Стабилизация решения смешанной задачи для двумерной системы уравнений Навье-Стокса в неограниченной области Хисамутдинова Наиля Аслямовна

Содержание к диссертации

Введение

1. Поведение решения первой смешанной задачи для параболического уравнения в области с несколькими выходами на бесконечность 16

11. Постановка задачи. Неравенство Фридрихса. Формулировка основных результатов 16

12. Оценка сверху 21

13. Оценка снизу 27

1.4. Оценки характеристик N(r) и р 30

2. Стабилизация решения смешанной задачи для двумерной системы уравнений Навье-Стокса в неограниченной области с несколькими выходами на бесконечность 33

21. Вспомогательные утверждения 33

22. Решение уравнения divu = / и его свойства 36

23. Существование решения и его свойства 38

2,4. Поведение решения на бесконечности 52

Библиографический список 71

• Оценка сверху
• Оценки характеристик N(r) и р
• Решение уравнения divu = / и его свойства
• Поведение решения на бесконечности

Введение к работе

В области D = (0, оо) X П, где Q - неограниченная область R², рассматривается следующая задача

u_t 4- (и V)u = ї^Ди - Vp, divu = 0, (0.1)

и |хєЗп= 0, и \_t=o= (f(x). (0.2)

Здесь и(і, ж) = («і, «2) и p(t, х) — неизвестные скорости течения жидкости и давление, а ц> — (tpi, <>г) ^— заданные начальные скорости.

Отметим, что в рассматриваемых нами вопросах допустима замена переменных u = fv, t — т/и, р = v²q, приводящая систему (0.1) к аналогичной с v = 1.

В последние два десятилетия появилось много работ, посвященных исследованию поведения при t —> 00 кинетической энергии

- / u²{t,x)dx

(L2 - нормы) течения жидкости в неограниченной области. Качественный ответ о стремлении к нулю кинетической энергии в случае трехмерной задачи Коши был дан в работах Т. Като [1] (для сильного решения) и К. Масуды [2] (для слабого решения). Более того, в работе [1] получена следующая оценка. Если соленоидальный вектор ц> принадлежит пересечению h_n{Rⁿ) Л h_r(Rⁿ),r 6 [1,п], и норма \\<р\\_п достаточно мала, то существует единственное сильное решение задачи Коши (0.1), (0.2), и справедлива

Ч'

оценка |ju(i)||₀ = 0(t ⁷),7 = (n/r — n/a)/2, при a > r, t —> со. Здесь и далее

(x)dx

;=i ^JQ

^{ни =}

причем для а = 2 и Q = Q соответствующие индексы будут опускаться.

Оценка скорости убывания кинетической энергии для слабого решения n-мерной задачи Коши для системы вида (0.1) была дана в [3, п = 3] и уточнена в [4], [5]. Сформулируем результат работы [4]. Если соленоидаль-ный вектор <р принадлежит пересечению Li^iR⁷¹) Г\Ь_Г(ВР), п > 2, г Є [1, 2), то существует слабое решение задачи Коши (0.1), (0.2), убывающее точно так же, как и в случае уравнения теплопроводности: |ju(i)|| = 0(і~⁷)₇у = (п/г—п/2)/2. В [5] такая же оценка установлена для произвольного слабого решения, удовлетворяющего энергетическому неравенству

И0||²+2Л'||Уи(г)||^г<Н₅)||²₍

для s = 0, п.в. s > 0 и всех t > s. В случае задачи во внешности ограниченной области аналогичные результаты получены для г Є (1,2) в работах [6, п = 3] и [7, п> 3].

Таким образом, нелинейные слагаемые и давление, участвующие в системе (0.1) не замедляют скорости затухания течения жидкости, обеспечиваемой входящим в систему (0.1) оператором теплопроводности. Конечно, условие прилипания на границе (0.2) вызывает дополнительное замедление течения, однако, судя по приведенным выше результатам, по-видимому, этот эффект не сказывается существенным образом в поведении решения внешней задачи. Хотя нам неизвестно, являются ли упомянутые результаты для внешней задачи точными.

Затухание течения, обусловленное прилипанием жидкости к границе области, заведомо сказывается в случае некомпактной границы. Это подтверждается результатом работы [8]. В частности, для областей враще-

ния вида

Q{f) = {х : х\ + х\ < /²(х₃), хз > 0}, (0.3)

определяемых монотонно неубывающей функцией /(г) Є С³(0,оо), такой, что

Urn f(r)/f(qr) < со, |/'| + 1Л + 1Л<*о, г>1,

Г-+0О

при некотором q Є (0,1), в этой работе установлены следующие оценки. Определим функцию r(t),t > 0, как обратную к монотонно возрастающей функции г/(г),г > 0. Пусть u(t,x) — сильное решение трехмерной задачи (0.1), (0.2) в области D = (0, со) X Q(f) с соленоидальной начальной

функцией <р \\^(^)

ф) = 0 \х\> До, (0.4)

удовлетворяющей условию малости из работы [20]. Тогда найдутся положительные постоянные к, Л\ такие, что при всех х Є Q(/) и t > 1 справедливы оценки

\u(t,x)\ + ||Vp(t)|| < А_іЄхр(-кг²(і)А), (0.5)

ИифИизд < ,V²exp(-,cr²(i)/).

Постоянная /с не зависит от начальной функции <р_г

Таким образом, скорость замедления течения жидкости, обусловленная прилипанием се к границе, существенным образом зависит от геометрии неограниченной области.

Отметим, что в работах посвященных исследованию скорости затухания движения вращающейся жидкости, описываемого линейными [25], [26], [27], [28], [29] и нелинейными [30] уравнениями (задача Коши или первая краевая задача в полупространстве), изучается эффект затухания движения

жидкости, вызванный ее вращением, а не условием прилипания на границе,

как в нашей работе.

Доказательство оценок (0.5) для решения трехмерной задачи в работе

[8] существенно опирается на следующий результат Дж. Хейвуда. В [20] для

произвольной области Q, п = 3, с границей равномерно класса С³ доказана

оценка supju(i,)| = 0{t~^ll²) при t — со. (Термин "граница равномерно men

класса С³"(см.[20]) означает существование таких положительных чисел d,b, что для произвольной точки Є дО, пересечение 80, П {|а: — | < d] в местной декартовой системе координат является графиком функции, производные которой до третьего порядка ограничены постоянной Ь.) В [8] этот результат несколько усилен до следующего

/ sup|u((,x)|²rfi < со. (0.6)

В двумерном же случае получить ограниченность последнего интеграла без дополнительных условий на начальную функцию ір затруднительно даже для решения уравнения теплопроводности. Это обстоятельство требует иных технических подходов при решении поставленной выше задачи в двумерной ситуации.

