Методы конструктивного анализа решений краевых задач для систем дифференциальных уравнений Кенжебаев, Кенжегали

С*
J і

Р₀ (і) =J mdt, P_tM (i) =pfr), P_t (t)]dr,

матрица U_m(t>%)* 1/^ (0?%) ~ » является интегральной для уравнения /0.3/ и определяется как решение задачи

здесь /\ Є &, , Р = 2Zj /І A /VJ » Г...»... J - знак коммутатора матриц.

В предположении, что дня некоторого целого ҐК ^Q выполнено условие ^е/ Н_т^ О ,

If I

получено эквивалентное задаче /0.1/,/0.2/ интегральное уравнение

^{ґ ~}

где _{

С помощью принципа сжатых отображений, примененного к уравнению /0.4/, в 1 получены эффективные достаточные условия однозначной разрешимости задачи /0.1/,/0.2/, а также априорные оценки решения. Разработан и исследован алгоритм построения решения, приведены модификации алгоритма, удобные для практического применения, выделены некоторые классы задач, допускающих нредставления решений в конечном виде.

В аналогичном плане рассматривается задача для уравнения /0.1/ с функциональным условием

[ЫФШЯМ =0 , /0.5/

О где Cjb(i)- вещественная (/t X tl) - матрица, элементы которой

суть функции ограниченной вар иации.

В 2 разработанный в работе [59J подход применен к изучению

указанных выше вопросов для квазилинейной системы с условиями

/0.2/,/0.5/.

В 3 изучается краевая задача /0.1/,/0.2/ при дополнительном условии, что для матриц Д^ (l- f,%>> ">К) выполняется условие

В этом случае получены эффективные достаточные условия однозначной разрешимости задачи /0.1/,/0.2/. Эти результаты обобщают известные соответствующие результаты для периодической краевой задачи.

Во второй главе изучается двухточечная краевая задача с вырожденными краевыми условиями. Развита методика построения эквивалентных интегральных уравнений. В 1 выведено интегральное уравнение, для случая, когда выполняется условие

с1Ы (М, +М_Л + М_лб№) fO,

b(iO)^/l(t)dr.

Получены достаточные коэффициентные условия однозначной разрешимости и априорные оценки решений рассматриваемой задачи в этой и в других аналогичных случаях.

Краевая задача для векторной дифференциальной системы

с несвязанными краевыми условиями вида

/0.6/

St(0) = X (c0)_t Mff/tf) +М_Л у fed) = О /о. 7/

рассматривается в 2.

Конструктивный анализ решений задачи /0.6/,/0,7/ проводится с помощью метода малого параметра.Выведено соответствующее эквивалентное интегральное уравнение. Решение строится в виде рядов, содержащих целые отрицательные степени параметра. Получены достаточные коэффициентные условия однозначной разрешимости и оценки решения задачи, а также оценки, характеризующие скорость сходимости алгоритма. Изучены некоторые структурные свойства решения.

В 3 рассматривается краевая задача для векторной квазилинейной системы

с краевыми условиями /0.7/.

Разработан итерационный алгоритм построения решения. С помощью этого алгоритма решение строится в виде равномерно сходящейся последовательности вектор-функций, удовлетворяющих краевым условиям /0.7/. Получены достаточные коэффициентные условия однозначной разрешимости, оценки решения, а также оценки, характеризующие скорость сходимости алгоритма. Для иллюстрации разработанной методики рассмотрена линейная краевая задача теории автоматического управления.

Третья глава посвящена периодической краевой задаче для системы нелинейных дифференциальных уравнений.

В 1 развита методика построения интегральных уравнений, эквивалентных задаче Коши, периодической краевой задаче для систем нелинейных дифференциальных уравнений общего вида. Показано, что в линейном случае эта методика позволяет получить формулу Коши общего решения линейной неоднородной дифференциальной системы, фор-

- II -

мулу для единственного решения периодической краевой задачи.

