Содержание к диссертации
Введение
Задача Коши для систем гидродинамики вращающейся жидкости. Асимптотические свойства решений
1. Представление решения задачи Коши для систем линейных уравнений со стационарной и периодической правыми частями . 20
2. Асимптотическое разложение при решения задачи Коши для однородной линеаризованной системы гидродинамики вращающейся жидкости 30
3. Поведение при -t^eo решения задачи Коши для линеаризованной системы гидродинамики в случае стационарных и периодических внешних возмущений и однородных начальных условий 33
4. Единственность решения линейной стационарной системы, соответствующей случаю стационарных и периодических внешних возмущений 37
5, Построение фундаментального решения линейной системы. Оценки производных элементов тензора, соответствующего вектору скорости 40
6. Однозначная разрешимость "в целом" при доста точно малых быстро убывающих начальных данных задачи Коши для однородной нелинейной системы гидродинамики вращающейся жидкости и асимптоти ка полученного решения при 45
ГЛАВА 2. Первая начально-краевая задача в полупространстве R3 Асимптотика 56
7. Представление решения задачи через неизвестную функцию 56
8. Исследование свойств корней характеристического уравнения задачи и нахождение неизвестной функции . 57
9. Представление решения первой начально-краевой задачи 65
10, Исследование асимптотических свойств интегралов, входящих в тензор Грина 70
II. Асимптотика при решения первой начально-краевой задачи 81
12, Единственность решения задачи 84
ГЛАВА 3. Начально-краевая задача в слое К3 Асимптотика . 87
13. Представление решения задачи для систем уравнений с однородными, стационарными и периодическими правыми частями 87
14. Исследование асимптотических свойств интегралов, входящих в тензор Грина 95
15, Асимптотика решения задачи 98
16. Единственность решения стационарной задачи , 102
17. Единственность решения начально-краевой задачи 105
Литература
- Асимптотическое разложение при решения задачи Коши для однородной линеаризованной системы гидродинамики вращающейся жидкости
- Построение фундаментального решения линейной системы. Оценки производных элементов тензора, соответствующего вектору скорости
- Исследование свойств корней характеристического уравнения задачи и нахождение неизвестной функции .
- Исследование асимптотических свойств интегралов, входящих в тензор Грина
Введение к работе
Работа посвящена изучению асимптотических свойств при i-+ решений начальной и начально-краевых задач для систем гидродинамики вращающейся жидкости. Начало систематическому изучению математической теории вращающихся жидкостей было положено в известных работах С.Л.Соболева [32, 33] . Уравнения движения вращающихся жидкостей отличаются от известных уравнений Навье-Стокса наличием слагаемого, характеризующего эффект вращения [7І . Учет эффекта вращения оказывается важным в случае, когда рассматриваемое движение носит глобальный характер, например, в динамике атмосферы и океана.
В работах С.Л.Соболева исследовалось движение идеальной вращающейся жидкости. Ш было доказано, что при определенных условиях система идеальной вращающейся жидкости (система С.Л.Соболева) эквивалентна уравнению которое получило название уравнения С.Л.Соболева. Асимптотическое поведение при большом времени решений начальных и начально-краевых задач для системы уравнений С.Л.Соболева (и уравнения С.Л.Соболева) исследовалось в работах Р.А.Александряна [I] , Т.И.Зеленяка [9] , В.Н.Масленниковой [16-20] , В.П.Маслова [28] , В.Г.Лежнева [14] и других авторов.
В частности, в цикле работ В.Н.Масленниковой [16-20] , посвященном исследованию асимптотического поведения при -t -» решений начальных и начально-краевых задач для системы С.Л.Собо- лева, при различном числе пространственных переменных были получены равномерные по пространственным переменным асимптотические оценки и асимптотические разложения при большом времени решений рассматриваемых задач, исследовано явление погранслоя, возникающее при изучении краевых задач, изучен принцип предельной амплитуды и получены условия типа Зоммерфельда на бесконечности.
Следующим важным шагом по пути исследования качественных свойств решений задач математической теории вращающейся жидкости явились работы [21, 221 В.Н.Масленниковой, в которых при различном числе пространственных переменных были получены равномерные по пространственным переменным асимптотические оценки при t> 0 решений задачи Коши для системы С.Л.Соболева с вязкостью.