Напомним, что существование и единственность решения "в целом"задачи (0.1), (0.2) в классе L^ доказаны в работе О.А.Ладыженской [17]. В совместной работе Лионса и Проди [18] доказывается теорема единственности слабого решения.

В работе Маремонти [19] при соленоидальных начальных скоростях (р L_p(Q) П ^г(^), V Є (1;2] для решения задачи (0.1), (0.2) в произвольной области ПСЙ²с границей класса С² установлены следующие соотношения

IM*)IIl, + *^V2||Vu()1|l₂ + ї\\щЩ\_и = 0(Г«) t ^ ос, а = і - і

Ve > 0 sup[u(M)| = 0(r^²-^Q+), a = - - і
хєїі P 2

В случае соленоидалыюго начального вектора <р Є Lt(Q) П 1>2{0) из последнего соотношения нетрудно получить (0.6).

Целью настоящей работы является получение оценок вида (0.5) в терминах геометрических характеристик неограниченной области Q, имеющей несколько выходов на бесконечность. Частично такая задача решена в работе [22]. В ней для внутренностей парабол

П(а) = {х Є R² : \х₂\ < af, х_г > 1} (0.7)

при а Є (0,1/2) доказана следующая оценка

|u(t,a:)| ^ Aiexp(-kt^).

В настоящей работе существенно расширен класс областей, для которых установлена оценка убывания решения (скорости течения жидкости) задачи (0.1), (0.2) при t —> оо. В частности, этот класс содержит все параболы Q(a) с а Є (0,1). Доказательство наших результатов отличается от доказательства в трехмерном случае, не опирается на соотношение (0.6) и не использует результатов Маремонти.

Пусть двумерная область Q имеет к выходов на бесконечность, расположенных вдоль лучей Si, то есть имеет вид

Q = fiU(U?₌₁fi),

О і

где Q, г = 1,. ,.,к — односвязные непересекающиеся неограниченные об-

ласти, a Q — ограниченная область, не обязательно односвязная. Будем

о предполагать, что если выбрать ось Ох\ направленной вдоль некоторого

луча Si, то область Q расположится в полуплоскости {%\ > 0}, причем об-

t ласти Q^r — {х Є Q : х\ < г} будут ограничены и односвязны при г > Р(.

і г

Для полной постановки задачи (0.1), (0.2) следует задать потоки через се-

чения Sf = {х Є Q : x\ = r} областей Q. Мы задаем их нулевыми

t і

dS — 0, і = 1,2,..., к.

Обозначим через \і(г) первое собственное значение оператора —А в области Q^r с условием Неймана на части ее границы dQ П Q и условием

і і

Дирихле на оставшейся части границы

Xi(r) = inf{ f \Vv\²dx\ v Є C₀(Q^r U fi), f v²dx ~ 1}, г > P_{.

і і

Очевидно, Aj(r),r > Pi, - невозрастающис функции. Выберем нумерацию так, чтобы

lim Ai(r) = 0, г = l,2,...,s (0.8)

г-юо

и lim Ai(r) > 0, г = s + 1,..., к. При этом допустимо равенство s ~ к.

Г-+00

Однако s > 1, иначе, как хорошо известно, решение будет убывать быстрее, чем e~^Et.

Легко видеть, что для области Q = fiU(u__s+1 Гї) выполнено неравенство

0 г

р = inf{ / \Vv\²dx\ v C₀(fi), / v²dx = 1} > 0. (0.9)

Jq Jq

В работах ([45], [46]) предполагалось также существование таких аб
солютно непрерывных монотонно неубывающих положительных функций
к(г), г > 0, г ~ 1,...,5, что при г > Pi области w,(r) — Q_r "

Q^r+li^\0,^r удовлетворяют следующему условию D. Известно, что для каж-

І г

дой ограниченной области Q с липпшцевой границей уравнение (см. [24], а также [23])

divv = r, х є Q, g G L₂(Q), / gdx = 0,

имеет решение v W;j(<3)) удовлетворяющее оценке

\\Vv\\q < di(Q)\\g\\_Q.

Условие D заключается в том, что постоянную d\ в этом неравенстве можно выбрать единой для каждой области a?j(r), г > Pi

||Vv||^_r) < адЦ_(г), г =l,...,s. (0.10)

В параграфе 2.2. приводятся достаточные условия при которых неограниченная область удовлетворяет условию D. Как следует из теоремы этого параграфа , условие D выполнено, в частности, если области и){(г), г > Pj, равномерно звездны относительно некоторых шаров В{. Равномерность означает, что отношения diara Wi(r)/diam Ві ограничены постоянной, не зависящей от і = 1,..., s и г > Р{. Если Q(a) — область вида (0.7) с некоторым а Є (0,1), то, очевидно, области w(r), г > Р, равномерно звездны при достаточно большом Р, если выбрать I (г) = г^а. Поэтому такая область удовлетворяет нашему условию.

Наложим еще на функции J,- следующие условия регулярности. Существуют числа a, qi (0,1) такие, что

]^<9Л а є (0,1), r>P_{. (0.11)

Это условие ограничивает рост функций ^(г) сверху.

В качестве модельных областей будем рассматривать трубчатые области

0(/) = {х Ж^п,х = (х_их)\ | х |< f(xi)}. (0.12)

В двумерном случае для них мы будем выбирать функции /_t-(r) = /((—1)'г), і = 1,2, г > 0, и предполагать, что они монотонно возрастают и удовлетворяют условию (0.11).

Определим функции г,-(i), t > Pik(Pi), как обратные к монотонно возрастающим функциям rli(r), г > Pi . Очевидно, что r,(f) монотонно возрастая стремится к бесконечности и удовлетворяет равенствам

t ri(t) r?(i)

(0.13)

^{?(nW) кШ) t}

Пусть существует число 5 (0,1] такое, что

-is

lim г^т = 0. (0.14)

г-юо max(j(r) і

Это условие означает, что самый "широкий рукав "расширяется быстрее чем г^1_<5.

