Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Интегральные оценки решений смешанной задачи 21 в окрестности граничной точки и на бесконечности
I. Интегральные оценки обобщенного решения смешанной задачи в окрестности граничной точки 22
2. Интегральные оценки обобщенных; решений смешанной задачи в окрестности бесконечности 46
Глава 2. Оценки модуля непрерывности обобщенного решения смешанной задачи в граничных точках области и оценки модуля обобщенного решения на бесконеч ности. Гельдеровость решений. :. "
3. Оценки модуля непрерывности обобщенного реше ния смешанной задачи в граничных точках области 59
4. Оценки модуля обобщенного решения смешанной задачи в неограниченной области 71
5. Гельдеровость обобщенного решения смешан ной задачи в замкнутой области 78
6. О гладкости обобщенных решений для некоторых специальных классов областей 86
Глава 3. Поведение обобщенных решений задачи Неймана для эллиптического уравнения второго порядка в окрестности граничной точки 116
7. Интегральные оценки обобщенного решения задачи Неймана 120
8. Некоторые примеры 125
9. Оценки модуля решения задачи Неймана 140
Литература
- Интегральные оценки обобщенных; решений смешанной задачи в окрестности бесконечности
- Оценки модуля обобщенного решения смешанной задачи в неограниченной области
- О гладкости обобщенных решений для некоторых специальных классов областей
- Некоторые примеры
Введение к работе
В данной работе изучаются свойства обобщенных решений различных краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка в окрестности граничной точки и на бесконечности в неограниченной области.
В области L<^|t рассматривается уравнение с измеримы* ми и ограниченными коэффициентами
Здесь и далее предполагается суммирование по повторяющимся индексам от I до w . Заданы граничные условия:
где іл = ft/\k ^. ^ - единичный вектор внешней нормали,
множества Г^7Г^с1)й, m^L5""^» *jl ~ замкнуто.
Через Т^(И.,Г) будем обозначать в случае ограниченной
области Si, Г с DO » пополнение множества функций из С (10 обращающихся в нуль в окрестности множества Г , по норме
Идї [ \(>|\^)Ц* /з/
где \VU.| -Ха.Ц/2' . В случае, когда область 0_ неограничена, так
V-4 v
будем обозначать пополнение множества функций из CfYH] , обращающихся в нуль в окрестности множества Г<=м>0 и в окрест*
ности бесконечности, по норме
\V.W^I "V lxl ^Ыхг » считая в этом случае, что 0^\_.
Функцию ІД/І^4)^ Mll,\jU назовем обобщенным решением уравнения /I/ с условием /2/, если
\[-&\Xi*#^*wf)i*.= \If 4^)k /4/
^. v й SX
для любой функции
Вопрос о непрерывности обобщенных решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка изучался во многих работах. В силу теоремы Де Джорджи / см. [1 - 5J /, из которой следует непрерывность обобщенных решений внутри области, этот вопрос сводится к изучению вопроса о регулярности граничных точек. Для уравнения Лапласа, а также для общих уравнений эллипс тического типа второго порядка с достаточно гладкими коэффициентами полный ответ на этот вопрос дает критерий Винера / см. обзор в работе В.А.Кондратьева, О.А.Олейник |_6"1 /.
Впервые оценки модуля непрерывности обобщенного решения несамосопряженного уравнения эллиптического типа второго порядка в регулярной по Винеру точке границы даны в работах В.Г.Мазьи1 йі^І * "^ работе А.А.Новрузова [9^ установлены оценки модуля непрерывности решения задачи Дирихле при условии, что коэффициенты такого уравнения удовлетворяют условию Дини.
В работе В. Литтмана, Г. Стампаккьи, Г.Ф.Вайнбергера ^IoV показано;,; что при t =t-Qp\^-0 граничная точка для уравнения
/I/ регулярна тогда и только тогда, когда она регулярна по Винеру для уравнения Лапласа. В работе В.Г.Мазьи ^ІІІ установле-
ны оценки модуля непрерывности обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения /І/ в регулярной граничной точке.
Поведение решений общих краевых задач для эллиптических уравнений любого порядка в областях с особенностями на границе типа конических или угловых точек и в окрестности ребра изучается в работах В.А.Кондратьева / см. |12]7jl3j /, а также этому вопросу посвящено большое число работ В.Г.Мазьи и Б.А.Пламеневско-го / см., например, l4] , ^I5J /. В частности, в работе ^I2j исследуются свойства решений общей краевой задачи в области, граница которой содержит конечное число конических точек. Решения рассматриваются в специальных пространствах функций, имеющих производные, суммируемые с некоторым весом, представляющим собой расстояние от данной точки до границы в определенной степени. Эти весовые пространства хорошо улавливают основную особенность таких решений, состоящую в том, что решение гладко всюду, кроме конических точек, а при приближении к конической точке оно и его производные имеют, вообще говоря, степенные особенности. Показано, что при уменьшении раствора конуса дифференциальные свойства решения улучшаются. В.Г.Мазья и Б.А.Пламеневский в статье Vl4^j рассмотрели краевые задачи в более общих областях, границы которых вблизи точки 0 в определенном смысле близки к конической поверхности или имеют в окрестности этой точки такую структуру, что пересечение области SL и сферы радиуса *\, с центром в О имеет меру 0(^ J . В работе \l6\ В.Г.Мазья и Б.А.Пламеневский впервые рассмотрели общие краевые задачи на многообразиях, имеющих многомерные особенности, например "ребра" различны размерностей и их пересечения. Коэффициенты уравнений и граничных операторов для таких задач могут иметь разрывы на некоторых многообразиях.
