Введение к работе
Актуальность темы. В предлагаемой диссертации исследована разрешимость и дифференциальные свойства, решений краевых задач для уравнений Эйлера как в областях с непроницаемой границей, так и при налігши протекания жидкости сквозь область.
Важные результаты в этой области получили Н. М. Гюнтер, L. Lichtenstein, Н. Hoelder, W.Wolibner, В. И. Юдович, А. В. Кажи-хов, О. А. Ладыженская, М. Р. Уховский, J.Maxsden, D.Ebin, J.-I. Chemin, J. Delort и др.
Несмотря на то, что уравнения Эйлера известны уже более двух столетий, их исчерпывающая математическая теория отсутствует. Построеіше этой теории могло бы привести к продвижению в понимании таких явлений как гидродинамическая турбулентность и общих вопросов динамики бесконечномерных консервативных систем.
Цели работы:
— исследовать дифференциальные свойства решений двумерных нестационарных уравнений Эйлера для случая непрерывного и кусочно-непрерывного начального вихря;
исследовать разрешимость начально-краевой задачи для двумерных нестационарных уравнений Эйлера в классах течений с вихрем, лежащим вне Lp, р > 1;
исследовать разрешимость трехмерной стационарной задачи протекания сквозь заданную область.
Научная новизна. В 1963 году В. И. Юдович доказал глобальное по времени существование обобщенного решения плоской начально-краевой задачи для уравнений Эйлера в случае начального вихря из Хр, 1 < р < со,и его единственность при р = оо. Впоследствии тот же автор (1995 г.) установил единственность решения общей трехмерной задачи при более слабых условиях.
В настоящей диссертации доказано, что вихрь скорости плоского течения с ограниченным вихрем определяется классической формулой Коши. Следствием формулы Коши оказывается инвариантность пространства непрерывных вихрей относительно эволюционного оператора двумерных уравнений Эйлера. Для течений с непрерывным вихрем найдена априорная оценка р-норм производных оператора сдвига вдоль траекторий частиц жидкости (потока). Оценка скорости их роста выражена в терминах модуля непрерыв-
ности начального вихря.
Из оценки производных потока и формулы Коши выведена априорная оценка производных непрерывного вихря в Lp, р > 1.
Ослабление условия р > 1 в теореме В. И. Юдовича —предмет большого числа статей, опубликованных в 90-е годы (J. Delort, 1991; А. Моргулис, 1992; D. Chae, 1993-1994; A. Majda, 1993; I. Vecchi к SijueWu, 1993; S. Schochet, 1994-1995; B.H. Старовойтов, 1988, 1994). В диссертации представлено доказательство разрешимости в классе пространств Орлича, «заключенных между» L\ и р, р > 1.
Локальную разрешимость задачи Коши для трехмерных уравнений Эйлера в классе течений с кусочно- гельдеровыми производными скорости доказали Н.М. Гюнтер и L. Lichtenstein в 20-х годах. Из результатов В. И. Юдовича следует, что кусочно-гельдеровы данные определяют единственное глобальное решение плоской задачи. Для течений во всей плоскости регулярность этих решений исследовал J.-Y. Chemin, 1991. Этот автор доказал глобальную по времени ограниченность скорости, а также гельдеровскую непрерывность орта касательной к линии разрыва.
В диссертации результат J.-Y. Chemin'a перенесен на случай ограниченной области течения и дополнен оценками модулей непрерывности скорости и давления в направлении нормали к линии разрыва. Таким образом, получен глобальный аналог классической теоремы Н. М. Гюнтера и L. Lichtenstein'a для течений в ограниченных областях.
Задача протекания возникает, когда нормальная компонента скорости течения на границе области течения не равна нулю тождественно. Хорошо известно, что задание одной нормальной компоненты скорости недостаточно для корректной постановки задачи.