Пусть начальная функция (р из ЛУг(^) является пределом финитных со-леноидальных функций и удовлетворяет условию

|Мя)||_Пг<с-^,г>Р, i=l,...,s (0.15)

с некоторыми положительными постоянными си Р, где fir = Q \ О^г.

і г і

Теорема 2.5. Пусть двумерная область Q имеет границу равномерно класса С³ и функции U удовлетворяют (0.11), (0.14) ^и условию D, а соленоидальная начальная функция <р из W;>(^) удовлетворяет условию (0.15). Тогда существуют положительные числа к, Лг, Т такие, что решение задачи (0.1), (0.2) при всех х . О, ut > Т удовлетворяет оценкам

|u(t,s)| + ||u(*)|| + ||Vu(0|| + ||>²u(*)ll + IIVpWH <

< Л₂ехр(-г тт[Л;(г,-(*)//0, к%~²(п(*))]), (0.16)

где Ач зависит только от (d, b) из определения принадлежности границы равномерно классу С³, \\<р\\, ||Vy>||, а к только от qi и а из неравенства (0.11) и от d\ из неравенства (0.10).

В случае, когда области Ш{(г) равномерно звездны, оценку (0.16) можно привести к виду(см. 2.4.)

|u(t,a:)| < Л₂ехр(- min[Zr²(_r-(t))]). (0.17)

Нам не удалось подтвердить точность оценок (0.16) - (0.17). Затруднительно также непосредственное сравнение их с аналогичными оценками для параболического уравнения, поскольку точность последних устанавливалась лишь для областей с одним выходом на бесконечность. Поэтому

б главе 1 результаты по параболическому уравнению второго порядка приводятся в форме, удобной для сравнения с нашими результатами для уравнений Навье - Стокса. Кроме этого, наше изложение содержит элементы новизны в том плане, что расширен класс областей, для которых получены точные оценки решения первой смешанной задачи параболического уравнения.

Пусть Q - произвольная неограниченная область пространства R, п > 2, х = (rci,a?2i —і^хп) Є К". Рассмотрим в цилиндрической области D = {t > 0} X Q линейное параболическое уравнение второго порядка:

Ut= X)(ey(*. x)V_Xl)x_r (0-18)

Коэффициенты уравнения a{j(t_tx) - измеримые функции, удовлетворяющие условию равномерной эллиптичности: существуют положительные постоянные 7, Г такие, что для любого вектора у — (у\, ...,) Є R" и почти всех (t, х) Є D справедливы неравенства

тМ² < 5Z о-(*.з)й%- ^ Ш²- (-¹⁹)

Рассмотрим первую смешанную задачу для уравнения (0.18) с начально-
краевыми условиями: ^ _ .— — ^.

U{t,x)\xetxi = 0, (0.20)

(7(0,х) = ф), <р(х) Є L₂(Q). (0.21)

Начало исследований зависимости скорости убывания решений смешанных задач для параболического уравнения от геометрических характеристик неограниченной области было положено в работах А.К. Гущина [9]-[12]. В них при определенных условиях изопериметрического характера на область получена точная оценка для решения второй смешанной задачи

supju(i,x)| < C\\(p\\_Ll{ii)/v(Vt), v(r) = mes_nr\

Эти исследования были продолжены в работах В.И. Ушакова, А.В. Лежнева, А.Ф.Тедеева [13, 14] для второй смешанной задачи и Ф.Х.Мукминова, Л.М. Кожевниковой [21, 36] для первой смешанной задачи. Известны также результаты для параболических уравнений высокого порядка [15, 16].

Чтобы сопоставить наши результаты для задачи (0.1) - (0.2) с аналогичными для случая параболического уравнения, приведем оценки, полученные для решения первой смешанной задачи в работе [36]. В ней рассматривались трубчатые области вида (0.12), лежащие в полупространстве х\ > 0, удовлетворяющие следующим требованиям:

lim f(r) = со, (0.22)

j—юо

lim r/f(r) = со. (0.23)

Г-ЮО

Пусть положительная функция /(г), г > 0, удовлетворяет условиям

1.

2.

r-^то In Г J і f(s)

1 Г аь

lim :— / .;; = сю,

ЗА > 0 : A / — > 1, V*! > 1,

где z — (^1,0) - центр, p(z) - радиус наибольшего шара B(p, z), лежащего в fi(/).

Пусть существует положительная постоянная Е такая, что при всех

г > 1 справедливо неравенство Е /(г) > 1. При этих условиях в работе

[36] установлены оценки решения

ті ехр ( —К\ і ds/f(s) 1 < sup\U(t,х)\ <

\ Jl ) хП

< М_г ехр ( -h Г ds/f{s) \

(0.24)

с неотрицательной начальной функцией (р, имеющей ограниченный носитель. Здесь p(t) определена из равенства р^[р) К 7(s) ⁼ ^' ^г&^е Pm{^r) ~ Р^а~ диус наибольшего шара, помещающегося в Qq. Постоянные mi, М\, К\_} к положительны.

В первой главе найдены достаточно простые характеристики неограниченной области fi, определяющие для более широкого класса областей, чем в [36], поведение решения задачи (0.18), (0.20), (0.21) при t —і- оо. Для простоты изложения рассмотрим область Q только с двумя выходами на бесконечность, расположенными вдоль оси Ох\.

Введем следующие обозначения

Q^b_a = {х Є О \а < xi < Ь}, 5_Г = {х Є О \xi = г},

причем параметры а = 0 и Ь = оо могут быть опущены.

Толщиной d(S,l) множества S С Ж⁷¹"¹ вдоль прямой / С Ж^п~¹ назовем диаметр ортогональной проекции множества на эту прямую. В частности,

d(Rⁿ-\l) = oo.

Абсолютной толщиной множества S назовем величину

d(5) = infd(5,0,

где нижняя грань берется но всем прямым. Определим функцию

А(г) = d(Sr),

принимающую значения из интервала (0, оо].

Обозначим через B(p,z) = {х lRⁿ j \х — z\ < р} — шар радиуса р с центром в точке z Є М.^п.

Шар B(p,z), z Є OXi, будем называть допустимым, если B(2p,z) С Q, HoVe>0B{2p + e_tz) Q.

На область мы накладываем лишь одно условие В: существует в > 0 такое, что для любого допустимого шара В(р, г), z\ > Rq выполняется

следующее неравенство

inf h(r) <Єр, в> 1. Легко видеть, что условие 2 из [36] достаточно для его выполнения.

Назовем правой цепочкой шаров B(pi,z^l), і = 1, оо-последователь-ность допустимых касающихся шаров, такую, что \z^l\ — р\ = Но, \z^%+1\ = і^і + Рі + Рі+і* Она, очевидно, существует. Пусть у^г ~ \г^г+1\ — pt+\ - первые координаты точек касания указанной цепочки шаров.

Аналогичным образом определим левую цепочку шаров В (pi, z¹), і = 1, со такую что, |Р⁺¹| = |?|+рі + рі+і, обозначив первые координаты точек касания этой цепочки через у^1-1 = —12*| + /.

Пусть отрицательное и положительное числа г и ті по модулю превосходят Ло и 7*1 (y^s+1,y^s]> 7*2 Є [y"\y^m+1). В качестве геометрических характеристик неограниченной области Q, определяющих поведение решения задачи (0.18) - (0.21) при t —^ со в цилиндрической области D = { > 0} X Q, рассмотрим две функции

1. непрерывную кусочно-линейную N(xi), такую что N(y{) = N(yi) — і;

2. р*(г!,Г2) =тах{/?_(г1),р₊(г₂)},

где р-(п) = max{y^s - г_І5 \f - f~\i = 1, 2,..., s; }, p+(r₂) =max{r₂ -y^m,y^l -у^г~¹,г = 1,2,..., m; }.

Далее гі () и 7*2() определим из равенств

P+i^r2) РІ{П)

Справедлива следующая

Теорема 1.3. Пусть область удовлетворяет условию В и пусть U(t,x) &W 2 {D) - решение задачи (0.18), (0.20), (0.21) с неотрицательной финитной начальной функцией tp(x) с носителем в П\. Тогда найдутся положительные числа: к, К, зависящие от j,Г,#,п, и М\,М, за-

висящие от у,Г,9,п,(р, Rq, что при всех t > Т$, х Є Q справедливо неравенство

Мі ехр ( —К—тг,—г^ гхг ) ^< sup U(t, х) < М ехр ( — к—^—гт тттт 1

V Р*²(п(і),г₂())У -_яе5 ^V' ^;~ ^PV Р*²(п(і),г₂(і))У

(0.26) Положительная постоянная Тз зависит от п, Rq.

Как уже отмечалось выше, одно лишь условие 2 из [36] гарантирует выполнение нашего условия В. В работе [36] или более ранней [21] на область накладываются дополнительно условия вида (0.22), (0.23) и еще условие типа 1. Поэтому наши оценки точны для существенно более широкого класса областей, чем в упомянутых работах.

В параграфе 1.4. показано, что трубчатые двумерные области вида (0.12) при 1{(г) = /((—1)V),« =1,2 удовлетворяют условиям теоремы 2.8., если выполнено условие (0.10) и функции /,-(г) монотонно возрастают. При этом оценки (0.16) и (0.26) приобретают единообразный вид (0.17), причем как следует из теоремы 1.3., в параболическом случае эта оценка точна. В частности, когда рукава области Q имеют вид f2(orj),0 < c*i < а₂ < 1, оценка

(0.17) принимает вид

1 —Д2

|u(i,a;)| < Aiexp(-kt^1+a*).

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю профессору Фариту Хамзаевичу Мукминову за предложенную тематику исследований, ценные советы, постоянное внимание к работе

и поддержку.

Оценка сверху

Сначала докажем вспомогательные утверждения. Утверждение 1.4. Для обобщенного решения U(t,x) задачи (0.18), (0.20), (0.21) в области О, удовлетворяющей условию В при всех t О, f У2 справедлива оценка где в 1 - из условия В, постоянная к 1 зависит от ,6, а Ге ч/3 + 402 7 Доказательство. Выберем число к 1 так, чтобы выполнялось неравенство Пусты Є [yN,yN+1)- Рассмотрим неотрицательную непрерывную, кусочно-дифференцируемую неубывающую функцию Из принадлежности функции U пространству W 2 ІР ) по лемме из [37, c.101] следует, что её осреднение Стеклова сходится к самой функции по норме пространства ТУ 2 {DT S)- Перейдя в последнем равенстве к пределу при /г —э- 0, получим Очевидно, Тогда из (1.15), используя это тождество и условие равномерной эллиптичности (0.19), получим Рассмотрим правую часть полученного неравенства: Обозначая первое слагаемое правой части через 1\ и преобразуя второе слагаемое, получим: Тогда из (1.17), учитывая последнее неравенство и (1.10), получим / r\U\\VU\XldxdT Ii+ f f \4U\2dxdr. JD JO ./njw Отсюда, принимая во внимание (1.16), имеем \(и2І dx + j J J \VU\2dxdr Іь (1.18) r=0 -- -.-w 2 Jn T-n Jo Уп» Оценим I\. Положим e = \/3 + 492(yi — yo). Учитывая, что f \U\\VU\dx [ ( + ) dx f V3 + 4P(yi-yo)\VU\2dx Ja% Уп» \ 2 2e / Jul будем иметь h ( [ Te \/3 + Ae2\VU\2dx. Jo Ja% Применяя в последнем неравенстве утверждение 1.1., получим /i e V3+4 Ml 1.19) Из (1.18) и (1.19) , учитывая, что С2(=о = 0 имеем U u4x -e VsTW2M2. УХ Учитывая, что N = [ЛГ(г)], будем иметь J U2dx і-е т Уз + 4 2. Утверждение 1.4, доказано. Теорема 1.1. Пусть U(t,x) EW 2 (D) решение в D задачи (0.18), (0.20), (0.21) и область Q удовлетворяет условию В. Тогда существует постоянная Т 0, зависящая от n, RQ (supp (р С ..) такая, что для любых t Т, х Є П справедливо неравенство №,,)\ м2 ()_1ехр (- (Г1(;) Ы ))) N1, (1-20) Г 7 11 где к = min ——, — , Мг зависит от у, Г, 6, п. Доказательство. Выберем число Т 0 так, чтобы для любого t Т были выполнены неравенства: п() т/2, гг() г/2- Зафиксируем произвольное t Т. Согласно утверждению 1.4. получим: / Jn Л?: U2{t)dx MGe \\ip\\2, U2{t)dx MQe Wvf. Введем обозначение є{г\,г2) MQ te +e J