В 2 установлена связь разработанного метода с методом усреднения Крылова - Боголюбова - Митропольского, с методом Бругина построения показательной матрицы в теории Флоке; в отличие от указанных методов здесь строится преобразование новых пространственных переменных через старые. Приведен приближенный метод интегрирования, объединяющий в себе идеи метода А.М.Самойленко и метод преобразований.

В 3 развитая методика применена к исследованию однозначной разрешимости и разработке алгоритмов построения периодической краевой задачи для матричного уравнения типа Риккати

$ = ЛШ + ХЗ (t) 1-XQW⁺Н*) .

В этом параграфе центральное внимание уделяется конструированию вычислительных аналитических алгоритмов, вопросам сходимости и оценкам. Все оценки доведены до коэффициентного уровня.

Основные результаты диссертации докладывались на семинаре по теории нелинейных колебаний и математической физике Института математики АН УССР - руководитель академик АН УССР Ю.А.Митрополь-ский, на семинаре по теории дифференциальных и интегральных уравнений при Киевском государственном университете - руководитель член-корр. АН УССР А.М.Самойленко, на семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям при Пермском политехническом институте - руководитель профессор Н.В.Азбелев, на семинаре по краевым задачам при Тбилисском государственном университете - руководитель член-корр. АН ГССР И.Т.Кигурадзе, на Всесоюзной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения" /Магнитогорск, 1984/, Республиканской научно-технической конференции "Интегральные уравнения в прикладном моделировании" /Киев, 1983/,опубликованы в

сборнике тезисов X международной конференции по нелинейным колебаниям, г. Варна, 1984, с.171; в сборнике тезисов у/Ц Республиканской конференции по математике и механике,г. Апма - Ата , 1984, с.90 и в работах [44 - 49, 77,85,8б] ,

В заключение выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю члену-корреспонденту АН УССР А. М. Самойленко, а также кандидату физико-математических наук, доценту В. Н. Яап-тинскому за постоянное внимание, ценные советы и полезные обсуждения.

- ІЗ -

Некоторые модификации метода построения решений краевых задач

Значительный вклад в развитие теории сингулярных краевых задач сделан И. Т. Кигурадзе и его учениками /см. [50,40] /.

Значительно меньше работ посвящено исследованию многоточечных и функциональных задач. При этом основное внимание уделяется вопросам разрешимости и априорным оценкам решений [23,34,36,51, 62,67,75,78,107] .

Несмотря на обилие работ по краевым задачам, все же заметим, что вопросы существования и построения решений краевых задач для систем дифференциальных уравнений в общей постановке слабо изучены даже в линейном случае. В связи с этими вопросами следует упомянуть работы [37,76,81,84,90] .Примущественное развитие получили численные методы решения [іб,42,80,91,112] . Особенно различные варианты метода прогонки, основанные на переносе граничных условий и сведении таким способом линейных и нелинейных краевых задач к задачам Коши [2,42,65] и т. д. .

С появлением вычислительной математики и вычислительной техники значение аналитических методов не уменьшилось, поскольку численные решения все же не могут заменить аналитические, которые в ряде случаев предпочтительней с точки зрения качественного и количественного анализа и даже вычислений так же, как аналитически заданные функции предпочтительней по сравнению с таблично заданными функциями.

Значительное развитие получили приближенные аналитические методы отыскания периодических решений. Наряду с классическими методами Ляпунова [бз/, Пуанкаре [79J следует упомянуть прежде всего асимптотические методы нелинейной механики, созданные в трудах Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского, А. М. Самойленко [l9,20J . Общие методы построения периодических решений систем дифференциальных уравнений предложены и разрабо -таны И. Г. Малкиным [б4], Н. П. Еругиным [зз], С. Н. Шимановым jlOlJ, Е. А. Гребениковым, 3D. А. Рябовым [2б], А, М. Самойленко [84J, М. А. Красносельским [б?]» А И. Перовым [72.], Л. Чезари [99], Дж. Хейлом [95], М. Урабе [9з] .