В диссертации рассматривается трехмерная стационарная задача протекания идеальной однородной несжимаемой жидкости сквозь заданную область при потенциальных внешних силах. Граничные условия: на всей границе задана нормальная компонента скорости; а на части границы, сквозь которую жидкость втекает в область, заданы дополнительно нормальная компонента вихря и граничное значение функции Берну лли (суммы давления и кинетической энерпш частицы жидкости). В некоторых случаях такая постановка задачи позволяет свести ее к скалярному уравнению (М. А. Гольдштик). В диссертации используется иной подход.
В общем случае эти граничные условия есть стационарный аналог граничных условий, предложенных А. В. Кажиховым (1980) для
нестационарной задачи.
Существование решений вращательно-симметричной стационарной задачи протекания с нулевой азимутальной скоростью ранее было доказано Г. В. Алексеевым, 1972-1973. При этом на участке втекания предполагался заданным вихрь.
Плоскую нестационарную задачу с заданными на входе значениями функции Бернулли исследовал В.М. Салопенко, 1988.
Разрешимость стационарной задачи протекания доказана в диссертации з двух частных случаях:
(а) граничное значение функции Бернулли постоянно;
(б) данные задачи инвариантны относительно вращений вокруг
некоторой оси.
В случае (а) решение описывает спиральное (винтовое) течение: в каждой точке области течения вихрь скорости коллинеарен самой скорости; функция Бернулли постоянна в области течения. В случае (б) доказано существование симметричных решений с ненулевой азимутальной компонентой скорости.
Практическая ценность. Полученные результаты могут быть ис-пользваны при разработке численных методов решения начально-краевых задач для уравнений Эйлера, возникающих, например, в метеорологии или при расчете циклонных установок.
Структура работы. Работа состоит из введеній, трех глав и списка литературы. В первой главе изучаются свойства обобщенных решений плоских нестационарных уравнений Эйлера с непрерывным вихрем и с вихрем, несуммируемым со степенью, большей единицы; во второй главе рассматриваются плоские нестационарные течения с кусочно-гельдеровым вихрем; в третьей главе исследуется разрешимость трехмерной задачи протекания.
Публикации. Основное содержание диссертационной работы Мор-гулиса А. Б. отражено в следующих публикациях:
-
Моргулис А. Б. О лагранжевом представлении обобщенных решений уравнений двумерных течений идеальной несжимемой жидкости // Деп. в ВИНИТИ, № 3669-В89.
-
Моргулис А. Б. Лагранжево описание двумерных обобщенных течений идеальной жидкости // Изв. СКНЦ ВШ, 1990, № 3. С. 55-59.
-
Моргулис А. Б. О решениях двумерных нестационарных урав-
нений Эйлера, допускающих вихрь, несуммируемый со степенью большей единицы // СМЖ. Т. 33, № 5. 1992. С. 209-212.
4. Моргулис А. Б. Спиральные течения идеальной несжимаемой
жидкости сквозь заданную трехмерную область // Деп. в ВИНИТИ
17.03.92. № 904-В92.
-
Моргулис А. В. Вращательно-симметричные решения трехмерной стационарной задачи о протекании идеальной несжимаемой жидкости сквозь заданную область // Деп. в ВИНИТИ 15.03.93. № 619-В93.
-
Моргулис А. В. Лагранжево описание двумерных обобщенных течений идеальной жидкости // Тез. докл. на VII школе-семинаре «Нелинейные задачи гидродинамической теории устойчивости». Изд-во МГУ, 1992.
-
Моргулис А. В. Глобальная регулярность лшіии разрыва вихря в двумерных течениях идеальной несжимаемой жидкости // Деп. в ВИНИТИ 10.11.95. № 2987-В95.
Апробация. Основные результаты диссертации докладывались на VII, VIII Школах-семинарах МГУ «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости» (Звенигород, 1990; Райки, 1992), международной конференции «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости» (Зеленоград, 1993), на научных семинарах кафедр вычислительной математики и математической физики, алгебры и дискретной математики РГУ.
