Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Исследование некоторых интегральных уравнений I рода специального вида
1. Интегральные уравнения содержащие полиномиальные ядра ?3
2. Интегральное уравнение с усложненным ядром Коши на системе отрезков
3. Интегральное уравнение с усложненным логарифмическим ядром на системе отрезков
4. Эффективный приближенный метод решения одного полного интегрального уравнения с усложненным логарифмическим ядром
ГЛАВА II. Краевые задачи для упругой плоскости содержащей дефект конечной длины
5. Построение разрывных решений для упругой плоскости..
6. Отслоившиеся включение в составной упругой плоскости ."
7. Дефект в виде тонкого прямолинейного включения, имеющего по своей длине точки смены граничных условий
8. Случай дефекта в виде крестообразного отслоившегося включения
ГЛАВА III. Краевые задачи для упругой плоскости, содержащей полубесконечный дефект в виде тонкого включения
9. Постановка задач. Сведение их к задаче факторизации
10. О факторизации матриц специального вида
11. Построение точных решений поставленных задач
Литература .
Приложения
- Интегральное уравнение с усложненным логарифмическим ядром на системе отрезков
- Эффективный приближенный метод решения одного полного интегрального уравнения с усложненным логарифмическим ядром
- Дефект в виде тонкого прямолинейного включения, имеющего по своей длине точки смены граничных условий
- О факторизации матриц специального вида
Введение к работе
Актуальность темы. Среди задач возникающих при конструировании машин и инженерных сооружений в технике, авиастроении, машиностроении особое место занимает исследование напряженного состояния упругих тел, содержащих внутренние концентраторы напряжений: трещины, абсолютно жесткие или упругие включения (их еще называют дефектами). Это связано с тем, что часто причиной разрушений элементов 'конструкций является наличие в них концентраторов напряжений. Наиболее сильную концентрацию напряжений дают дефекты, представляющие собой отслоившиеся включения, т.е. такие включения, которые частично вступают в контакт с упругой средой, а частично отстают (отслаиваются) от нее. Темой настоящей диссертации является исследование краевых задач теории упругости при наличии дефектов внутри области и главным образом, дефектов представляющих собой отслоившиеся включения, чем и определяется ее актуальность.
Тема диссертации полностью соответствует важнейшей госбюджетной теме кафедры методов математической физики Одесского госуниверситета "Краевые задачи математической физики с усложненными граничными условиями и дефектами типа разрезов и тонких включений'.' Шифр І.1.12.1. Номер гос. per. 0I82I007I70.
Целтю работы является построение точных и приближенных методов решения краевых задач плоской теории упругости, связанных с проблемами концентрации напряжений возле дефектов типа трещин, тонких включений, в том числе и отслоившихся.
Методика исследования. Все задачи методом интегральных преобразований или с помощью его обобщенной схемы сводятся к одному или системе нескольких сингулярных интегральных уравнений, которые решаются либо в замкнутом виде (методом сведения к краевой задаче Римана, в том числе и матричной), либо приближенно.
Аннотация глав диссертации и обзор литературы по теме.
В первой главе проводится исследование интегральных уравнений I рода, к которым сводятся рассматриваемые во второй главе краевые задачи теории упругости.
В I рассматривается интегральное уравнение вида і
J { П (t/r) + 2>(i/rt} pWft?) YfrWtr = hit),
СОЛ)
в котором ядро является полиномиальным , связанным с многочленами Якоби 9 u ("fc) » Jt^D,00 t^S J> т*е* предполагается что оператор
ПИ+)= j^ ГШ/г) p^tt) V№) действует из L2.(["U]>PV>%)) . V,jH>-i в L2(C-i,i], О 'г(+)) J. &>-{ и определяется [*20] через ортонорми-рованные базисы этих гильбертовых пространств при помощи спектрального соотношения Iі П (t,T) pW(v) р* V)*ir = а-к р*»^, причем в исследованиях, проводимых в I, относительно последовательности 0":r|(J"j/l предполагается, что она имеет степенной порядок З а, Л, о<а*я<+», a* lend (K*0№< Я Vk = o~^ (о.з) и этот порядок Щ, неотрицательный ( ЇЇІ Ъ0 ). Аппаратом для исследования и решения таких уравнений является метод ортогональных многочленов который получил свое развитие благодаря работам Г.Я.Попова С 41 -4] , В.М.Александрова [ 1] , В.М.Александрова, Е.В.Коваленко 2 J . Как известно метод ортогональных многочленов L^1"^4J сводит уравнения типа (0.1) к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений П рода [21J , которые затем решаются методом редукции [21] , причем приближенное решение этого уравнения строится по решению редуцированной системы. В общем случае предполагается, что решение уравнения (0.1) функция V("b) в L»2(С-іДІ 1 О '"()) Однако, эта функция может принадлежать и более узкому классу, т.е. быть непрерывной либо некоторое число раз непрерывно-дифференцируемой. Целью исследования, проводимого в I, является выяснение при каких достаточно общих ограничениях на ядро duvt,^ } правую часть lift) и на порядок ДО/ (0.3) последовательности собственных чисел 0"3{^к}і/-о (0.2) можно гарантировать определенную степень гладкости решения Т|7() уравнения. (ОЛ), а также получить при этих ограничениях оценки, определяющие порядок скорости сходимости приближенного решения уравнения (0.1), строящегося по методу ортогональных многочленов, к точному решению уравнения (ОЛ). Для решения поставленного вопроса проводится исследование уравнения (ОЛ) в специально подобранных гильбертовых пространствах типа Соболева с весом 1551 . Основной результат сформулирован в теореме 1.4 и определяет гладкость решения уравнения (ОЛ), а также порядок сходимости приближенных решений как по нормам указанных выше пространств, так и по норме пространства С[~l,i]. В 2 исследуется интегральное уравнение с усложненным ядром Коши на системе отрезков К ^^ =^15)11 + W?) (0-4) где функттия ч /1 \ и контур / определены следующим образом ^4.1^=1^1-, Є#сГ-і.