Наряду с идеальной и вязкой вращающейся жидкостью, B.H.Mac-ленниковой рассматривались также снимаемые [23, 24 \ и вязкие сжимаемые жидкости [25"\ . Однако, в случае вязкой сжимаемой жидкости, полученные асимптотические оценки при \.> 0 решения справедливы лишь при dl>0 , где Отметим, что наряду с изучением асимптотических свойств при большом времени решений задач гидродинамики вращающейся жидкости, в работах В.Н.Масленниковой, Р.А.Александряна, Т.И.Зеленяка, С.В.Успенского, Г.В.Демиденко и других авторов, рассматривались вопросы получения априорных оценок решений исследуемых задач в пространствах С.Л.Соболева, изучались спектральные свойства операторов, соответствующих рассматриваемым задачам, а также ряд других вопросов. Подробное изложение современного состояния математической теории вращающихся жидкостей можно найти в обзорных статьях [2,8,10,27] . Из работ, посвященных исследованию асимптотических свойств при 1-*~= решений начальных и начально-краевых задач в неограниченных областях для нелинейной системы уравнений Навье-Сток-са, следует отметить работы [13,30,46-48,50] . Б частности, в работах [47,48] исследуется вопрос асимптотического поведения при большом времени решения задачи Коши для нелинейной системы уравнений Навье-Стокса. Целью настоящей работы является: построение асимптотических разложений при t-»**» решения задачи Коши для линеаризованной системы гидродинамики вязкой вращающейся жидкости как в случае отсутствия внешних сил, так и в случае стационарных и периодических внешних сил; выделение классов единственности для решений соответствующих начальной задаче стационарных систем; доказательство, в случае достаточно малых быстро убывающих начальных данных, однозначной разрешимости "в целом" задачи Коши для однородной нелинейной системы гидродинамики вязкой вращающейся жидкости и исследование асимптотических свойств полученного решения при -І-» о» ; получение на произвольном компакте в полупространстве R[ асимптотических оценок при большом времени решения первой полупространственной начально-краевой задачи для линеаризованной однородной системы гидродинамики вязкой вращающейся жидкости; исследование, как в случае отсутствия внешних сил, так и в случае стационарных и периодических внешних сил, асимптотических свойств при -к-**» решения линейной начально-краевой задачи гидродинамики вязкой вращающейся жидкости в слое R3 = Iх ^'е(?а,оос3<-Ц с граничными условиями, возникающими в динамике атмосферы и океана; выделение классов единственности соответствующих начально-краевой задаче в слое решений стационарных краевых задач. Результаты диссертационной работы могут найти применение как в линейной, так и в нелинейной теории .движения вращающихся жидкостей. Особый интерес результаты диссертации могут представлять при изучении вопросов динамики атмосферы и океана в неограниченных областях, то есть в случае, когда для адекватного математического описания происходящих процессов необходимо учитывать эффект вращения Земли, влияние которого является весьма существенным. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа Университета дружбы народов, на семинаре под руководством проф. А.А.Дезина и проф. В.Н.Масленниковой в Математическом институте им.В.А.Стекло-ва АН СССР, на семинаре под руководством проф. В.В.Пененко в ВЦ СО АН СССР (Новосибирск), на конференциях молодых ученых (Университет дружбы народов, I98I-I983 г.г.) и на научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук (I98I-I983 г.г.) Университета дружбы народов. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [40-43] . Перейдем к более подробному изложению результатов диссертации. Рассматривается линеаризованная система гидродинамики вращающейся жидкости вида Здесь ^(«Л)-№(хЛ),^«іі^,^№Л)) - искомый вектор скорости, pca.