако необходимое и достаточное условие стабилизации решения u(t, х) задачи Коши (1.1)-(1.2) может быть получено в терминах специальных усреднений. Теорема 2.5. Для того чтобы решение задачи Коши (1.1)-(1.2) стабилизировалось кс{х), необходимо и достаточно, чтобы для любого \і Є (0, 1/2) существовал предел Доказательство этой теоремы проведем в произвольной точке х. Как и ранее это утверждение достаточно доказать для трехмерного случая. Но прежде чем приступить к доказательству теоремы 2.5, докажем вспомогательное утверждение. -47 t+{m-l)t +(t+(m-l)t y Доказательство теоремы 2.5. Необходимость. Имеем: lim u(t, х) = 0. Необходимо показать, что lim т / В(у, х) dy = 0. Ранее было дока t—»00 J J" зано (2), что u(t,x) сопоставимо с интегралом (2.15)1: —= I e s2B{2s\/t + 2kt,x)ds. Проводя те же рассуждения, что и при доказательстве теоремы 2.1, можно показать, что последний интеграл сопоставим при Т —» со с интегралом -, ЫпТ u(t,T,x) = -= I e-s2B(2sVt + 2kt,x)ds, te[T;T + T»\. Следовательно т+т }ТИ I Ц » Г, ж) dt = 0,/i (0-,1/2), ТО есть , ЫпТ -, Т+Т» lim-7= I е-$2— [ B(2sVt + 2kt,x)dtds = 0. (5.15) Но интеграл — J B(2sVt + 2kt,x)dt т сопоставим при Т — со с интегралом І Я(2а /ї + 2 ,а:) і(2вл/ї + 2 г ), так как для модуля их разности справедливы соотношения: Т+Т і і Т+Т»1 —— ( B(2sVi + 2kt7x)sdVt ттрг I dy/i кТ J, К кТ» J, 1 Напомним, что доказательство проводится для трехмерного пространства, т. е. в формуле (2.15) необходимо положить m равным 1. поскольку \B(p, x)\ 1 и \s\ klnT (напомним, что T Ті). Интеграл (5.19), в свою очередь, сопоставим с интегралом В(у, х) dy, м 1 2k{Ti +7 )+23 +7 2кТ( I 2кТ1+2зу/Т1+Т? так как модуль их разности не превосходит 2к (Ті + І8у/Т! + Т?У - 2кТ? _ 17 ІЛ 2кТ? Ті- оо (5.20) 0. Наконец, из легко устанавливаемой сопоставимости внутреннего интеграла правой части (5.16) и (5.20) следует сопоставимость интеграла (5.17) и внутреннего интеграла правой части (5.16) для всех \s\ klnT. Итак, нами доказано, что если u(t, х) —» 0, то /-6 6 klnt\ -. 2И+2зуД I +/ + / sV 2W I B(V,x)dyds \-klnt -6 -6 J ZSVL 2kt def Ш\Іі(і,х) + І2(і,х) + І3{Ь,х)\ Тогда для любого t О I -6 д 5 -. 2kt+2sVt . 6 №, х)\ -р / s2e-2 - == / В(у, x)dy dsK- f У/TTJ 2sy/t J VTTJ s2e s2ds -, и существование такого to, что при t to выполняется неравенство (5.23), вытекает из леммы 2.1, примененной к интегралам Ii(t,x) и l2(t,x). Теорема доказана. Замечание. Существование предела среднего значения начальной функции і Т і fcSf J В(р Хї dp = С(Х М 2 не является необходимым условием поточечной стабилизации, если начальная функция не ограничена. Приведем пример, подтверждающий этот факт.