О (0-5> Уравнение (0.4), (0.5) сводится к следующей краевой задаче Римана Ф+(^= G(v относительно аналитической вне отрезка [-1,1] вещественной оси вектор-функции ф(?) Матричный коэффициент Q-iz) этои задачи представляет из себя матрицу подстановочного типа. К факторизации такого типа матриц впервые пришел Г.П.Черепанов в работе [62] и постррил эффективное решение такой задачи. Отметим, что эффективное решение задачи факторизации матриц подстановочного типа для контура, состоящего из любого конечного числа непересекающихся отрезков, путем сведения к задаче факторизации на римановой поверхности дано Э.И.Зверовичем [17J при помощи эффективно решенной им проблемы обращения Якоби. Используя формулы работы [62] , строится факторизация матрицы G*(t) > когда определяющие ее контура + и „ элементарны f+«u.F) , С- 0 а затем при помощи полученных "элементарных" решений строится факторизация матрицы &(Ь) (о.б) для случая контура >w общего вида (0.5). Такой прием позволил сразу получить удобную формулу фактори Lst^* Ipf'W"**'} ' гДе Р№) " специально подобранная в соответствии с решением уравнения (0.4), (0.5) весовая функция. Эти результаты применяются в 3, 4, 7. Уравнения (0.4), (0.5) можно свести к сингулярному уравнению на римановой поверхности алгебраической функции, ядро которого является аналогом ядра типа Коши LlrJ для этой римановой поверхности. Уравнения с такими ядрами на римановых поверхностях алгебраических функций общего вида рассмотрены В.Е.Кругловым |~2 V J . Но в связи с общей теоретической направленностью этой работы, в ней отсутствует детализация,необходимая для наших целей, и поэтому для решения уравнения (0.4), (0.5) применен специальный прием изложенный выше. В 3 рассматривается интегральное уравнение с усложненным логарифмическим ядром на системе отрезков 14:-ТІ arLObfT) = Ьм, rr 4- У(І)У(Г) Ut 77 ZH (0.7) IT -4*1 где функция и контур у (-f;) определены формулами (0.5). Уравнение с чисто логарифмическим ядром -f^J-t-T] (уравнение Карлемана) на системе отрезков вещественной оси дано в работе fe(J ThOht&S. J Для весьма частного случая, когда !/()= 1 и ^ = [-1,1] формальное решение уравнения (0.7) получено С.В.Бо-саковым Г 5" J Явное решение уравнения (0.7), (0.5) строится путем сведения к уравнению (0.4), (0.5). Уравнение (0.7), (0.5) исследуется в Lpte») ,р>1 ив L,(t#|lptt>|-^ . Рассматривается также полное уравнение (3.13) с характеристической частью в виде ядра L("fc)T) (0.7). В теореме 3.4 даны достаточные условия для того, чтобы урав Кроме того, показывается, что в случае, когда правая часть уравнения (0.7) является многочленом, то решение уравнения (0.7) можно представить в виде, не содержащем интегралов типа Коши, т.е. решение оказывается представимым в виде конечных сумм функ- ций специального вида. В 4 на основе общих исследований, проведенных в 3, изучается конкретное уравнение вида (3.13), в котором в качестве регулярной части берется функция Грина (уіх,*!?) некоторой одномерной краевой задачи, и строится эффективный приближенный метод решения этого уравнения, опирающийся на билинейное разложение для этой функции Грина. Такое подробное изучение этого уравнения связано с задачами 7. Во второй главе рассмотрены краевые задачи для упругой плоскости, содержащей дефекты конечной длины. В 5, опираясь на разработанный Г.Я.Поповым [ЦЗJ обобщенный метод интегральных преобразований, построено разрывное решение для составной упругой плоскости, которая имеет дефект общего вида на линии сцепления двух полуплоскостей, образующих составную. Далее при помощи полученного разрывного решения для составной плоскости, как частный случай, построено разрывное решение для однородной плоскости, содержащей прямолинейный дефект. Затем строится разрывное решение для однородной упругой плоскости, содержащей крестообразный дефект, как наложение разрывных решений для прямолинейных дефектов. В б рассматривается краевая задача для составной плоскости с дефектом в виде отслоившегося включения. (Дефект как и в 5 расположен по линии сцепления полуплоскостей, образующих составную.) Имеется в виду ситуация, когда тонкое абсолютно жесткое включение под действием приложенной к нему нормальной нагрузки одним своим краем (по всей длине) вступает в контакт с упругой средой, а второй его край с упругой средой не взаимодействует (отслоился). Задача рассматривается в двух постановках: I) контакт включения с упругой средой является гладким; 2) край вклю- чения полностью сцеплен с упругой средой. При помощи полученного разрывного решения задача I) сводится к решению системы трех сингулярных интегральных уравнений с постоянными коэффициентами. Построено ее точное решение. Проведен анализ зависимости показателя степенной особенности напряжений возле включения от упругих постоянных плоскостей, образующих составную. Выявлено, что при определенном соотношении между этими постоянными упругие напряжения возле включения имеют логариф-мо-корневую особенность. Применительно к однородной плоскости задача изучалась в работе Задача 2) сведена к системе четырех сингулярных интегральных уравнений, которая затем точно решена. Здесь также проведен анализ зависимости показателя степенной особенности упругих напряжений от упругих постоянных составной плоскости и также выявлено, что при определенных соотношениях между этими постоянными упругие напряжения имеют логарифмо-степенную особенность. Задача об отслоившемся включении при наличии полного сцепления по одному берегу щели может трактоваться, как основная смешанная задача для щели (по терминологии Н.