Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Нормированные системы функций в построении полиномиальных и аналитических решений 12
1.1 Нормированные системы функций относительно линейных операторов 13
1.2 Пространства полиномиальных решений систем уравнений 27
1.3 Полные системы полиномиальных решений 42
1.4 Обратимость линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами 51
1.5 Разложимость аналитических решений по полиномиальным. Обобщенно-однородные решения 56
1.6 Система гармонических полиномов G и ее свойства 66
1.7 Связь G-функций с полиномами Чебышева и Лежандра 75
Глава II. Нормированные системы функций в решении начальных задач 85
2.1 Классы начальных задач для общего линейного дифференциального уравнения 86
2.2 Задачи Коши и Гурса для уравнения 3-го порядка 95
2.3 Обобщение рядов Ли 116
2.4 Нормированные системы функций относительно вырождающегося оператора 121
2.5 Начальная задача для ультрапараболического уравнения 127
2.6 Задача Гурса для уравнения Манжерона высокого порядка 133
Глава III. Задачи, содержащие производные высокого порядка в граничных условиях (7Y- задачи) 148
3.1 задача для уравнения Лапласа 149
3.2 Я-задачи для полигармонического уравнения 152
3.3 Разрешимость задачп для уравнения Гель-мгольца 165
3.4 7-задача для уравнения Пуассона 187
3.5 Разрешимость 7-задачи в полупространстве 194
3.6 7-задача для уравнения Лапласа с произвольным оператором в граничных условиях199
Литература 210
- Обратимость линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами
- Связь G-функций с полиномами Чебышева и Лежандра
- Нормированные системы функций относительно вырождающегося оператора
- Разрешимость задачп для уравнения Гель-мгольца
Введение к работе
Во многих современных методах решения задач математической физики широко используется аппроксимация решения функциями, удовлетворяющими однородным дифференциальным уравнениям задачи. Таковы, например, метод Трефца, метод ортогональных проекций, некоторые варианты метода наименьших квадратов, метод коллокацпп и др. Этим обстоятельством и объясняется прикладной интерес изучения точных решений дифференциальных уравнений в частных производных.
Существуют различные методы построения точных решений однородных п неоднородных уравнений в частных производных, в которых используются формулы общих решений, интегральные представления, производящие функции и т.п. Одним из эффективных методов отыскания решений уравнений в частных производных является метод, основанный на операторном представлении решений. Сущность этого метода состоит в построении многочленов или рядов, членами которых являются итерации соответствующих операторов, действующих на заданные классы достаточно гладких функций. Это достигается, в частности, путем использования нормированных систем функций.
Основы операторного представления решений дифференциальных уравнений, как указано в [2], были заложены еще Эйлером, который дал операторное представление гармонических функций двух переменных.
Более широкое применение операторных представлений решений дифференциальных уравнений связано с работами С.Ли, где автор ввел операторные ряды, названные впоследствии рядами Ли. Наиболее полно теорию рядов Ли разработал В.Гребнер [54,55]. Ряды, обобщающие ряды Ли, построены и изучены А.Н.Филатовым [48]. Операторные
ВВЕДЕНИЕ 5 представления решений дифференциальных уравнений, аналогичные обобщенным рядам Ли, использовались также в работах [15,51] и др.
А.В.Бицадзе [2,3] применял операторные ряды для записи представления как гармонических функций, так и решений основных уравнений математической физики. Е.П.Майлс и Е.Вильяме [58] использовали операторные ряды для записи полигармонических и поливолновых полиномов. Метод операторного представления гармонических функций, используемый для решения задач о равновесии толстых плит, разработан А.И.Лурье и известен как символический метод.
Б.А.Бондаренко [9] изучил основы теории операторных многочленов п операторных рядов для линейных операторов, действующих на достаточно гладкие функции и дал приложения к дифференциальным уравнениям в частных производных.
При построении базисных систем решений линейных уравнений в частных производных большое внимание уделяется полиномиальным и квазиполиномиальным решениям. Так, для построения приближенного аналитического решения граничных задач для полпгармониче-ского уравнения [53,59], целесообразно использовать метод Трефца пли метод наименьших квадратов [37], причем устойчивый вычислительный процесс получается при выборе в качестве координатных функций полиномов или квазиполиномов.