-t) - искомое давление; |(*Д)=( &(*,*),&(*» "И, &(*Л>) -заданная вектор-функция внешних сил; У>0 - коэффициент вязкости жидкое-ти; [-,-1 - векторное произведение; w - постоянный вектор угловой скорости, который мы рассматриваем в виде ) = (0, о,<д), Наряду с системой (I), будем рассматривать нелинейную систему Без ограничения общности будет рассматриваться только случай соленоидальных правых частей. Везде, где специально не оговорено, под словом решение понимается классическое решение рассматриваемой задачи. Докажем, что интеграл, стоящий в левой части равенства (І.І4) равномерно сходится по эсе3 вместе со своими первыми и вторыми производными по х . Для этого рассмотрим каждое из двух слагаемых, стоящих в правой части последнего равенства. Пусть Рассмотрим первое слагаемое в правой части ра-венства (І.І4). Используя очевидные оценки и переходя к сферическим координатам, нетрудно показать, что интеграл равномерно сходится по Ї вместе с первыми и вторыми производными по х . При рассмотрении второго слагаемого в правой части (І.І4) и его производных по х используется неравенство очевидный факт, что при uu- » знаменатель подъинтегрального выражения есть 0(u\ ) . Утверждение, как и ранее, доказывается переходом к сферическим координатам. Случай х=о рассматривается аналогичным образом. При этом, вместо использованной оценки функции МС\« 1,А3,1зе) применяется неравенство \ M(ui\,«U, )\ и\. С помощью введенного разбиения единицы при "aeeR . таким же образом исследуются и оставшиеся интегралы из представления системы функций W, (3c)"i . Отличие заключается лишь при зе о в рассмотрении некоторых интегралов, содержащих функцию «(uv), то есть в доказательстве сходимости рассматриваемых интегралов в окрестности точки i--o . Исследуем, например, последнее слагав-мое в представлении функции (ъ) при "$ = 0 и покажем, что соответствующий интеграл сходится равномерно по хе R3 Рассматриваемый интеграл имеет вид Из замечания 1.2 следует, что первое слагаемое в правой части последнего равенства равно нулю. Тогда из (I.I6) следует оценка Используя последнюю оценку и переходя к сферическим координатам, нетрудно показать, что интеграл сходится равномерно по . Аналогичным образом при "=о исследуются и те интегралы из представления решения задачи, которые содержат функцию 0 и не могут быть рассмотрены так же, как первое слагаемое в (I.I4). Мы показали, что система функций . )Д ix)\ обладает требуемой гладкостью и, в силу построения, удовлетворяет системе (4). Лемма доказана. Лемма 1.3. При выполнении условий леммы 1.2 система функций S.vW},f М, определяемых формулами (1.7), является решением задачи (I) G однородными условиями (3). Доказательство. Из (1.7) и леммы 1.2 следует, что для доказательства леммы достаточно доказать, что система функций U( A и іх,Щ обладает требуемой гладкостью, является при t 0 решением однородной системы (I) и равномерно по зсє з лї?\хЛЬО . первые два утверждения доказываются также, как и лемма 1.2. Послед-нее утверждение следует из явного вида функций W ( о и U te-Л) и возможности предельного перехода при -» + 0 равномерно по хе в интегралах в представлении U ( М . Возможность предельного перехода при 1-+0 нетрудно обосновать, оценив интегралы из представления Ucx,t} так же, как и в лемме 1.2. Лемма доказана. Прежде чем приступить к исследованию асимптотического поведения при- 00 решения задачи (I), (3), преобразуем систему функций №, ,Ц1х,Щ. Рассмотрим первое слагаемое, соответству-ющее функции - Щ в представлении 13 М. Представляя функцию і и.) в виде преобразования Фурье от Сх) и выражение, стоящее в квадратных скобках, в виде интеграла по , запишем, на основании теоремы Фубини, рассматриваемое слагаемое при \. О следующим образом: Используя явный вид (1.2) образов Фурье ядер К(зсД), запишем последний интеграл в виде Функция u {хМ не может быть преобразована таким образом. Поступим иначе. Рассмотрим первое слагаемое, соответствующее функции -?