Введение к работе
Актуальность темы. Во второй половине 40-ых годов XX века в СССР и США интенсивно занимались изучением процессов возникающих при взрыве бомбы В частности большое внимание было уделено изучению начально-краевых задач для уравнения типа закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью (здесь и везде в дальнейшем х - скалярная переменная, у - скалярная функция)
2 - (1)
dy^df(y)^J2v(y)
8t дх дх?
где ev'(y)>0, f(y), v(y) - достаточно гладкие функции В последующие полвека было обнаружено, что начальная задача Коши (далее з К ) для уравнения (1) возникает также в макроскопической теории транспортных потоков, при моделировании конвекционного течения жидкости в пористой среде, при изучении устойчивых монотонных разностных аппроксимаций квазилинейных уравнений типа закона сохранения, в математической экономике при моделировании научно-технического прогресса (модель Полтеровича - Хенкина)
В конце 50-ых годов ИМ Гельфанд поставил задачу найти асимптотику при t -»оо решения y(t, х) уравнения (1) при следующих начальных условиях
У., х<х_
у(0,х) = -уй(х), хе[х_,х+), (2)
Л» *-*+
где х_ < х+, у_^у+ и у0(х) - ограниченная измеримая функция при хе[х,,х+]
Интерес к этой задачи был вызван, в первую очередь, качественными вопросами газовой динамики Также решение задачи Гельфанда дает ответы на следующие вопросы как распространяется информация о заторе в транспортном потоке, описываемом моделью Лайтхилла - Уизема, как объяснить наличие нескольких укладов в экономике отрасли, описываемой моделью Полтеровича - Хенкина и ее обобщениями
В 1960 году AM Ильин и О А Олейник исследовали случай сходимости решений к бегущей волне (решению уравнения (1) вида y(x-ct)) или волне разрежения (решению уравнения (1) с = 0+ вида g(x/t)) Спустя 30 лет HF Weinberger изучал асимптотику вида системы бегущих волн и волн разрежения Ему удалось показать сходимость решений к этой системе волн на участках, соответствующих асимптотическому поведению "волна разрежения" Спустя еще почти 10 лет В М Полтерович и Г М Хенкин выдвинули гипотезу, согласно которой при определенных условиях асимптотика имеет вид чередующейся
системы бегущих волн и волн разрежения, при этом следует допускать зависимость сдвигов фаз бегущих волн от времени В 2004 году Г М Хенкин и А А Шананин доказали справедливость этой гипотезы в важном частном случае, когда асимптотика имеет вид бегущей волны - волны разрежения - бегущей волны В 2007 году Г М Хенкин полностью доказал сформулированную ранее гипотезу. Заметим, что в гипотезе рассматривалась конкретная вязкость При этом на функцию потока f(y) налагались условия, которые исключают возможность наличия в системе волн двух и более бегущих волн, идущих подряд Также на вторую производную функции потока налагались дополнительные требования в окрестностях точек, соответствующих переходу с бегущей волны на волну разрежения и наоборот
В последние годы наметилась тенденция другого подхода к решению задачи Гельфанда Этот подход восходит к пионерской работе А Н Колмогорова, И Г Петровского, Н С Пискунова (1937) (далее КПП), в которой изучалась сходимость решений начальной з К для уравнения теплопроводности с нелинейным источником к одной бегущей волне Результаты этой работы в 1977 году были распространены Р С Fife'oM и J В McLeod'oM на систему волн, состоящую для этого уравнения только из бегущих волн В работе М Mejai, Vit Volpert'a (1999) подход работы КПП был адаптирован к исследованию задачи Гельфанда В 2006 году S Engelberg и S Schochet с помощью "адаптированного" подхода исследовали случай сходимости решений к бегущей волне Возникла задача, подобная той, которую решили Р С Fife и J В McLeod для уравнения теплопроводности с нелинейным источником с помощью "адаптированного" подхода исследовать сходимость решений начальной з К для уравнения (1) к системе волн Актуальность решения этой задачи обусловлена, как минимум, двумя обстоятельствами Во-первых, новый подход может дать новые результаты в решении задачи Гельфанда В частности ответить на вопрос, как взаимодействуют две и более бегущие волны, идущие подряд Во-вторых, появляется возможность единообразно посмотреть на задачи исследования асимптотического поведения решений начальных з К для уравнения теплопроводности с нелинейным источником и для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью Таким образом, появляется гипотеза о достаточной универсальности подхода работы КПП
