Стабилизация решений смешанной задачи для параболических уравнений высокого порядка Биккулов Ильгиз Мидехатович

Содержание к диссертации

Введение

1. Некоторые вспомогательные предложения 19

2. Существование и единственность решения параболического уравнения высокого порядка 31

3. Оценка сверху решения для уравнения 4-го порядка 57

4. Оценка снизу решения для уравнения 4-го порядка . 69

5. Оценка скорости стабилизации решения уравнения 6-го порядка 76

Литература 87

• Некоторые вспомогательные предложения
• Существование и единственность решения параболического уравнения высокого порядка
• Оценка сверху решения для уравнения 4-го порядка
• Оценка скорости стабилизации решения уравнения 6-го порядка

Введение к работе

Диссертация посвящена изучению стабилизации нормы решения смешанной задачи для линейных параболических уравнений четвертого и шестого порядков в цилиндрической области D = {t > 0} х П, где Q — произвольная неограниченная область пространства Rn, п > 2. Рассматривается зависимость поведения нормы решения этой задачи при больших значениях времени t от геометрии неограниченной по пространственным переменным области Q, лежащей в основании цилиндра.

Проблеме изучения поведения при больших временах решений задачи Коши и смешанных задач для уравнений и систем линейных (и нелинейных) эволюционных уравнений посвящено очень большое число работ. Данная проблема ввиду многообразия свойств эволюционных систем имеет много аспектов. Важной является задача определения значений параметров нелинейной системы, при которых решение задачи Коши существует в целом по времени (т.е. при всех t > 0), или, наоборот, взрывается (см. обзоры в работах [10], [21]). В тех же случаях, когда решение заведомо существует в целом, возникает задача изучения асимптотического поведения решения задачи Коши при больших временах. Этому направлению посвящены работы [43 - 46], [59], [60] и ряд других. В случае задачи Коши для линейного параболического уравнения второго порядка с иесуммируемой

и неограниченной начальной функцией много работ посвящено исследованию условий на нее, обеспечивающих стабилизацию решения ([16], [20], [45], [46], [62]. Основная часть их касается скалярного уравнения

u_t = dw(A(t,x)S7u). (0.1)

Здесь A(t, х) — симметрическая матрица размера п х п, ее элементами являются измеримые функции cLij(t_t ж), i,j = 1,7г, удовлетворяющие условию

v\v\² < Yu ^аИ&^х)УіУі ^ НуI², У- > 1, (0-2)

для любого вектора у = (j/і, ї/2> ) Уп) Яг( и почти всех (і, ж) Є D. Задача о критерии равномерной стабилизации решения задачи Коши в предполо-жєеіии ограниченности начальной функции решена в работах В.В.Жикова [20] и S.Kamin [62]. А именно, в этих работах установлено, что необходимым и достаточным условием равномерной стабилизации к нулю решения задачи Коши

u(t, х) —> 0 при t —> со равномерно по х Є /„,

является равномерное стремление к нулю шарового среднего от начальной функции

^т~^п I ф{у)&У ~* 0 ^ПР^{И г} ~* равномерно по х Є Rn-

\y-x\

Аналогичный критерий в неограниченной области для второй смешанной задачи был получен А.К. Гущиным, В.П. Михайловым, Ю.А. Михайловым [14, 15], и для первой смешанной задачи — Ф.Х. Мукминовым [38].

Поведение решения задачи Коши для уравнения (0.1) с суммируемой начальной функцией хорошо известно [66]

\u(t,x)\ < Сі і~'||Икі(П) д^{ля всех} (*>^х) є А

где константа С\ > 0. В дальнейшем, ниже С\ — положительные постоянные.

А.К. Гущин в работах [11 - 13] положил начало изучению поведения решения смешанных задач для параболического уравнения в неограниченных областях. Мы более подробно коснемся работ данного направления, поскольку они наиболее близко примыкают к рассматриваемой нами задаче. В случае линейного параболического уравнения поведение решения с неотрицательной финитной начальной функцией, грубо говоря, соответствует поведению функции Грина. Отметим при этом, что поведение решений первой смешанной задачи в неограниченной области качественно отличается от поведения решений второй смешанной задачи. Если убывание решения второй смешанной задачи для уравнения теплопроводности обеспечивается "размазыванием тепла" по все большему объему, и убывание будет тем более быстрым, чем быстрее "расширяется область на бесконечности", то убывание решения первой смешанной задачи обеспечивается, в основном, оттоком тепла через границу, и убывание будет тем более быстрым, чем медленнее "расширяется область па бесконечности". При этом фактор "размазывания тепла" действует и в случае первой смешанной задачи. Естественно, что решающую роль в определении поведения решения здесь играет геометрия области. В случае второй смешанной задачи для уравнения (0.1) А.К.Гущиным выделена простая геометрическая характеристика v(r) = mes„fi^r, Q^r = {х Є П : |ж[ < г], определяющая поведение решения при большом времени. Сформулируем условия, накладываемые в [11] на неограниченную область Q. Рассматривается функция

l(v) — inf mes_n-i(dQf] Q), где Q — произвольное открытое подмно-mes_ftQ=u

жество Q. Непрерывная положительная монотонно неубывающая функция 6(и), v > 0, удовлетворяет условию: существует такая положительная постоянная єо (єо < l/ⁿ)i ^чт0 функция v¹~^o/0(v) монотонно не убывает для всех v > 0. Область 1 принадлежит классу А(0), если для всех v > 0, l(v) > Q(v). Пусть начало координат принадлежит области Q. Область П из класса А(@) считается принадлежащей классу B(Q), если существуют такие положительные постоянные s, S, R, что для любого г > R справедливы неравенства:

Q(v(r)) > s(v(r))^a\ w{r) < S{v{r))^a,

где w(r) = mes„_i{^ U : \x\ = r}, 0 < ao < (n — l)/n.