В данной работе исследуется поведение обобщенного решения задачи /I/, /2/ для случая ГЛ- 0 /то есть задачи Дирихле/ в неограниченной области при [я^р при помощи метода, введенного в работе ] при исследовании свойств решений задачи /I/, /2/ при VA-0 в окрестности граничной точки. В работе JJ3Q , в частности, получены оценки максимума модуля обобщенного решения в окрестности начала координат 0 через степенную функцию от |х| при весьма общих предположениях относительно структуры границы области в окрестности начала координат, при нулевых граничных условиях Дирихле в этой окрестности и требовании непрерывности коэффициентов при старших производных в точке 0 . Для этого используются априорные оценки решения в интегральных весо-вых нормах. Требование непрерывности коэффициентов ft,*7* в исследуемой точке границы является существенным для справедливости таких оценок, как показывают приводимые в [і?]примеры.
Рассматриваемая в данной работе смешанная задача впервые была поставлена Зарембой для уравнения Лапласа в областях с гладкой границей. В его работе \IQ'] установлена классическая разрешимость такой задачи.
ь работе [і9І показано, что в случае, когда область звездная и (imV мерный объем носителя данных Дирихле положителен, обобщенное решение задачи Зарембы существует.
а работе [20;]рассматривается краевая задача, отличающаяся от задачи /I/, /'d/ смешанным условием: сГ*—^. эд, а *ш на Г.
Решается вопрос о раврешимости такой задачи в классе непрерывных вЦ решений, если С40 , Ъ^О » а коэффициенты достаточно гладкие внутри области и не слишком растущие вблизи точек стыка П, и (Ї » причем при ї[>% предполагавется, что касательные плоско-
сти к Ц и Г, в точках стыка их совпадают. Впервые такая зада-ча была рассмотрена Жиро / см. [2l| /, который искал ее решения, непрерывные всюду в J1 .
В работе \j&\ подобная задача рассматривается в ограниченной области с достаточно гладкой границей для эллиптической системы порядка Лї№ , причем на V^ задано условие первой краевой задачи, на \1 - смешанное, ^VJl^-^Jbl. . Рассматриваются вопросы, связанные с разрешимостью и устойчивостью таких задач, а также устанавливается возможность их решения методом Галеркина.
В работе 123} рассмотрена эллиптическая система в области с гладкой границей ^1).^-ГЛ\)ГГ t где Of-V^uV^ - гладкое (К-lY мерное многообразие. На Ц и [^ задаются общие граничные условия, удовлетворяющие условиям Шапиро - Лопатинского. Доказывается нормальная разрешимость задачи в некоторых специальных пространствах. Рассматривается вопрос о поведении такого решения в окрестности ^ , при этом полученные интегральные представления решения позволяют вывести асимптотику решения в окрестности V и изучить его гладкость.
В случае \№у V -0 , то есть для задачи Неймана в негладки А.
кой области l необходимые и достаточные услвоия на структуру области для существования обобщенного решения даны в работе В.Г.Мазьи , эти условия формулируются в виде некоторых изо-периметрических неравенств при помощи гармонических мер.
В работе В.Г.Мазьи, Т.М.Керимова l[25j устанавливается критерий регулярности решения задачи Зарембы для уравнения Пуассона на бесконечности в цилиндре, ана-логичный критерию Винера.
Поведение решения задачи Зарембы на границе области .Q, с помощью гармонических мер исследуется в работах \%6 - 2^ . Например, в случае, когда^^ї - гладкая (lib-tVмерная поверхность
винеровская емкость только носителя данных Дирихле отвечает за поведение решения в окрестности точек ц(\П . Так, в работе Ї2.6І установлено, что если^Ц. липшицева и точка хвеГлМ^ » то
расходимость ряда Х^ ^к^л^и*) ' где ^и ?(*) " винеровская емкость множества . , Q - шар радиуса *V с центром в Х , эквивалентна регулярности точки Х относительно задачи /I/, /2/. В работе 1.27^ даны достаточные условия на "малость" в окрестности точек стыка носителей данных Дирихле и Неймана для того, чтобы решение задачи /I/, /2/ было непрерывно в замкнутой области.
В работах |28-29J изучается вопрос о поведении решения задачи Зарембы в окрестности множества VAV » при этом вместо требований гладкости границы накладываются условия выполнимости неуоторых изопериметрических неравенств. В работе Г28] исследуются свойства гельдеровости решения вблизи точек стыка носителей данных Дирихле' и Неймана. В работе [29] получен критерий регулярности граничной точки с помощью понятия проводимости /см. также [24] /.
Дифференциальные свойства обобщенных решений задачи Неймана для эллиптических уравнений второго порядка в областях, граница которых содержит гладкие непересекающиеся ^-^-мерные ребра, подробно исследуются в работах [ЗО-Зі] . В них устанавливается принадлежность слабых решений такой задачи вблизи точки ребра некоторым весовым пространствам Соболева и Гельдера, когда в качестве весовых функций берутся степенные функции от расстояния от точки X до ребра. Эти работы развивают результаты и методы упомянутых работ [3-T6l .
Изучение обобщенных решений задачи Неймана для эллиптичес-
:- 10 -
ких уравнений на бесконечности в неограниченных областях проводится в работах JJ32-34J В работе \3%] получены оценки обобщенных решений задачи Неймана для эллиптического уравнения второго порядка в зависимости от геометрических свойств области при больших значениях Ы . На основе оценок решения в норме Д по отдельным частям области при условии липшицевой границы получаются оценки модуля решения в окрестности бесконечности. В частности, показывается, что в областях, близких к цилиндру, обобщенное решение при определенных ограничениях на рост его интеграла энергии оценивается через линейную по (х| функцию и правую часть уравнения.
В работе [33J рассматривается решение однородной задачи Неймана для эллиптического уравнения второго порядка в неограниченных областях сложного вида с гладкой границей. Показывается, что имеются три различных возможных способа поведения решения на бесконечности подобно тому, как в случае уравнения Лапласа в бесконечной полуполосе в % решение задачи Неймана либо экспоненциально растет, либо экспоненциально стабилизируется к константе, либо стремится к линейной функции. Эта последняя возможность отличает задачу Неймана от соответствующей задачи Дирихле, в такой полуполосе, для решения которой возможны только первые два типа поведения на бесконечности.