іШ, в представлении U &М . Запишем функцию -?iU) в виде (I.I6), где f-Jo)-0 в силу замечания 1.2, и выражение, стоящее в квадратных скобках, в виде интеграла по х . Интегралы (Ятг? абсолютно сходятся при t 0 при условии Ш Лх) \_(Я3У Меняя порядки интегрирования и используя явный вид образов Фурье ядер К (тс , , можем представить последнюю сумму в виде Аналогичным образом преобразуются и два оставшихся слагаемых в представлении и С сД). Выражение, стоящее в фигурных скобках в левой части послед-него равенства, равно нулю лишь при «. - «л и u\-0 . Рассуждая как и ранее, получаем, что для единственности функций VlL(x),Vi, при еобходимо накладывать на эти функции условие убнва ния при \х\-» а при и эе единственным условием, наложенным на эти функции, будет требование того, чтобы они определяли регулярные функционалы из s з). Теорема доказана. Замечание 4.1. Условия, накладываемые на функции И (х), 1--1.8L , в классе Еа , могут быть заменены условием ZWifcoH faty "(l+ncalf, s o , где у їх) - непрерывная, положительная функция, определенная в Ri , такая что (х оСІ") при х- оо. Для доказательства достаточно, предполагая, что \ /3(х)=0 и ctd с (х) = о, из первых двух и четвертого уравнения системы (4.1) получить соотношение U- fV/i UbO , i= 1, 1 f откуда, рассуждая как и ранее, получаем требуемое утверждение. Лемма 4.1. При выполнении условий леммы 1.2 решение Wfx , с чх системы дифференциальных уравнений (4) удовлетворяет следующему соотношению Доказательство следует из многомерного аналога леммы Ри-мана-Лебега [II] и того факта, что Последнее доказано в лемме 1.2. Лемма доказана. Замечание 4.2. В работе [12] доказана теорема единственности решения задачи (I), (3) в классе локально ограниченных измеримых функций {ЇНхЛ), р Д І , удовлетворяющих в смысле теории распределений уравнениям (I) и начальным условиям (3), таких, что йк-хД и texpWo , \ Д)\ (J(\x\) почти всюду в непрерывные, монотонно возрастающие положительные функции, определенные Очевидно, что при выполнении условий лемм I.I и 1.2 решение задачи (I), (3), определенное формулами (1.10), единственно в классе функций, введенных в [12] . Построим фундаментальное решение линейной системы уравнений (I). Под фундаментальным решением понимается тензор которые определяются как решения следующих задач Применяя известную методику нахождения фундаментальных решений линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами [4"\ , а именно, применяя преобразование Фурье 3 А и решая систему обыкновенных дифференциальных уравнений по , получим Построенное фундаментальное решение при W;0 переходит в фундаментальное решение линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса, так называемый тензор Озина. Используя явный вид (1.2) ядер К(зсД) , можем представить элементы Е СхД) тензора Е0х,1) в виде Элементы tijWl тензора фундаментального решения исследовались в [21] , где были получены равномерные по х оценки Е ( Л) по . Б дальнейшем, в этом и последующих параграфах, будем обозначать через С положительную постоянную, Б данном контексте одна и та же буква С может быть использована для обозначения различных постоянных. Доказательство. Поскольку утверждение леммы доказывается аналогичным образом как для элементов тензора Е ( Л) » так и для их первых производных по х , то докажем лемму, например, для элементов Утверждение леммы для элементов Ец( ) тензора фундаментального решения следует из неравенств (5.2), (5.3) и (5.7). Оставшиеся элементы тензора Eta Л) и первые производные по х тензора ШД)оцениваются аналогичным образом. А именно, для каждой из рассматриваемых функций, так же, как это сделано в \2Ґ\ для ядер К(зс, , получаются представления, аналогичные представлению (5.4) элементов .4 ,1) , откуда следуют оценки not, а также, интегрированием по частям, оценки по эс . Лемма доказана. Отметим, что при иь-о оценки, полученные в лемме 5.1, переходят в соответствующие оценки элементов тензора Озина. См., например, [341 . Однозначная разрешимость "в целом" при достаточно малых