В связи с задачами теории колебаний в нелинейных системах разработка новых эффективных методов построения периодических решений также является весьма актуальной. Основная цель данной работы —разработка и исследование аналитических методов конструктивного анализа решений краевых задач для систем дифференциальных уравнений. Методы исследования базируются: - на разработанном В.Н. Лаптинским [59,60j подходе к исследованию систем дифференциальных уравнений, основанном на варьировании параметра и учете аналитической структуры соответствующей матрицы Грина / гл. I, II / ; - на предложенном А. М. Самойленко [бз] методе сведения дифференциальных уравнений к интегро-функциональшм уравнениям /гл.III/. Научная новизна результатов диссертационной работы состоит в следующем: - на основе указанного выше подхода [59,60 ПОлучены эффектив ные достаточные условия однозначной разрешимости и разработаны общие алгоритмы построения решений многоточечных и функциональных задач как для линейных, так и для квазилинейных систем дифферен циальных уравнений. Эти алгоритмы позволяют учитывать некоторые функциональные и алгебраические свойства матрицы коэффициентов линейной системы, что в ряде случаев дает возможность эффективно строить решение; - на основе того же подхода получены эффективные достаточные условия однозначной разрешимости и разработаны практически удобные алгоритмы построения решений двухточечных и многоточечных краевых задач с вырожденными краевыми условиями. Указанные алгоритмы позволяют учитывать некоторые структурные свойства решений рассматриваемых задач; решения построены в виде равномерно сходящихся рядов вектор-функций, удовлетворяющих заданным краевым условием; - на основе метода А.М.Самойленко развита методика построения интегральных уравнений, эквивалентных периодической краевой задаче для нелинейных дифференциальных систем общего вида. Установлена связь этого метода с методом усреднения Крылова - Боголюбова -Митропольского, с методом Еругина решения проблемы Флоке; в сочетании с идеей метода преобразований получен приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений. Разработанная методика применена к изучению периодических решений матричного уравнения типа Риккати: предложены итерационные алгоритмы построения периодических решений, изучены вопросы сходимости приближенных периодических решений к точному решению.

Построение решений вырожденных краевых задач с несвязанными краевыми условиями

Изучение периодических решений уравнения /3.1/ представляет не только теоретический интерес. Матричное уравнение Риккати встречается /см. [бі, 82J и т. д./ при решении многих задач прикладного характера /теория оптимальных систем, теория гироскопических приборов и устройств и т. д. /. Этому уравнению посвящено большое количество работ, однако вопросы построения периодических решений слабо изучены.

Здесь на основе методики, изложенной в 1 этой главы, получены эффективные достаточные условия существования, единственности и разработаны алгоритмы построения СО периодического решения уравнения /3.1/ ; изучены вопросы сходимости этих алгоритмов. Введем необходимые обозначения I Здесь ф - линейный оператор: ФХ-С((л ) Х - Х )(сд) /. Сначала приведем достаточный признак существования и единственности СО - периодического уравнения /3.1/ в области Те о р е м а 3.1. Уравнение /3.1/ будет иметь единственное в области ) (л)- периодическое решение, если: I/ матрицы C(cO)i 7)(с0) не имеют общих характеристических чисел, Интегральное уравнение /3.4/ запишем в операторном виде где через 5 обозначена правая часть в /3.4/. Согласно первому условию теоремы 3.1. оператор Cjb не имеет нулевых характеристических чисел. Тогда /см. [17,25J / оператор Ср обратим и X = P S . /3.5/ В явном виде уравнение /3.5/ имеет вид Нетрудно показать обратное: всякое решение %({) уравнения /3,6/ является решением Сл) - периодической краевой задачи для дифференциального уравнения /3.1/. В силу О) -периодичности по і - 97 правой части уравнения /3.1/ функция J(i) будет решением уравнения /3.1/ при всех і J- l . Очевидно, линейный оператор Ср является ограниченным. Используя условия 2/,3/ теоремы 3.1, с помощью принципа сжатых отображений, примененного к уравнению /3.6/ нетрудно показать, что это уравнение имеет в области D = {iJ:0 t b ,IIXl f} единственное решение. Стало быть, уравнение /3.1/ имеет в области ) единственное U) - периодическое решение. Решение уравнение /З.б/ будем строить следующим итерационным методом где К-1,Я, .--, Х= О приближение fi CWSS определяется как решение уравнения #Д;=-{/7гУг. - 98 Непосредственно проверяется, что алгоритм /3.7/ является интегральным представлением последовательности решений следующих сд -периодических краевых задач Вывод оценки скорости сходимости алгоритма выполняется стандартными приемами. Сначала находим оценку рекуррентного типа где Далее из /3.8/ имеем где Таким образом, при выполнении условий теоремы 3.1. Сд- периодическое решение уравнение /3.1/ может быть построено с помощью алгоритма /3.7/, скорость сходимости которого характеризуется неравенством /3.9/. Замечание 3.1. Пусть матрицы Cfa) и %)№) не имеют - 99 общих характеристических чисел. Если воспользоваться оценками /см. [28 J , стр. 57 / где et и & - наибольшие вещественные части характеристических чисел матрицы С(ьд) к Я{сд); d( Sf) , uLS ) - некоторые положительные постоянные; г , , О , то при выполнении условия (тіі-Ь +А + С 0 решение матричного уравнения существует, оно единственно и представимо в виде /см. [I7Jстр.259/ Используя представление /3.II/ нетрудно показать, что в качестве оценки нормы оператора QO можно принять число

Вырожденные краевые задачи для слабо нелинейных дифференциальных уравнений

Несложный анализ показывает, что алгоритм /3.7/ охватывает более широкий класс уравнений вида /3.1/, чем алгоритм /3.14/. Кроме того,,скорость сходимости первого алгоритма несколько выше. Однако алгоритм /3.14/ эффективнее в смысле практического применения.

Замечание 3.3. В теоремах 3.1 и 3.2 условие 2/ можно заменить /путем огрубления/ более наглядным Замечание 3.4. Легко видеть, что при выполнении условия dti %)(и)) ф О вместо интегрального уравнения /3.13/ можно рассматривать также следующее Условия однозначной разрешимости этого уравнения и алгоритм построения решения аналогичны приведенным выше /см. теорему 3.2 и алгоритм /3.14/ /. Замечание 3.5. Используя теорию возвратных последовательностей, оценки /3.9/,/3.16/ можно привести к явному, но более громоздкому виду. В диссертационной работе получены следующие новые результаты: - новые коэффициентные критерии однозначной разрешимости краевой задачи с неразделенными краевыми условиями и разработаны общие алгоритмы построения решений многоточечных и функциональных задач как для линейных, так и для квазилинейных систем дифференциальных уравнений. Эти алгоритмы позволяют учитывать некоторые функциональные и алгебраические свойства матрицы коэффициентов линейной системы, что в ряде случаев дает возможность эффективно строить решение; - получены эффективные достаточные условия однозначной разрешимости и разработаны практически удобные алгоритмы построения решений двухточечных и многоточечных краевых задач с вырожденными краевыми условиями; оценки, характеризующие скорость сходимости алгоритмов, доведены до коэффициентного уровня; - развита методика построения интегральных уравнений, эквивалентных двухточечным и многоточечным краевым задачам с вырожденными краевыми условиями; - на основе метода сведения дифференциальных уравнений к интегро-функциональным уравнениям, предложенного А.М.Самойленко, развита методика получения интегральных уравнений, эквивалентных периодической краевой задаче для нелинейных систем дифференциальных уравнений общего вида. При помощи этой методики получены уравнения первого и второго приближений в методе усреднения Крылова - Боголюбова -Митропольского; - получен приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений, объединяющий в себе идеи метода А.М.Самойленко и метод преобразований; - разработанная методика применена к изучению периодических решений матричного уравнения типа Риккати: изучены вопросы сходимости приближенных периодических решений к точному.