И.Мусхелишвили [3 83 ). Такая задача впервые была поставлена и решена Д.И.Шерманом [ЬЗ] применительно к однородной плоскости. Более совершенное решение затем было дано Н.И.Мусхелишвили [ЗоJ . Для составной плоскости эта задача была решена Г.П.Черепановым в работе [ 61J другим методом, однако особые случаи соотношения упругих постоянных, при которых напряжения имеют логарифмо-корневую особенность в этой работе не выявлены. В 7 исследуются краевые задачи теории упругости для однородной плоскости при наличии прямолинейных дефектов, которые имеют по своей длине точки смены граничных условий. Рассматри- ваемые в данном параграфе дефекты представляют из себя тонкие включения, находящиеся в гладком контакте с упругой средой, которые под действием приложенных к ним нормальных нагрузок частично вступают в контакт с упругой средой, а частично отстают (отслаиваются) от нее. Сначала рассматривается случай абсолютно жесткого включения. В этой ситуации загружение включения произвольной нормальной нагрузкой эквивалентно действию на включение силы г и момента М . В зависимости от соотношения между Рим требуется определить заранее неизвестные отрезки контакта и отслоения включения от упругой среды. При помощи построенного в 5 разрывного решения для однородной плоскости с прямолинейным дефектом задача сводится к интегральному уравнению (0.4), (0.5). Построенное в 2 точное решение этого уравнения позволило свести задачу определения участков контакта и участков отслоения к системе трансцендентных уравнений относительно неизвестных параметров, определяющих участки контакта и отслоения. Качественный и количественный анализ этой системы трансцендентных уравнений позволил выявить всевозможные ситуации расположения отрезков контакта и отслоения по краям абсолютно жесткого включения и найти возникающие контактные напряжения. Далее рассматривается случай упругого включения. Сначала исследуется ситуация, когда под действием приложенной к нему нормальной нагрузки включение вступает в контакт по всей своей длине с одним из берегов щели, в которую оно без натяга вставлено, а с другим берегом щели не взаимодействует (отслоилось). При помощи разрывного решения из 5 задача сводится к решению системы двух полных сингулярных интегральных уравнений. Удается добиться пол- ного разделения указанной системы на два раздельно решаемых уравнения, характеристическая часть ядер которых представляет из себя полиномиальное ядро. На основании исследований проведенных в I показывается, что каждое из этих уравнений имеет единственное решение. Приближенное решение этих интегральных уравнений строится по схеме изложенной и обоснованной в I. На основе этого приближенного решения вычислялись изгибающие моменты, возникающие в упругом включении. Результаты вычислений приведены в приложении ІУ. Отметим, что эта задача изучалась в работе [61 другим методом, однако в ней при построении приближенного решения неверно учитывается характер особенности нормальных контактных напряже-жений, что привело к усложнению качественного и количественного анализа характеристик решения этой задачи. Далее рассматривается задача о тонком прямолинейном упругом включении конечной длины в общей постановке, когда к нему приложена произвольная нормальная нагрузка, под действием которой образуется по несколько участков контакта и отслоения на обоих краях включения. Такая задача при помощи соотвествующего разрывного решения из 5 сводится к решению интегрального уравнения, которое подробно исследовано в 4. Применение результатов 4 позволяет свести задачу нахождения участков контакта и отслоения к системе из конечного числа трансцендентных уравнений относительно заранее неизвестных параметров, определяющих участки контакта и отслоения. Для контактных напряжений получены выражения через приложенную к включению нагрузку, физические параметры задачи, а также через указанные выше параметры, определяющие участки контакта и отслоения. Решив указанную выше систему трансцендентных уравнений можно найти участки контакта, вычислить контактные напряжения и -w- расчетные усилия в упругом включении. В 8 рассматривается краевая задача для однородной упругой плоскости, содержащей дефект, в виде крестообразного отслоившегося включения. Включение представляет из себя тонкий абсолютно жесткий крест с равными ребрами, который находится в состоянии гладкого контакта с упругой средой. К центру креста приложен поворачивающий момент П , под действием которого на ребрах креста образуются участки контакта и отслоения симметрично относительно центра креста, как это показано на Рис. П.5а. Из этого рисунка видно, что участки контакта определяются одним параметром. Задача состоит в нахождении этого параметра, контактных напряжений, а также угла поворота