Одним из важных классов специальных полиномов являются гармонические полиномы, называемые иногда шаровыми функциями. Они достаточно хорошо изучены в [12,43,45] и широко применяются в математической физике. Некоторые свойства полигармонических полиномов описаны в [64,68]. Б.А.Бондаренко исследовал полигармонические полиномы, тесно связанные с ними полиномиальные решения уравнений теории упругости и применил их к решению краевых задач. Отметим также работы [56,58,62,63,66,67], посвященные построению полиномиальных решений уравнений в частных производных.
Б.А. Бондаренко изучил в [7] аналитические и комбинаторные методы построения базисных систем полиномиальных и квазиполиномиальных решений линейных и полилинейных уравнений в частных производных и привел примеры приложения к задачам математической физики.
Диссертационная работа посвящена разработке теории нормированных систем функций с целью построения решений начальных и крае-
ВВЕДЕНИЕ вых задач для однородных и неоднородных уравнений и систем уравнений в частных производных, а также решению некоторых важных задач математической физики. Она состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы.
В первой главе изучаются полиномиальные и аналитические решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. В п. 1.1 на примерах уравнений теплопроводности и колебаний показано, как операторное представление решений этих уравнений преобразуется к виду не требующему бесконечной дпфференцпруемостп начальных функцпй. Здесь же вводятся и обсуждаются новые понятия и определения среди которых основополагающее понятие нормированных систем функций относительно линейных операторов. Приводятся примеры построения и использования нормированных систем функций относительно основных операторов математической физики.
В п. 1.2 для систем уравнений с постоянными коэффициентами (теоремы 1.1 и 1.3) даются условия существования полиномиальных решений в зависимости от свойств операторной матрицы системы. Теорема 1.2 выясняет размерность пространства полиномиальных решений заданной степени. Для построения полиномиальных решений системы уравнений с квадратной матрицей доказывается теорема 1.4. Рассматриваются примеры применения доказанных теорем. В теореме 1.5 выясняются условия существования и единственности полиномиальных решений краевой задачи, оператор уравнения которой связан с многообразием, на котором задаются граничные условия. В теореме 1.6 доказано, что когда символ оператора Б{Т>) не кратен полиному х2+у2, то образ множества Ті - гармонических полиномов при действии на него оператора В(Т>) совпадает с 7Ї, т.е. уравнение B{V)u(x) = v(x) всегда имеет решение в пространстве гармонических полиномов Ті.
Следующий параграф - 1.3 посвящен случаю вырождения системы в одно уравнение. В теоремах 1.7 - 1.8 даются операторные представления максимальной системы линейно независимых по старшему члену полиномиальных решений общего линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
На основании исследований нормированных систем полиномов п. 1.3 в п. 1.4, в качестве предварительных результатов для изучения начальных задач, исследуется обратимость справа линейных дифференцпаль-
ВВЕДЕНИЕ ных операторов на О. Правые обратные операторы к исходным операторам строятся в теоремах 1.9 и 1.10 в виде сходящихся операторных рядов.
Для исследования вопросов представления аналитических решений рядами по полиномиальным решениям в п. 1.5 вводятся обобщенно-однородные полиномы и функции. Свойства обобщенно однородных функций (формула Эйлера) приводятся в теоремах 1.11, 1.12. В теореме 1.13 исследован вопрос о разложимости аналитических решений уравнений, символ оператора которых - обобщенно-однородный полином, в ряд по полиномиальным решениям. В теореме 1.15 найдено условие на коэффициенты уравнения общего вида, при котором аналитические решения могут быть разложены в ряд по полиномиальным. В теореме 1.16, используя результат предыдущей теоремы доказывается разложимость аналитических решений уравнения теплопроводности в ряд по тепловым полиномам.
В п. 1.6 с помощью нормированной системы полиномов относительно оператора Лапласа приведенной в п. 1.1 строится система гармонических полиномов {(?(г,)}. Оказывается, что помимо базисностп (теорема 1.17) и ортогональности на единичной сфере (теорема 1.18), она ортогональна еще и в V (теорема 1.21). В теореме 1.19 выписывается разложение решения задачи Дирихле в единичном шаре в ряд по полиномам
В п. 1.7 исследуется связь G-функцпй, порождаемых системой полиномов {G(^)}, с известными полиномами Чебышева (теорема 1.23 -четный род) и Лежандра (теорема 1.22 - нечетный род). В теореме 1.24 найдена формула Родрига и связь с многочленами Гегенбауэра. В теореме 1.26 доказан аналог формулы Альманси разложения произвольной аналитической функции в ряд по функциям \х\2ки(х), где и(х) - некоторая гармоническая функция. Наконец, в теореме 1.27 получена формула нахождения первого гармонического составляющего произвольного полинома в разложении из теоремы 1.26.