Поведение решений второй краевой задачи для эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях изучается в работе \34j. В ней при весьма общих предположениях относительно структуры области при больших значениях \х\ получены оценки решений и их производных в интегральных нормах с весом.
В работе \ЗЬ\ рассматривается смешанная задача для эллиптических уравнений порядка Ifo , не меньшего, чем размерность пространства % , и показывается, что обобщенное решение такой зада-
- II -
чи ^x^C^'^f&V |>0., при самых общих предположениях относительно частей границы Х\ и 1^ . Отмечается, что при Inulv ftiyj в таком общем виде это утверждение не имеет места.
В первой главе данной диссертации рассматривается смешанная задача /I/, /2/ в случае, когда ущ> Xі>0 . Предположим, что
&хъЩ при U , ^Ц-сЦгО, **& , ^4^(-^ , U,..,Vu.
Будем предполагать, что ОєЦ(\Г и область Л такая, что первое собственное значение оператора Бельтрами на Sv^J^Vt^btUlV
рассматриваемого на функциях, равных нулю на Г ftbt; ||*ЧЛ равномерно ограничено снизу при *\,i\-boYW,, Это означает, что существует такое №,> 0 , что для всех функций W^ , бесконечно дифференцируемых в окрестности S> и равных нулю в окрестности t! , имеем
)^Чьз 4 f? ]ь^^)АЬ, /5/
при М/^1/е . Здесь (ч^Ц - полярные координаты с центром в 0 »
W4^,-A.^ л № **Щ ^ 9 ^х= *їЦі/~ А^ , Ь (.^1^) - квадратичная форма такая, что fe^VtfW Чг \W\ -[ — ^ \ Такое
требование, накладываемое на ^ц , допускает весьма общую структуру іраницн в окрестности точки 0 . Например, в случае Vi^l. точка 0 может быть точкой пересечения двух любых жордановых кривых. Для ряда областей при определенных множествах П, и Р можно выразить М, в явном виде или оценить его через геометрические характеристики области в рассматриваемой окрестности, что ^.позволяет на конкретных примерах проверить точность полученных
оценок.
В I главы I устанавливаются интегральные оценки обобщенных решений уравнения /I/ с условием /2/ при Мбц.^/О . Пусть ^uuViHx.W'taVcV ОГ 0СНОВНЫМ результатом I является
Теорема 2. Предположим, что ОвГЛ(\Г , множество У
принадлежит конической поверхности с вершиной в 0,мз IxWjt-D
почти всюду на - символ Кроне-
кера/. Тогда для обобщенного решения \Д/(х) уравнения /I/ с условием /2/ справедлива оценка
S^\vuft)xf\i)k^[Jiw^n'^yi+^^
Л Л
/є/
при t е1~Н^-^№о1 *\^) и таком, что правая часть /6/ конечна. Постоянная С не зависит от tU7-Vc A , v*(v..,Vi.
Приводится пример, указывающий на необходимость требования непрерывности (Х^ в точке 0 для справедливости данной теоремы.
Кроме того, для областей, расположенных по одну сторону гиперплоскости І*2Скя0\ » рассматриваются плоские сечения
б!=$1(\\а/.;уё"Ь\ ^ \.^t0-to>4A/>D ) и устанавливаются неравенст-
ва типа принципа Сен-Венана в теории упругости:
Теорема 3. Пусть область Л. такая, что при некотором T!-
ранству }я.:эс>1>\ » множество (TV не пусто и ограничено при лю-бом "Ы(0^ . Предположим, что ^4к-0 в UT, , 0(^0^ \^>~Л-
Пусть 0^ГлМ* "UQAlW" с Г„ У V^ и пусть существует измери-
мая ограниченная на каждом интервале (tAtj 0^Тл^І2<Т Функ-
- IS -
ция \Щ такая, что U^M(V4\ \№НЧ\^(йуА\ ' где
«Ш, її
X
бесконечно гладких в окрестности (Ґ, функций, равных нулю в окрестности J1 (\ (Ґ, .
Тогда для обобщенного решения %{s\ уравнения /I/ с условием /2/ в XV при любых "t^Q.Y) ч^Ч^А) имеет место неравенство
їі0>;
/7/
где ^У~]^\^. .
В 2 аналогичные оценки устанавливаются в неограниченных областях, таких, что Т* (\1х*.Ц*й\ не пусто при достаточно больших \i Г^Ц^уФМ^й , ^o=cx>wA>0.
Теорема 5. Предположим, что существует такое Мо>0? что для всех функций 'VJf (я.") , бесконечно дифференцируемых в окрестности S^ и равных нулю в окрестности Vz , при 4/>R0 имеет место соотношение /5/. Пусть Гп принадлежит конической поверхности с вершиной в 0 , в частности ГЛ может быть пусто, когда вместо условий смешанной задачи имеем данные Дирихле при |х|>^.0-
Пусть почти всюду на ГЛ имеем
t^lxf^O при m^oo^jjU^W . Тогда для f<^K-l)\l^e]V*
имеет место оценка обобщенного решения К/(зЛ уравнения /I/ с условием /2/ в неограниченной области 1 :
если правая часть конечна; здесь константа С не зависит от
В 3, главе 2, на основе полученных в I интегральных оценок устанавливаются оценки модуля непрерывности обобщенного решения уравнения /I/ с условием /2/ в окрестности граничной точки 0 . Для этого используются оценки типа Де Джорджи - Мозера модуля обобщенного решения такой задачи, удовлетворяющего заданным граничным условиям на части границы области QA , через норму решения в Л по некоторой большей подобласти Qt , Q cQic^ когда на "bQj\31 заданы какие-либо граничные условия / при условиях задачи Дирихле см., например, работы t36-38,5J/. В диссертации они доказаны при условиях смешанной задачи и являются обобщением таких оценок при "frQ гГйЦс^ . При этом не требуется никакой гладкости v^ , но необходимо предполагать некоторую гладкость \\
Теорема 7. Пусть для некоторого &-0оЩІ>0 в области й.зд/=Щіх: Ы<ЛЛ выполнены предположения теоремы 2, множество П(\^ІйЬі принадлежит гиперплоскости 3: , причем
&Ъц№-~$ * пРеДположим» что ^^(О-Ф'-И^^М,...,!^,
<$ ^(-^lH3^ W^i) ПРИ любом Ч/ЦР,) , некотором ty»v Тогда для обобщенного решения U(x) уравнения /I/ с условием /2/ в S1 имеет место оценка
s; v^ /9/
Of то же, что и в теореме 2, константа С, не зависит от %
Для областей типа острия, направленного вне области, с вершиной в точке 0<, более точные оценки получаются при использовании теоремы 3.