включения. При помощи построенного в 5 решения для крестообразного дефекта с учетом симметрии задача сведена к системе трех сингулярных интегральных уравнений типа Винера-Хопфа со сверткой Меллина относительно трех неизвестных функций. Обращение двух из этих уравнений позволяет получить выражения двух из неизвестных функций через третью. Подстановка полученных выражений в оставшееся уравнение системы приводит к одному интегральному уравнению относительно одной неизвестной функции, которая представляет из себя неизвестное контактное напряжение на ребре креста. Последнее уравнение с помощью операторов типа дробного интегрирования приводится к виду (8.17), в котором явно выделены все особенности. Уравнение (8.17) заменой переменных сведено к решению уравнения типа (0.1), в котором П ("fc/P) = -7Г~* *Иф |"t — tT| , а (bi^) " бесконечно гладкая функция. Это позволяет, привлекая результаты I, показать существование и единственность решения уравнения (8.17), а также дать, методом ортогональных многочленов С^З] эффективное приближенное решение этого уравнения. -15"- Получено выражение контактного напряжения через момент М и параметр, определяющий участки контакта, а для нахождения этого параметра получено трансцендентное уравнение. В третьей главе рассматриваются плоские краевые задачи теории упругости при наличии полубесконечных дефектов, представляющих из себя тонкие упругие включения. В 9 дается постановка двух таких задач. Задача А. В упругой плоскости, составленной из двух различных полуплоскостей, сцепленных по линии У = 0 , имеется на линии У = 0 полубесконечное упругое включение. Считается, что включение полностью сцеплено с обоими берегами щели, в которой оно находится, и к включению приложена произвольная нагрузка. Задача В. В однородной упругой плоскости на линии У=0 ,Д>0 содержится полубесконечное упругое включение, которое под действием приложенной к нему нормальной нагрузки одним своим краем вступает по всей своей длине в гладкий контакт с упругой средой. Причем другой край включения с упругой средой не взаимодействует (отслоился). При помдщи соответствующих разрывных решений ( 5) обе задачи сводятся к решению систем интегро-дифференциальных уравнений вида ZWiWfyf~K{L~№to+ilW^te)tx>o где для задачи А АоЛ>0 , -L<\ -i- а для задачи В к=з, 80 = h* &0 = i) ftiaO соло) * Отметим, что для случая однородной плоскости задача А сводится к системе уравнений (0.8), (0.9) при А = 0 f а такая система распадается на два раздельно решаемых интегро-дифференциаль-ных уравнения, решения которых даны в монографиях Г.Я.Попова В.М.Александрова и С.М.Мхитаряна l3J . Применение преобразования Фурье к системе уравнений (0.9) сводит решение этой системы к решению краевой задачи Римана для двух пар функций с краевым условием на вещественной оси L = (- в і ** / , матричный коэффициент которой представим в виде &а)-Ш)(10 2) + с(*) ил±) -Ш\ где (Z)'№(*)> И/(2) - многочлены, a g(-b) , С (і) - заданные на контуре L, функции. Переход от системы (0.8) к соответствующей краевой задаче Римана и обратно проводился с помощью теории обобщенных функций согласно схеме изложенной в монографии Ф.Д.Гахова, Ю.И.Черского С12]. Условия для такого перехода даны в теоремах 9.1 и 9.2, доказательство которых дано в приложении УЛ. В работе Г.Н.Чеботарева [60] указано, что матрицы вида (0.II) можно факторизовать используя аппарат функций от матриц. А.А.Храпков в работе [5&J получил удобные формулы для факторизации матриц вида (0.II). Однако, как указано в этой работе [58], -I? эти формулы дают факторизацию, применимую для эффективного построения решения соответствующей краевой задачи Римана, только в том случае, когда выполнены следующие условия где многочлены (g\t ф.(тО связаны соотношением 9аСг^(г') a 2f2) 4- Ш2Ж() и определяются условием, что j!f2) имеет только простые нули Г-.2Й.+1Ч 1(2)= Пк-.і (e-ro; J4=i,2; rKft},^j а число U определяется степенью многочлена (.?) согласно последней формуле. Если условия (0.12) не выполняются, то матрица-функция, осуществляющая факторизацию матрицы (O.II), по формулам работы [ So] t имеет существенную особую точку 2 s . Функцию ft) из (0.12) по терминологии А.А.Храпкова [5$ J будем называть показателем матрицы Gvfc) (O.II). Условия (0.12) для показателей (-fc) матриц Gft) (о.п), соответствующих системам интегро-дифференциальных уравнений (0.8), (0.9) и (0.8), (0.10), оказывается невыполненным. Материалы, изложенные в 10, посвящены получению такой модификации формул работы , которая была бы свободна от ограничений (0.12) на показатель ft) матрицы (0.11). В 10 показывается, что ликвидировать существенно особую точку для матрицы, факториэующей матрицу (0.11), можно при помо- щи приема, который применен Э.И.Зверовичем в работе [17J при факторизации функций на римановых поверхностях алгебраических функций. Так же как ив Г l^J задача устранения существенно особой точки сводится к решению проблемы обращения Якоби, эффективное решение которой дал Э.И.