быстро убывающих начальных данных задачи Коши для однородной нелинейной системы гидродинамики вращающейся жидкости и асимптотика полученного решения Мы показали, что решение интегрального уравнения (6,1) есть слабое решение задачи (2), (3). Лемма доказана. Замечая, что добавление конвективного члена [41,(31 в систему уравнений Навье-Стокса не вносит каких-либо изменений в рассуждения, проведенные в[44І , приходим к следующей лемме. Лемма 6.5. При У/% существует по большей мере одно слабое решение задачи (2), (3) в классе L (QVi. Очевидно, что решение интегрального уравнения (6Л), построенное в лемме 6.3, принадлежит L ( 5 (о Л, с і . Тогда из лемм 6.3-6.5 следует доказательство теоремы 4. Замечание 6,2. Ввиду известных ограничений на объем работы, мы не рассматриваем вопрос изучения дифференциальных свойств полученного слабого решения задачи (2), (3) Для построения решения задачи используем метод интегральных преобразований. При этом, сначала мы будем предполагать известным значение р( » \ «0 Метод нахождения этой функции будет указан в следующем параграфе. Применяя к однородной системе (I) преобразование Лапласа с t-A , Фурье xu , косинус-преобразование Фурье $х ±3 к s третьему уравнению системы и синус-преобразование Фурье %ъ- 13 к трем оставшимся уравнениям системы, будем иметь X и 1А\а определены в I. Здесь использованы следующие обозначения Пользуясь соленоидальностью начальных данных Ч)(х), решаем алгебраическую систему (7.1). Будем иметь где Kh Vs/M определено в (1,3), Применяя обратное преобразование Фурье по А! , Лапласа по "А , а также обратное косинус-преобразование Фурье к третьей компоненте вектора Vu, и обратное синус-преобразование Фурье к оставшимся компонентам решения, найдем представление решения однородной системы (I) с условиями (3), (5) через неизвестную функцию Решение имеет вид Справедлива Лемма 8.1. При d! & \?а , "Н t, Л 0 ,ы. \ о мнимая часть корней многочлена fU отлична от нуля. Доказательство. Доказательство проведем от противного. Пусть 11=0 .Тогда $ и . Равенство Ф может выполняться лишь в случае, если A+vu. \ + = , где /UR4. Последнее невозможно. Лемма доказана. Замечание 8.1. Из леммы 8.1 следует, что при U \ 0 корни многочлена $ ъ) можно разделить на две грушш, первая из которых имеет положительные, а вторая - отрицательные мнимые части. Пусть В Дальнейшем ПРИ 14 \ 0 lw» i- 0 , 4.6U3. Доказательство. Применяя принцип аргумента \1Ъ\ , при фиксированных А и \ \ можем представить многочлен &L в виде из отрезка t , и полуокружности CR (m- ,0- 1 О. При этом R выбирается столь большим, что все нули функции и±ъ), лежащие в верхней полуплоскости, находятся внутри Гк . Используя очевидное равенство интегральную теорему Коши и переходя к пределу при -» = , получаем утверждение леммы. Лемма доказана. Определим неизвестную функцию (\ Я\ ) , Для этого применим к третьей компоненте решения задачи в образах Фурье и Лапласа (7.2) обратное косинус-преобразование Фурье. Будем иметь где Q» ) - образ Фурье функции ) . При получении последнего соотношения мы использовали известные формулы для косинус-преобразования Фурье, аналогичные формуле свертки для преобразования Фурье. Доказательство. Меняя при -bo на основании теоремы Фубини пределы интегрирования, можем представить функцию T(t,«i ) следующим образом Используя соотношение сos } - і- $ stolV) «Ц , пред-ставим первое слагаемое в правой части (8.II) в виде Первое слагаемое в правой части (8.12) стремится к нулю при -І-» +0 , что следует из свойств фундаментального решения уравнения теплопроводности и условия согласования з )\х =D . Второе слагаемое, оцениваемое величиной tJ , также стремится к нулю при \.