В 4 исследуется характер поведения модуля обобщенного решения \n,(j\ уравнения /I/ с условием /2/ в неограниченных облает тях при 1х\-^з>оо на основе оценок типа Де Джорджи - Мозера, установленных в 3, и результатов 2 главы I, аналогично тому, как это сделано в 3 для ограниченных областей. Основным результатом является теорема 9, в которой устанавливается оценка обобщенного решения уравнения /I/ с условием /2/ вида /9/, где вместо *t надо брать tv , определенное в теореме 5, при достаточно больших *\г .
В 5 на основе результатов предыдущих параграфов получены оценки показателя Гельдера обобщенного решения смешанной задачи, в замкнутых областях, в предположении, что носитель данных Неймана достаточно гладкий.
Предположим, что в области ІЇ выполнены предположения теорем 2 и 7, Ц О V =ч).1 , причем множество ц , если оно не пусто, диффеоморфно открытому множеству на гиперплоскости. Пусть для любой точки U^&V число |ЛС , определимое при помощи соотношения 1Ы, если точку Х принять за начало координат, не мень-ше wUoov«v>0 . Пусть область ±л содержит носитель ^сДі
v,-*V"V\/ » область 1^3Цд и находится на положительном расстоянии d от ^ . Функции ^L,(Ai\ ^lv..>, <$еА (Ні) при некотором (L>K . Тогда, как следует из теоремы Де Джорджи / см. , \j\ /, в области D.^ обобщенное решение задачи /I/, /2/ принадлежит классу Гельдера С *\йЛ » гДе ^„ зависит от коэффициентов уравнения /I/, d/Д^.
Теорема 12. Пусть \\ принадлежит гиперплоскости 2: причем Ц находится по одну сторону от Ъ . Предположим, что
О^М&^^Ц^иЛ, ^!>^; Д*) непрерывны в точках TJ_ . Тогда обобщенное решение Цх\ задачи /I/, /2/ в Sl принадлежит С (З.") , где «^-vwivi, ^JL, ltJL^ 7^= і Щ.И-І) +^м]\ ~С^У^ ^>0"
В б рассматриваются некоторые конкретные примеры.
1. Точность полученных оценок проверяется для решений сме
шанной задачи для уравнения Лапласа в угловой области ll^(f ,
например, вида ЦіД^Ч/ Сиь|^ в области й^Ч^УМ^ЛФ^-
При этом из теоремы 7 следует оценка: W \*n($CJU СЛ/ ^ \ЬУ.
Аналогично точность оценок проверяется и в случае Vl>l для решений уравнения Лапласа в областях, являющихся конусом с вершиной в 0
2. Пусть область й» ^-.^1^,1^(5^ , где з-зОц,...,!^
L Л
при некотором k>\ . Носитель данных Неймана ї\ = \і'- — \^
1 L ~. Л ) К
3CKe(_0
jsLfl\l'3v^ так» что ^^V^ и Гл - гладкая гиперповерхность. Тогда, если в некоторой окрестности 0 функции \],Л -0 ,
UA,.„,k и выполнены предположения теоремы 3 I для уравнения /I/, то для обобщенного решения |л,(&) уравнения /I/ с условием /2/ в такой области на основе теоремы 3 и результатов 3 главы 2 получается при достаточно малых \? оценка:
Такая же оценка получится для обобщенного решения в области _0_Л которая получается из указанной области , если \^ останется таким же, а кусочно-гладкое V будет находиться внутри области Q_.
3. Рассмотрим область 11Цх-\хЦ$^7ЗСч9^Л^\ при некотором
\k(~tp й . Носитель данных Неймана ГЛ= \х*;— е^ ЗС^Й ^")\
о *w
где ГЛ принадлежит (ft-2^- мерной границе n>ff* сечения б^&ЦаС*.
Х^-^ так, что 1^\V\V$ и ц - гладкая гиперповерхность. Тогда, если в L выполнены предположения теоремы 6 2 для уравнения /I/, j^-O при достаточно больших X , то для обобщенного решения уравнения /I/ с условием /2/ имеем
при достаточно больших \ : Sub \Цх^ ^ С^^гир І-CjJ; \ Ц Сміоти^О.
В главе 3 рассматривается уравнение /I/ с граничным условием Неймана, то есть с условием /2/ при ?[-j# , когда точка ОеП, Исследование проводится методом, введенным в работе О.А.Олейник, Г.А.Иосифьяна |32"J при изучении поведения решения задачи Неймана на бесконечности.
Предположим, что в ограниченной области Q_cft рассматривается уравнение /I/ при V**C=-^=.0 , для сокращения форму-лировок считаем 0^-0/^.^,^,...^ . Пусть существует измери-
мая на интервале (0"f\ ^\Vc*>w& , функция b(\N такая, что
ЪЩ^{\ЩЬК\Щ'\ , где ^Ш\\х^^
множество бесконечно гладких в окрестности $\ функций to та-ких, что ]іГ4х=0^/0^^)=0^^/3 X3^V^M^ . При
этом область М такая, что . Пусть
**<>* о. а-0 при достаточно малых х
В 7 главы 3 устанавливаются оценки обобщенного решения %[ti уравнения /I/ с условием /2/ указанного вида в И вблизи рассматриваемой точки границы 0 в зависимости от структуры области в окрестности этой точки.
Обозначим ІІс^ІіЦх^е^є^Л * г^е ^-Л' целые, S.>"t . Предположим, что существуют, постоянные К(^,ї) и К (.^,4)
такие, что для всех функций
Tfct*(]L - ъ Л » для которых \tf4xs0 ,д~1 . Тогда обо-
значим u^hV^V^ , И*-
ечм)
Введем также ЪфЦЯ.**,^! ^^[1^ ^u-wi Д \. где |Ql обозначает К,- мерный объем области О Основным результатом 7 является
о»
Теорема 13. Предположим, что ряд "З-Т^ЗХМ^^00. Тогда для обобщенного решения и(х\ уравнения /I/ с условием
- 19 -/2/, \.-$ і существует постоянная С0 такая, что
В 8 рассматриваются некоторые конкретные классы областей, для которых все геометрические характеристики, входящие в данную оценку, могут быть вычислены.
В 9 главы 3 на основе оценки /10/ и оценок, аналогичных оценкам Де Джорджи - Мозера, установленных в 3 главы 2, исследуется поведение модуля непрерывности таких решений в граничной точке 0 . Формулируются условия, при которых для обобщенного решения №{з\ уравнения /I/ с условием /2/ рассматриваемого вида
справедлива оценка: ^\m ^^^(^Лчь Ая, , где ч{$) зави-
дЧи<> -Siva «и
сит только от геометрии области в данной окрестности. Тогда имеет место оценка
Мы приведем следующие из таких оценок результаты для части ных случаев:
I, Пусть ^2,11-^=1^-.^10,^^^Лф^^мЖ.
Пусть 0|Дх^Т ^-И\?Мл),0 *- символ Кронекера, "Ш^і таковы, что
о Тогда имеем ?>\ш \иЭД-С0Ц^*1/ . Эта оценка является точной,
как показывает пример решения уравнения Лапласа в такой области
- so -
2. Пусть Hc5t\ ^\^V*l^№)) >4W--A^^ при некотором ^М . Носитель данных Неймана ГЛ-^йО^ЭЕ'-уи^\?
\^=0 . Тогда для обобщенного решения V/[x) уравнения /I/ с условием /2/ в рассматриваемом случае имеем
где C0-^V^} С^С ^towyWO ., для достаточно малых -\; . Основные результаты опубликованы в Ъ>(. ) ^43-48J
Интегральные оценки обобщенных; решений смешанной задачи в окрестности бесконечности
Пусть ЛЬ - неограниченная область в Щ, , во , причем для всех о Рассмотрим пополнение функций из С (QJ , равных нулю в окрестности \ и в окрестности бесконечности, по норме л Обозначим это пространство [рцЛ.,! ] Назовем обобщенным решением задачи /I/, /2/ в неограниченной области _QL функцию 1l.W(L О » такую, что для всех l e Ц(Л, 1! ц) выполняется интегральное тождество /4/. - 47 Предположим, что Г f\ \ X" [ х\ -й W Р ДЛЯ всех Обозначим il 2Hfl\ xl j 7 o определено в 1, через X здесь и далее будем обобзначать 2д 3". Пусть для всех Я Ио определенная при помощи соотношения /5/ в 1 функция М(ДЛ существует, причем №(Ї\ М0 -ucn/Wv 0 , так что первое собственное значение оператора Бельтрами на проекции So на единичную сферу, взятого на функциях, обращающихся в нуль на проекции f (\ зс\ \эЦ Д на единичную сферу, не меньше М0 Теорема 4. Предположим, что % ЫЭД - Ч Ы Пусть, кроме того, выполнено одно из двух условий: а/ либо V eZTfl при к»\ и -o U в il , кусочно гладкая, х її 0 на П, ; в/ либо СЦ 1 V T в Л . Тогда в XI существует единственное обобщенное решение задачи /I/, /2/, - 48 Доказательство. Обозначим левую часть тождества /4/ через -Lyb-У) .". В силу предположений о коэффициентах урав нения /I/ получим, что для билинейная фор ма Afu J ограничена.
Правая часть /4/ является ограниченным линейным функционалом в пространстве \\ (.51, ГЛ : л А і ІМД Положительная определенность Al TV U) в Н (.- -, следует из условия /5/: Со L Ц г Ч - 49 Si если Ш\Ї[ Ї, . Тогда, как и в теореме I 1, в случае yell ловия а/ для последовательности функций % равных нулю в окрестности И и бесконечности, 1L - ЧА/ в ХС ПД » по формуле Остроградского - Гаусса имеем SL Переходя к пределу при Tl- co , имеем В случае, когда выполнено условие в/, применяя неравенство Коши, получим АМ) \о/\\ А - j KjIH -j V JHAx - 50 Л. Si Следовательно в обоих случаях а/ и в/ имеем так что требования леммы Лакса-Мильграма для A(ll/) в nlCQ выполнены, что доказывает существование и единственность обобщенного решения такой задачи. Теорема 5, Предположим, что у кусочно гладкая и принадлежит конической поверхности с вершиной в 0 , в частности \Ч может быть пусто / в случае, когда вместо граничных условий смешанной задачи имеем граничные условия задачи Дирихле при сс\ к,о /. Пусть в Зи выполнены требования теоремы 4 для коэффициентов уравнения /I/ и, кроме того, цДх О ; Н п- , фМх! - 0 при р 9о ,»4,... . Тогда, если для некото имеем рого (0, 41 ) 1 і і то для обобщенного решения И/(х) задачи /I/, /2/ в Ц. справедлива оценка - 51 Лц +jw 4 v w /22/ где v не зависит от %/. Доказательство. Пусть &- - одна из таких областей, что frctf .X-m+p , ъЛ, . Пусть СГО(ІН), %fc )H при Ь 1 , Фф 0 при S J» . Положим W (xV flxHU M и подставим в интегральное то Г ., . / ждество /4/ t=0 Р4 , таккак еЦК ЩчГ,). Получим точно так же, как и при доказательстве теоремы 2,- ин тегральное тождество /7/ для \К{) и любой ТеЦ\C$lHlN Л , в котором и Ь: задаются формулами /8/. Пусть Q-14 - последовательность таких кусочно-гладких Оо областей, что , причем vС- гАму t где гдігпг,, v.v nr. Рассмотрим в vr обобщенное решение w задачи (ЛП ДЧ + мГ-еЛ?с 1 -owl -о. Из условий, что vr ограничена и 0 f (г„ , следует, - 52 что в такой области G нормы \ /ГУЛ/ и \ г эквивалентны, поэтому пространстав совпадают.
По определению обобщенного реше ния ТАГ ..-. удовлетворяет тождеству /9/ при любой nWV&v Ц") , чГЛ[С ,- N г;). Такш образом, повторяя все рассуждения теоремы 2, при помощи которых для W из тождества /9/ выводится оценка /15/, получим для определенного выше Y 0 и такого с(_ 0 , точно такое же неравенство, как /15/: См. с пк i ? что Щв ( (f Hfd -1) 0 Р1 GH /23/ V Jl /fa-v jWjK] j -lf гЫх, V - 53 При любом &-Cow/t 0 В силу неравенства Коши-Буняковско го имеем аналогично оценкам j\ в теореме 2: X xl Vswt Є iwv T W ги-і -к ІЙ ь W/ їм. -ГЛ/ Из соотношения /23/ и этих оценок получим X \ ч?\ f k+МА) р "№ЦЦ ) К VV? 11 WV е -. - 54 Hup і tm л зд i %f+t] \$ \vrfu+ -V Возьмем , VVUVI-JL ; _ [ V . Тогда в силу условий теоремы р можно выбрать настолько большим, чтобы в правой час ти этого соотношения множитель при первом интеграле был меньше i L , а множитель при втором интеграле меньше Щ). Таким образом, учитывая, что ty(Kxf\U t(Vi\ л &6[?И] ЧрР )-Є\Р"И,») 7 ЪЪЬъ рГ у_о+д , J-v&J . и оценивая интегралы с W- и V- при помощи формул /8/ аналогично оценкам /17/ теоремы 2, получим где С-Сц, 0 , 7M) не зависит от \VU . Wv, Из интегрального тождества /9/ для Itf , подставляя - 5-5 М єЩр1 "л Л , так же, как и при доказа тельстве теоремы 2, получим, что ЛіЙ г С , где С не зависит от %/ . Действительно, как видно из доказательства теоремы 4, левая часть этого тождества, обозначенная -ц (ш ШП оценивается: Для правой части, так же, как в теореме 4, имеем: ї у аднцп где С не зависит от W, в силу соотношений /8/. Положим 1ЛГ = 0 в V \ & . Продолженная функция , так как внутри Ц, не содержит ся точек V . Из ограниченной в ЩСг "ЬІ -Л Г\) п0 следовательности «1W і выделим подпоследовательность W" l S , слабо сходящуюся в п [у "VN ц) к некоторой функции WtU\ ((r? ."b 4V/\) Переходя к пределу по 1 в интегральном тождестве для W при некоторой функции 0/V из последовательности К \Р \ функций, бесконечно гладких в (тг, и равных нулю в окрестности - 56 множества" v \\л , сходящейся в пространстве Щ л) к функции ТьН Ц л1) . чим, что удовлетворяет тождеству ПІ для любой такой л , Поэтому, переходя к пределу в ПІ по последовательности hn , установим справедливость интегрального тождества /7/ для \№ и любой функции " Ц((зь )& ЧГЛ Следовательно, Ш является обобщенным решением соответствующей задачи вида /І/, 121. В силу единственности такого решения имеем ТАГ W-v tU
Оценки модуля обобщенного решения смешанной задачи в неограниченной области
Замечание. Предположение, что \л принадлежит гиперплоскости, можно заменить условием, чтобы принадлежало гладкой конической поверхности, так, что его можно диффеомор-фно отобразить на множество на гиперплоскости.
Для областей таких, что иО \-ХкМ)\ при некотором Т «яЛ 0 » где І &Ч 13 согласно сделанным в I обобзначениям, &і ЇІгЦх Х -Ц не пусто и ограничено при любом , при условии, что выполнены предположения теоремы 3 I, можно на основании этой теоремы получить следующие оценки модуля решения задачи /I/, /2/.
Будем говорить, что точка Х еТ\ удовлетворяет условию "А", если для нее существует окрестность лЦх") такая, что \\ в Цхв) можно продолжить до некоторой поверхности Ц так, что \\ разделяет %(х) на две части, причем . 1( = ЗД М принадлежит одной из них. Обозначим эту часть чЦхв) через (лес6]. Пусть при этом существует отображение , JC- ty , первые производные которого и ему обратного огарничены константой \( , не зависящей от , игтакое, что ( 1 -21- ., Л /N где Х ь обозначает полушар р \0\(\ з.".ХА \ , $ 0 , причем Ц(\%(э?) переходит в плоскую часть его границы, V , )=0,
Предположим, что на части границы № (\V ч\) выполнено: условие ИА", причем (X -ll) не зависит от Хб Заметим, что если условие "А" выполнено для точки х , то в нем можно вместо полушара Х -и,(А радиуса "\V( ) взять любой - 66 полушар 21 меньшего радиуса: 0(/4"\Ы-К\ Тогда областью 9tt будет область V- о (ИЛ , принадлежащая области определен ния г 0 , число К не изменится. Поэтому для всех точек Х0 из полосы .ЗСив - ї І Дл- К КУм выполнено условие "А" и для yiw y(0) , гдвІ»ІЦК , І Ш1. При этом можно взять \ [t) Ъ.К Обозначим M(li,,1; «SLft X»eli,, i,Mlt4, t»)"i4 Щ, где п\х) определено соотношением /20/. Очевидно, что условие "А" выполняется, если ц - гладкая поверхность. Другие классы областей, удовлетворяющих условию "А", приведены в 6.