Зверович Сі?] . Такой прием устранения существенно особой точки приводит к тому, что вместо нее факторизующая матрица получает дополнительные полюса конечной кратности, число которых конечно (суммарная кратность дополнительных полюсов всегда меньше либо равна rV ). Удается выявить ряд ситуаций, при которых строится рацио нительные полюса. Оказывается, что именно такие ситуации имеют место при факторизации матриц вида (0.11), порожденных системами (0.8), (0.9) и (0.8), (0.10), Результаты исследований, проведенных в 10, сформулированы в теоремах ЮЛ и 10.2. В соответствии с теоремами 10.1 и 10.2 в II построены точные решения систем интегро-дифференциальных уравнений (0.8),(0.10) (задача В) и (0.8), (0.9) (задача А). Отметим, что решение проблемы обращения Якоби для этих задач проводится достаточно легко. Число Я* - род [ЙДЗЗгиперэллиптической римановой поверх ваемых случаях равен двум ( к = 2. ). Для обеих задач ветвьу^С?* выбирается так, что эта функция является четной. Это позволяет рассматриваемый гиперэллиптический случай ( W- 2. ) свести к эллиптическому и получить решение проблемы обращения Якоби в эллиптических функциях Якоби Кроме того, на примере системы интегро-дифференциальных уравнений (0.8), (0Д0) показывается, что можно, используя приемы, примененные Г.Я.Поповым в работе \}\5~\ » преобразовывать явные решения систем интегро-дифференциальных уравнений типа (0.8) к виду, удобному для вычислений. Отметим, что результаты 10 применены к решению родственной пространственной задачи в работе [ЗБ] Научная новизна работы заключается в следующем: предложена модификация одного метода факторизации матриц второго порядка специального вида, снимающая ограничения, котрые были ранее необходимы для реализации этого метода; построены точные решения специального вида систем интегро-дифференциальных уравнений типа Винера-Хопфа с двумя неизвестными функциями, к которым сводятся краевые задачи для упругой плоскости с полубесконечными дефектами в виде упругих включений; решены в замкнутой форме и исследованы интегральные уравнения с усложненным ядром Коши и логарифмическим ядром на системе отрезков; разработан эффективный приближенный метод решения интегрального уравнения специального вида на системе отрезков с ядром, характеристической частью которого является усложненное логарифмическое ядро, а регулярной частью - функция Грина одномерной краевой задачи; проведены исследования интегрального уравнения с ядром, характеристическая часть которого является полиномиальным ядром общего вида, позволяющие анализировать гладкость решения такого уравнения, а также позволяющие оценить быстроту сходимости приближенного решения, которое строится по методу ортогональных многочленов; построено точное решение краевой задачи плоской теории упругости с прямолинейным дефектом при наличии точек смены граничных условий на нем; выявлено, что имеется такое соотношение между упругими постоянными двух полуплоскостей, сцепленных между собой, когда напряжения у отслоившегося включения, расположенного на линии сцепления этих полуплоскостей, имеюи логарифмо-степенную особенность. Теоретическая ценность диссертации заключается в том, что она расширяет класс краевых задач математической физики с дефектами внутри области, допускающих точные решения. Практическая ценность полученных в диссертации результатов состоит в следующем; они позволяют расчитывать на прочность анкерных балок, заглубленных в деформируемое основание, а также расчитывать на прочность пластин, содержащих подкрепляющие ребра. Апробация работы и публикация. Материалы диссертации докладывались на семинаре по математической физике (руководитель -профессор Попов Г.Я.), на 111 республиканском симпозиуме по дифференциальным и интегральным уравнениям (Одесса, 1982 г.), во Всесоюзной школе-семинаре "Теория упругости и вязкоупругости" (Дах-кадзор, 1982 г.), на межобластной научно-практической конференции молодых ученых (Одесса, 1982 г.), на республиканском симпозиуме "Концентрация напряжений" (Донецк, 1983 г.), на I Всесоюзном симпозиуме по математическим методам теории упругости (Москва, 1984 г.), на семинаре по краевым задачам теории аналитических функций им. Ф.Д.Гахова (руководитель - професоор Э.И.Зверович), на семинаре им. Л.А.Галина института проблем механики АН СССР (руководитель - академик АН Арм.ССР Н.Х.Арутюнян). По теме диссертации опубликовано $ научных работ t30~~ — 35j . Автор благодарит Г.ДДІопова за руководство в работе и постановку задач. Во второй главе рассмотрены краевые задачи для упругой плоскости, содержащей дефекты конечной длины. В 5, опираясь на разработанный Г.Я.Поповым [ЦЗJ обобщенный метод интегральных преобразований, построено разрывное решение для составной упругой плоскости, которая имеет дефект общего вида на линии сцепления двух полуплоскостей, образующих составную. Далее при помощи полученного разрывного решения для составной плоскости, как частный случай, построено разрывное решение для однородной плоскости, содержащей прямолинейный дефект. Затем строится разрывное решение для однородной упругой плоскости, содержащей крестообразный дефект, как наложение разрывных решений для прямолинейных дефектов. В б рассматривается краевая задача для составной плоскости с дефектом в виде отслоившегося включения. (Дефект как и в 5 расположен по линии сцепления полуплоскостей, образующих составную.) Имеется в виду ситуация, когда тонкое абсолютно жесткое включение под действием приложенной к нему нормальной нагрузки одним своим краем (по всей длине) вступает в контакт с упругой средой, а второй его край с упругой средой не взаимодействует (отслоился). Задача рассматривается в двух постановках: I) контакт включения с упругой средой является гладким; 2) край включения полностью сцеплен с упругой средой. При помощи полученного разрывного решения задача I) сводится к решению системы трех сингулярных