Пример. Рассмотрим трехмерное пространство Больяи-Лобачевско го. Напомним, что среднее по шару в этом пространстве согласно (2.2) (при симметрическая функция fix) = f(\x\) = /(/э), sh2p-2p . ch2p-l f(p) = (згпр + pcosp) 4 2р + Psmp- - = симметричности f(x) среднее значение начальной функции на сфере а; = р равно S(p,0) = - 2-- - (psinp(sh2p - 2p)), откуда B(p, 0) = psinp, и -. t+t -і + / — J B(p,0)dp =— J psinpdp = — (sinp - pcosp) = Sin(t+t ) — sint ,1-/,/ . ,. .„\\ f. ,//\ = 1 + t1-» (cost - cos(t + V)) - cos(t + ). Очевидно, что при t — oo последнее выражение не имеет предела и 1) доказано. Для доказательства утверждения 2) воспользуемся сопоставимостью u(t, 0) с функцией1 tfi( ,0) = -i= / e-s2B(2sVt + 2kt,0)di v -куД Получим tfi( , 0) = —= I e s\2s\/t + 2t)ain(2sVt + 2t)ds = = ЩІ І e-s ssin(2sVt + 2t)ds+ = [ e-s2sin(2sVt + 2t)dsd Ii(t)+I2(t). Покажем, что интеграл h(t) = p= f e-s2sdcos(2sVt + 2t) стремится к нулю при t —» со. Проинтегрируем дважды по частям под знаком интеграла I\(t): hit) = se-s2cos(2sy/t + 2t) V5F sft . V Vt V"_ + -7=/ e s\l - 2s2)cos(2s\/t + 2t)ds = -Jt V71" n Формула (2.15) при m = 1 и —к2 = —1. se-s2cos(2sy/i + 2t) V ft -sTt + (1 - 2s2)e-s2sin(2sVt + 2t) 2yft Vt -Vt j= J e s2(4s3-6s)sin{2sVt + 2t)ds. Первые два слагаемых правой части последнего равенства стремятся к нулю при t —» со. Следовательно I\(t) сопоставимо с интегралом l[(t) = —р= j e-3\4s3-6s)sin{2s\/t + 2t)ds. у/І 2 11 I Модуль последнего интеграла не превосходит / e s 4s3 — 6s ds и явля -Vt ется ограниченной функцией, а поскольку перед ним стоит множитель Г1 2, то lim l[(t, 0) = 0 и Urn Lit) = 0. Проинтегрировав аналогичным образом три раза по частям под знаком интеграла Іг( ), можно показать, что /г( ) также стремится к нулю при t —» 00. Следовательно, Urn u(t, 0) = 0, и утверждение 2) доказано. Определение 1. Будем говорить, что предел функции ip(x,t) : Umcp(x,t) = с{х), достигается равномерно по х во всем пространстве Rn, если для любого є 0, существует такое to, что для всех t to независимо от х выполняется неравенство \ p(x,t) — с(х)\ е. Записывать будем это так р(х, t) = с(х).
Соотношения между шаровыми средними в евклидовом пространстве
Известно [35], что в евклидовом пространстве Еп, в которое превращается пространство Больяи-Лобачевского при —к2 = 0, необходимым и достаточным условием стабилизации при t —» со решения u(t,x) задачи (1.1)-(1.2) главы II является условие существования при р — со предела среднего значения В(р,х) начальной функции f(x) в шаре \х — хо\ р. Кроме того доказано [3], что в Еп среднее В(р,х) и повторное среднее т S В(р, х) dp эквивалентны. В пространстве Больяи-Лобачевского оба этих утверждения не верны (теоремы 2.1-2.4). При этом необходимым и достаточным условием существования предела решения является существование при t — со предела среднего В этом параграфе мы рассмотрим средние вида (2.1) в евклидовом пространстве и покажем, что результаты, полученные в главе I, согласуются с известным критерием стабилизации в Еп. Напомним, что через В(р, х), как и ранее, обозначено среднее начальной функции в шаре, но теперь уже в евклидовой метрике. Имеет место следующая теорема. Теорема 3.2. Пусть х принадлежит евклидовому пространству Еп. Тогда для того чтобы среднее В(р,х) стремилось к с при р — со, необходимо и достаточно, чтобы при t —» со существовал предел среднего значения (2.1), равный с. Доказательство. Положим с = 0. Необходимость с,х) — 0. Для этого оценим —4 . В евклидовом пространстве Возьмем некоторое фиксированное Єо М/2. Из условия существования предела функции (2.1) следует, что существует такое t\, что для всех Из последовательности {tn} выберем такую подпоследовательность {tk}, чтобы выполнялось следующее