Вторая глава посвящена применению операторного метода к решению начальных задач для уравнений гиперболического и параболического типов. В п.2.1 на основе результатов п. 1.4 для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами изучаются начальные задачи с условиями заданными на гиперплоскостях. Существование аналитических решений дифференциальных уравнений с постоян-
ВВЕДЕНИЕ ными коэффициентами, представленных операторными рядами, доказывается в теоремах 2.1 и 2.2. Используя операторное представление решений из этих теорем, далее сформулированы классы задач Л и В с граничными условиями на гиперплоскостях. Существование и единственность аналитических решений этих задач доказывается в теоремах 2.3 и 3.4. Обобщая задачи Л и В, сформулирован класс задач Ср. В теореме 2.5 доказывается существование и единственность решения задач Ср. В теоремах 2.6 и 2.7 исследуется сходимость операторных рядов, обладающих по отношению к рядам из теорем 1.11 и 1.12 более хорошими вычислительными свойствами.
В п.2.2 исследуется разрешимость задач Копій п Гурса для гиперболического уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами. Вводится понятие функции Римана рассматриваемого оператора. Теорема 2.8 отвечает на вопрос о существовании функции Римана, а теорема 2.9 выясняет свойства функции Римана по второму аргументу. Условия существования и единственности решения задачи Копій сформулированы в теореме 2.10, а задачи Гурса в теореме 2.11. Рассмотрен пример, для которого функция Римана строится в явном виде.
В п.2.3 рассмотрены операторные ряды, обобщающие как известные ряды Ли [77,78], так и обобщенные ряды Ли [69]. На основе вспомогательных лемм 2.1-2.3 доказана теорема 2.12 утверждающая сходимость обобщенных рядов Ли в некоторой подобласти исходной области.
В п.2.4 исследуются нормированные системы функций относительно одного оператора высокого порядка, вырождающегося на границе. В частном случае, когда порядок оператора равен двум и выполнены некоторые соотношения между коэффициентами, то мы получаем известный оператор Эйлера-Пуассона-Дарбу. Существование нормированных систем функций доказывается в теоремах 2.13-2.15. Показывается, как знание нормированных систем помогает в постановке начальных задач для уравнений, содержащих данный оператор. Рассмотрены примеры.
В п.2.5 изучается задача Коши для ультрапараболического уравнения с данными на негладкой поверхности. Используя нормированные системы функций относительно оператора первого порядка и результаты п. 1.1 доказывается теорема 2.16 о существовании и единственности решения рассматриваемой задачи. Обобщая метод построения
ВВЕДЕНИЕ решения используемый в теореме 2.16 доказана теорема 2.17 о существовании решения задачи Копти для уравнения с переменными коэффициентами.
Заключительный параграф второй главы - п.2.6 содержит исследования существования и единственности решения задачи Гурса для уравнений типа уравнения Манжерона высокого порядка. Преодолевая значительные вычислительные трудности, сконцентрированные в леммах 2.5-2.7 удается выписать явный вид решения рассматриваемой задачи. В теореме 2.18 сформулирован окончательный результат. Рассмотрен пример применения теоремы 2.18.
Третья глава посвящена исследованию нового класса задач для эллиптических уравнений, а именно задач, содержащих производные высокого порядка в граничных условиях. Идея изучения такого вида задач возникла у диссертанта из работы А.В.Бицадзе [5], где, на его взгляд, для построения решения задачи Неймана для полигармонического уравнения необходимо было находить гармоническую в шаре функцию по значению ее второй нормальной производной на сфере. Первые результаты содержатся в работах [34,36,38,63]. Вскоре и сам А.В.Бицадзе опубликовал в [6] исследования обобщенной задачи Неймана для уравнения Лапласа, когда на границе задавалась п-ая нормальная производная. Размерность пространства была произвольной. В это же время была опубликована работа Цой Сун Бон [72], где исследовалась обобщеная задача Неймана, но в плоском случае. Здесь следует также отметиь работы [67,68], где изучались краевые задачи, в граничных условиях которых присутствовал дифференциальный оператор произвольного, но дробного порядка.
Параграф 3.1 диссертации носит вспомогательный характер, проясняя природу дополнительных условий, возникающих в 7і-задаче -задаче, содержащей производные более высокого порядка в граничных условиях, чем порядок уравнения. Используя результаты п.2.6 доказываются (теорема 3.1) необходимые условия разрешимости 7ї-задачи для уравнения Лапласа в шаре.
Далее, в п.3.2 найдены необходимые и достаточные условия разрешимости 'Н-задачи для полигармонического уравнения в шаре. Основной результат, сформулированный в теореме 3.2, основывается утверждениях, содержащихся в леммах 3.1-3.5. Здесь, в качестве иллюстрации условий теоремы 3.2, рассматриваются задачи Дирихле и Неймана
ВВЕДЕНИЕ для полигармонического уравнения.
Исследованию разрешимости 7^-задачи для уравнения Гельмгольца посвящен п.3.3. В теоремах 3.3 и 3.4 найдено взаимно однозначное соответствие между решениями уравнения Гельмгольца в некоторой области G, удовлетворяющей условию поглощения, и гармоническими в G функциями. Теорема 3.5 устанавливает взаимную обратимость формул из теорем 3.3 и 3.4. Основной результат сформулирован в теореме 3.6. ^-задача для уравнения Пуассона исследуется в п.3.4. Используя леммы 3.10-3.11 и 3.12-3.13 доказываются теоремы 3.7 и 3.9 о интегрировании нормальной производной объемного потенциала с полиномиальным весом в случае когда плотность либо полином, либо финитная функция. Разрешимость 7^-задачи доказывается в теоремах 3.8 и 3.10.
Для выяснения инвариантности условий разрешимости обобщенной задачи Неймана, рассмотренной А.В.Бпцадзе в [6], относительно области, в п.3.5 исследована эта задача для полупространства. Используя представление решения задачи Неймана через решение задачи Дирихле (теорема 3.11), найдены необходимые и достаточные условия разрешимости обобщенной задачи Неймана. Они сформулированы в теореме 3.12.
В п.3.6 исследуется 7^-задача для уравнения Лапласа в единичном круге, когда в граничных условиях стоит произвольный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Сначала вводится и изучается некоторая шкала пространств G^ - гармонических в круге функций. Основываясь на утверждениях лемм 3.16 - 3.17 доказывается теорема 3.13 о вложении Q^n~ll2^ в Wn. Лемма 3.18 устанавливает индекс пространства для элементарного решения уравнения Лапласа - Е(х,у). В теореме 3.14, при определенных условиях на индекс оператора A(D), находится полезное представление решения уравнения A(D)u = v, рассматриваемого в G^. С помощью леммы 3.21 условие на индекс оератора A(D) принимает более простой вид. Используя теорему 3.15, основанную на лемме 3.22, в теореме 3.16 доказывается повышение индекса пространства решения на порядок уравнения. После проделанных исследований пространств G-(n\ вводится новое понятие решения ^-задачи для уравнения Лапласа, в котором граничные условия понимаются в обощенном смысле. В теоремах 3.17 и 3.18 доказывается разрешимость поставленной задачи. В теореме 3.19 уста-
ВВЕДЕНИЕ новлено, что шкала пространств G^ не исчерпывает всего множества гармонических в круге функций.
Считаю своей приятной обязанностью выразить благодарность научному консультанту академику Джураеву Т.Д. и академику Бондаренко Б.А. за постоянное внимание и помощь в написании диссертации, а таюке покойному чл.-корр. РАН Бпцадзе А.В., поддержка которого была неоценима в получении результатов третьей главы.
Обратимость линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами
Исследованию разрешимости 7 -задачи для уравнения Гельмгольца посвящен п.3.3. В теоремах 3.3 и 3.4 найдено взаимно однозначное соответствие между решениями уравнения Гельмгольца в некоторой области G, удовлетворяющей условию поглощения, и гармоническими в G функциями. Теорема 3.5 устанавливает взаимную обратимость формул из теорем 3.3 и 3.4. Основной результат сформулирован в теореме 3.6. -задача для уравнения Пуассона исследуется в п.3.4. Используя леммы 3.10-3.11 и 3.12-3.13 доказываются теоремы 3.7 и 3.9 о интегрировании нормальной производной объемного потенциала с полиномиальным весом в случае когда плотность либо полином, либо финитная функция. Разрешимость 7 -задачи доказывается в теоремах 3.8 и 3.10.
Для выяснения инвариантности условий разрешимости обобщенной задачи Неймана, рассмотренной А.В.Бпцадзе в [6], относительно области, в п.3.5 исследована эта задача для полупространства. Используя представление решения задачи Неймана через решение задачи Дирихле (теорема 3.11), найдены необходимые и достаточные условия разрешимости обобщенной задачи Неймана. Они сформулированы в теореме 3.12.
В п.3.6 исследуется 7 -задача для уравнения Лапласа в единичном круге, когда в граничных условиях стоит произвольный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Сначала вводится и изучается некоторая шкала пространств G - гармонических в круге функций. Основываясь на утверждениях лемм 3.16 - 3.17 доказывается теорема 3.13 о вложении Q n ll2 в Wn. Лемма 3.18 устанавливает индекс пространства для элементарного решения уравнения Лапласа - Е(х,у). В теореме 3.14, при определенных условиях на индекс оператора A(D), находится полезное представление решения уравнения A(D)u = v, рассматриваемого в G . С помощью леммы 3.21 условие на индекс оператора A(D) принимает более простой вид. Используя теорему 3.15, основанную на лемме 3.22, в теореме 3.16 доказывается повышение индекса пространства решения на порядок уравнения. После проделанных исследований пространств G-(n\ вводится новое понятие решения -задачи для уравнения Лапласа, в котором граничные условия понимаются в обощенном смысле. В теоремах 3.17 и 3.18 доказывается разрешимость поставленной задачи. В теореме 3.19 уста новлено, что шкала пространств G не исчерпывает всего множества гармонических в круге функций.
Считаю своей приятной обязанностью выразить благодарность научному консультанту академику Джураеву Т.Д. и академику Бондаренко Б.А. за постоянное внимание и помощь в написании диссертации, а таюке покойному чл.-корр. РАН Бпцадзе А.В., поддержка которого была неоценима в получении результатов третьей главы.
В начале данной главы вводятся и обсуждаются новые понятия и определения среди которых наиболее важное - понятие нормированных систем функций относительно линейных операторов. Приводятся примеры построения и использования нормированных систем функций относительно основных операторов математической физики. Для систем уравнений с постоянными коэффициентами выявлены условия существования полиномиальных решений и найдено максимальное число линейно независимых полиномиальных решений заданной степени. В случае вырождения системы в одно уравнение даются операторные представления базисных систем полиномиальных решений. В качестве предварительных результатов для изучения начальных задач исследуется обратимость справа линейных дифференциальных операторов на 0(Т ). Для исследования вопросов представления аналитических решений рядами по полиномиальным решениям вводятся обобщенно-однородные полиномы. Изучаются решения уравнений с обобщенно-однородными операторами. С помощью нормированной системы полиномов относительно оператора Лапласа строится система гармонических полиномов {G (x)}. Оказывается, что помимо ортогональности на единичной сфере, она ортогональна еще и в V. Полиномы G (x) порождают -функции, которые естественным образом связаны с полиномами Чебышева и Лежандра.
Связь G-функций с полиномами Чебышева и Лежандра
Данная глава посвящена применению операторного метода к решению начальных задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Используя результаты предыдущей главы сформулирован класс начальных задач Ср с условиями на гиперплоскостях, для которого удается доказать теоремы существования и единственности в классе аналитических функций. Приведены два конкретных типа задач Ср - задачи Л и В, которые обобщают известные постановки задач Кошп и Гурса. Далее, для гиперболического уравнения третьего порядка исследуются классические задачи Коши и Гурса, вкладывающиеся в класс задач Ср, но для которых ищется не локоль-ное решение, а решение в заданной области п граничные данные которых - функции конечной гладкости. Исследована задача Гурса для уравнения Манжерона высокого порядка.
При построении решений уравнений (в общем случае с переменными коэффициентами), содержащих степени операторов первого порядка возникают обобщенные ряды Ли. Удается доказать сходимость таких рядов. Используя нормированные системы функций для операторов первого порядка получено решение задачи Коши для ультрапараболического уравнения с данными на негладкой поверхности. Здесь также приводятся результаты по построению нормированных систем функций для вырождающегося на границе обыкновенного дифференциального оператора высокого порядка. Рассмотренное уравнение с этим оператором обобщает известное уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу.
Как известно, одной из наиболее общих теорем о существовании аналитических решений дифференциальных уравнений в частных производных является теорема Коши - Ковалевской [15]. Хотя эта теорема справедлива даже для систем нелинейных дифференциальных уравнений, существенным условием ее применимости является условие нормальной разрешимости уравнения по временной переменной. В связи с этим возникает вопрос о существовании аналитических решений у уравнений, которые не являются нормально разрешенными ни по одной из переменных. Нижеследующие исследования частично отвечают на этот вопрос.
Рассмотрим уравнение (1.32). Перепишем его в виде В п. 1.4 исследовались вопросы обратимости справа оператора C(D) на множестве 0(D) и были построены обратные операторы - U(D), обладающие свойством линейности. Однако, операторы U(D) не дают информации о решениях однородного уравнения вида (2.1). Обозначим через kcrC(D), аналогично п. 1.2, множество функций -классических решений уравнения C(D)u(x) = 0. Теорема 2.1. Пусть (5 = MinCk(D), тогда существует область V С V п оператор Vk(D) такие, что для любого решения уравнения Ck{D)u{x) = 0 из 0(V) найдется функция щ Є 0(V) - решение уравнения D vix) = 0 такая, что Vk(D)uo(x) = u(x) для х Є V. He существует решения уравнения D v(x) = 0 из 0(Т ) такого, что Vk(D)u0(x) = 0дляхЄТ . Доказательство. Определим оператор Vk(D) на V в виде где опрераторы Ц и Ck{D) определены в теореме 1.9. Аналогично доказательству этой теоремы нетрудно показать, что Vk(D) существует на 0(V), причем Vk(D) : 0(V) н-» 0(V), для некоторой области V С V. Так как формально f(x) Є кет D13 =Ф- Vk(D)f(x) Є ker &(/?), то первая часть утверждения теоремы доказана. Перепишем однородное уравнение (2.1) в виде где «о(ж) Є kevD nOiV). Применяя к уравнению (2.2) оператор Vk(D), убедимся в справедливости второй части утверждения. Если теперь в уравнении (2.2) взять щ(х) такое, что Vk(D)uo(x) = О, то и(х) = 0, а значит щ(х) = 0. Теорема доказана. г=0 где все входящие в данное равенство операторы определены в теореме 1.10. Аналогично доказательству указанной теоремы, нетрудно показать, что V(D) может быть определен на 0(Т ), причем V(D) : 0(V ) н-» 0(Т ) для некоторой области V С V. Непосредственные вычисления показывают, что f(x) Є ker Cq(D) П 0(V ) = V(D)f{x) Є ker C(D)f\0(V). Если теперь, учитывая полученное, положить V(D) = V(D)Vk(D) и воспользоваться теоремой 2.1 при Ck(D) = Cq(D), V — Х , то убедимся в верности первого утверждения теоремы. Доказательство двух других утверждений теоремы аналогично доказательству теоремы 2.1. Теорема доказана. Используем полученные результаты для описания аналитических в точке х Є V решений уравнения вида (2.1). В случае нормальной разрешимости уравнения (2.1), например, по переменной Х{, в силу известной теоремы Ковалевской, между аналитическими решениями уравнения (2.1) и начальными данными задачи Копта по переменной ХІ, в окрестности точки х, можно установить взаимно однозначное соответствие. Попытаемся продолжить данное соответствие на множество нормально не разрешенных уравнений. Для этого, сформулируем такую задачу для уравнения (2.1), для которой, во-первых, указанное соответствие "решение-начальные данные" сохранилось бы, во-вторых, в случае нормальной разрешимости уравнения (2.1) эта задача обратилась бы в задачу Коши.
Рассмотрим систему векторов Вт = {/3 ) А; = 0,..., m, (3 ) Є Nn}, удовлетворяющую следующим условиям/3(fc) fi(k+i), \b(k+i)\-\P(k)\ = 1, /5(о) = 0, где порядок на Nn задается аналогично имеющемуся в (1.15): (3 а - ((ЗІ (ХІ, Зі, /ЗІ щ). Такую систему векторов назовем определяющей. Зададим на множестве -Bm\{/3(m)} следующее отображение 7г : Вт\{(3(т)} ь-+ Іп, тг(/3 ) = (1,... ,n)aw, где «(Аг) = (3{k+i) - P(k)- Обозначим С(х,є) = {х Є Сп \ \х{ - х{\ ЄІ} -полицилиндр в Сп.
Нормированные системы функций относительно вырождающегося оператора
В настоящей главе исследуются краевые задачи для эллиптических уравнений, которые содержат в граничных условиях производные более высокого порядка чем порядок уравнения. Опираясь на систему гармонических полиномов {(2( )} построенную и изученную в первой главе, исследуется Ті-задачи для уравнения Лапласа и Пуассона в единичном шаре. Получены необходимые и достаточные условия существования п единственности решения "Н-задачи для полигармонического уравнения. Класс рассмотренных задач достаточно широк, т.к. в него вкладываются известные задачи Дирихле и Неймана. Используя представление решений уравнения Гельмгольца через гармонические функции получены также необходимые и достаточные условия разрешимости 7 -задачи для уравнения Гельмгольца. Для выяснения инвариантности условий разрешимости обобщенной задачи Неймана, относительно области, эта задача исследована также и для полупространства. Чтобы выяснить условия разрешимости 7 -задачи, когда в граничных условиях стоит произвольный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, вводится и изучается шкала пространств (9-гармонических в круге функций. Сформулировано новое понятие решения -задачи, в котором близость решения к граничной функции понимается в смысле интегрального среднего. Доказано существование такого решения. у которого аа = l/wn fds (0,0/(0 Для а 0 {Аь ..., AJ и аа = О в противном случае.
Введем множество / = {Ai,..., А/} П N. Теорема 3.1. Решение задачи Л существует тогда и только тогда, когда выполнено седующее условие ортогональности Если решение задачи Ті существует, то оно представимо в виде и единственно с точностью до однородных полиномов, степени которых принадлежат множеству I. Доказательство. Доказательство теоремы повторяет доказательство более общей теоремы 3.2 для более общей задачи и поэтому приводить его не будем. Для выяснения сущности условий существования решения задачи Н приведем лишь доказательство необходимости этих условий. Итак, пусть решение задачи Ті существует. Так как V/г т, \x\kdku/dvk Є C(S), то используя равенство - = \x\ kA k\ из которого сразу следует, что легко найдем, что функция v(x) = P[m](A)u(x) гармоническая в 5 и непрерывная в S, причем v\g$ = / Следовательно, для v(x) верна формула (1.80). Подставляя в последнее равенство, также в соответствии с (1.80), функцию и(х), взятую в виде а затем умножая на Н\3\х) и интегрируя по сфере радиуса є 1, пользуясь при этом ортогональностью полиномов Н (ж) на единичной сфере, получим Jas Напомним, что полиномы Щг\х) это по другому обозначенные полиномы G (x) из п. 1.6. Получено уравнение относительно неизвестных коэффициентов U\ . Оно разрешимо, если выполнено условие которое совпадает с условием теоремы. Решение и(х) может быть записано в форме п Цт] ) JOS и преобразовано к виду данному в теореме (см. теорема 3.2). Необходимость условий теоремы доказана. Приведем пример использования теоремы 3.1, когда Pm{i) = tm, га Е N. Так как / = {0,1,..., т — 1}, то из теоремы 3.1 следует, что решение такой задачи ТС существует тогда и только тогда, когда для любого гармонического полинома степени к (к га) - Нк{х) выполнено равенство JdSHk{i)f{i)d = 0. Решение единственно с точностью до полиномов (т — 1)-ой степени и представляется в форме Неизвестные Cfc, входящие в Rm-i(x,) определяются из условия [т] ЕГ=1 ck/{ - к + 1) = 1 и имеют вид Ск = (-1)т-к/((к - Щт -&)!), а поэтому Кроме этого, согласно определения полинома ид (ж), верно равенство гіт_і(ж) = 0. При т = 1 мы приходим к результату, полученному А.В.Бицадзе в работе [4]. 3.2 7 -задачи для полигармонического уравнения Рассмотрим следующую неклассическую задачу для полигармонического уравнения, которая естественным образом обобщает 7 -задачу из п.3.1: (Н). Найти гармоническую в 5 = {ж G 1" \х\ 1} комплексно-значную функцию и(х), удовлетворяющую условиям где fi Є CSi (OS), Si Є N, dujdv - производная по направлению внешней нормали к сфере радиуса \х\, Pmi (t) - произвольные полиномы степени mi над С. Исследуем существование и единственность поставленной задачи Ті, а также попытаемся построить ее решение. В простейшем случае, когда Pmiit) = tmi, Si = k — і, при гаг- = г — 1 задача Н обращается в задачу Дирихле [59], а при тг- = г - в задачу Неймана [5].
Разрешимость задачп для уравнения Гель-мгольца
Во многих современных методах решения задач математической физики широко используется аппроксимация решения функциями, удовлетворяющими однородным дифференциальным уравнениям задачи. Таковы, например, метод Трефца, метод ортогональных проекций, некоторые варианты метода наименьших квадратов, метод коллокацпп и др. Этим обстоятельством и объясняется прикладной интерес изучения точных решений дифференциальных уравнений в частных производных.