интегральных уравнений с постоянными коэффициентами. Построено ее точное решение. Проведен анализ зависимости показателя степенной особенности напряжений возле включения от упругих постоянных плоскостей, образующих составную. Выявлено, что при определенном соотношении между этими постоянными упругие напряжения возле включения имеют логариф-мо-корневую особенность. Применительно к однородной плоскости задача изучалась в работе Задача 2) сведена к системе четырех сингулярных интегральных уравнений, которая затем точно решена. Здесь также проведен анализ зависимости показателя степенной особенности упругих напряжений от упругих постоянных составной плоскости и также выявлено, что при определенных соотношениях между этими постоянными упругие напряжения имеют логарифмо-степенную особенность. Задача об отслоившемся включении при наличии полного сцепления по одному берегу щели может трактоваться, как основная смешанная задача для щели (по терминологии Н.И.Мусхелишвили [3 83 ). Такая задача впервые была поставлена и решена Д.И.Шерманом [ЬЗ] применительно к однородной плоскости. Более совершенное решение затем было дано Н.И.Мусхелишвили [ЗоJ . Для составной плоскости эта задача была решена Г.П.Черепановым в работе [ 61J другим методом, однако особые случаи соотношения упругих постоянных, при которых напряжения имеют логарифмо-корневую особенность в этой работе не выявлены. В 7 исследуются краевые задачи теории упругости для однородной плоскости при наличии прямолинейных дефектов, которые имеют по своей длине точки смены граничных условий. Рассматриваемые в данном параграфе дефекты представляют из себя тонкие включения, находящиеся в гладком контакте с упругой средой, которые под действием приложенных к ним нормальных нагрузок частично вступают в контакт с упругой средой, а частично отстают (отслаиваются) от нее. Сначала рассматривается случай абсолютно жесткого включения. В этой ситуации загружение включения произвольной нормальной нагрузкой эквивалентно действию на включение силы г и момента М . В зависимости от соотношения между Рим требуется определить заранее неизвестные отрезки контакта и отслоения включения от упругой среды. При помощи построенного в 5 разрывного решения для однородной плоскости с прямолинейным дефектом задача сводится к интегральному уравнению (0.4), (0.5). Построенное в 2 точное решение этого уравнения позволило свести задачу определения участков контакта и участков отслоения к системе трансцендентных уравнений относительно неизвестных параметров, определяющих участки контакта и отслоения. Качественный и количественный анализ этой системы трансцендентных уравнений позволил выявить всевозможные ситуации расположения отрезков контакта и отслоения по краям абсолютно жесткого включения и найти возникающие контактные напряжения. Далее рассматривается случай упругого включения. Сначала исследуется ситуация, когда под действием приложенной к нему нормальной нагрузки включение вступает в контакт по всей своей длине с одним из берегов щели, в которую оно без натяга вставлено, а с другим берегом щели не взаимодействует (отслоилось). При помощи разрывного решения из 5 задача сводится к решению системы двух полных сингулярных интегральных уравнений. Удается добиться полного разделения указанной системы на два раздельно решаемых уравнения, характеристическая часть ядер которых представляет из себя полиномиальное ядро. На основании исследований проведенных в I показывается, что каждое из этих уравнений имеет единственное решение. Приближенное решение этих интегральных уравнений строится по схеме изложенной и обоснованной в I. На основе этого приближенного решения вычислялись изгибающие моменты, возникающие в упругом включении. Результаты вычислений приведены в приложении ІУ. Отметим, что эта задача изучалась в работе [61 другим методом, однако в ней при построении приближенного решения неверно учитывается характер особенности нормальных контактных напряже-жений, что привело к усложнению качественного и количественного анализа характеристик решения этой задачи. Далее рассматривается задача о тонком прямолинейном упругом включении конечной длины в общей постановке, когда к нему приложена произвольная нормальная нагрузка, под действием которой образуется по несколько участков контакта и отслоения на обоих краях включения. Такая задача при помощи соотвествующего разрывного решения из 5 сводится к решению интегрального уравнения, которое подробно исследовано в 4. Применение результатов 4 позволяет свести задачу нахождения участков контакта и отслоения к системе из конечного числа трансцендентных уравнений относительно заранее неизвестных параметров, определяющих участки контакта и отслоения. Для контактных напряжений получены выражения через приложенную к включению нагрузку, физические параметры задачи, а также через указанные выше параметры, определяющие участки контакта и отслоения. Такой прием устранения существенно особой точки приводит к тому, что вместо нее факторизующая матрица получает дополнительные полюса конечной кратности, число которых конечно (суммарная кратность дополнительных полюсов всегда меньше либо равна rV ). Удается выявить ряд ситуаций, при которых строится рацио нальная матрица с тождественно равным единице определителем, та кая, что факторизующая матрица с дополнительными полюсами будучи умноженной справа на эту рациональную матрицу не будет иметь по люсов кроме, быть