условие Для евклидова пространства доказано (см. например [18]), что из стабилизации решения u(t, а:) к с в одной точке следует стабилизация u(t, х) к с в любой другой точке Еп. При доказательстве этого факта используется то свойство евклидова пространства, что в нем объем шара радиуса р есть бесконечно большая более высокого порядка, чем площадь сферы того же радиуса при р — оо. Делается это так. Рассматривается разность между средними в шарах (вида (2.2)) одного радиуса р с центрами в точках #i, Х2 (х\ ф x i). Каждое из этих средних представляет собой интеграл по шару, деленный на объем шара, например, в 1 он имеет поря-док р , а разность между интегралами по шару, не превосходит площади сферы, умноженной на \х\ — #2І(в JE?2 с точностью до постоянного множителя получим р\х\ — #2І). И поскольку величина \х\ — Х2І постоянна, то Р\Х1 Х2\ — 0, и разность между средними с центрами в различных точках стремится к нулю при увеличении радиуса. В пространстве Больяи-Лобачевского это утверждение перестает быть справедливым, так как в этом пространстве при р — оо порядок площади сферы и порядок объема соответствующего шара совпадают. Имеет место следующая теорема Теорема 3.3.
Существует такая функция fix,у), что в некото-рых точках (жі, у\) и (х2, уг) существуют lira u{t, х\,у\) и lim u(t, хч, уг), причем lim u(t, x\,yi) ф lim u(t,Х2, уч) Доказательство. В интерпретации Пуанкаре ледует из того, что предел среднего значения равен пределу усредняемой функции, если последний предел существует. др Достаточность. Пусть существует предел (2.1). Покажем, что В(р,х) — 0. Для этого оценим —4 . В евклидовом пространстве Возьмем некоторое фиксированное Єо М/2. Из условия существования предела функции (2.1) следует, что существует такое t\, что для всех Из последовательности {tn} выберем такую подпоследовательность {tk}, чтобы выполнялось следующее условие Для евклидова пространства доказано (см. например [18]), что из стабилизации решения u(t, а:) к с в одной точке следует стабилизация u(t, х) к с в любой другой точке Еп. При доказательстве этого факта используется то свойство евклидова пространства, что в нем объем шара радиуса р есть бесконечно большая более высокого порядка, чем площадь сферы того же радиуса при р — оо. Делается это так. Рассматривается разность между средними в шарах (вида (2.2)) одного радиуса р с центрами в точках #i, Х2 (х\ ф x i). Каждое из этих средних представляет собой интеграл по шару, деленный на объем шара, например, в 1 он имеет поря-док р , а разность между интегралами по шару, не превосходит площади сферы, умноженной на \х\ — #2І(в JE?2 с точностью до постоянного множителя получим р\х\ — #2І). И поскольку величина \х\ — Х2І постоянна, то Р\Х1 Х2\ — 0, и разность между средними с центрами в различных точках стремится к нулю при увеличении радиуса. В пространстве Больяи-Лобачевского это утверждение перестает быть справедливым, так как в этом пространстве при р — оо порядок площади сферы и порядок объема соответствующего шара совпадают. Имеет место следующая теорема Теорема 3.3. Существует такая функция fix,у), что в некото-рых точках (жі, у\) и (х2, уг) существуют lira u{t, х\,у\) и lim u(t, хч, уг), причем lim u(t, x\,yi) ф lim u(t,Х2, уч) Доказательство. В интерпретации Пуанкаре плоскости Лобачевского рассмотрим круги лежащие в верхней полуплоскости, с центрами на оси ординат, то есть в точках (0,2/о) для любого уо 0. Из представления (2.14) главы I следует, что среднее начальной функции по такому кругу достаточно большого радиуса р (для которого shkp -М будет иметь следующий видI (tot/ Таким образом 1гтВ(р, 0,у0) = ІЦПІі(р,Уо) Для того чтобы вычислить интеграл I\, произведем под знаком этого интеграла следующую замену:
