Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Асимптотическое разложение решения задачи Коши сингулярно возмущенных систем вблизи интегрального многообразия на асимптотически больших отрезках времени 21
1.1. Постановка задачи. Вспомогательные утверждения 21
1.2. Алгоритм асимптотического разложения решения задачи Коши (1.1)-(1.2) на промежутке
1.3. Обоснование асимптотического характера формальных разложений (1.6) 39
1.4. О движении твердого тела с демпфером 55
1.5. Еще один способ построения асимптотического разложения решения задачи Коши для сингулярно возмущенных уравнений гироскопического типа на больших отрезках времени 61
Глава 2. Асимптотическое разложение решения задачи Коши для сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений гироскопического типа с периодическими коэффициентами на больших отрезках времени 75
2.1. Постановка задачи 75
2.2. Вспомогательные предложения 76
2.3. Алгоритм асимптотического разложения решения задачи Коши (2.2)-(2.3) по степеням 8I
2.4. Оценка остаточного члена 107
2.5. О движении Земли вокруг центра масс 123
Глава 3. Асимптотическое решение задачи Коши для некоторых систем дифференциальных уравнении, содержащих быстрые и медленные переменные 131
3.1. Асимптотика решения линейной задачи 131
3.2. Обоснование алгоритма асимптотического разложения решения задачи Коши (3.1)-(3.4) 139
3.3. Замечание о нелинейной задаче 144
Литература
- Алгоритм асимптотического разложения решения задачи Коши (1.1)-(1.2) на промежутке
- Еще один способ построения асимптотического разложения решения задачи Коши для сингулярно возмущенных уравнений гироскопического типа на больших отрезках времени
- Алгоритм асимптотического разложения решения задачи Коши (2.2)-(2.3) по степеням
- Обоснование алгоритма асимптотического разложения решения задачи Коши (3.1)-(3.4)
Введение к работе
Внимание математиков к проблемам теории сингулярно возмущенных уравнений было привлечено в конце сороковых годов известными работами А.Н.Тихонова / I, 2 /. Хорошо известно, что уравнения такого типа возникают в теории нелинейных колебаний, теории гироскопических систем, теории автоматического регулирования и др. Асимптотические методы анализа сингулярно возмущенных уравнений требуются как для аналитического исследования свойств их решений, так и для последующего численного интегрирования.
Предлагаемая диссертация в основном посвящена асимптотическому интегрированию задачи Коши для некоторых классов сингулярно возмущенных систем на "больших" отрезках времени.
Для нелинейных сингулярно возмущенных систем неколебательного типа наиболее развитым является метод погранфтнкций А.Б.Васильевой, впервые изложенный в / 3 /. Результаты исследования этим методом широкого круга задач обобщены в монографиях А.Б.Васильевой и В.Ф.Бутузова /4, 5 /. Построение погранслойной асимптотики решения нелинейной сингулярно возмущенной задачи Коши проводится в основном в тех же предположениях, что и в теореме А.Н.Тихонова.
Рассматривается задача Коши вида
Z(0,ju)*Z, i(.f)"t'. О-2)
Одним из условий применимости метода погранфтнкций к задаче Коши (0.1), (0.2) является выполнение следующего требования: все собственные значения Л[(і) матрицы $2 (i) = J2 (.2, Ц, ъ) , вы-
численной на решении вырожденной задачи
$(S,4,t)-o, &.f(s,4.t). Що)-«/'
должны при всех удовлетворять неравенству (/ 4 /, гл.З).
Если теорема А.Н.Тихонова и метод погран^ункций предполагают неколебательный характер решения, то метод регуляризации С.А. Ломова / 6 / позволяет не разделяя рассматривать колебательный и неколебательный случаи. Схема метода регуляризации на примере слабо нелинейной сингулярно возмущенной задачи имеет следующий вид (/ 6 /, гл.УП, I).
Рассматривается задача Коши
ъг'-АШ+ъ?иь) + $Ю, л(о,ъ)*г. (0.3)
Здесь 2 - 1Ъ -мерный вектор, Л (і) - П*П - матрица, 3-(2,1) 9 Q(t)- tb -мерные вектор-пункции. Регуляризованная асимптотика задачи (0.3) строится при следующих предположениях. Собственные числа комплексной матрицы Л({) удовлетворяют при каждом
UPJ]
условиям: a) li(i)*Jj(i), i*j-
6) ReAiW'O, Лі(і)*0, i*Ui.
Предполагается, что спектр матрицы Л Сі) является резонансным, т.е. существуют такие целочисленные векторы tns(ffii,...j т.п.) с //ті/- m/77/1 ^ 3 » что имеют место тождества
в) (т,М$)*гп4*<Ю+- + Пп.ЛпШ * Лі. (і)
для всех
te[0,T]
при некоторых U б і При выполнении ряда дополнительных предположений регуляризо-ванное асимптотическое решение задачи Коши (0.3) строится следующий образом. Вместо (0.3) рассматривается задача
іу'хАШу ^%f(ij,t)-tft), у(о,г)=у, (0.4)
где f(t) = - Jtr'(i)}U), Z = fU) t у, {(у, t) m
. Регуляризирущие функции вводятся по формулам
Рассматривается такая функция ц(Ь^ t) , что Н^^Щас^ТСЬ-і) 5 y^,t) , где yCtjt) - точное решение задачи (0.4), X=(Xi,'...,X-n) , У=(Щ,...,Гл) . Для функции Щ,х.,%) ставится задача
y(0,0,t) = f (0.5)
д д
Здесь Д.-Я/СО Ъх + % " п^ 'дХп' Решение задачи (0.5) определяется в виде формального ряда ЦОЬ^ъ) = 2І & J/^Gv2.). Далее вводятся классы функций, в которых устанавливается разрешимость итерационных задач. Круг задач, решаемых методом регуляризации, достаточно широк. Этим методом проводится, во-первых, асимптотическое интегрирование задачи Коши для сингулярно возмущенных линейных и нелинейных систем, содержащих только быстрые переменные, на конечном отрезке времени (/ 6 /, ч.І, гл.2, 7). Метод регуляризации применительно к таким системам изложен также в многочисленных работах С.А.Ломова / 7-ІІ /, С.А.Ломова и В.Ф. Сафонова / 12 /, В. Ф. Сафонова / 13-17 /. Обобщение метода регуляризации на некоторые нелинейные системы с быстрыми и медленными переменными проведено в работах А.И.Кобрина и Ю.Г.Мартыненко / 18 / и В.Ф.Сафонова / 19 /. Метод регуляризации для интегрирования сингулярно возмущенных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами изложен в / 6, ч.І, гл.5 /, а также в работах А.Д. Рыжих / 20-22 /.
Различным аспектам приближенного интегрирования сингулярно возмущенных уравнений посвящены книги Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Мит-ропольского / 23 /, В.Базова / 24 /, М.Ван-Дайка / 25 /, Ю.А. Митропольского / 26 /, Н.Н.Моисеева / 27 /, А.Х.Найфе / 28 /, С.Ф.Фещенко, Н.Й.Шкиля и Л.Д.Николенко / 29 / и др.
Названные исследования в области сингулярно возмущенных уравнений имеют не только самостоятельную теоретическую ценность, но и многочисленные приложения. Не перечисляя всего спектра прикладных задач, в которых успешно применяются метод погран-сїункцйй А.Б.Васильевой и метод регуляризации С.А.Ломова, остановимся наиболее подробно на задачах, возникающих в механике твердого тела, и, в частности, в теории гироскопических систем. Всюду в дальнейшем под гироскопическими системами мы будем понимать системы, в которых имеет место гироскопический эффект. Как правило, появление этого эффекта связано с присутствием в системе нескольких вращательных движений, таких что частота одного из них на несколько порядков выше остальных частот. Актуальность применения асимптотических методов в таких задачах подтверждают многочисленные работы. В работе / 30 / И.В.Новожилов изучил условия, при которых метод погранфункций применим к решению задачи о движении гироскопа в кардановом подвесе. Этому же вопросу посвящена работа А.И.Кобрина, Ю.Г.Мартыненко, И.В.Новожилова / 31 /. В статье / 32 /, а также в упоминавшейся уже работе / 18 /, А.И.Кобрин и Ю.Г.Мартыненко развивают метод регуляризации для асимптотического интегрирования уравнений движения гироскопа в кардановом подвесе. В статье Ф.ЛЛерноусько и А.С.Шалаева / 33 / возможности метода погранфункций демонстрируются на примере задачи динамики твердого тела с упругими и диссипативны-ми элементами.
Во всех перечисленных работах асимптотика задачи Коши для
сингулярно возмущенного уравнения строится на конечном отрезке времени.
Другой подход к аналитическому исследованию уравнений гироскопических систем предлагается в монографии В.И.Зубова / 34, гл.Ш, ІУ /. Уравнения движения гироскопической системы рассматриваются в векторно-матричной записи вида
AX+MiX+AtX-Zfai^ifw+P (0.6)
Здесь її - большой положительный параметр, который в ряде случаев можно рассматривать как кинетический момент быстро вращающихся роторов, входящих в состав гироскопической системы. Л0,Аі . Л% - вещественные постоянные tl*Yl -матрицы, А - вектор (oCi,.^}Xn), Предполагается, что функции f$ , fsi *fsij (координаты соответственно вектор-функций J , fl , fij ) являются голоморфными в окрестности точки 2^ = *-... -Х^-0, При этом разложения функции \$, в ряды начинаются членами не ниже второго порядка относительно X-t, ...,Хп Разложения функции f$ начинаются членами не ниже первого порядка относительно хі,..., Хп . Разложения функции fsij могут начинаться со свободных членов относительно величин Хі,...}Хп . Пусть требуется построить решение системы (0.6), удовлетворяющее заданным начальным условиям
Х=Хо, Х=ХаЩ>и t = 0. (0.7)
Через Л /0,..., А по обозначаются корни уравнения
через LLio,. ..jVno - корни уравнения
В предположениях, что
I) Rtlj, <0, Re/ija<0, jHn.
2) не существует целых неотрицательных чисел ті , Пі
п п
(i=1,n), ZLmibZ ,21 Пі>, , таких что
1-1 І-1
п п
гщ Ліо sho , Z rii/ііо =fjo
по крайней мере для одного і ;
3) величины Х;0 и величины Шо различны (jsi^J-
доказано, что задача Коши (0.6), (0.7) имеет решение вида
Х~ 2^ I , где У - однородные формы степени т относи-т-1
тельно Ям, '--j^no, Х-10,'.-, %-rio . Коэффициенты этих форм являются рядами, расположенными по степеням затухающих при 1^0 экспонент. В свою очередь, коэффициенты этих рядов являются функциями,голоморфными относительно U*yfi в окрестности точки
oL = 0 .
Предложенный В.И.Зубовым способ интегрирования задачи (0,6), (0.7) (которая становится сингулярно возмущенной после очевидных преобразований) приводит к построению сходящихся функциональных рядов по степеням U~ т при всех ь >s 0 , если начальные значения &W, '-'y&no ,^10,---,^00 достаточно малы по абсолютной величине.
Однако, применение этого способа встречает определенные трудности. Они связаны прежде всего с тем, что наиболее распространенные уравнения движения гироскопической системы в нелинейной постановке / 35-38 / не удовлетворяют, вообще говоря, условиям I) и 2).
Прежде чем сформулировать полученные в диссертации результаты, остановимся на работах, посвященных асимптотическому интегрированию сингулярно возмущенных нелинейных дифференциальных уравнений на асимптотически больших и бесконечных отрезках времени. В обширной литературе по теории сингулярно возмущенных уравнений этому вопросу посвящено небольшое число работ. Асимптотика реше-
ния задачи Коши для тихоновских систем при дополнительных ограничениях на них построена в работах А.Б.Васильевой / 39 / и В.Ф. Бутузова / 40 / на полубесконечном промежутке времени. Практически в тех же предположениях это сделано в работах Ф.С.Хоппен-стедта /41, 42 /. На асимптотически больших отрезках времени систему гироскопического типа после перехода к быстрому времени S= 1% можно приближенно интегрировать методом усреднения по схеме В.М.Волосова /43, 44 / в случае малых начальных скоростей. Этот подход нашел отражение в работах М.Б.Балачандра и П.Р.Сетна / 45, 46 /. Однако, как отмечают авторы в / 45 /, схема Волосова метода усреднения дает в этом случае результат для систем гироскопического типа на промежутке і G L 0, '/ tj , если демпфирование осуществляется по нелинейному закону. В то же время, именно случай линейного демпфирования представляет практический интерес, так как в большинстве механических систем влияние вязкого трения моделируется членами, линейными по обобщенным скоростям / 37 /.
В некоторых работах /47, 48 / на асимптотически больших отрезках времени интегрируются системы вида
8і = v(t,х,ц,2), /tто* L, = faц,Ф'.
Решение такой системы предлагается определять в виде
Ktt) -su,ї) + пїс*.*;, о-ь~*
При этом составляющие /7 ft}/ решения вычисляются в соответствии с методом пограничных функций /3, 4 /, а компонента решения 4 отыскивается при помощи метода усреднения.
Значительное число работ посвящено изучению сингулярно возмущенных систем с периодическими коэффициентами. Л.Флэтто и Н.Ле-
винсон / 49 / рассматривали систему уравнений
%У/= №>Х>ЧЛ)і (0.8)
правая часть которой Т -периодически зависит от Т . Предпола
гая, что соответствующая (0.8) вырожденная система имеет ненуле
вое Т -периодическое решение (Т) , jL(X) , авторы получили
достаточные условия существования у системы (0.8) 7" -периодичес
кого решения Х*(Т,2), У*(%%), такого что \х*(%Ъ)-"бСс)1+1уХт$-
- fift)! ~* 0 при -+0 . Одним из главных предположений,
сделанных авторами / 49 /, является предположение о том, что собственные значения матрицы ( уди)(Т, '9СХ)> />Сф) имеют ненулевые вещественные части. Как уже отмечалось, уравнения движения гироскопических систем, как правило, таковы, что условия таких теорем, как теоремы А.Б.Васильевой и Л.Флэтто, Н.Девинсона, не выполняются. В аналогичных предположениях рассматривались сингулярно возмущенные системы уравнений с периодическими коэффициентами в работе / 24 /. В статье / 50 / Ю.А.Коняев рассматривает системы вида
с периодическими коэффициентами. Доказательство существования периодического решения, а также представление его в виде асимптотического ряда по степеням проводится в этой работе в условиях, допускающих существование чисто мнимых собственных значений у матрицы Ло(Ь) В аналогичных предположениях в / 50 / изучается нелинейная задача
eft к=0
Работы / 51-53 / посвящены вопросу существования периодических решений у линейных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений.
В статье / 54 / автор изучает сингулярно возмущенные уравнения гироскопического типа. При этом предполагается, что "правые части" уравнений периодически зависят от медленного времени f~^/H . Физически это предположение означает, что обобщенные силы медленно меняются по отношению к реальному времени t . В естественных предположениях доказывается существование у системы периодического решения, если вырожденное уравнение имеет ненулевое Т -периодическое решение (всюду термин "периодическая зависимость" относится к медленному времени Т ).
Предлагаемая работа состоит из трех глав.
Первая глава посвящена асимптотическому интегрированию систем гироскопического типа /37, 45 /
Л + [н<хй+ші % - ім + f(*, ;, (0Л0)
где rlG&)- матрица гироскопических сил, зависящая от большого параметра /7 , &(эс) - симметрическая положительно определенная матрица, характеризующая диссипативные силы, 10(х), 1(х ^-Й) -слагаемые, характеризующие потенциальные и другие силы системы,
причем {(ж, jStJ имеет порядок не ниже второго по координа-
doc там ~^ . В главе I система (0.10) рассматривается в виде
di '
ъ вЛ-LG(x)+ъь(р01цi- &Zfs(x)[yJs соді)
UX. оЄ/о
Здесь X , и - h -мерные векторы, ё- 77 , S - множество таких Ті -мерных целочисленных векторов с неотрицательными координатами S; , что /sj- /-/-... * Sn < No} I&1 * і. . Задача
ІЗ Коши для (О.ІІ) ставится в виде
Х(0,Ъ)=< у(0,Ъ)~Ър. (0.12)-
Такие начальные значения для обобщенных координат X и их скоростей у, являются в гироскопических системах естественными. Более того, "малость" порядка для переменной U в системах вида (0.11) следует ожидать, если учесть, что у системы вида (0.11) существует устойчивое интегральное многообразие медленных прецессионных движений вида у ~ п(х, Щ) = Ц- il hi (). / 55 /.
В отношении системы (0.11) делаются следующие предположения. Матрицы (), В (-ос) и вектор-пункции Ps(ol) (s S) предполагаются бесконечно дифференцируемыми и равномерно ограниченными вместе со всеми производными в некоторой области ficfl . Вещественная матрица Gfe) является кососимметрической невырожденной матрицей при всех ХЄ& . Предполагается, кроме того, что все собственные значения Qj(x) матрицы Gw попарно различны в области $ . Так как спектр невырожденной вещественной кососимметрической матрицы состоит из попарно сопряженных чисто мнимых собственных значений / 56 /, то существует бесчисленное множество наборов целых неотрицательных чисел {рь--'>рп} , для которых выполняется резонансное соотношение вида
для некоторого к, і - & ^ Я- . В главе I этот вопрос будет рассмотрен подробно.
Далее, предполагается, что матрица В(х) является диагональной, причем все элементы ее главной диагонали &;(х)>0 при ХЄ& . Это соответствует случаю, когда в гироскопической системе имеет место полная диссипация.
В процессе построения асимптотики рассматривается нелинейная
14 задача Коши
dt v(o) -*L
которая, по предположению, имеет решение Vi.f) при всех
целиком принадлежащее области # . Эти условия являются основны
ми. При их выполнении удается построить формальное асимптотичес
кое разложение решения задачи Коши (О.П), (0.12) в виде
N К, и HSk>
Xr, = Z.*kz*Cf) +* и*№Ъ&Ю,
Н(ы) - ^- * fa * 2: vtf?)0у&*)] (о.із)
равномерно пригодное на отрезке і с LOt /tj, где XK , k = 0tN ,
ijK , к«їїї , un(V , V=4 v„a;, У},* , p* fjtfk) - n -
-мерные гладкие вектор-функции T= Ъъ ; ^y>fc(% t) $ ^fk(^i Щ) -скалярные функции і и ё , которые либо затухают по экспоненте, либо, затухая по экспоненте, быстро осциллируют. При этом 1^, 'Quk удовлетворяют оценкам вида / ^^ %)\ С елр (-yt), /*Ц6И)/ - СіхрС-УІ) для некоторых С>0 и )f>0 , равномерно по Ъ Є (0І &о] , і / #fj , * ІП . В 3 главы I доказывается асимптотический характер полученного формального разложения (0.13). Таким образом, для систем вида (0.11) в предположениях главы I удается провести полное разделение движений в системе на медленно меняющееся (прецессионное), которому в формулах (0.13) отвечают слагаемые &к(?) , УкС?) и приближающееся к нему по экспоненте нутационное, которому в (0.13) соответствуют последние слагаемые.
Результаты, относящиеся к построению асимптотического разложения решения задачи Коши (0.11), (0.12), на отрезке і є ft%J
опубликованы в работе / 57 /.
В 4 главы I рассмотрен пример, иллюстрирующий возможности предложенного алгоритма. Изучается задача о движении системы, состоящей из твердого тела со сферической полостью, в которой находится другое твердое тело сферической формы. В узком зазоре между сферой и стенками действуют вязкие силы. Такая модель была предложена М.А.Лаврентьевым / 58 / для описания движения твердого тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью, и исследована Ф.Л. Черноусько / 59 / с точки зрения устойчивости перманентных вращений описанной системы тел. В предлагаемой диссертации построены первые члены асимптотики решения уравнений, описывающего движение в окрестности стационарного режима. По этим членам можно судить о характере стремления решения к устойчивому положению равновесия.
5 главы I посвящен еще одному способу построения асимптотики решения задачи Коши (0.11), (0.12). Этот способ связан с введением новых независимых переменных. При этом на каждом шаге для определения коэффициентов разложения решения по степеням % возникают уравнения, часть которых является уравнениями в частных производных. В сделанных предположениях устанавливается разрешимость этих уравнений в некоторых классах ^гнкций. Коэффициенты при различных степенях g построенной таким образом асимптотики являются в свою очередь многочленами по степеням этих переменных. Материал 1.5 изложен в работе / 60 /.
Вторая глава предлагаемой диссертации посвящена асимптотическому интегрированию задачи Коши для системы вида
гп-н
с/ «Єо
на промежутке і е. [о, tyt»] ,it>0 , при m-i . Случай произвольного т.* і изложен в работе / 61 /. Уравнения вида (0.14) возникают, например, в теории гироскопических систем на
подвижных основаниях. Здесь вектор-функции р(%,) и Ps&fi) (seS) предполагаются Г -периодическими по і при всех XG В с R При т*1 система уравнений (0.14) записывается в виде
Cli 7
ъ* % .-№+t'BU]y+*f(*,4)+ t'lljbhiXy]3, (0Л5)
где > =Н . Задача Коши для (0.15) ставится в виде
а*< у(., *)- */> (Оле)
Относительно коэффициентов дифференциального уравнения (0.15) делаются в основном те же предположения, что и в главе I. Однако, построение разложения решения задачи Коши (0.15), (0.16) и обоснование асимптотического характера построенного формального разложения решения имеет ряд особенностей.
Отметим, что в данной главе изучается вопрос существования ограниченного при всех с и > /<&] решения задачи Коши (0.15), (0.16). Это решение, вообще говоря, периодическим по t не является. А именно, асимптотическое разложение решения задачи Коши (0.15)-(0.16) строится в виде .,_
N и /Uo(k) N (0.17)
%> - if f> а ю + % v a, у >а *),
где Xfr , ук , Щі* , Vjtb являются 7" -периодическими функциями t и гладкими функциями Г и ^=&t при всех значениях индексов
к , V , fJ . функции fykCt^T&'&jLfK (42у имеют более сложный, чем в главе I, вид, но удовлетворяют тем же оценкам.
При определении коэффициентов разложений (0.17) возникают уравнения вида
ф) + 8jO!t> = CLtt,i) Р + t>tt,-f), (0.18)
c/I Vt '
где -периодические функции t и гладкие
функции ? . Эти уравнения исследуются способом, предложенным В.В.Стрыгиным. Этот способ имеет много общего с тем, которым обычно пользуются при определении коэффициентов асимптотических разложений в методе усреднения /23, 44 /. А именно, через Мі(й(^)} обозначается среднее значение Т -периодической функции CL(tj) за период Т .
Уравнение (0.18) перепишем в виде
dp(f) + 8z(W „ [a(i$-Mt{a(t,t)}]p(f)+ [UKt)--МііШ}] + MtfattVjpV + Mt {иЩ.
Будем теперь определять функцию р(У)из уравнения
& = Mt faCWjpW * М ШЩ
elf L
(начальное условие для p(f) задается), а 2(,?) из уравнения
д1М=[аа,Г) -Mt{aa,V}Jp(f) і- 6(it)-Mt {6 (tj)}
Последнее уравнение имеет Т -периодическое по t решение, кото
рое определяется с точностью до произвольного слагаемого, завися
щего только от переменной *f . Определенные трудности возникли
при обосновании асимптотического характера формальных разложений
(0.17). При этом было построено асимптотическое разложение реше
ния линейной сингулярно возмущенной системы уравнений с быстро
осциллирующими коэффициентами, что дало возможность получить не
обходимые оценки на фундаментальную матрицу этой системы. Заме
тим, наконец, что если в задаче Коши (0.14) отсутствует "большой"
параметр Н в правой части дифференциального уравнения, то
ее можно проинтегрировать способом, изложенным в главе I, с небольшими изменениями на промежутке le[0,i,H].
В заключение в главе 2 приводится исследование задачи о движении Земли вокруг центра масс, выполненное совместно с В.В.Стры-гиным и й.В.Гриневич.
В третьей главе диссертации рассматривается один способ асимптотического интегрирования задачи Коши для квазилинейной сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений на конечном отрезке времени. Вначале рассматривается линейная задача Коши вида
ъ<Ш*ЬоШц + В<Ш* +t*&) (0Л9)
^ = мо&+ Юі &x+*>*(ty+h3 ao
оЦ.о,%)^ у(о,*)*Ь *Со,г)-#.
Кроме естественных предположений о гладкости коэффициентов дифференциальных уравнений, на матрицы ЛоШ и Во Сі) накладываются следующие требования:
а) все собственные значения А[(1) матрицы «Л*появляются
чисто мнимыми, отличны от нуля и различны при всех і в [0,Т] ;
б) все собственные значения матрицы BoCV находятся при всех
I є [о, Т] в левой полуплоскости.
Асимптотика решения задачи Коши (0.19) в сделанных предположениях имеет вид
Лад - Ъ&) + Uc (t t) + ^Ші) * Uk а, *) * fk (Г))
ы *,
г со - &ft; + &*(зм + brk(it t) + $* (тф
где ССК(І), уК($ , 2к() - гладкие функции teCoj] ; ик , Vk ,
ЪГк - быстро осциллирующие и равномерно ограниченные при всех ie[0j] и fce(0,S.J функции; %(Х) , %(Х) ,&С0- ^^нкции ТГ^^е типа погранслоя, k*0 .
Аналогично строится асимптотика решения задачи Коши
t &=л&аэх * ha, у,*) t і на, я, у, it)
г<І.9(Ш+*Ш*.}/.2) (0.20)
Жо,ь)"-і, y(0,i)-fi, Z(Qt)*tf.
Здесь условия а), б), сформулированные для системы (G.I9), заменяются аналогичными условиями на матрицы A(tteLj и ^иС^Ц,^) > вычисленные на решении U , 3 вырожденной задачи
0« A(ltX)5L + h(i,
Изложенный в главе 3 алгоритм соединяет в себе характерные особенности двух методов - метода регуляризации и метода пограничных функций, что отвечает специфике задачи. Результаты главы 3 изложены в / 62 /.
Основные результаты, полученные в диссертации, сводятся к следующему:
I. Для автономных систем сингулярно возмущенных уравнений гироскопического типа построено асимптотическое разложение решения задачи Коши по степеням малого паршлетра вблизи интегрального многообразия медленных движений. Особенность предложенного алгоритма состоит в том, что полученное разложение решения является
равномерно пригодным на асимптотически больших отрезках времени.
Изучены системы сингулярно возмущенных уравнений гироскопического типа с периодическими коэффициентами. Доказано существование ограниченного на асимптотически больших отрезках времени решения задачи Коши для таких систем, которое, вообще говоря, периодическим не является. Построена асимптотика этого решения по степеням малого параметра.
Рассмотрена система, содержащая быстрые и медленные переменные, асимптотическое интегрирование которой как методом регуляризации, так и методом погранфункций, вообще говоря, не представляется возможным. Изучается задача Копій для такой системы на конечном отрезке времени и строится асимптотическое разложение ее решения, коэффициенты которого содержат как быстро осциллирующие функции, так и санкции типа погранслоя.
Результаты диссертации по мере их получения докладывались на Всесоюзной конференции по асимптотическим методам в теории сингулярно-возмущенных уравнений (Алма-Ата, 1979 г.), на семинаре кафедры математики физического факультета Московского государственного университета (1983 г., руководитель семинара - д.ф.-м.н., проф. А.Б.Васильева), на семинаре кафедры нелинейных колебаний Воронежского государственного университета (1984 г., руководитель семинара - д.ф.-м.н., проф. А.И.Перов).
В заключение выражаю искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору В.В. Стрыгину за постоянное внимание, плодотворное обсуждение результатов и ценные советы.
В данной работе применяется поглавная нумерация параграфов, формул, определений, лемм, теорем и замечаний. Первая цифра означает номер главы, остальные - номер соответствующего параграфа, формулы, определения, леммы, теоремы и замечания.
Алгоритм асимптотического разложения решения задачи Коши (1.1)-(1.2) на промежутке
Кроме естественных предположений о гладкости коэффициентов дифференциальных уравнений, на матрицы ЛоШ и Во Сі) накладываются следующие требования: а) все собственные значения А[(1) матрицы «Л появляются чисто мнимыми, отличны от нуля и различны при всех і в [0,Т] ; б) все собственные значения матрицы BoCV находятся при всех I є [о, Т] в левой полуплоскости. Асимптотика решения задачи Коши (0.19) в сделанных предположениях имеет вид Лад - Ъ&) + Uc (t t) + Ші) Uk а, ) fk (Г)) ы , г со - &ft; + & (зм + brk(it t) + $ (тф где ССК(І), уК($ , 2к() - гладкие функции teCoj] ; ик , Vk , ЪГк - быстро осциллирующие и равномерно ограниченные при всех ie[0j] и fce(0,S.J функции; %(Х) , %(Х) ,&С0- нкции ТГ е типа погранслоя, k 0 .
Аналогично строится асимптотика решения задачи Коши t &=л&аэх ha, у, ) t І на, я, у, it) г І.9(Ш+ Ш .}/.2) (0.20) Жо,ь)"-і, y(0,i)-fi, Z(Qt) tf. Здесь условия а), б), сформулированные для системы (G.I9), заменяются аналогичными условиями на матрицы A(tteLj и иС Ц, ) вычисленные на решении U , 3 вырожденной задачи 0« A(ltX)5L + h(i, j, Щ)
Изложенный в главе 3 алгоритм соединяет в себе характерные особенности двух методов - метода регуляризации и метода пограничных функций, что отвечает специфике задачи. Результаты главы 3 изложены .
Основные результаты, полученные в диссертации, сводятся к следующему:
I. Для автономных систем сингулярно возмущенных уравнений гироскопического типа построено асимптотическое разложение решения задачи Коши по степеням малого паршлетра вблизи интегрального многообразия медленных движений. Особенность предложенного алгоритма состоит в том, что полученное разложение решения является равномерно пригодным на асимптотически больших отрезках времени.
2. Изучены системы сингулярно возмущенных уравнений гироскопического типа с периодическими коэффициентами. Доказано существование ограниченного на асимптотически больших отрезках времени решения задачи Коши для таких систем, которое, вообще говоря, периодическим не является. Построена асимптотика этого решения по степеням малого параметра.
3. Рассмотрена система, содержащая быстрые и медленные переменные, асимптотическое интегрирование которой как методом регуляризации, так и методом погранфункций, вообще говоря, не представляется возможным. Изучается задача Копій для такой системы на конечном отрезке времени и строится асимптотическое разложение ее решения, коэффициенты которого содержат как быстро осциллирующие функции, так и санкции типа погранслоя.
Результаты диссертации по мере их получения докладывались на Всесоюзной конференции по асимптотическим методам в теории сингулярно-возмущенных уравнений (Алма-Ата, 1979 г.), на семинаре кафедры математики физического факультета Московского государственного университета (1983 г., руководитель семинара - д.ф.-м.н., проф. А.Б.Васильева), на семинаре кафедры нелинейных колебаний Воронежского государственного университета (1984 г., руководитель семинара - д.ф.-м.н., проф. А.И.Перов).
В заключение выражаю искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору В.В. Стрыгину за постоянное внимание, плодотворное обсуждение результатов и ценные советы.
В данной работе применяется поглавная нумерация параграфов, формул, определений, лемм, теорем и замечаний. Первая цифра означает номер главы, остальные - номер соответствующего параграфа, формулы, определения, леммы, теоремы и замечания.
Еще один способ построения асимптотического разложения решения задачи Коши для сингулярно возмущенных уравнений гироскопического типа на больших отрезках времени
Для простоты изложения уравнения (I.I) будет рассматривать в виде где матрицы Q и Ь являются постоянными. Так же, как в п.1.1, будем считать, что Q - вещественная кососимметрическая nxtz матрица, все собственные значения которой iXj , j отличны от нуля и попарно различны. Через И будем обозначать постоян ную матрицу, приводящую Q- к диагональной форме Д?- ( іАі, і U, . ..} і Xtt) , где }І = -Xz,..., п-і =- /і. Через 2с будем обозначать вектор-столбец с координатами «2; - &хр (-іЛ; і/ш) , = /рП- . Далее, пусть все элементы Ь: диагональной матрицы положительны. Тогда, как доказано в лемме І.І, все ненулевые элементы tf: матрицы положительны. Введем переменные /?; по формулам
Диагональную матрицу с переменными Ц: на главной диагонали будем обозначать через Л(у) . Пусть среди чисел Qj есть /2f , І Пч П различных, которые будем обозначать через Оі , і - fl-i (здесь порядок присвоения индексов значения не имеет). Тогда среди переменных fjt , ..., / есть п1 линейно независимых, которые мы обозначим rff » » {щ ( у/ s иР ( &/к) у j = &l ). Под 17 будем понимать вектор = ( Л п ).
Далее, будем считать, что выполняется условие 1.4, т.е. резонансные соотношения Sf2j+ ... -+ Sn n - Ли для некоторого 10 выполняются только для векторов (S1l..,Sn) 5 :=0 Рък . Через Р » как и в п.1.2, будем обозначать множество таких ТІ -мерных векторов с целочисленными неотрицательными координатами, что
Через 3р при всех /7 обозначим скалярную функцию ,= /2cJ. Зафиксируем число N 0 . Асимптотику решения задачи Коши (1.72) - (1.2) будем искать в виде
Здесь f-"5"u , % % ,LJ к - п -мерные вектор-функции e[oj}; А/с ft У ) » УК&ЧУ - пхп- - матрицы, элементы которых являются функциями ФХІж Ч 9&. . [і;о[ - ІЇ [ . Через ХНо , Чкр » 1 » обозначены /1 -мерные вектор-функции тех же переменных при всех kz l , f =-Pz . Обозначим через & /-мерный вектор, состоящий из единиц, Ь&Щ . Чтобы выражения (1.73) удовлетворяли условиям (1.2), будем требовать, чтобы выполнялись равенства
Прежде чем изложить алгоритм определения коэффициентов разложений (1.73), введем следующие обозначения. Заметим, что, формально приравнивая в равенствах (I.8I), (1.82) коэффициенты при одинаковых степенях из классов 0-3, будем получать либо алгебраические (А), либо дифференциальные (Д) уравнения относительно искомых функций и матриц. Нижние индексы X или V будут указывать на то, что данное уравнение возникло при рассмотрении соотношения (I.8I) или (1.82) соответственно. Далее, верхний индекс будет обозначать номер класса, которому принадлежат эти коэффициенты. Наконец, в скобках будем указывать их порядок по . Так, запись Ах(&/ означает, что рассматривается алгебраическое уравнение, которое получается, если в соотношении (I.8I) приравнять члены порядка 0{ё J, принадлежащие классу "2". Символом Д-Д (tj будем обозначать уравнения, которые получаются, если в (1.82) приравнять коэффициенты при Ъ из класса I. Это уравнение, как будет показано, при А 3 распадается на два уравнения, одно из которых является алгебраическим, другое - дифференциальным.
Прежде чем изложить алгоритм определения коэффициентов разложений (1.73), введем следующие обозначения. Заметим, что, формально приравнивая в равенствах (I.8I), (1.82) коэффициенты при одинаковых степенях из классов 0-3, будем получать либо алгебраические (А), либо дифференциальные (Д) уравнения относительно искомых функций и матриц. Нижние индексы X или V будут указывать на то, что данное уравнение возникло при рассмотрении соотношения (I.8I) или (1.82) соответственно. Далее, верхний индекс будет обозначать номер класса, которому принадлежат эти коэффициенты. Наконец, в скобках будем указывать их порядок по . Так, запись Ах(&/ означает, что рассматривается алгебраическое уравнение, которое получается, если в соотношении (I.8I) приравнять члены порядка 0{ё J, принадлежащие классу "2". Символом Д-Д (tj будем обозначать уравнения, которые получаются, если в (1.82) приравнять коэффициенты при Ъ из класса I. Это уравнение, как будет показано, при А 3 распадается на два уравнения, одно из которых является алгебраическим, другое - дифференциальным.
Алгоритм асимптотического разложения решения задачи Коши (2.2)-(2.3) по степеням
Уравнению (2.8) удовлетворяет любая функция вида о где w(f/) - произвольный элемент пространства С ([0,ii] }C J. Для завершения доказательства леммы остается заметить, что J L(T.f)d о является Г -периодической функцией t , так как Мь (L ( )} О (см., например, / 69, с.209 /).
Доказательство леммы в точности переносится на случай, когда CL , В действительные матрица и вектор, тогда U , V также будут действительно-значннми функциями. Рассмотрим далее уравнение вида В процессе построения асимптотики возникает вопрос о разрешимости такого уравнения в пространстве Ст (2 І , СП) . Ответ на этот вопрос даету Лемма 2.3. Дусть при всех е[0,Ьі] SQ ft ) ф . Тогда существует единственное решение уравнения (2.9).
Доказательство леммы легко получается из общей теоремы о существовании единственного периодического решения у неоднородной линейной системы с периодическими коэффициентами в случае, когда все мультипликаторы соответствующей однородной системы отличны от единицы / 70, гл.2, II /. Действительно, уравнение (2.9) распа дается на TL скалярных уравнений такого же вида. Поэтому далее будем считать уравнение (2.9) скалярным. Общее решение этого уравнения имеет вид % где j(j) - произвольный элемент пространства С ([0,tilj &) Покажем, что в условиях леммы можно выбрать функцию H(f) так, чтобы функция U-Ct ) в (2.10) была 7" - периодической по t . Потребуем вначале, чтобы U(t,S) , определенная соотношением (2.10), удовлетворяла условию при всех . Из (2.II) находим
Последнее выражение имеет смысл, так как по условию леммы. Теперь осталось убедиться в том, что решение li(i ) уравнения (2.9), удовлетворяющее (2.II), является Т -периодическим по І . Действительно, u(ttf) ж u(i-hTjf) - два решения уравнения (2.9), удовлетворяющие, в силу (2.II), одному и тому же начальному условию при всех Тб L03 tij . в силу теоремы единственности, эти решения совпадают при любом фиксированном Тє [о?іі] , а значит, при всех. Лемма доказана.