С учетом последнего, имеем f U2{r,x)dx г{гъг2) + f U2{r,x)dx, Vr Є (0,i). (1.21) Jn JilT\ Отметим, что функция р (п, гг) не убывает при возрастании т і j, г2. Поэтому, выбрав С (в) достаточно большим, можно считать выполненным неравенство С(9)(р )2 рГ1. Введем обозначение v = {С(9)р 2) \ Умножая обе части неравенства (1.21) на І/, получим по лемме 1.2. и( [ U2{r,x)dx-e{rur2)\ [ г \VU\2dx, Vr(0,i). (1-22) Учитывая (0.19), получим и( [ U2(r,x)dx-E{rhr2)) 7-1 / VUA{t,x)VU, Vr(0,i). (1.23) \Jn J Jil Согласно утверждению 1.1. обобщенное решение задачи удовлетворяет равенству E(t)= f U2(t,x)dx= f p2(x)dx-2 f f VU{ryx)A(r,x)VU(rix)dxdT. Jn Jil Jo Jn -2 I VU{t,x)A{t,x)VU{t,x)d Jn Дифференцируя no t, имеем dE{t) dt Учитывая последнее, из (1.23) получим Ш -271/ (Я(т) - фь г2)), Vr Є (0, t) (1.24) Из (1.24) установим Е(т) e(rhr2) + #(0)е"2 т, Vr Є (0, ) Взяв г = І и заметив, что Е(0) = /?2, получим: яф М0 (е- 1 + е" 1) М2 + е"Л Ml2 Пользуясь леммой 1.1., заменив числа Гі,Г2 на функции гі(і), Г2(і) по (0.25), устанавливаем неравенство яф (2М0 + 1)ехр (-ВеД )іМІ2 Из утверждений 1.2. и 1.3. следует mt, x)i Cl g) "т йёПехр (-112,,( )[Ы0)) ІІИІ Теорема 1.1. доказана. 13. Оценка снизу Напомним неравенство Гарнака, установленное Ю.Мозером [38]. Сформулируем его в удобном для нас виде. Для неотрицательного в цилиндре Q = B(2p,z) X [0,9/э2] решения уравнения (0.18) справедливо соотношение maxU(t,x) HmmU(t, х), Q- Q+ в котором постоянная Н 1 зависит лишь от у, Г, п и Q+ = В(р, z) х [8/)2,9Р% Q- = В(р, z) х [Р\ 2р\ Из неравенства Гарнака вытекает следующее утверждение. Лемма 1.3. Пусть точки ( о,ж), {t\}xl) D,z ЄПн число р таковы, что „2 л2 Р dist(z, дП), \xl-z\ p, і = 0,1, о = i - 8р2 р1 Тогда неотрицательное в D решение уравнения (0.18)-функция U(t,x) удовлетворяет неравенству Действительно, в силу условия леммы для точек (to,я0), (ti,xl) существует цилиндр Q — B(2p,z) х [0,9р2], содержащийся в D такой, что {to,x0) Є Q и (h,xl) Q+. Тогда согласно неравенству Гарнака имеем: U{tQ:x) maxU{t,x) HminU{t,x) HU(t1:xl). Теорема 1.2. Пусть U(t,x) EW і [ТУ) неотрицательное ненулевое в D решение задачи (0.18), (0.20), (0.21). Тогда существует постоянная Т\ 0, зависящая от п, такая, что для любыхt TI,X2Q справедливо неравенство sup U(t,x) M2H " W). (1.25) Доказательство. Отметим, что для построенных во введении шаров справедливы неравенства Рі+і Зрі,г 1, (1.26) иначе B(2pi,Zi) С B(2pi+i,z,-+i), и шар B(pi,Zi) не является допустимым. Возьмём to = pi, U = i_i + 8pf, і — 1, со. Индукцией по і установим неравенство і РІ+і, 0. (1.27) Действительно, по выбору t$ р\ и по предположению индукции будем иметь U Р2І+ 8р1 = 9р?, Ї 0. (1.28) Из (1.26)и (1.28) получим требуемое. Зафиксируем произвольное достаточно большое число г%. Напомним, что т - такое число, что т% Є [ym,ym+l). Тогда rn — [Nfa)]. Зафиксируем некоторое Т tm и выберем t Т. Пусть р+{г2) — у3 — ys l = 2p3, s m и z {у3 + ys l)/2. Если же p+fo) — Г2 — ym, то полагаем s = m + 1 и / = (J 2 — ї/т)/4, z = /m + /?s. Заменим все шары B(pi,Zi), і s на шары B(ps,z ), очевидно, допустимые по определению, а также точки уі, і s на точки -г . При этом выберем { ts + (г - в)8/ъ , г s; _ і; , г = 0,s. Точки (TJ,J/ ), (гі+1,2/ +1), г = 0,s — 1 удовлетворяют условиям леммы 1.3. ср= pi+i, г = zi+1 ввиду (1.27), а точки (т ,г/г), (73+1, у +1), г = s, s + 1,... - с р р+(гг), z = z также ввиду (1.27). Тогда индукцией по і установим неравенство (то, Л Я (ТІ, у1 ), г = 1,2,... (1.29) Пусть к - минимальный номер, такой что 7 t, будем считать 7 = t, при необходимости уменьшив 7. Очевидно, что k [N{r2)} + VlT M + SP2S РІІГ2Ї Для получения оптимальной оценки выберем число Г2, так чтобы N - ш Таким образом, получим зависимость гг() и будем иметь -АЫйУ Виду (1.29), учитывая последнее, имеем та supU(t,x) H (fs{t))t/(f0,yu). хЄІЇ Теорема 1.2. доказана. Сформулируем основное утверждение. Теорема 1.3. Пусть область удовлетворяет условию В и пусть U(t,x) W і (D) - решение задачи (0.18), (0.20), (0.21) с неотрицательной финитной начальной функцией ф{х) с носителем в П\. Тогда найдутся положительные числа: к, К, зависящие от у, Г, в, п, и М\,М, зависящие от 7, Г, 0, п, /?, Ло, что при всех t Т$, х Є 2 справедливо неравенство М\ ехр ( —К—тг:—у-. ттг ) sup U(t, х) М ехр ( — к— -.—г-т 7777 I (0.26) Положительная постоянная Т% зависит от п, Щ. Доказательство.Согласно теореме 1.2. имеем SUP U(t, х) Мі ехр [ — ІП Н— -, y-rr ] . zeti \ pi{r2(t))J