Метод преобразований в задаче о периодических решениях дифференциальных уравнений

Эта глава посвящена изучению вопросов однозначной разрешимости и разработке алгоритмов построения решений многоточечных краевых задач как для линейных, так и для квазилинейных систем дифференциальных уравнений. Исследования базируются на разработанном в J59J подходе к изучению систем дифференциальных уравнений, основанном на варьировании параметра.

Разработанная методика развита применительно к функциональным задачам. Предложен также алгоритм построения решений краевых задач с вырожденными краевыми условиями. Рассмотрим краевую задачу где / X И- матрица /Щ)ъ Ц- вектор if і) определены и непрерывны на [Q,CdJ f Mi " вещественные постоянные ftX/t - матрицы. В этом параграфе получены условия однозначной разрешимости задачи /1.1/,/1.2/ и разработан алгоритм построения ее решения. Пусть X(i)- фундаментальная матрица соответствующего однородного уравнения. Легко видеть, что при выполнении условия аеЩфО, к где /-/= MiXtti) задача /1.1/,/1.2/ однозначно разрешима. Лемма I.I. Пусть исЩ О» Тогда решение задачи /I.I/, /1.2/ представимо в виде , 14 В самом деле, функция /1.3/ является решением уравнения /I.I/. Подставляя в /1.3/ значения i — ip , получаем равенства Подставляя найденные значения /J в /1.2/, получим ч Затем с помощью матричной формулы Y fMffr)dt равны нулю, то есть условие /1.2/ выполняется. Исходя из формулы /1.3/ приходим к представлению решения в Представление решения задачи /1.1/,/1.2/ в форме /1.3/ являет ся наглядным и может оказаться полезным при изучении некоторых специальных вопросов, например, при численной реализации алгоритм ов построения решения. Оно элементарно получается из условия /1.2/ с помощью формулы Коши j Другой способ /более громоздкий/ получения представлений такого типа для решений краевых задач изложен в работе/37,стр.360]. Представление /1.4/ целесообразно использовать при получении оценок решения. Ниже нам понадобится следующая оценка.

Похожие диссертации на Методы конструктивного анализа решений краевых задач для систем дифференциальных уравнений

Решение краевых задач для уравнений смешанного типа методом спектрального анализа Хасанова Светлана Леонидовна

Решение краевых задач для систем уравнений параболического и эллиптического типа при граничных условиях смешанного типаМамедов, Нияз Мустафа

Стабилизация решения смешанной задачи для двумерной системы уравнений Навье-Стокса в неограниченной области Хисамутдинова Наиля Аслямовна

Точные решения краевых задач для гиперболических систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами ЛапласаВоронова Юлия Геннадьевна

Теоремы единственности решения задачи Коши для эволюционных уравнений и систем с растущими коэффициентамиТуртин, Дмитрий Витальевич

Асимптотики решений сингулярно возмущенных краевых задач для системы уравнений теории упругостиДавлетов, Дмитрий Борисович

Исследование регулярности обобщенных решений краевых задач для эллиптических нелинейных систем уравнений высокого порядкаАлдохина, Виктория Николаевна

Стойкость решений смешанных задач для гиперболических уравнений и системОлискевич, Марианна Александровна

Совпадение классических и обобщенных решений некоторых краевых и смешанных задач для систем уравнений второго порядка с неограниченными младшими коэффициентамиСафиев, Эльшан Кавы оглы

Асимптотическое поведение решений краевых задач для квазилинейных параболических уравнений и системВишневский, Михаил Петрович