Прежде чем записать вид искомого разложения решения задачи Коши (2.2)-(2.3), введем следующие обозначения.
Далее, в множестве выделим подмножества некоторого. Пусть выполняется гл. джя. В этом случае . Введем обозначение через будем обозначать множества функций вида а р принадлежит соответственно. Наконец, через 72 обозначим множество вектор-функции вида (Jihv c » гДе линейными векторными пространствами с обычными операциями сложения и умножения на скаляр.
Зафиксируем число N 0 , NGI\I . Асимптотику решения задачи Коши (2.2), (2.3) будем искать в виде
Здесь прописные буквы с индексами обозначают ґіхп-- матрицы; строчные X и у с индексами обозначают /1 -векторы. Коэффициенты разложений (2.12) будем определять с тем расчетом, чтобы функции &(ы) %ЦЬд принадлежали пространству Для нахождения коэффициентов разложений (2.12), а также диагональных матриц » выражения Xfa) ,Уй ) подставшл в систему (2.2).
Обоснование алгоритма асимптотического разложения решения задачи Коши (3.1)-(3.4)
Здесь Д.-Я/СО Ъх + % " п дХп Решение задачи (0.5) определяется в виде формального ряда ЦОЬ ъ) = 2І & J/ Gv2.). Далее вводятся классы функций, в которых устанавливается разрешимость итерационных задач. Круг задач, решаемых методом регуляризации, достаточно широк. Этим методом проводится, во-первых, асимптотическое интегрирование задачи Коши для сингулярно возмущенных линейных и нелинейных систем, содержащих только быстрые переменные, на конечном отрезке времени (/ 6 /, ч.І, гл.2, 7). Метод регуляризации применительно к таким системам изложен также в многочисленных работах С.А.Ломова / 7-ІІ /, С.А.Ломова и В.Ф. Сафонова / 12 /, В. Ф. Сафонова / 13-17 /. Обобщение метода регуляризации на некоторые нелинейные системы с быстрыми и медленными переменными проведено в работах А.И.Кобрина и Ю.Г.Мартыненко / 18 / и В.Ф.Сафонова / 19 /. Метод регуляризации для интегрирования сингулярно возмущенных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами изложен в / 6, ч.І, гл.5 /, а также в работах А.Д. Рыжих / 20-22 /. Различным аспектам приближенного интегрирования сингулярно возмущенных уравнений посвящены книги Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Мит-ропольского / 23 /, В.Базова / 24 /, М.Ван-Дайка / 25 /, Ю.А. Митропольского / 26 /, Н.Н.Моисеева / 27 /, А.Х.Найфе / 28 /, С.Ф.Фещенко, Н.Й.Шкиля и Л.Д.Николенко / 29 / и др.
Названные исследования в области сингулярно возмущенных уравнений имеют не только самостоятельную теоретическую ценность, но и многочисленные приложения. Не перечисляя всего спектра прикладных задач, в которых успешно применяются метод погран-сїункцйй А.Б.Васильевой и метод регуляризации С.А.Ломова, остановимся наиболее подробно на задачах, возникающих в механике твердого тела, и, в частности, в теории гироскопических систем. Всюду в дальнейшем под гироскопическими системами мы будем понимать системы, в которых имеет место гироскопический эффект. Как правило, появление этого эффекта связано с присутствием в системе нескольких вращательных движений, таких что частота одного из них на несколько порядков выше остальных частот. Актуальность применения асимптотических методов в таких задачах подтверждают многочисленные работы. В работе / 30 / И.В.Новожилов изучил условия, при которых метод погранфункций применим к решению задачи о движении гироскопа в кардановом подвесе. Этому же вопросу посвящена работа А.И.Кобрина, Ю.Г.Мартыненко, И.В.Новожилова / 31 /. В статье / 32 /, а также в упоминавшейся уже работе / 18 /, А.И.Кобрин и Ю.Г.Мартыненко развивают метод регуляризации для асимптотического интегрирования уравнений движения гироскопа в кардановом подвесе. В статье Ф.ЛЛерноусько и А.С.Шалаева / 33 / возможности метода погранфункций демонстрируются на примере задачи динамики твердого тела с упругими и диссипативны-ми элементами.
Во всех перечисленных работах асимптотика задачи Коши для сингулярно возмущенного уравнения строится на конечном отрезке времени.
Другой подход к аналитическому исследованию уравнений гироскопических систем предлагается в монографии В.И.Зубова / 34, гл.Ш, ІУ /. Уравнения движения гироскопической системы рассматриваются в векторно-матричной записи вида AX+MiX+AtX-Zfai ifw+P (0.6)
Здесь большой положительный параметр, который в ряде случаев можно рассматривать как кинетический момент быстро вращающихся роторов, входящих в состав гироскопической системы. Л0,Аі . Л% - вещественные постоянные tl Yl -матрицы, А - вектор (oCi,. }Xn), Предполагается, что функции f$ , fsi fsij (координаты соответственно вектор-функций J , fl , fij ) являются голоморфными в окрестности точки 2 = -... -Х -0, При этом разложения функции \$, в ряды начинаются членами не ниже второго порядка относительно X, ...,Хп Разложения функции f$ начинаются членами не ниже первого порядка относительно хІ,..., Хп . Разложения функции fsij могут начинаться со свободных членов относительно величин Хі,...}Хп . Пусть требуется построить ре