Оценки характеристик N(r) и р

Характеристики JV(r) и р в терминах которых теорема 1.3. дает точную оценку решения задачи (0.18)-(0.21) несколько неудобны для практического нахождения показателя экспоненты в (27), Поэтому мы приводим здесь некоторые оценки этих величии для случая трубчатой области вида (0.12). Функции a,i(r) и а2Іт) будем называть эквивалентными, если справедливы неравенства при всех достаточно больших г с некоторыми положительными постоянными с, С. По двум положительным непрерывным неубывающим функциям а(г), Ь(г) будем определять функцию г (і) из равенства a(r)b{r) = , в предположении, что lima (г) = оо. Лемма 1.4. Если функции а(г), 6(г) заменить на эквивалентные oi(0 b\{r), то соответствующие функции a(r(t)), ai(ri(t)) будут также эквивалентными. Доказательство, Пусть для определенности r(t) ri(t) для некоторого значения і. Тогда Лемма доказана. Для функции N(r) при г у1 установим неравенство в предположении что выполнено условие 2 из [36] (см. Введение). Из него сразу следует, что AJK упу 1. Суммируя последнее неравенство по і = О, [ (г)] — 1 получим левое неравенство в (1.30). Правое неравенство выведем непосредственно из определения последовательности у1. Шар i?(j/+1 — У1, (yi+1-hyl)/2) лежит в области, поэтому min y+i] /(г) \ 3(уг+1 — уг)/2 и следовательно, № JT 2/л/З. Суммируя это по і = 0, [iV(r)] установим правое неравенство в (1.30). Аналогичным образом доказываются оценки f dy 2{Щг) + 1) ! Получим теперь оценки функции /? через радиусы р (п),Рт(г2) паи" больших шаров с центрами на оси Ох\, лежащих в Qr ,0%, соответственно; 7 1 — RQ, Г2 RQ. Шар В(уг+1 — у\ (уг+1 + т/1)/2 лежит в области, поэтому справедливы неравенства yl+l — у1 р , г = 0, [JV(r2)]. Кроме того, шар В((г2 — ут)/2, (гг + Ут)(2) лежит в области, и следовательно, Ті — ут 2/?+. Тем самым, установлено неравенство p+fa) 2р+(ї 2). Пусть теперь В(р , гг) - наибольший шар, лежащий в 0,ГЯ , г/, т/+1 - первые координаты точек касания, (построенных во введении шаров), ближайших к z слева и справа соответственно. Если z\ — у1 р /2 или yt+i — Z\ /4j/2, то выполнено неравенство yt+l — уг р /2. В ином случае, шар B(yl+l —у1, (yt+1 + у1)/2) является удвоенным к допустимому и должен касаться границы области, поэтому снова справедливо неравенство у1+1 — уг р /2. Отсюда следует, что р+(г) р+1(г)/2. Совершенно аналогично доказываются оценки для функции р-{г\). Установленные выше неравенства позволяют определить функции r\{t) и Г2() из равенств

По лемме 1.4. устанавливаем эквивалентность функций Nfaty) и /о -f, означающую справедливость оценок Полагая pm — max(p ,p ), мы приходим к следующей оценке решения первой смешанной задачи для параболического уравнения Mi ехр ( -К „ ) sup U(t, х) М ехр ( -к— , „ . ) , (1.31) вытекающей из (0,26). Сравнение последней оценки с оценкой (0.16) будет проведено в 2.4. 21. Вспомогательные утверждения Введем следующие обозначения где v(x) - вектор-функция с компонентами (vi,.,.,vn),x Є П С Rn,n 2, и и рассмотрим два пространства соленоидальных векторных полей: Возникает вопрос: когда пространства (2.1) совпадают? В работе [40] Дж. Хейвудом построены примеры неограниченных областей Q С Я3, ко Л о о гда J 2(0) и J 2( ) не совпадают; свои результаты Дж. Хейвуд получил изучая вопросы единственности решения краевых задач для систем гидродинамики несжимаемой жидкости, и показал, что в этом случае может нарушаться теорема единственности соответствующих обобщенных решений. Целью этого параграфа является рассмотрение областей, для которых Л о о Лз(П) и J ffi) совпадают и могут не совпадать. л о о Как следует из работы [41], пространства J 2( ) и J 2( ) совпадают в случае всего пространства, ограниченной (звездной) области и внешности ограниченной области. Там же рассматриваются трубчатые области с некомпактными границами. Если рассмотреть частный случай трубчатой области (0.12), с функцией f = Я, т.е. прямой бесконечный цилиндр, то Л для n 2, j\(Q(R)) =j\(Q(R)). Существо дела может прояснить следующее "Утверждение 2.1. Пусть 0(f) трубчатая область (0.12) с липши-цевой границей и существуют последовательности уг±, z%± положительных и отрицательных чисел соответственно, уходящие в ±со такие, что семейство областей шг±, Q t удовлетворяет условию D, Тогда, если л о функция р ЄЗІІЩІ)) имеет нулевой поток через сечение Гі(/), то она

Решение уравнения divu = / и его свойства

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Л) Из вида оператора Rg следует, что носитель функции Rg содержится в замыкании следующего множества Полагая z = у -\- t(x — у) Є Kjt, устанавливаем, что х = у + (z — y)/t, т.е. х лежит в выпуклой оболочке точки у и множества Kh- Поскольку Q -звездная относительно Kh область, то М С О,. Докажем пункт 2). Определим функционал Легко видеть, что это отношение не меняется при преобразовании подобия х - Хх. Поэтому, без ограничений общности, будем считать что г = 1. Положим Конечность величины hi(R) доказана в [23]. Неубывание функции hi(R), R 1, очевидно. Теорема доказана. Как следует из этой теоремы, условие D выполнено, в частности, если области LOi(r), г Р(, равномерно звездны относительно некоторых шаров ВІ. Равномерность означает, что отношения diam ш,-(г)/diam Вх ограничены постоянной, не зависящей от г = 1,..., s и г Р{. Если Q(a) — область вида (0. доказано в [17]. Однако, нам потребуются некоторые дополнительные дифференциальные свойства решения, которые проще доказываются на этапе построения галеркинских приближений. Поэтому мы вынуждены в некоторой мере воспроизводить здесь известные доказательства в несколько измененном виде, приспособленном для наших целей. о Для произвольной области ҐЇ С R через J(fi) будем обозначать множество гладких финитных в Г2 соленоидальных вектор функций v : 1 — Я2(в дальнейшем - просто векторы вместо вектор-функций). Далее, пусть о J(D ) обозначает множество гладких финитных в цилиндре = (а, 6) X О fi соленоидальных векторов v(i, х): D — Я2, div v = 0. Через J(fi) обо 0 о значим пополнение множества J(Q) по норме vj, через J (О) - пополнение того же множества по норме vj + Vv, а пространство соленоидаль о ных функций Ho(fi) определим как пополнение J(fi) по норме Vu[j. Определим пространство J2 ( д) как замыкание множества J(D t\) в пространстве W fZ ).