-+ +0 равномерно по J a. . К нулю при 1 0 также стремятся и оставшиеся слагаемые в правой части равенства а. о (8.II), оцениваемые величиной CsTt X Vwi} . Первая часть утверждения леммы доказана. Рассмотрим первое слагаемое правой части равенства (10.16), Используя (10.8), (10.10) и неравенство 1Я (\,9, )\ t/ЛБ , нетрудно доказать, что при Ht. o первое слагаемое оценивает-ся величиной C( c, 3)4rs , где s-2E№+j Vа-А, а константа Сс , зависит степенным образом от х» з . Последняя оценка может быть улучшена. Очевидно, что из трех ядер -,9,ф) , Ц-т. Хз} , Fb(x , ) основной вклад в асимптотику при П первого слагаемого суммы (10.16) вносит ядро FaM-, f, з) . Перейдем в рассматриваемом слагаемом к полярным координатам по формулам = cos 6 5 -7Лип9 t где «L3 -аргумент интеграла в представлении ядра FaOt- , г) . Вспоминая определение (10.5) функции VA K.VL можем представить первое слагаемое суммы (10.16) в виде Аналогичным образом рассматривается второе и третье слагаемое в правой части равенства (10.16). А именно, в каждом из этих слагаемых делаем замену переменных по формулам A KosS , J-= л ьиа0 , где cl3 - аргумент интеграла в представлении ядра F , вносящего основной вклад в асимптотику слагаемого. Во втором слагаемом это будет ядро Ц- , , 4) , а в третьем - с(т, . Далее интегрируем два раза по частям в интегралах по 6 в каждом из слагаемых и оцениваем результат, пользуясь леммой 10.2. В результате получим оценки, аналогичные неравенству (10.18). Утверждение леммы для функции доказано. Аналогичным образом рассматриваются функции при других возможных комбинациях индексов. При этом, в некоторых случаях, в зависимости от значений индексов надо пользоваться формулой (10.13) вместо (10.12). При рассмотрении случая Ы поступаем следующим образом. Применяя формулу (10.15), разбиваем функцию % 1і 4 Ф. эЛ на сумму пяти слагаемых, которые отличаются пределами интегрирования по х и 5 Каждое из слагаемых оценивается с использованием леммы 10.2 так же, как и в случае - . При этом, так как от ядер fj , вносящих основной вклад в асимптотику трех слагаемых, имеющих такие же пределы интегрирования по t и , как и три последних слагаемых в (10.15), берется производная, то каждое из этих трех слагаемых разбивается на два члена, которые рассматриваются как и ранее. Отметим, что при некоторых комбинациях индексов возможно только однократное дифференцирование по частям в интегралах по & . Лемма доказана. Используя лемму 10.3 и соотношения (10.12)-(10.14), аналогично доказательству леммы 10.4 доказывается Лемма 10.5. При o 0 , зсе ", зе 1 справедливы оценки где i и «" определены в лемме 10.4 , = + a: J? Лемма 10.6. При " xe 0 , ocR3+ , eRt справедливы оценки где 6i= itU Sr Доказательство. Используя (10.12) и переходя к полярным координатам, можем представить функцию & " te»ty,) следующим образом xNKUsm6) (ycosQ)(V e 9 Co ( CosQ 9 Интегрируя по частям в интеграле по б и используя соотношения (10.10), неравенства (10.9) и Коши, нетрудно получить требуемый результат. Лемма доказана. Лемма 10.7. Если функция %{ъ) удовлетворяет условиям теоремы 5, то при 4: 1о 0 справедливо следующее соотношение где при - ie" 0 равномерно no функция $ \ № удовлетворяет оценке 1 ,УЧ ЛЖ , функции 1 ( определены в доказательстве леммы, (l+$)Aj C L(Rt). Доказательство. Используя разбиение единицы LCt ,Uo,l, из леммы 1.2, представим интеграл, стоящий в левой части равенства (10.19), в виде суммы двух слагаемых Rlftj. При -1 , записывая производную по от свертки функций FK ПО формуле (10,15) и оценивая результат при помощи легко доказываемого неравенства \ Ъ±FK ( , , )\ С(і+ і ) С 9 получим оценкуАсимптотическое разложение при решения задачи Коши для однородной линеаризованной системы гидродинамики вращающейся жидкости
Построение фундаментального решения линейной системы. Оценки производных элементов тензора, соответствующего вектору скорости
Исследование свойств корней характеристического уравнения задачи и нахождение неизвестной функции .
Исследование асимптотических свойств интегралов, входящих в тензор Грина
Похожие диссертации на Асимптотические свойства решений краевых задач для систем гидродинамики вращающейся жидкости
