Введение к работе
Актуальность темы. Одним из основних вопросов, изучаемых в математической теории упругости, являются вопросы существования, единственности и устойчивости решений краевых задач. Одной из первых работ, положивших начало систематическому изучению этих проблем, была классическая работа Фредгольма СіЗ , в которой первая краевая задача для линейной системы теории упругости в случае однородных изотропных тел изучалась методом интегральных уравнений.
Вторую краевую задачу для системы теории упругости исследовал Корн 2] . В этой работе применяются интегральные уравнения и в первый раз .появляются неравенства, которые сейчас известны под названием неравенства Корна. Вслед за работой Корна появилось много работ, в которых доказывались различные модификации неравенств Корна и предлагались их приложения к ис-следованию различных вопросов теории упругости. В связи с этим 'отметим работу.К.Фридрихса [3] , в которой автором доказаны неравенства Корна и вариационным методом исследованы первая и вторая краевые задачи теории упругости. Отметим также работу
СП. ?W^ X %&<,
^\мКоі^^л\,Ха/і- cU, 1Я> ЫъССчЛс cV eui&tC(Ub&>
Jkh. Mat. Jsh^c^. $ys., 2. 1$ (І9РЄ).
23. КОІП- J). DOU^tuQh, Q&W&X-cUe, clu, p
&X, C&A QU VtA Є-ffoits S-Vtvir Л#*ьпЄЄ6 &- ^-*> b3. FruxJLrldLs K.O. uv іЛб- ъсимЛаъу vraPut- f>xcL
Mfytc^Ui% . Л**- Ma it. 4 & (./).
Г.Фикеры [4 J , в которой с использованием неравенств Корна и функциональных методов изучаются различные краевые задачи для системы теории упругости. Новым этапом в исследовании краевых задач для системы теории упругости, в частности, в изучении вопросов единственности, устойчивости и существования решений в неограниченных областях, являются работы В.А.Кондратьева и О.А.Олейнкк [б] - [8 J. В этих работах для широкого класса неограниченных областей установленн неравенства Корна и Харди, и с их помощью исследованы краевые задачи для системы теории уп-\а~]. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости.-М.:
Пир, 1974. [р~\. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенства Корна.// УШ.-1988.Т.43, f5.-С.55-98. [&]. Кондратьев В.А., Олейник О.А. О неравенствах Корна и единственности решений классических краевых задач в неограниченных областях для системы теории упругости.// Современные проблемы математической физики.-1987.-Т.1.-Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та.-С.35-63.
М- KobJfaUev V A/ 0
Serte VJf) V. 10, Rorntv. d390.-Z Ш- S
- з -ругости.
Известно, что изучение краевых задач в неограниченных областях требует того гли иного "условия на бесконечности". Таким условием в настоящей работе является ограниченность интеграла энергии с весом:
В работах [5^, бJ изучены вопросы единственности обобщенных решений краевых задач для системы теории упругости в неограниченных областях, в случае, когда (Х- - О . В диссертации получены разные теоремы единственности решений краевых задач в зависимости от значения Ееса "Q,". Доказательства теорем единственности основаны на неравенствах Корка и. Харди для неограниченных областей, которые доказаны в работах 5D - Z^~J ^ работе изучены такяе вопросы единственности обобщенного- решения- задачи Дирихле для бигармонического уравнения в неограниченных областях."В случае, когда (Л- - О , эти вопросы подробно изучены в работе А.А. Конькова эЗ .
Цель работы. Исследование вопросов существования и единственности обобщенных решений краевых задач для системы теории упругости и бигармонического уравнения в неограниченных областях с конечным интегралом энергии с ъесом.
JVJ. Коньков А.А. О размерности пространства решений эллиптических систем в неограниченных областях.// Мат. сборник.-1993. Т. 184, Ш.-С. 23-52.
Научная новизна. В диссертации получены точные формулы для определения размерности пространства решений основных краевых задач для системы теории упругости и бигарглонического уравнения с конечны?.! интегралом энергии с весом во внешности компакта и в полупространстве.
Все основные результаты диссертации являются новыми и получены авторок самостоятельно.
Методы исследования. В диссертации используются функциональные и вариационные методы исследования краевых задач, а такке методы теории пространств С Д.Соболева.
Приложения. Результаты диссертации являются продвижением в области теории краевых задач для эллиптических систем в неограниченных областях. Они могут найти применение в математической теории упругости и в задачах механики.
Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ по уравнениям с частными производными под руководством академик РАН, проф. О.А.Олейник, под руководством проф. Б.А.Кондратьева и проф. Е.М.Ландиса, а также на Международной конференции им. И.Г.Петровского в 1994г.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Сттпгктуоа и объем диссертации. Работа состоит из введения, ДЕух глав, разбитых на 4 параграфов, и списка литературы, содер жащег 25 наименований. Общий объем диссертации 95 стр.