Для произвольных векторов и(х), v(a;) положим д2щ Докажем методом Гал ер кипа существование обобщенного решения зада о чи (0.1), (0.2) с начальной функцией tp[x) Є J ( ), удовлетворяющей условию (0.4). Затем, после установления некоторых свойств решения, будет до-казано его существование при произвольной начальной функции tp Є J (fi). Обобщенным решением задачи (0.1), (0.2) в DT = (0,Т) х О, называется О вектор-функция и ЄЛ0,1( Т), удовлетворяющая интегральному тождеству для любой функции v J(Z?_1). По повторяющемуся индексу к = 1,2 предполагается суммирование. Докажем сначала существование обобщенного решения для ограниченной области 3, а затем рассмотрим случай неограниченной. Тогда оператор .— о А = РА, где Р : L2(f2) — J(Q) — оператор ортогонального проектирования, имеет полный ортонормированный в Ъг(О) набор собственных функ о ций а sj fi), І Є N. Если граница области П класса С2, то собственные функции а Є W22(Q), І Є TV [34, гл. Ill, 17, Т. 17.1]. Приближенные решения ищутся в виде где функции cin(t) определяются из условий и начальных данных Здесь (u, v) обозначает скалярное произведение в з(Г). Равенства (2.6) представляют собой систему дифференциальных уравнений для сіп вида где ajj и a/ip - постоянные числа. Для доказательства однозначной разрешимости системы (2.8) при условиях (2.7) для всех t О, выведем априорную оценку. Умножим каждое из равенств (2.6) на соответствующее ctn(t) и сложим по всем / в пределах от 1 до п. В результате простых преобразований получим 7) с некоторым а Є (0,1), то, очевидно, области w(r), г Р, равномерно звездны при достаточно большом Р, если выбрать l(r) = г". Поэтому такая область удовлетворяет нашему условию. Как было отмечено во введении, существование решения задачи (0.1), (0.2) "в целом "было доказано в [17]. Однако, нам потребуются некоторые дополнительные дифференциальные свойства решения, которые проще доказываются на этапе построения галеркинских приближений. Поэтому мы вынуждены в некоторой мере воспроизводить здесь известные доказательства в несколько измененном виде, приспособленном для наших целей. о Для произвольной области ҐЇ С R через J(fi) будем обозначать множество гладких финитных в Г2 соленоидальных вектор функций v : 1 — Я2(в дальнейшем - просто векторы вместо вектор-функций). Далее, пусть о J(D ) обозначает множество гладких финитных в цилиндре = (а, 6) X О fi соленоидальных векторов v(i, х): D — Я2, div v = 0. Через J(fi) обо 0 о значим пополнение множества J(Q) по норме vj, через J (О) - пополнение того же множества по норме vj + Vv, а пространство соленоидаль о ных функций Ho(fi) определим как пополнение J(fi) по норме Vu[j. Определим пространство J2 ( д) как замыкание множества J(D t\) в пространстве W fZ ). Для произвольных векторов и(х), v(a;) положим д2щ Докажем методом Гал ер кипа существование обобщенного решения зада о чи (0.1), (0.2) с начальной функцией tp[x) Є J ( ), удовлетворяющей условию (0.4). Затем, после установления некоторых свойств решения, будет до-казано его существование при произвольной начальной функции tp Є J (fi). Обобщенным решением задачи (0.1), (0.2) в DT = (0,Т) х О, называется О вектор-функция и ЄЛ0,1( Т), удовлетворяющая интегральному тождеству для любой функции v J(Z?_1). По повторяющемуся индексу к = 1,2 предполагается суммирование. Докажем сначала существование обобщенного решения для ограниченной области 3, а затем рассмотрим случай неограниченной. Тогда оператор .— о А = РА, где Р : L2(f2) — J(Q) — оператор ортогонального проектирования, имеет полный ортонормированный в Ъг(О) набор собственных функ о ций а sj fi), І Є N. Если граница области П класса С2, то собственные функции а Є W22(Q), І Є TV [34, гл. Ill, 17, Т. 17.1]. Приближенные решения ищутся в виде где функции cin(t) определяются из условий и начальных данных Здесь (u, v) обозначает скалярное произведение в з(Г). Равенства (2.6) представляют собой систему дифференциальных уравнений для сіп вида где ajj и a/ip - постоянные числа. Для доказательства однозначной разрешимости системы (2.8) при условиях (2.7) для всех t О, выведем априорную оценку. Умножим каждое из равенств (2.6) на соответствующее ctn(t) и сложим по всем / в пределах от 1 до п. В результате простых преобразований получим