Теорема 8. Пусть - обобщенное решение задачи /I/, /2/. в области м. , удовлетворяющей указанным выше свойствам, Є Д (tolii&j) Л- , Л (wt"t,,ta при любых О -Х Х /Т п TitE в тг некотором Cl/ VV . Тогда для всех X таких, что X-vl t T 1 например, для -Ь Ч7 , имеет место оценка
Р расстояния увеличиваются не более, чем в К. раз, Р (xV0 по условию, x(V)-K Т іл) Сделаем замену переменных U V ,(, ) в области из условия "A", fc (А\ С 1Х ") нвых переменных функция является обобщенным решением задачи вида /I/, /2/ в области Q F. (jM ) (\ й), \с2л Щ » так что для такой задачи Г в условии /2/ принадлежит плоскости 111: Ч -0\ Коэффициенты и правая часть нового уравнения выражаются:
Поскольку первые производные отображений V- и Р ограничен ны постоянной К , для такого уравнения будут выполнены те же предположения и оценки, что и для исходного. Поэтому применим в области Q лемму I, а затем в областях гл и Р полученных симметричным продолжением за плоскость
О гладкости обобщенных решений для некоторых специальных классов областей
Предположим, что часть границы "R области 11 принадлежит гиперплоскости X, Пусть в области П. носитель и, функций J\ От. UbpuVj\Jsww j такой, что НЛЛ111ЬГЛ»Л, 0 ; кроме того функции Tve ( )i v-; r ъ1 \&i) при некотором fJ/ W . Тогда, как показано в 3, лемме I, функция %(х) может быть симметрично продолжена в область l_ , полученную симметричным отражением ІІ ц относительно плоскости Z до функции U($N , являющейся обобщенным решением задачи вида /I/, /2/ в . , где (х 0 (); #(x V fc), (Цз?) =C,lx\ УА Ф %1Х\ для точек х симметричных точкам "Х м. относительно і . Для такой задачи в О, условие /2/ является однородным условием
Поэтому, применив- к %{г\ в области L.= XeQ/.yli &) \, теорему Де Джорджи,-получим, что иЭД С ( й. ) , где Все свойства и оценки параметров уравнения /І/ в І1 такие же, как для исходного уравнения 111 в XL . Кроме того, для точек Х , симметричных точкам Хє ИлП в-V И0 такое же, как и для X , так что для точек ХЄ Ч(Д(\ГД выполнено соотношение М0 U, . Для остальных точек г — \— 2.(\(ГЛ№г] Чі х, в силУ определения из соотношения / 3/ для всех fy 0 , всех гладких в окрестности Ц(\-1х x-oj=Vj функций (х\ , равных нулю в окресности у . Таким обра зом, W, , определенное для X как соответствующее U, для области Л , будет не меньше l . Действительно, рассмат ривая сужения и fyj функции (х4) , гладкой в окрестно сти и равной нулю в окрестности 0-9 , на области соответственно, получим, что функции - 85 и Л$ удовлетворяют соотношению /3/ в приведенной выше форме по l(\ r. x- (- V и _)_(\\х: -х ( ЧД соответственно. Поэтому lLQ\x--li-r Ш\ал\1-хв\Л} й.а\ -х-- Щк\ -Х \-Л\ АЦх- \Л 1(\[х-. х«\- Л — л/ N Следовательно, М„ м . Таким образом, для ІЦХ) применима теорема 9 в области Х)_ и тем самым доказана следующая Теорема 12. Пусть V/Ц - обобщенное решение задачи /I/, /2/ в fll , Ц принадлежит гиперплоскости Ї. , Т \Ш = SL , причем XI находится по одну сторону от Ї . Предположим, что 0/ еД (ІЬИ Д Ч-Л \) К & непрерынвы в точках Г Тогда 1(/(х)еС (ИЛ , где - 86 6. О гладкости обобщенных решений для некоторых специальных классов областей
Рассмотрим область такую, что в некоторой окрестности начала координат ее граница состоит из луча VA и кривой [ , Г Г 0 . Поскольку в К, Hl-0SJ+U"%T - Ц, где ( ,fl -полярные координаты с центром в 0 , то в этом случае ctvA) - Щ и PW?W)= ( «тіл ) .Поэтому M[»v) определяется соотношением U W VW и (J \ ( — для всех гладких в ок рестности функций Mf , равных нулю в окретсности л "л I, . Здесь через S„ , у. обо. значаются проекции мно жеств S , V, соответственно на единичную сферу с центром в точке 0 . Пусть [$[ г г 1 , где \S \ - длина дуги В силу неравенства Фридрихса имеем - 87 (Hf J J ї) Для отрезка Те\-Л/;(1] и гладких функций, равных нулю на его концах. Поэтому, продолжив гладкую в окрестности Ъ функцию 1дГ , равную нулю при 5 = ЦОЙ)) , как функцию от Ц , заданную на отрезке 0, ( , до гладкой функции на \j- ( ) (4 , равной нулю на его концах, можно показать так же, как в теореме II 5, что в качес тве Ы%\ можно взять —— , . Положим М = . , & где (0,-1 Ы( ) «еем [{.«l- + Kjt,] --— . та ким образом за V можно принять любое число вида - — Л Ь б 01 для которого правая часть соотношения /6/ теоремы 2 конечна для данного уравнения /I/. Если VJ[TC) - обобщенное решение задачи /I/, /2/ в такой области _Q_ , то согласно неравенству /б/ теоремы 2 для него имеем соотношение В частности, если в уравнении /I/ й } -U -O v Vi при х , эта оценка верна при любом Ь 0
Некоторые примеры
Пусть в области І}. выполнены предположения теоремы Й 7/. Предположим, что каждая точка границы a.V Q.CfolL J)) имеет окрестность (зЛ такую, что v\Xe](\Q_ можно отображением V 0 , первые производные которого и ему обратного огра-ничены константой К А , не зависящей от х , перевести в полушар 2л-п;(\ с центром в начале координат b и радиусом Ш( ) , где ьеЛ/ такое, что хЧ\ї:Х є(е е Д причем ( (х CfuQ_ переходит при этом преобразовании в пло скую часть границы 2А -\ог ч , а точка х в еічг центр: г (х )а0 . Тогда при помощи оценки /2 / леммы 2 3 главы 2 получим следующие оценки модуля обобщенного решения задачи /I/, /2/ в такой области 1. Пусть кроме всех обозначений, введенных в 1,
В силу сделанного в 3 главы 2 замечания о том, что вместо "Ту() можно брать любое меньшее число, будем считать, что " [ 0.е = С/ ПРИ некотором ( . Такое ограничение не влияет на точность получаемых далее оценок. - 141 Теорема 1 Для обобщенного решения иЫ задачи /I/, /2/ в области Ц , обладающей указанными свойствами, для любого натурального S выполняется оценка -Ь І Щ), /18/ где 0 не зависит от Ч/ S , число С С ІЛТЛ/ и U(C\ те же, что в оценке /II/ теоремы Е . Доказательство. Рассмотрим точку Х:\1тг . Найдется такое натуральное S , что x&Q.Uf j-!}, . .,.