Цель работы. Основной целью диссертационной работы является распространение результатов Р С Fife'a и J В McLeod'a, касающихся сходимости решений начальной з К для уравнения теплопроводности с нелинейным источником к системе волн, на закон сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью
Общая методика исследования. В диссертации широко используются различные обобщения известного из теории параболических уравнений принципа максимума (особо отметим принцип сравнения и принцип сравнения на фазовой плоскости) и неравенства Колмогоровского типа между нормами производных
В диссертационной работе предложен способ разбиения, в зависимости от времени, действительной оси, отвечающей пространственной переменной Разбиение делается на три типа участков, соответствующих предполагаемому поведению решений на больших временах 1) бегущая волна, 2) волна разрежения, 3) переход с одной бегущей волны на другую, переход с бегущей волны на волну разрежения, переход с волны разрежения на бегущую волну и окрестности ТОЧек X = ±00
При доказательстве равномерной по координате сходимости по времени решений начальной з К для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью на участках, соответствующих бегущим волнам, используется конструкция, предложенная S Engelberg'oM и S Schochet'oM, базирующаяся на результатах М Mejai, Vit Volpert'a
Для доказательства равномерной по координате сходимости по времени решений начальной з К для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью на участках, соответствующих волнам разрежения, уточняются результаты Н F Wemberger'a
Сходимость на оставшихся участках выводится из уже установленных схо-димостей.
Научная новизна. Сходимость к одной бегущей волне в норме ,(11^) изучалась в диссертационной работе при предположении, что вязкость имеет нелинейный дивергентный вид Удалось обобщить результаты Н Freistuhler'a и D Serre'a (1998), полученные при условии, что вязкость линейна
Был предложен новый подход к исследованию задачи Гельфанда, который не требует тонкого анализа поведения решений на участках, соответствующих переходам с одной волны на другую С помощью этого подхода была доказана сходимость решений к системе волн в норме С(ШХ) при более общих условиях на функцию потока и на начальную функцию, чем в работах Г М Хенкина (часть из которых была выполнена в соавторстве с А А Шананиным и А Е Тумановым), правда, с менее точными оценками В частности в диссертации было исследовано взаимодействие двух и более бегущих волн, идущих подряд Было обнаружено, что, в отличие от закона сохранения (см С Н Кружков, Н С Пет-росян (1987)), у закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью расстояние между центрами соседних бегущих волн неограниченно возрастает
Важным отличием предложенного в диссертации подхода от подхода Г М. Хенкина является способ определения сдвигов фаз бегущих волн В 2004 году Г М Хенкиным и А А Шананиным было предложено определять сдвиги фаз из открытых ими "локализованных законов сохранения" В диссертационной работе для случая, когда асимптотика имеет вид системы волн, показано, что сдвиги фаз можно определять аналогично тому, как это было сделано в работе КПП
Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер При наиболее общих предположениях была решена задача Гельфанда.
Использовавшаяся в диссертации схема рассуждений даёт основание полагать, что подход работы КПП можно применять для широкого класса нелинейных уравнений параболического типа и их дифференциально-разностных аналогов
Полученные в диссертации результаты можно использовать, например, для качественного объяснения наличия нескольких укладов в экономике отрасли, описываемой моделью Полтеровича- Хенкина с учетом выбытия мощностей
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ
Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах ВЦ РАН по нелинейным волнам под руководством проф А А Шананина (2004 - 2006 гг ), на семинаре ВЦ РАН под руководством доц С П Тарасова (2006 г ), на семинаре кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ (2006 г), на семинаре им. ИГ Петровского (май 2007 г), на конференциях МФТИ (ноябрь 2004 г, ноябрь 2005 г), на 1-ой международной конференции САИТ-2005 (сентябрь 2005 г), на 5-ой международной конференции по исследованию операций, посвященной 90-летию Н Н Моисеева (апрель 2007 г ), на научной конференции ЭКОМОД-2007, посвященной 90-летию Н Н Моисеева (июль 2007 г )
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав,
четырех приложений и списка литературы Общий объем работы составляет
страниц, включая список литературы из наименований