Поведение решения на бесконечности

В этом пункте мы докажем теорему 2.5. для соленоидальных начальных о функций if из ЛУгС ) с условием (0.4), а затем покажем справедливость теоремы 2.5. и для соленоидальных начальных функций tp из ЛУг( ) с условием (0.15). Поведение решения при \х\ — со. Отметим сначала, что как легко усмотреть из неравенства (2.46) решение и задачи (0.1), (0.2) принадлежит пространству LOT(Q) при каждом t 0. Покажем, что при любом є Є (0,1) справедлива следующая оценка / Jo VwilL.fldT Ci + Q! . (2.52) Постоянная C i зависит только от (d, 6), ір, є, а Сі только от (d, b), \\ р\\, liv lt Воспользуемся неравенством Соболева [33] справедливым в любом конусе К для функции v W Tf); точка х -вершина конуса. Поскольку область Q имеет границу равномерно класса С3, то любой точки х Є Q можно коснуться вершиной маленького конуса, лежащего в Q, одинакового для всех точек х. Размер конуса будет зависеть от постоянных (d,b). По (2.53) имеем По неравенству Гельдера Для функции u 6W2( ) в двумерном случае справедливо неравенство [34, гл.И, 3, (3.1)] где xi зависит только от р Є [1,оо). Оценим первый интеграл в правой части (2.54), применив к нему (2.55), (2.56), а затем неравенство Гельдсра и (2.10) О постоянных (d,b). По (2.53) имеем По неравенству Гельдера Для функции u 6W2( ) в двумерном случае справедливо неравенство [34, гл.И, 3, (3.1)] где xi зависит только от р Є [1,оо). Оценим первый интеграл в правой части (2.54), применив к нему (2.55), (2.56), а затем неравенство Гельдсра и (2.10) Отсюда, применив (2,57), (2.33) к (2.54), получим (2.52) с є — 1/р. Теорема 2.4. Пусть і одно из чисел 1,2,... ,s. Пусть область Q имеет границу равномерно класса Съ и функция її удовлетворяет (0.11) и о условию D, а начальная функция (р из J (Г2) удовлетворяет условию Тогда найдутся положительные числа І\ ,7І И З такие, что при всех t 0 для решения задачи (0.1), (0.2) справедливо неравенство Д u%x)dx tA3exp І1и(г)1і п + щу-щ), R Rofab (2.59) где число i?o 3 достаточно велико. Постоянные Гг- зависят только от qi и а из неравенства (0.11), a j{ еще и от d\ из неравенства (0.10), Лз зависит только от (d,b), \\ р\\, V и не зависит от RQ. Поскольку R/l{(R) - со при R — со, то оценка (2.59) характеризует убывание решения при х\ —ї оо в области Q. І Доказательство теоремы проведем с использованием нижеследующих лемм 2.1. и 2.2. Положим Ввиду (2.52) имеем простое неравенство S{.

Определим срезающую функцию т](х) с носителем в Qr равенством і где (r) - непрерывная функция, равная нулю при г 0, единице при г 1 и линейная в оставшемся интервале. Тогда носитель градиента rj лежит в дхі k(r) к } Кроме того, при г РІ ввиду монотонности функции U справедливо неравенство вытекающее из (2.27) и (2.32), где Ъ$ зависит только от (d,Ь), /?, Vy . Лемма 2.1. Пусть выполнены условия теоремы 2,4- Тогда найдется такое число f3 I такое, что при eccxt 0, г тах(Ло, ) справедливо неравенство Здесь индекс г обозначает производную; постоянная /3 зависит только от d\ из неравенства (0.10). Доказательство. Пусть множество F состоит из тех значений t О, для которых ut(t,x) Gj(fi). По свойству (2.32) мера дополнения (0,oo)\F равна нулю. Зафиксируем одно из значений t Є F. Так как u(x,t) есть обобщенное решение, удовлетворяющее (2.33), то оно почти всюду удовлетворяет системе (0.1). Умножим уравнение Навье-Стокса скалярно на функцию TJUJ и проинтегрируем по Q, получим тсюда, применив (2,57), (2.33) к (2.54), получим (2.52) с є — 1/р. Теорема 2.4. Пусть і одно из чисел 1,2,... ,s. Пусть область Q имеет границу равномерно класса Съ и функция її удовлетворяет (0.11) и о условию D, а начальная функция (р из J (Г2) удовлетворяет условию Тогда найдутся положительные числа І\ ,7І И З такие, что при всех t 0 для решения задачи (0.1), (0.2) справедливо неравенство Д u%x)dx tA3exp І1и(г)1і п + щу-щ), R Rofab (2.59) где число i?o 3 достаточно велико. Постоянные Гг- зависят только от qi и а из неравенства (0.11), a j{ еще и от d\ из неравенства (0.10), Лз зависит только от (d,b), \\ р\\, V и не зависит от RQ. Поскольку R/l{(R) - со при R — со, то оценка (2.59) характеризует убывание решения при х\ —ї оо в области Q. І Доказательство теоремы проведем с использованием нижеследующих лемм 2.1. и 2.2. Положим Ввиду (2.52) имеем простое неравенство S{. Определим срезающую функцию т](х) с носителем в Qr равенством і где (r) - непрерывная функция, равная нулю при г 0, единице при г 1 и линейная в оставшемся интервале. Тогда носитель градиента rj лежит в дхі k(r) к } Кроме того, при г РІ ввиду монотонности функции U справедливо неравенство вытекающее из (2.27) и (2.32), где Ъ$ зависит только от (d,Ь), /?, Vy . Лемма 2.1. Пусть выполнены условия теоремы 2,4- Тогда найдется такое число f3 I такое, что при eccxt 0, г тах(Ло, ) справедливо неравенство Здесь индекс г обозначает производную; постоянная /3 зависит только от d\ из неравенства (0.10). Доказательство. Пусть множество F состоит из тех значений t О, для которых ut(t,x) Gj(fi). По свойству (2.32) мера дополнения (0,oo)\F равна нулю. Зафиксируем одно из значений t Є F. Так как u(x,t) есть обобщенное решение, удовлетворяющее (2.33), то оно почти всюду удовлетворяет системе (0.1). Умножим уравнение Навье-Стокса скалярно на функцию TJUJ и проинтегрируем по Q, получим

Похожие диссертации на Стабилизация решения смешанной задачи для двумерной системы уравнений Навье-Стокса в неограниченной области

Усреднение уравнений Навье-Стокса в областях с дробнозернистой границейНиколаева, Елена Георгиевна

Стабилизация решений внешних смешанных задач для одного класса эволюционных системКапитонов, Борис Викторович

Решение краевых задач для систем уравнений параболического и эллиптического типа при граничных условиях смешанного типаМамедов, Нияз Мустафа

Методы конструктивного анализа решений краевых задач для систем дифференциальных уравненийКенжебаев, Кенжегали

Точные решения краевых задач для гиперболических систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами ЛапласаВоронова Юлия Геннадьевна

Теоремы единственности решения задачи Коши для эволюционных уравнений и систем с растущими коэффициентамиТуртин, Дмитрий Витальевич

Асимптотики решений сингулярно возмущенных краевых задач для системы уравнений теории упругостиДавлетов, Дмитрий Борисович

Исследование регулярности обобщенных решений краевых задач для эллиптических нелинейных систем уравнений высокого порядкаАлдохина, Виктория Николаевна

Стойкость решений смешанных задач для гиперболических уравнений и системОлискевич, Марианна Александровна

Совпадение классических и обобщенных решений некоторых краевых и смешанных задач для систем уравнений второго порядка с неограниченными младшими коэффициентамиСафиев, Эльшан Кавы оглы