может, точки 2 = , причем такое умно жение не увеличивает порядки столбцов факторизующей матрицы на і ъ , что позволяет для таких ситуаций ликвидировать и допол нительные полюса. Оказывается, что именно такие ситуации имеют место при факторизации матриц вида (0.11), порожденных системами (0.8), (0.9) и (0.8), (0.10), Результаты исследований, проведенных в 10, сформулированы в теоремах ЮЛ и 10.2. В соответствии с теоремами 10.1 и 10.2 в II построены точные решения систем интегро-дифференциальных уравнений (0.8),(0.10) (задача В) и (0.8), (0.9) (задача А). Отметим, что решение проблемы обращения Якоби для этих задач проводится достаточно легко. Число Я - род [ЙДЗЗгиперэллиптической римановой поверх ности алгебраической функции , в обоих рассматри -19 ваемых случаях равен двум ( к = 2. ). Для обеих задач ветвьу С? выбирается так, что эта функция является четной. Это позволяет рассматриваемый гиперэллиптический случай ( W- 2. ) свести к эллиптическому и получить решение проблемы обращения Якоби в эллиптических функциях Якоби Кроме того, на примере системы интегро-дифференциальных уравнений (0.8), (0Д0) показывается, что можно, используя приемы, примененные Г.Я.Поповым в работе \}\5 \ » преобразовывать явные решения систем интегро-дифференциальных уравнений типа (0.8) к виду, удобному для вычислений. Отметим, что результаты 10 применены к решению родственной пространственной задачи в работе [ЗБ] Научная новизна работы заключается в следующем: - предложена модификация одного метода факторизации матриц второго порядка специального вида, снимающая ограничения, котрые были ранее необходимы для реализации этого метода; - построены точные решения специального вида систем интегро-дифференциальных уравнений типа Винера-Хопфа с двумя неизвестными функциями, к которым сводятся краевые задачи для упругой плоскости с полубесконечными дефектами в виде упругих включений; - решены в замкнутой форме и исследованы интегральные уравнения с усложненным ядром Коши и логарифмическим ядром на системе отрезков; - разработан эффективный приближенный метод решения интегрального уравнения специального вида на системе отрезков с ядром, характеристической частью которого является усложненное логарифмическое ядро, а регулярной частью - функция Грина одномерной краевой задачи; - проведены исследования интегрального уравнения с ядром, -20 характеристическая часть которого является полиномиальным ядром общего вида, позволяющие анализировать гладкость решения такого уравнения, а также позволяющие оценить быстроту сходимости приближенного решения, которое строится по методу ортогональных многочленов; - построено точное решение краевой задачи плоской теории упругости с прямолинейным дефектом при наличии точек смены граничных условий на нем; - выявлено, что имеется такое соотношение между упругими постоянными двух полуплоскостей, сцепленных между собой, когда напряжения у отслоившегося включения, расположенного на линии сцепления этих полуплоскостей, имеюи логарифмо-степенную особенность. Теоретическая ценность диссертации заключается в том, что она расширяет класс краевых задач математической физики с дефектами внутри области, допускающих точные решения. Практическая ценность полученных в диссертации результатов состоит в следующем; они позволяют расчитывать на прочность анкерных балок, заглубленных в деформируемое основание, а также расчитывать на прочность пластин, содержащих подкрепляющие ребра. Апробация работы и публикация. Материалы диссертации докладывались на семинаре по математической физике (руководитель -профессор Попов Г.Я.), на 111 республиканском симпозиуме по дифференциальным и интегральным уравнениям (Одесса, 1982 г.), во Всесоюзной школе-семинаре "Теория упругости и вязкоупругости" (Дах-кадзор, 1982 г.), на межобластной научно-практической конференции молодых ученых (Одесса, 1982 г.), на республиканском симпозиуме "Концентрация напряжений" (Донецк, 1983 г.), на I Всесоюзном симпозиуме по математическим методам теории упругости (Москва, 1984 г.), Аналогичное представление имеет место и для If (Х ,$) . Оно отличается от (11.30) только наличием вычета в точке Z $ Для эффективного вычисления интегралов (11.30) необходимо иметь удобное для вычислений представление функции ЄОСр I ( ІЛГЛ , Х Ь » гДв (2) - функция из (II.4). Применение методов контурного интегрирования [ ? G] позволяет пдлучить следующее представление для интеграла типа Коши из (II.4), (II.3) при =: Li , t D Первые три интеграла из (ІІ.ЗІ) допускают представление в виде рядов по степеням (-Т ) либо (-Т ), которые можно записать в виде линейных комбинаций гипергеометрических рядов Гаусса № 9.100 [13J(интеграл от 0 до «л следует разбить на два от О до і и от до «о ). Применяя формулы аналитического продолжения для г л № 9.131, 9.153 из ГіЗ]с учетом (II.5), (II.7) находим К О І=і (11.34) Представление (11.32) позволяет применить для анализа интегралов (11.27), (11.30) при Х " 0 соответствующие теоремы из S5J , в соответствии с которыми имеем Кроме того из представления (11.30) и формул (11.29), (11.32) (II.16) следует, что lfi/(X) G-LAO00) 1(=0,1 . Последнее в совокупности с (II.