Точные решения краевых задач для гиперболических систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа Воронова Юлия Геннадьевна

Введение к работе

Актуальность темы. Изучение проблемы интегрирования гиперболических уравнений вида

и_ху = F(x,y,u,u_x,u_y), (1)

восходит к классическим работам таких математиков, как П.С. Лаплас, Ж. Лиувилль, С. Ли, Ж.Г. Дарбу, Э. Гурса, К.Г. Якоби. Например, французский математик П.С. Лаплас предложил метод нахождения общего решения специальных линейных гиперболических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, впоследствии именуемый "каскадным методом Лапласа". Данный метод использовал Ж.Г. Дарбу для отыскания интегралов и для выяснения интегрируемости заданного уравнения. Под интегрируемостью Дарбу подразумевал наличие у уравнения (1) нетривиальных х— и у— интегралов. Метод Дарбу интегрирования гиперболических уравнений (1) состоит в отыскании интегралов по каждому характеристическому направлению и дальнейшему сведению его к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям. Но, в общем случае получение явных формул общего решения весьма затруднительно.

В более поздних исследованиях¹ для нахождения интегралов стал использоваться алгебраический подход, использующий характеристические векторные поля (именно в рамках такого подхода были получены, по-видимому, первые списки уравнений, обладающих интегралами по обоим направлениям). Другой подход к интегрированию нелинейных уравнений связан с однопараметрическими группами преобразований, т.е. с симметри-ями. Понятие симметрии впервые было введено в работах С.Ли и Э.Нетер и служит фундаментом современной теории интегрируемости. Открытие в 1967 году метода обратной задачи рассеяния и появление класса солитон-ных уравнений позволило по-новому взглянуть на теорию интегрируемых систем. Стало ясно, что уравнения, интегрируемые при помощи метода обратной задачи рассеяния, обладают бесконечной иерархией высших симметрии. В последние три десятилетия в рамках симметрийного подхода в

^oursat Е. Lecons sur I'integration des equations aux derivees partielles du second order a deux variables independantes. - Paris: Herman. - 1896, 1898. - Tome I, II.

Vessiot E. Sur les equations aux derivees partielles du second order, F(x,y,z,p,q,r,s,t) = 0, integrable par la methode de Darboux // J. Math, pure appl. - 1939. - V. 18. - P. 1-61.

Vessiot E. Sur les equations aux derivees partielles du second order, F(x,y,z,p,q,r,s,t) = 0, integrable par la methode de Darboux // J. Math, pure appl. - 1942. - V. 21. - P. 1 - 66.

работах Адлера В.Э., Шабата А.Б., Ямилова Р.И., Жибера А.В., Михайлова А.В., Соколова В.В., Свинолупова СИ., Хабибуллина И.Т., M.Giirses, A. Karasu были созданы эффективные алгоритмы решения классификационных задач и составлены исчерпывающие списки интегрируемых представителей для очень важных классов нелинейных уравнений в частных производных и их дискретных аналогов.

На сегодняшний день перспективным является подход, использующий метод каскадного интегрирования Лапласа применительно к линеаризованному уравнению (1). В рамках данного подхода уравнение вида (1) называется интегрируемым, если для его линеаризации происходит обрыв цепочки инвариантов Лапласа. Рассмотрение такого класса уравнений позволило в работе² получить полную классификацию гиперболических уравнений лиувиллевского типа. Также в работах Anderson J.M., Kamran N.³, Царева СП.⁴, Капцова О.В.⁵, Жегалова В.П., Тихоновой О.А.⁶ каскадный метод распространен на более общий класс гиперболических уравнений.

Настоящая диссертация посвящена обобщению каскадного метода Лапласа на системы гиперболических уравнений. Преобразования Лапласа для систем линейных уравнений, начали изучаться лишь в последнее время. Впервые идеи обобщения метода каскадного интегрирования Лапласа на системы гиперболических уравнений были изложены в работе А.В. Жибера и В.В. Соколова². В дальнейшем развитием данного метода занимались А.В. Жибер, В.В. Соколов, С.Я. Старцев⁷, A.M. Гурьева⁸. Задача обобщения метода каскадного интегрирования на системы уравнений является очень важной на данный момент, поскольку активно использу-

²Жибер А.В., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа II УМН. - 2001. - Т. 56. - № 1. - С. 63 - 106.

³Anderson J.M., Kamran N. The variational bicomplex for second order scalar partial differential equations in the plane// Duke. Math. J. - 1997. - V.87. - № 2. - P. 265 - 319.

⁴Царев СП. Факторизация линейных дифференциальных операторов с частными производными и метод Дарбу интегрирования нелинейных уравнений с частными производными //ТМФ. - 2000. - Т. 122. -№ 1. -С.144- 160.

⁵Капцов О.В Методы интегрирования уравнений с частными производными // М.: ФИЗМАТЛИТ. - 2009. - 182 с.

⁶Жегалов В.И., Тихонова О.А. Каскадное интегрирование уравнений Бианки третьего порядка // Препринт НИИММ им. Н.Г.Чеботарева. Казан, гос. ун-т. - 2010. - 41 с.

⁷Жибер А.В., Старцев С.Я. Интегралы, решения и существование преобразований Лапласа линейной гиперболической системы уравнений // Матем. заметки. - 2003. - Т. 74. - № 6. - С. 848 - 857.

Жибер А.В., Соколов В. В., Старцев С.Я. Нелинейные гиперболические системы уравнений лиувиллевского типа// Москва, МГУ. - Международная конференция Тихонов и современная математика. Тезисы докладов секции функциональный анализ и дифференциальные уравнения. - 2006. - С. 305 -306.

Старцев С. Я. О построении симметрии систем уравнений лиувиллевского типа. Труды международной конференции/'/ 3-14 сентября. ОГУ г.Орел. - 2006. - Т. 1. - С. 117 - 122.

⁸Гурьева A.M., Жибер А.В. Инварианты Лапласа двумериз о ванных открытых цепочек Тоды / / ТМФ. - 2004. - Т. 138. - № 3. - С. 401 - 421.

ется для классификации нелинейных уравнений. В данной работе также подробно рассмотрена задача определения решения по данным на характеристиках. Эту краевую задачу часто называют задачей Гурса. Задача с данными на характеристиках представляет большой интерес с точки зрения физических приложений. Она встречается, например, при изучении процессов сорбции и десорбции газов, процессов сушки и многих других задач.

Целью работы является обобщение метода каскадного интегрирования Лапласа на системы гиперболических уравнений, описание инвариантов систем линейных уравнений и построение решений краевых задач для гиперболических систем уравнений.

Методы исследования. В диссертации применяются классические методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, теории интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа. Для построения общего решения линейных гиперболических систем уравнений используется обобщение каскадного метода Лапласа на системы уравнений. Для нахождения решения краевых задач нелинейных гиперболических уравнений используется симметрийный метод сведения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Представленные в диссертации результаты являются новыми и состоят в следующем:

1. Для уравнений, интегрируемых каскадным методом Лапласа, построены явные формулы решения задач Коши и Гурса.

2. Приведена схема построения решения задачи Гурса для нелинейных гиперболических уравнений с нулевыми высшими инвариантами Лапласа. Получены явные формулы решения задачи Гурса для конкретных уравнений лиувиллевского типа. Найдено решение задачи Коши для уравнения Лиувилля.

3. Приведено условие обрыва цепочки обобщенных инвариантов Лапласа. Построено общее решение линейной системы уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа.

4. Получен общий вид обобщенных инвариантов Лапласа для двух-компонентных линейных систем уравнений с постоянными коэффициентами. Найдены формулы для вычисления невырожденных инвариантов Лапласа и обобщенных инвариантов для п-компонентных систем уравнений Эйлера-Пуассона.

5. Приведена схема построения решения задачи Гурса для линейных

систем гиперболических уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа. Получены явные формулы решения задачи Гурса для линеаризованных цепочек Тоды. Найдены симметрии и построено решение задачи Гурса для одной нелинейной гиперболической системы уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Методы и результаты работы могут иметь применения в исследовании нелинейных уравнений и систем гиперболического типа. Полученные точные решения можно использовать в качестве тестовых задач для численных методов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:

6. Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии (Уфа, 2004, 2006, 2008 гг.).

7. Российская научно-техническая конференция "Мавлютовские чтения", посвященная 80-летию со дня рождения чл.-кор. РАН, профессора P.P. Мавлютова (Уфа, 2006 г.).

8. Всероссийская молодежная научная конференция, посвященная 75-летию УГАТУ (Уфа, 2007 г.).

9. Уфимская международная математическая конференция, посвященная памяти А.Ф. Леонтьева (Уфа, 2007 г.).

10. Международная конференция "Нелинейные уравнения и комплексный анализ" (оз. Банное, 2007, 2008 гг.).

6. 39-ая всероссийская молодежная школа-конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2008 г.).

7. Международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" (Стерлитамак, 2008 г.).

8. Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2008 г.).

9. 40-ая всероссийская молодежная школа-конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2009 г.).

10. Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященная 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего (Москва, 2009 г.).

11. Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании" (Уфа, 2010, 2012 гг.).

12. Международная конференция MOGRAN-13 "Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравне-

ний" (Уфа, 2009 г.).

13. Международная научная конференция "Нелинейный анализ и спектральные задачи" (Уфа, 2013 г.).

14. Научный семинар кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета под руководством профессоров А.В. Жибера и И.Т. Хабибуллина (Уфа, 2008, 2010 гг.).

15. Научный семинар "Интегрируемые системы" отдела математической физики Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН под руководством профессоров А.В. Жибера и И.Т. Хабибуллина (Уфа, 2013 г.).

Публикации. По теме диссертации имеется 17 публикаций, из них статьи [1-5] в журналах из списка ВАК.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 67 наименований. Объем диссертации составляет 161 страницу.

Похожие диссертации на Точные решения краевых задач для гиперболических систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа

Решение краевых задач для систем уравнений параболического и эллиптического типа при граничных условиях смешанного типаМамедов, Нияз Мустафа

Стабилизация решения смешанной задачи для двумерной системы уравнений Навье-Стокса в неограниченной области Хисамутдинова Наиля Аслямовна

Методы конструктивного анализа решений краевых задач для систем дифференциальных уравненийКенжебаев, Кенжегали

Теоремы единственности решения задачи Коши для эволюционных уравнений и систем с растущими коэффициентамиТуртин, Дмитрий Витальевич

Асимптотики решений сингулярно возмущенных краевых задач для системы уравнений теории упругостиДавлетов, Дмитрий Борисович

Исследование регулярности обобщенных решений краевых задач для эллиптических нелинейных систем уравнений высокого порядкаАлдохина, Виктория Николаевна

Стойкость решений смешанных задач для гиперболических уравнений и системОлискевич, Марианна Александровна

Совпадение классических и обобщенных решений некоторых краевых и смешанных задач для систем уравнений второго порядка с неограниченными младшими коэффициентамиСафиев, Эльшан Кавы оглы

Асимптотическое поведение решений краевых задач для квазилинейных параболических уравнений и системВишневский, Михаил Петрович

Разработка теории нормированных систем функций и их применения к решению начально-краевых задач для уравнений в частных производныхКарачик Валерий Валентинович