В силу требования равномерной по х Є йІ)_ч -Ь\ ограниченности числом первых производных отображений получим, что существует константа &. 0 такая, что для любой точки х е 1 1ч \ 0\ области : : ч .{ Х 1 (\ 0 при отображениии V- о переходит в полушар 2-л ц . Например, для этого можно взять , - \С . Пусть 6=.-(j- ]\С , Положим &,%ъ -, d з Є -Є Ц и тем более. Следовательно, рассматрива - 142 емая точка X либо принадлежит шару Ъ Л(х) для некоторой ТОЧКИ Х W\x:Х Ц -і (Ц, Чіі , либо t Jx)! и тогда bgwJ Si м в СИЛУ выбора & , та В первом случае для указанной точки х"еГч\й\ имеем НЛ РД ІІ . так как постоянную ZA кую, 4TO U) -0"b , можно взять равной -\е- ]К и то гда \ - К ) % { - )Л U M._ V . Точно так же, как в теореме 8 3 главы 2, из оценок модуля обобщенного решения задачи /I/, /2/ в полушаре 21л (. через НОрму Р_ в по поЛушаРУ ]Ц . ««U из _ I и 2 3 главы 2, переходя к областям Ъ ХрР ГХи- Л и Чх СЬ-Р \ v»k\) полУчш оценку для UsH-Ce і-Ь -S\L«M /19/ где с не зависит от X Ъ
В случае, когда ЇЬ& Л5}сц » применим к ре - 143 женив Ц/Ц-Цх -Со задачи /I/, /2/ внутреннюю оценку /2 / согласно лемме 2 3 главы 2 для обласоей !Ьл W и \іщх) Ъс-, \Х\ » получим оценку вида /19/ для таких 5с. , в которой С не зависит от х ,s
Таким образом, для любой точки хє Ц_ справед-лива оценка /19/. Применим к правой части соотношения /19/ оценку /II/ теоремы 13данной главы, получим требуемое соотношение /18/. Теорема доказана. Рассмотрим зависимость s\m \ \А/(х)-С,Л непосредственно от П ніО. для некоторых конкретных областей.
Рассмотрим конус 11 с вершиной в 0 и осью., направленной по Х . Предположим, что сечение = l(Ux:Xfc-V\ явля еься выпуклым уУн\-мерным множеством с гладкой (Н-Х4)-мерной границей. Как было показано в примере I предыдущего прара-графа, для таких областей 17() = С (ё) » гДе Ж.» - S()f+І " 7Г і ) о " ДиаметР множества tf Для случая уравнения Лапласа более точно 7 = 4 4. В силу полученной в главе 2, примере 3 оценке для конусов с гладкой границей имеем - 144 її где L не зависит от SAty/ . Таким образом, оценивая затем \ ( i- C0) dx согласно теореме 131 данной главы и примеру I этого параграфа, получим Для случая уравнения Лапласа, пользуясь уточненной оценкой \J(v) , имеем
Поскольку при VI=5L ограничение !Lx-Vl 0 не существенно, то полученная оценка имеет смысл при любых величинах угла СО , определяющего двумерный .угол,: в полуплоскости
Тогда данная оценка принимает вид: Ч W ycf с HY W , А.-2-у. - 145 или для случая уравнения Лапласа более точно: Так как в такой области известно решение задачи Неймана вида W(% )-4/ M/-г— 0} t то последняя оценка является в. оп ределенном., смыслеточной г при малых углах D& , когда 2. Рассмотрим область Llc-iK/ » описанную в примере главы 2 и примере 3 данной главы, 8, у которой любое ее сечение 5І Л(\\х:Х і\ получается из фиксированной выпуклой (VA) мерной области в0 растяжением в X раз, х \. Предположим, что v -- )" мерная граница (YI-\V мерной области является гладкойЛх:х-0\ Є С . Тогда на основании оценок, полученных в примере 7 главы 2, имеем так как расстояния между плоскостями 43 =6. \ v и между плоскостями \Х -е \ и ДХ = . т равны С- , где Q/ не зависят от S ; константа С- в данном неравенстве не - 146 зависит от S . Оценивая \ (U-C) kx. согласно теореме 13 данной главы, получим на основании оценки \Д для таких областей из примера 2 8 данной главы: ОД лХч не зависят от S , С, - любое положительное число, мяныяее 5sJ J", ,ЦЛ Й (Л Я cto - диаметр [YHV мерной области , Т= Є. . Из этой оценки следует, что где С в тех же пределах, что и в предыдущем соотношении, С Q, не зависят от Т