Существуют различные методы построения точных решений однородных п неоднородных уравнений в частных производных, в которых используются формулы общих решений, интегральные представления, производящие функции и т.п. Одним из эффективных методов отыскания решений уравнений в частных производных является метод, основанный на операторном представлении решений. Сущность этого метода состоит в построении многочленов или рядов, членами которых являются итерации соответствующих операторов, действующих на заданные классы достаточно гладких функций. Это достигается, в частности, путем использования нормированных систем функций.
Основы операторного представления решений дифференциальных уравнений, как указано в [2], были заложены еще Эйлером, который дал операторное представление гармонических функций двух переменных.
Более широкое применение операторных представлений решений дифференциальных уравнений связано с работами С.Ли, где автор ввел операторные ряды, названные впоследствии рядами Ли. Наиболее полно теорию рядов Ли разработал В.Гребнер [54,55]. Ряды, обобщающие ряды Ли, построены и изучены А.Н.Филатовым [48]. Операторные представления решений дифференциальных уравнений, аналогичные обобщенным рядам Ли, использовались также в работах [15,51] и др.
А.В.Бицадзе [2,3] применял операторные ряды для записи представления как гармонических функций, так и решений основных уравнений математической физики. Е.П.Майлс и Е.Вильяме [58] использовали операторные ряды для записи полигармонических и поливолновых полиномов. Метод операторного представления гармонических функций, используемый для решения задач о равновесии толстых плит, разработан А.И.Лурье и известен как символический метод.
Б.А.Бондаренко [9] изучил основы теории операторных многочленов п операторных рядов для линейных операторов, действующих на достаточно гладкие функции и дал приложения к дифференциальным уравнениям в частных производных.
При построении базисных систем решений линейных уравнений в частных производных большое внимание уделяется полиномиальным и квазиполиномиальным решениям. Так, для построения приближенного аналитического решения граничных задач для полпгармониче-ского уравнения [53,59], целесообразно использовать метод Трефца пли метод наименьших квадратов [37], причем устойчивый вычислительный процесс получается при выборе в качестве координатных функций полиномов или квазиполиномов.
Одним из важных классов специальных полиномов являются гармонические полиномы, называемые иногда шаровыми функциями. Они достаточно хорошо изучены в [12,43,45] и широко применяются в математической физике. Некоторые свойства полигармонических полиномов описаны в [64,68]. Б.А.Бондаренко исследовал полигармонические полиномы, тесно связанные с ними полиномиальные решения уравнений теории упругости и применил их к решению краевых задач. Отметим также работы [56,58,62,63,66,67], посвященные построению полиномиальных решений уравнений в частных производных.
Б.А. Бондаренко изучил в [7] аналитические и комбинаторные методы построения базисных систем полиномиальных и квазиполиномиальных решений линейных и полилинейных уравнений в частных производных и привел примеры приложения к задачам математической физики.
Диссертационная работа посвящена разработке теории нормированных систем функций с целью построения решений начальных и краевых задач для однородных и неоднородных уравнений и систем уравнений в частных производных, а также решению некоторых важных задач математической физики. Она состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы.
В первой главе изучаются полиномиальные и аналитические решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. В п. 1.1 на примерах уравнений теплопроводности и колебаний показано, как операторное представление решений этих уравнений преобразуется к виду не требующему бесконечной дпфференцпруемостп начальных функцпй. Здесь же вводятся и обсуждаются новые понятия и определения среди которых основополагающее понятие нормированных систем функций относительно линейных операторов. Приводятся примеры построения и использования нормированных систем функций относительно основных операторов математической физики.
В п. 1.2 для систем уравнений с постоянными коэффициентами (теоремы 1.1 и 1.3) даются условия существования полиномиальных решений в зависимости от свойств операторной матрицы системы. Теорема 1.2 выясняет размерность пространства полиномиальных решений заданной степени. Для построения полиномиальных решений системы уравнений с квадратной матрицей доказывается теорема 1.4. Рассматриваются примеры применения доказанных теорем. В теореме 1.5 выясняются условия существования и единственности полиномиальных решений краевой задачи, оператор уравнения которой связан с многообразием, на котором задаются граничные условия. В теореме 1.6 доказано, что когда символ оператора Б{Т ) не кратен полиному х2+у2, то образ множества Ті - гармонических полиномов при действии на него оператора В(Т ) совпадает с 7Ї, т.е. уравнение B{V)u(x) = v(x) всегда имеет решение в пространстве гармонических полиномов Ті.
Следующий параграф - 1.3 посвящен случаю вырождения системы в одно уравнение. В теоремах 1.7 - 1.8 даются операторные представления максимальной системы линейно независимых по старшему члену полиномиальных решений общего линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