Если область О, удовлетворяет условию -В(9), то решение w(i, х) второй смешанной задачи для уравнения (0.1) с финитной начальной функцией <р(х) подчиняется неравенству

sup|u(*,ar)| < C₂\\_Ll{n)/v{Vt), t > 0,

а если начальная функция <р ф 0 и неотрицательна, то при достаточно больших t и неравенству

sup u(t,x) > Czfv{\ft).

Как показано в работах А.К. Гущина [11 - 13], А.В. Лежнева [32], для уравнения теплопроводности в случае второй смешанной задачи происходит "равномерное распространение тепла" по области, состоящей из точек, удаленных от носителя финитной начальной функции па расстояние у/і.

А.В. Лежневым изучалась зависимость поведения при больших значениях времени неотрицательного решения второй смешанной задачи для

параболического уравнения (0.1) от неограниченной области П и начальной функции (р. При некоторых условиях на область Q установлено, что при больших значениях времени норма ||it(t)||^ m^j решения ведет себя, как функция Ф(лД), где

Ф(г) = / tp(x)dx/v(r), г > 0.

А.Ф. Тедеевым в работе [49] исследовалось решение второй смешанной задачи для вырождающегося квазилинейного параболического уравнения

Ut = Yl -j—^ai(t> ^х> V«) - X\u\^qu, q > 0, A > 0. (0.3)

,-=i ^dXi

Здесь функции ai(t,x_t), і = 1,2,...,n, непрерывны no f Є Rn и измеримы

по (t, х) Є D и для всех ^,і] Є Rn ^ПР^И почти всех (,ж) Є ІЗ удовлетворяют

условиям п

^(oi^x.fl - Oi(*,a:,4)) ( - Щ) > C₄\t-v\^m+1, m > 1, і=і

vm-li

M*,s,0-*(*,&,і?)|< <Ш1 + НГ^_1К- »7І, t = l,n,

Oj(t, ж,0) = 0, г = 1,п.

Для неотрицательного решения второй смешанной задачи в неограниченной области О, из класса В(@) в случае уравнения (0.3) при Л = 0 с неотрицательной начальной функцией (р(х) L_po+\ f) 1^(0), ро > 1> получены точные оценки величины M(t) = vraimaxu(t, х). В частности, для начальной функции <р(х), удовлетворяющей условию

С_с{1 + \х\у^а<ф)<С₇{1 + \х\)-^а, —і- г<а< ^L

(ро+ 1)(1-ого) 1-Ofo

при достаточно больших і > 0 выведены неравенства

_СвГ1/((1-ао)(_т+1)+т-1)_ы < _Мф < _С9Г1/((1-а₀)Ст+1)₊т-1)_1піі

Кроме того, в неограниченной области Q из класса A(Q) при А ф 0 установлена оценка сверху функции M(t) при достаточно больших t.

В работах [52 - 54] рассматривались смешанные задачи для параболического уравнения (ОЛ) в нецилиндрических областях. А именно, в [54] для первой смешанной задачи в предположении ограниченности сечений области плоскостями t = const получены оценки скорости стабилизации решения в терминах первого собственного значения соответствующего эллиптического оператора на этих сечениях. В работах [52, 53] В.И.Ушаковым в предположении, что нецилиндрическая область расширяется при возрастании времени, установлена справедливость оценок, близких к приведенным выше для случая второй смешанной задачи; при этом рассматривалось краевое условие, обеспечивающее сохранение энергии.

Для параболического квазилинейного уравнения высокого порядка в дивергентной форме

щ + (-1)^т J2 D^aA_a(t_}x,u,Du,...iD^mu) = 0, т>1, (0.4)

\а\=т

в цилиндрической области D с граничными и начальными условиями:

D^u =0, |/?|

ЭПх{*>0}

где Л_а (f, х, ) — каратеодоровы функции, удовлетворяющие условиям:

^л<*& *> ОС > с_ю 53 1Т, р > 2, (о.б)

jd|=m |а|=тл

^{K(^,Oi|ЄГ\ (0-7)}

|o|=m joj=Tfi

для любого вектора = (,\ ...>^m) , С = (С_а) > I^а! — h А.Ф.Тедеевым [48] получен следующий результат. Пусть А (г), г > 0 — первое собственное число оператора —Д в области П(г) = К(г) П Q, где ^(r) = {\х\ < г}, с условием Дирихле на границе, и г(i), t > 0 — обратная к F(r) = ^г/[^(^г)]'^2тп-1^² функция. Предполагается, что fi удовлетворяет условиям: lim г² А (г) = со, lim А (г) = 0. Тогда при условии финитиости начальной

J—^00 Г—ЇСО

функции <р, для достаточно больших і > Ті, при р = 2 в [48] установлено неравенство

j и² (, х) dx < Г₀ ехр ( -70 (~Y^j J . (-⁸)

где Го,7о ~ положительные постоянные. В частности, для трубчатых областей вида

Q[f] = {х Є Н_ш х = (х_их) : |я'| < /(ц), ц > 0}, (0.9)

с функцией /(жі) — ж", а (0,1), приведенная оценка примет вид:

и² (t, х) dx < Гі ехр (-71^+^-^) , t > Г₂. п Кроме того, если выполнены условия (0.6)-(0.7) при р > 2, А.Ф. Тедеевым

установлено, что для ограниченного решения уравнения (0.4) с финитной

начальной функцией ip в трубчатой области вида П[х"], 0 < а < (2тр—р+

2)/{2тр-\-{р—2)(п—1)), при достаточно больших і имеет место неравенство

||«(*)|| < с₁₂г\ где положительная константа А определяется постоянными n,a, m_tp.

Оценка (0.8) совпадает с соответствующей оценкой для решения первой смешанной задачи для линейного параболического уравнения высокого порядка, полученной ранее в работе [37]. Отметим, что в работе [36] на основе принципа максимума при т = 1, то есть для линейного параболического уравнения второго порядка, получена равномерная оценка для х Є fi

\u(t,x)\ <Г₂ехр( -72—— 1 |Mk(fi)i

t>T_3l

и доказано, что она является точной по порядку стремления к нулю при t -> со, в частности, для трубчатых областей вида ^[ж"]. Более подробный обзор работ по стабилизации решений параболических уравнений и систем можно найти в работах [8], [10], [21].

В случае же смешанных задач для параболических уравнений высокого порядка имеются оценки решения сверху, но нам не известны результаты, каким либо образом подтверждающие их точность.

В диссертации изучается поведение решений при t —> со параболических уравнений четвертого и шестого порядков.

Для параболического уравнения четвертого порядка

u_t = -L²u, Lu = ^2(а^(х)и_х.)_х., (0.10)

в цилиндрической области D рассматривается следующая смешанная задача:

"(*» ^х)\хедп = ^Ьи& ^х) Lean = > С⁰*¹¹)

u(0, х) = _t <р L₂(Q), (0.12)

где начальная функция <р{х) имеет ограниченный носитель:

ip(x) = 0 при \х\ > Rq. (0.13)

Коэффициенты уравнения (0.10) — дифференцируемые функции, удовлетворяющие неравенствам (0.2) для всех х Є О, и неравенству

<0. (0.14)

*J=1

Ограничения на функцию (/(г¹) определим позже.

В работе изучается зависимость поведения при больших значениях времени г(^) ^— нормы решения u(t,x) задачи (0.10)-(0.12) от геометрии неограниченной области Q. Требование ограниченности носителя начальной функции существенно, так как в противном случае скорость стабилизации решения зависит не только от области Q, но и от начальной функции (р (см. [40]).

Пусть область Q имеет К выходов на бесконечность, расположенных вдоль лучей S{, то есть имеет вид

П = Q U ( U П),

О t=l і

где Q, г = 1, ...,/<" — непересекающиеся неограниченные области, a Q —-
і о

ограниченная область. При этом можно Q выбрать так, чтобы пересече-

ние дО, П 5Q, было достаточным весомым (см. ниже (0.18)). Обозначим Q^b_a — {х П : а < xi < 6}, причем индексы а = 0, Ь — со могут опускать-ся. Будем предполагать, что если выбрать ось Осе і, направленной вдоль некоторого луча s,-, то область О, расположится в полуплоскости {xi > 0},

причем области fig будут ограничены при г > 0. Всюду в работе предпола-гается, что граница области О, принадлежит равномерно классу С², то есть существуют такие числа d, Ъ > 0, что Vx <9Q пересечение B{d,x) П dQ границы с шаром B(d, х) радиуса d с центром в точке а; задается как гра-

фик функции у = /(ь &) »6і-і), У которой все производные до второго порядка включительно ограничены числом Ь.

Обозначим через А(г), г — 1,..., К, г > 0, первое собственное значение

оператора —Д в области Q^r с условием Неймана на части ее границы dQHQ

і і

и условием Дирихле на оставшейся части границы:

А(г) = inf { [ \Vv\²dx I veW\{Sl\q,?) : f v²dx = і}. (0.15)

і і

Очевидно, X{(r),r > 0, ~ певозрастающие функции. Выберем нумерацию так, чтобы

limAf(r) = 0, « = l,2,...,g, (0.16)

Г-+0О

и lim Aj(r) > 0, і = 9 + 1,..., К. При этом допустимо равенство q — К. Однако q > 1, иначе, как хорошо известно, решение будет убывать быстрее

чем е"^єі. Потребуем также, чтобы для области Q выполнялось условие

г—юо

lim г² А(г) — со, г — 1,..., q, (0.17)

а для области Q* = Q U (J Г2 было справедливым неравенство

р? = inf{ /* |V^|²dx I и Є CJ(n) : / v²dx = l} > 0. (0.18)

Это ограничение несущественно, поскольку имеется произвол в выборе об
ласти Q. Нетрудно доказать, что оно выполнено, если пересечение dQHdQ,
о о

имеет ненулевую меру размерности (п— 1). Кроме этого, потребуем, чтобы функция д(г) удовлетворяла при достаточно больших значениях г > R\ неравенству

д(г) < Kmin{A^1/2(r)}, (0.19)

і і 12

с постоянной V, зависящей только от п, и, /і, и Ло.

Рассмотрим монотонно возрастающие непрерывные функции F{(г) =

г[Л(г)]~³/², г > 0, г = 1,...,0. Обозначим через г,-(і), і > 0, обратные і

функции к -Ff(r) соответственно. Отметим, что так как t = ^(01^(^(^))]^-3^

то справедливы равенства

т t

(0.20)

Теорема 1. Пусть область Q удовлетворяет условиям (0.16), (0.17), коэффициенты уравнения (0.10) удовлетворяют условиям (0.2), (0.14) и выполнено условие (0.19). Далее, пусть u(t,x) - решение задачи (0.10) - (0.12) в области Q, a u_r(t,x), г = 1,...,(/ - решения той оюе задачи

в областях Q^r соответственно. Тогда найдутся такое полооїсительное і

число tti, зависящее только отп, рь uv, и такие числа Ті, Мі, зависящие от п, v, fj,, Ri и Rq (slippy С K(Rq)), что для всех t > Ті справедливо неравенство

/

u²(,:c)&c < Mjexp ( —/сі mm

_>?(*)

., 1>

_{(1 + *)1М11(П)- C-}²¹₎

Такая Dice оценка справедлива и для функций u_r(t_:x)

max J ul{t_tx)dx < Мівхр -«і тії

i=l,qj і V ^І=1'

n^{r ч}

_'г?(0

, і>

(1 + *)ІМІІ₂₍п,, Vr>2i?o

(0.22)

с теми оюе самыми постоянными Мі и к\.

Отметим, что из (0.20) и (0.16) следует соотношение

lim min

t-K»t=l,₉

= со,

(0.23)

то есть экспонента в (0.21) стремится к нулю при t —» оо. В частности, для областей вида П[їСі] оценка (0.21) примет вид

[ u²(t,x)dx < М{ ехр (-_к\іШ^\ , і > Т{,

где Mf, к\, Ті* аналоги констант Мі, «і, Ті теоремы 1.

Оценка снизу установлена для областей с К выходами на бесконечность следующего вида. Если выбрать ось Ох\ направленной вдоль оси симметрии области П, то каждый рукав имеет вид Q — П [/,-], г ~ 1,..., q. Пред-

г" г

полагается, что функции /j, г — 1,..., q — принадлежат классу С²[0, оо) и имеют ограниченную вторую производную.

Будем говорить, что область і~ї[/] удовлетворяет условиям А), В) или С), если, соответственно:

A) существуют положительные постоянные Q, Р такие, что для произ
вольной точки z = (SjO*) 6 Ох\, s > Р, выполнено неравенство

s+p{s)/2

где p(s) — радиусы наибольших шаров B(p,z) с центром в г, лежащих в

B) существует положительная постоянная С такая, что

C) существует положительное число а такое, что

/М><ГРт(г), Г>Р,

где р_т{т) — радиус наибольшего шара, помещающегося в П^г[/].

Очевидно, что условие С) будет выполнено, если функция f(r) монотонно возрастает.

Теорема 2. Пусть область О, удовлетворяет условиям (0.16), (0.17), а области Q, і = !,...,условиям А), В), С). Пусть u_r(t,х) — решение

І і

задачи (0.10) — (0.12) в области Г2^Г с <р — Хд(р₀>го)> где В(2ро, zq) - макси-

мальный шар, лежащий в области Q^r, с центром в точке zq Є Ох\. Тогда

найдутся такое полоэ/сителъное число К2, зависящее только от п, р, и і/, и такие полоэ/сительные числа Гг, Мг, зависящие еще от области ГІ, и zq, что для всех і > Тч справедливо неравенство

/ «?,(*)(*» ^x)^dx ^ ^М2 ехр ( -к₂

r}(t)

(0.24)

п-чю

Замечание 1. В 4 показано, что если области Q, і = 1,..., q удовле-

творяют условиям В) и С), то экспонента в (0.22) убывает быстрее любой степени t. Тем самым, подтверждается точность оценки (0.22) в случае областей, удовлетворяющих условиям теоремы 2, в том смысле, что справедливы неравенства

< max / uj: ,_tJt, x)dx <

~ і=ї^ J і ^l(} ~

Мгехр I — К2 mm

i-l,q

/ 1=1,,

⁷ Wiit)

4{t)

< M\ exp j —k\ min

i=l,q I t

., 1>

где Mi, к\, M2, «2 аналоги констант Mi, «і, M2, «2 теорем 1 и 2 соответственно.

Отметим, что в отличие от задачи с первым краевым условием (0.5), переход от уравнения (0.10) к уравнению более высокого порядка добавляет

новые технические трудности, связанные с построением срезающей функции такой, чтобы пробная функция удовлетворяла необходимым краевым условиям. Мы ограничимся рассмотрением простейшего параболического уравнения шестого порядка

щ - A^zu (0.25)

в цилиндрической области D при следующих краевых условиях:

и(*>х)\х&а = Д*(*,аОІ*_єап = ^«(i.^Uen = (-²⁶)

и начальном условии (0.12).

Для простоты, задачу (0.25), (0.26), (0.12) будем рассматривать в области вида Q = П[/], где / — монотонно возрастающая на [0, со) функция класса С²[0,со) с ограниченной второй производной. При исследовании поведения нормы решения смешанной задачи (0.25), (0,26), (0.12) использованы следующие обозначения: l^b_a — {х 1 : а < х\ < 6}, ^Da = {&^х) ЄО:а<х_г<Ь}.

На область Q мы накладываем следующие условия:

lim -^-- = со, (0.27)

lim p_m(r) = со. (0.28)

г->оо

Потребуем также, чтобы средняя кривизна К границы д1 удовлетворяла неравенству

K(x_l,X2,...₎x_n)<0, xi>R₀.

Для области Q вида (0.9), это условие записывается в виде

1 + (7'1²
1"<{п-2) У ^} . (0.29)

В дальнейшем будем предполагать, что r(), t > 0, обратная к монотонно возрастающей непрерывной функции F(r) = yp^(r), г > 0. Отметим, что t = r(t) (Pm{r(t))) , и, следовательно,

г^с

г(0

г⁶(0

(0.30)

ft№) _Pm(r(t)Y

Теорема 3. Пусть область Q = П[/] с монотонной функцией f удовлетворяет условиялі (0.27), (0.28) и (0.29). Далее, пусть u{t,x) - решение задачи (0.25), (0.2G), (0.12) в области Q, a u_r(t,x) - решение той Dice задачи в области Q,^r соответственно. Тогда найдутся такое поло-жителъиое число кз, зависящее только от п, и такие числа Тз, М$, зависящие от п и Rq (supp (р С Кц₀)> что для всех t > Т3 справедливо неравенство

и (t,x)dx < Мзехр [ — kz

r!ffl

., її

(1+*)1М1ып)-

(0.31)

Такая же оценка справедлива и для функций u_r(t_}x)

г„о

u^(t,x)dx < Мзехр I —К3

V*(t)

U + OIMlL(n)>Vr>2*o. (0.32)

Отметим, что из (0.30) и (0.27) следует соотношение

_r At)

(0.33)

lim —:— — 00,

f-+oo t

то есть экспонента в (0.31) стремится к нулю при t —J- 00. В частности, для областей вида П[ж"] оценка (0.31) примет вид

/ u²(t, x)dx < Ml ехр (-к\і^\ , t > 7J, n где M₃, K3, T₃* аналоги констант M$_y кз, Т$ теоремы 3.

Теорема 4. Пусть область Q = Q[f] с монотонной функцией f удовлетворяет условиям (0.27), (0.28), (0.29) и условиям А), В). Пусть u_r(t,x) — решение задачи (0.25), (0.2G), (0.12) в области Г2^Г с <р = хв{р₀,г_а)-> где B(2pq₁zq) - максимальный шар, леоісащий в области Т, с центром в точке zq Є Ох\. Тогда найдутся такое положительное число К4, зависящее от га, и такие полооюительиые числа Т±, М±, зависящие от п и zo, что для всех t> Т4 справедливо неравенство

Г^.6

/

(0.34)

U%ty(t_tx)dx > М4ЄХР ( — К4

Замечание 2. В 5 показано, что если область Q, = П[/] удовлетворяет условию В), то экспонента в (0.32) убывает быстрее любой степени t. Тем самым, подтверждается точность оценки (0.32) в случае областей, удовлетворяющих условиям теоремы 4, в том смысле, что справедливы неравенства

МдСХр ( — К4

) < / u²_r{t)(t_}x)dx<

< М₃ exp -kz

Ль)

_, 1^

где Мз, «з, М4, /С4 аналоги констант М$_} к$, М4, К4 теорем 3 и 4 соответственно.

Основные результаты диссертации опубликованы в [2 - 7].

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю доктору физико - математических наук, профессору Фариту Хамзаевичу Мукминову за предложенную тематику исследований, полезные замечания, постоянное внимание к работе и поддержку.

Некоторые вспомогательные предложения

А.К. Гущин в работах [11 - 13] положил начало изучению поведения решения смешанных задач для параболического уравнения в неограниченных областях. Мы более подробно коснемся работ данного направления, поскольку они наиболее близко примыкают к рассматриваемой нами задаче. В случае линейного параболического уравнения поведение решения с неотрицательной финитной начальной функцией, грубо говоря, соответствует поведению функции Грина. Отметим при этом, что поведение решений первой смешанной задачи в неограниченной области качественно отличается от поведения решений второй смешанной задачи. Если убывание решения второй смешанной задачи для уравнения теплопроводности обеспечивается "размазыванием тепла" по все большему объему, и убывание будет тем более быстрым, чем быстрее "расширяется область на бесконечности", то убывание решения первой смешанной задачи обеспечивается, в основном, оттоком тепла через границу, и убывание будет тем более быстрым, чем медленнее "расширяется область па бесконечности". При этом фактор "размазывания тепла" действует и в случае первой смешанной задачи. Естественно, что решающую роль в определении поведения решения здесь играет геометрия области. В случае второй смешанной задачи для уравнения (0.1) А.К.Гущиным выделена простая геометрическая характеристика v(r) = mes„fir, Qr = {х Є П : ж[ г], определяющая поведение решения при большом времени. Сформулируем условия, накладываемые в [11] на неограниченную область Q. Рассматривается функция произвольное открытое подмно-mesftQ=u жество Q. Непрерывная положительная монотонно неубывающая функция 6(и), v 0, удовлетворяет условию: существует такая положительная постоянная єо (єо l/n)i чт0 функция v1 o/0(v) монотонно не убывает для всех v 0. Область 1 принадлежит классу А(0), если для всех v 0, l(v) Q(v). Пусть начало координат принадлежит области Q. Область П из класса А(@) считается принадлежащей классу B(Q), если существуют такие положительные постоянные s, S, R, что для любого г R справедливы неравенства:

Если область О, удовлетворяет условию -В(9), то решение w(i, х) второй смешанной задачи для уравнения (0.1) с финитной начальной функцией р(х) подчиняется неравенству а если начальная функция р ф 0 и неотрицательна, то при достаточно больших t и неравенству

Как показано в работах А.К. Гущина [11 - 13], А.В. Лежнева [32], для уравнения теплопроводности в случае второй смешанной задачи происходит "равномерное распространение тепла" по области, состоящей из точек, удаленных от носителя финитной начальной функции па расстояние у/і.

А.В. Лежневым изучалась зависимость поведения при больших значениях времени неотрицательного решения второй смешанной задачи для параболического уравнения (0.1) от неограниченной области П и начальной функции (р. При некоторых условиях на область Q установлено, что при больших значениях времени норма it(t) m j решения ведет себя, как функция Ф(лД), где

А.Ф. Тедеевым в работе [49] исследовалось решение второй смешанной задачи для вырождающегося квазилинейного параболического уравнения Здесь функции ai(t,xt), і = 1,2,...,n, непрерывны no f Є Rn и измеримы по (t, х) Є D и для всех ,і] Є Rn ПРИ почти всех (,ж) Є ІЗ удовлетворяют условиям Для неотрицательного решения второй смешанной задачи в неограниченной области О, из класса В(@) в случае уравнения (0.3) при Л = 0 с неотрицательной начальной функцией (р(х) Lpo+\ f) 1 (0), ро 1 получены точные оценки величины M(t) = vraimaxu(t, х). В частности, для начальной функции р(х), удовлетворяющей условию при достаточно больших і 0 выведены неравенства СвГ1/((1-ао)(т+1)+т-1)ы Мф С9Г1/((1-а0)Ст+1)+т-1)1піі Кроме того, в неограниченной области Q из класса A(Q) при А ф 0 установлена оценка сверху функции M(t) при достаточно больших t. В работах [52 - 54] рассматривались смешанные задачи для параболического уравнения (ОЛ) в нецилиндрических областях. А именно, в [54] для первой смешанной задачи в предположении ограниченности сечений области плоскостями t = const получены оценки скорости стабилизации решения в терминах первого собственного значения соответствующего эллиптического оператора на этих сечениях. В работах [52, 53] В.И.Ушаковым в предположении, что нецилиндрическая область расширяется при возрастании времени, установлена справедливость оценок, близких к приведенным выше для случая второй смешанной задачи; при этом рассматривалось краевое условие, обеспечивающее сохранение энергии.

Существование и единственность решения параболического уравнения высокого порядка

Доказательство существования обобщенного решения задачи (2.29), (2.30), (2.3) проведем методом галеркипских приближений, имеющих вид (2.6). Выберем последовательность функций ш(- Є Сд(12) таких, что линейная оболочка Wi плотна в H (Q) и W{ ортонормированы в L2 (Q) . Покажем, как это можно сделать.

Собственные функции оператора Лапласа в ограниченной области Q с границей класса С2 принадлежат пространству W22Q{Q) [35, с.218, формула (17)]. Любая функция / є W iQ) раскладывается в ряд Фурье сходящийся в норме пространства W2Q{Q) [35, с.230, теорема 8]. Возьмем функцию g Є WloCQ) такую, что Д ? = / Є W Q). Тогда ряд Фурье для функции g сходится в пространстве H {Q). Согласно сказанному выше, достаточно доказать, что УД( 7 — ] m m) при К — со. Очевидно, Если дана функция v Є #д, то Av GW\(Q)i функцию Av приближаем функцией / CQ((5) В норме пространства W fQ)- В качестве функции возьмем решение уравнения Пуассона: Ад = J, д Є W iQ)- По теореме 4 в книге [35, с.218] имеем \\v — g\\wfa(Q) сДи — /jz,2(Q) є. Следовательно, 11 — d\\w2 (Q) сіє Тем самым, доказана плотность собственных функций оператора Лапласа в пространстве H (Q). В случае неограниченной области выбираем последовательность ограниченных областей Qi с границей класса С2 такую, что l = J Qi, 80, = [J dQ{. Теперь в качестве последователыюсти о ; можно взять результат процесса ортогонализации Шмитта, примененный к объединению наборов собственных функций оператора Лапласа, помноженных на подходящие срезающие функции, в ограниченных областях Qi. Функции Cjy будем определять из условий Таким образом, берется решение задачи (2.34) — (2.35) и по нему строятся функции (2.6), называемые галеркинскими приближениями. Покажем, что они в определенном смысле сходятся к решению смешанной задачи (2.29), (2.30), (2.3). Сначала докажем, что uN ограничены в Яд (DT). Умножим уравнение (2.33) почленно на ClN и просуммируем по і Так как и Є ЯД(Г2) С Wfo( )5 то для нее, в силу леммы 1, справедливо неравенство (1.2). Используя (1.2) с L = А, и далее, применяя неравенство Заметим, что: у (0) = 6(0) — \\ф\\2- Значит 6 (Т) — убывающая функция и 6(Т) М2, тогда ИГ) есГМ2. (2.42) Неравенство (2.42) вместе с (2.40) доказывает ограниченность галеркин-ских приближений в іїд (DT), НО тогда uN, и .} и .х. и VAuN будут ограничены и в І2 ( т), а из ограниченной последовательности можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность. Можем считать, что uN — и в Н (DT) Пусть uN в L2 (DT). Покажем, что фХі = , iXj. = JJ и /ij = (А )Жі. Пусть / Є Со( т) — произвольная пробная функция. С одной стороны мы имеем (u , /)L (DT. — {Фі) І)і2{Пт) а с АРУГЙ ст0" роны получим (и%, f)L2{DT) = - (uN JXi)L2{DT)). Тогда по определению обобщенной производной из двух последних выражений устанавливаем, что функция ф имеет обобщенную производную ф{, то есть ФХІ = Фі- Аналогично устанавливаются и оставшиеся равенства. Докажем, что и — ф. Из локальной компактности вложения H (DT) в L/2(DT) слабая сходимость uN —Lu в пространстве Н (DT) влечет сильную СХОДИМОСТЬ В Пространстве L2I\QC{DT}. ПОЭТОМУ (uN, /)i2( T) -» (и, /)І2()Г), V/ Є C{DT). Отсюда, в силу единственности слабого предела, и — ф. Из (2.33) следует справедливость тождества: Перейдем в (2.45) к пределу: / [-uvt + VAuVAv]dzdt = p(x)v (О, х) dx. (2.46) Тождество (2.46) выполнено для линейных комбинаций вида (2.44), а в определении обобщенного решения требуется справедливость его для любой функции V Є Яд (&Т) Ранее мы считали, что W{ ортонормированы в L i (О). Теперь считаем, что wi ортонормированы в Н\ (Q). На самом деле это можно сделать, поскольку возможен переход от первого предположения ко второму и получение из базиса ш, пространства L2 {& ) базиса ц { пространства Яд (Q) при помощи применения процесса ортогонализации Шмитта, при этом линейные оболочки гУі,Ш2, ...,гип и ъ р2» — рп ъ 2 ( ) совпадают.

Оценка сверху решения для уравнения 4-го порядка

Основная часть их касается скалярного уравнения Здесь A(t, х) — симметрическая матрица размера п х п, ее элементами являются измеримые функции cLij(tt ж), i,j = 1,7г, удовлетворяющие условию для любого вектора у = (j/і, Ї/2 ) Уп) Яг( и почти всех (і, ж) Є D. Задача о критерии равномерной стабилизации решения задачи Коши в предполо-ЖЄЕІИИ ограниченности начальной функции решена в работах В.В.Жикова [20] и S.Kamin [62]. А именно, в этих работах установлено, что необходимым и достаточным условием равномерной стабилизации к нулю решения задачи Коши при t — со равномерно по х Є /„, является равномерное стремление к нулю шарового среднего от начальной функции равномерно по х Є Rn \y-x\ r

Аналогичный критерий в неограниченной области для второй смешанной задачи был получен А.К. Гущиным, В.П. Михайловым, Ю.А. Михайловым [14, 15], и для первой смешанной задачи — Ф.Х. Мукминовым [38]. Поведение решения задачи Коши для уравнения (0.1) с суммируемой начальной функцией хорошо известно [66] где константа С\ 0. В дальнейшем, ниже С\ — положительные постоянные.

А.К. Гущин в работах [11 - 13] положил начало изучению поведения решения смешанных задач для параболического уравнения в неограниченных областях. Мы более подробно коснемся работ данного направления, поскольку они наиболее близко примыкают к рассматриваемой нами задаче. В случае линейного параболического уравнения поведение решения с неотрицательной финитной начальной функцией, грубо говоря, соответствует поведению функции Грина. Отметим при этом, что поведение решений первой смешанной задачи в неограниченной области качественно отличается от поведения решений второй смешанной задачи. Если убывание решения второй смешанной задачи для уравнения теплопроводности обеспечивается "размазыванием тепла" по все большему объему, и убывание будет тем более быстрым, чем быстрее "расширяется область на бесконечности", то убывание решения первой смешанной задачи обеспечивается, в основном, оттоком тепла через границу, и убывание будет тем более быстрым, чем медленнее "расширяется область па бесконечности". При этом фактор "размазывания тепла" действует и в случае первой смешанной задачи. Естественно, что решающую роль в определении поведения решения здесь играет геометрия области. В случае второй смешанной задачи для уравнения (0.1) А.К.Гущиным выделена простая геометрическая характеристика v(r) = mes„fir, Qr = {х Є П : ж[ г], определяющая поведение решения при большом времени. Сформулируем условия, накладываемые в [11] на неограниченную область Q. Рассматривается функция жество Q. Непрерывная положительная монотонно неубывающая функция 6(и), v 0, удовлетворяет условию: существует такая положительная постоянная єо (єо l/n)i чт0 функция v1 o/0(v) монотонно не убывает для всех v 0. Область 1 принадлежит классу А(0), если для всех v 0, l(v) Q(v). Пусть начало координат принадлежит области Q. Область П из класса А(@) считается принадлежащей классу B(Q), если существуют такие положительные постоянные s, S, R, что для любого г R справедливы неравенства:

Если область О, удовлетворяет условию -В(9), то решение w(i, х) второй смешанной задачи для уравнения (0.1) с финитной начальной функцией р(х) подчиняется неравенству а если начальная функция р ф 0 и неотрицательна, то при достаточно больших t и неравенству

Как показано в работах А.К. Гущина [11 - 13], А.В. Лежнева [32], для уравнения теплопроводности в случае второй смешанной задачи происходит "равномерное распространение тепла" по области, состоящей из точек, удаленных от носителя финитной начальной функции па расстояние у/і.

А.В. Лежневым изучалась зависимость поведения при больших значениях времени неотрицательного решения второй смешанной задачи для параболического уравнения (0.1) от неограниченной области П и начальной функции (р. При некоторых условиях на область Q установлено, что при больших значениях времени норма it(t) m j решения ведет себя, как функция Ф(лД), где

Оценка скорости стабилизации решения уравнения 6-го порядка

Доказательство существования обобщенного решения задачи (2.29), (2.30), (2.3) проведем методом галеркипских приближений, имеющих вид (2.6). Выберем последовательность функций ш(- Є Сд(12) таких, что линейная оболочка Wi плотна в H (Q) и W{ ортонормированы в L2 (Q) . Покажем, как это можно сделать.

Собственные функции оператора Лапласа в ограниченной области Q с границей класса С2 принадлежат пространству W22Q{Q) [35, с.218, формула (17)]. Любая функция / є W iQ) раскладывается в ряд Фурье сходящийся в норме пространства W2Q{Q) [35, с.230, теорема 8]. Возьмем функцию g Є WloCQ) такую, что Д ? = / Є W Q). Тогда ряд Фурье для функции g сходится в пространстве H {Q). Согласно сказанному выше, достаточно доказать, что УД( 7 — ] m m) при К — со. Очевидно, Если дана функция v Є #д, то Av GW\(Q)i функцию Av приближаемфункцией / CQ((5) В норме пространства W fQ)- В качестве функции g возьмем решение уравнения Пуассона: Ад = J, д Є W iQ)- По теореме 4 в книге [35, с.218] имеем \\v — g\\wfa(Q) сДи — /jz,2(Q) є. Следовательно, 11 — d\\w2 (Q) сіє Тем самым, доказана плотность собственных функций оператора Лапласа в пространстве H (Q). В случае неограниченной области выбираем последовательность ограниченных областей Qi с границей класса С2 такую, что l = J Qi, 80, = [J dQ{. Теперь в качестве последо- вателыюсти о ; можно взять результат процесса ортогонализации Шмитта, примененный к объединению наборов собственных функций оператора Лапласа, помноженных на подходящие срезающие функции, в ограниченных областях Qi. Функции Cjy будем определять из условий Таким образом, берется решение задачи (2.34) — (2.35) и по нему строятся функции (2.6), называемые галеркинскими приближениями. Покажем, что они в определенном смысле сходятся к решению смешанной задачи (2.29), (2.30), (2.3). Сначала докажем, что uN ограничены в Яд (DT). Умножим уравнение (2.33) почленно на ClN и просуммируем по і Так как и Є ЯД(Г2) С Wfo( )5 то для нее, в силу леммы 1, справедливо неравенство (1.2). Используя (1.2) с L = А, и далее, применяя неравенство Неравенство (2.42) вместе с (2.40) доказывает ограниченность галеркин-ских приближений в іїд (DT), НО тогда uN, и .} и .х. и VAuN будут ограничены и в І2 ( т), а из ограниченной последовательности можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность. Можем считать, что uN — и в Н (DT) Пусть uN —в L2 (DT). Покажем, что фХі = , iXj. = JJ и /ij = (А )Жі. Пусть / Є Со( т) — произвольная пробная функция. С одной стороны мы имеем (u , /)L (DT. — {Фі) І)і2{Пт) а с АРУГЙ ст0" роны получим (и%, f)L2{DT) = - (uN JXi)L2{DT) - - W ,/xj r). Тогда по определению обобщенной производной из двух последних выражений устанавливаем, что функция ф имеет обобщенную производную ф{, то есть ФХІ = Фі- Аналогично устанавливаются и оставшиеся равенства. Докажем, что и — ф. Из локальной компактности вложения H (DT) в L/2(DT) слабая сходимость uN —Lu в пространстве Н (DT) влечет сильную СХОДИМОСТЬ В Пространстве L2I\QC{DT}. ПОЭТОМУ (uN, /)i2( T) -» (и, /)І2()Г), V/ Є C{DT). Отсюда, в силу единственности слабого предела, и — ф. Из (2.33) следует справедливость тождества: Перейдем в (2.45) к пределу: Тождество (2.46) выполнено для линейных комбинаций вида (2.44), а в определении обобщенного решения требуется справедливость его для любой функции V Є Яд (&Т)- Ранее мы считали, что W{ ортонормированы в L i (О). Теперь считаем, что wi ортонормированы в Н\ (Q). На самом деле это можно сделать, поскольку возможен переход от первого предположения ко второму и получение из базиса ш, пространства L2 {& ) базиса ц { пространства Яд (Q) при помощи применения процесса ортогонализации Шмитта, при этом линейные оболочки гУі,Ш2, ...,гип и ъ р2» — рп ъ 2 ( ) совпадают. Докажем, что для любой функции v Яд {рТ) , v(T, г) = О суще- N ствует последовательность vN = /Jd ,-, d{ Є С[—1,Т], rfj(T) = 0 такая, что vN - VB Яд 3 (DT) . Достаточно научиться приближать функции v Є С [DT) такие, что v \ST— 0, v(T,x) — 0 и v имеет ограниченный носитель, поскольку такие функции плотны в Яд ( г) . Для таких функций тождество (2.46) будет верным по лемме 4.

Похожие диссертации на Стабилизация решений смешанной задачи для параболических уравнений высокого порядка

О поведении обобщенных решений краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка в окрестности границы и на бесконечности Тюлина Анна Константиновна

О единственности решений первой смешанной задачи для параболических уравнений второго порядкаСливина, Наталья Александровна

О законе композиции операторов дробного интегродифференцирования с различными порядками и их приложения к решению краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типовКосимов, Хурсанали Нурматович

Исследование регулярности обобщенных решений краевых задач для эллиптических нелинейных систем уравнений высокого порядкаАлдохина, Виктория Николаевна

Исследование существования и единственности положительных решений краевой задачи для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений второго порядкаАбдурагимов Гусен Эльдерханович

Совпадение классических и обобщенных решений некоторых краевых и смешанных задач для систем уравнений второго порядка с неограниченными младшими коэффициентамиСафиев, Эльшан Кавы оглы

Интегральные представления многообразия решений и краевые задачи для некоторых классов нелинейных гиперболических уравнений второго порядкаДехконбаев, Низомидин Имомкулович

Стабилизация решения смешанной задачи для двумерной системы уравнений Навье-Стокса в неограниченной области Хисамутдинова Наиля Аслямовна

Краевые задачи для смешанных уравнений, порядок которых вырождается вдоль перпендикулярных линий изменения типа Зайнулабидова Заира Мансуровна

Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений второго порядка смешанного эллиптико-параболического типаМирсагатов, Шухрат Шавкатович