ЗЬ) означает, что условие в) теоремы 9.2 выполнено, в соответствии с которой формулы (11.27) определяют общее решение системы интегродифференциальных уравнений (9.18), (9.20) в классе M(D,) (9.21). Компоненты, входящие в формулы (11.27), определяются следующей цепочкой формул (11.26), (П.17), (11.12)-(11.14), (П.9), (II.4), (II.3), (II.8), (II.7). Таким образом система интегродифференциальных уравнений (9.18), (9.20) к которой сведена задача В, решена. Условия а), б) теоремы 9.2 выполнены в силу (11.24), (11.25). Произвольные постоянные л0 , Hi » содержащиеся в общем решении (11.27), фиксируются условиями (9.5). При решении задачи А факторизация матрицы & ft) (9.30), (9.19) и построение решения системы уравнений (9.18), (9.19) проводятся аналогично факторизации матрицы G(") С9.30), (9.20) и построению решения системы уравнений (9.18), (9.20), которые получены ранее. Окончательные результаты решения задачи А приведены приложении IX. При помощи полученного разрывного решения задача I) сводится к решению системы трех сингулярных интегральных уравнений с постоянными коэффициентами. Построено ее точное решение. Проведен анализ зависимости показателя степенной особенности напряжений возле включения от упругих постоянных плоскостей, образующих составную. Выявлено, что при определенном соотношении между этими постоянными упругие напряжения возле включения имеют логариф-мо-корневую особенность. Применительно к однородной плоскости задача изучалась в работе Задача 2) сведена к системе четырех сингулярных интегральных уравнений, которая затем точно решена. Здесь также проведен анализ зависимости показателя степенной особенности упругих напряжений от упругих постоянных составной плоскости и также выявлено, что при определенных соотношениях между этими постоянными упругие напряжения имеют логарифмо-степенную особенность. Задача об отслоившемся включении при наличии полного сцепления по одному берегу щели может трактоваться, как основная смешанная задача для щели (по терминологии Н.И.Мусхелишвили [3 83 ). Такая задача впервые была поставлена и решена Д.И.Шерманом [ЬЗ] применительно к однородной плоскости. Более совершенное решение затем было дано Н.И.Мусхелишвили [ЗоJ . Для составной плоскости эта задача была решена Г.П.Черепановым в работе [ 61J другим методом, однако особые случаи соотношения упругих постоянных, при которых напряжения имеют логарифмо-корневую особенность в этой работе не выявлены. В 7 исследуются краевые задачи теории упругости для однородной плоскости при наличии прямолинейных дефектов, которые имеют по своей длине точки смены граничных условий. Рассматри -12 ваемые в данном параграфе дефекты представляют из себя тонкие включения, находящиеся в гладком контакте с упругой средой, которые под действием приложенных к ним нормальных нагрузок частично вступают в контакт с упругой средой, а частично отстают (отслаиваются) от нее. Сначала рассматривается случай абсолютно жесткого включения. В этой ситуации загружение включения произвольной нормальной нагрузкой эквивалентно действию на включение силы г и момента М . В зависимости от соотношения между Рим требуется определить заранее неизвестные отрезки контакта и отслоения включения от упругой среды. При помощи построенного в 5 разрывного решения для однородной плоскости с прямолинейным дефектом задача сводится к интегральному уравнению (0.4), (0.5). Построенное в 2 точное решение этого уравнения позволило свести задачу определения участков контакта и участков отслоения к системе трансцендентных уравнений относительно неизвестных параметров, определяющих участки контакта и отслоения. Качественный и количественный анализ этой системы трансцендентных уравнений позволил выявить всевозможные ситуации расположения отрезков контакта и отслоения по краям абсолютно жесткого включения и найти возникающие контактные напряжения. Далее рассматривается случай упругого включения. Сначала исследуется ситуация, когда под действием приложенной к нему нормальной нагрузки включение вступает в контакт по всей своей длине с одним из берегов щели, в которую оно без натяга вставлено, а с другим берегом щели не взаимодействует (отслоилось). При помощи разрывного решения из 5 задача сводится к решению системы двух полных сингулярных интегральных уравнений. Удается добиться пол -13 ного разделения указанной системы на два раздельно решаемых уравнения, характеристическая часть ядер которых представляет из себя полиномиальное ядро. На основании исследований проведенных в I показывается, что каждое из этих уравнений имеет единственное решение. Приближенное решение этих интегральных уравнений строится по схеме изложенной и обоснованной в I. На основе этого приближенного решения вычислялись изгибающие моменты, возникающие в упругом включении. Результаты вычислений приведены в приложении ІУ. Отметим, что эта задача изучалась в работе [61 другим методом, однако в ней при построении приближенного решения неверно учитывается характер особенности нормальных контактных напряже-жений, что привело к усложнению качественного и количественного анализа характеристик решения этой задачи. Далее рассматривается задача о тонком прямолинейном упругом включении конечной длины в общей постановке, когда к нему приложена произвольная нормальная нагрузка, под действием которой образуется по несколько участков контакта и отслоения на обоих краях включения. Такая задача при помощи соотвествующего разрывного решения из 5 сводится к решению интегрального уравнения, которое подробно исследовано в 4. Применение результатов 4 позволяет свести задачу нахождения участков контакта и отслоения к системе из конечного числа трансцендентных уравнений относительно заранее неизвестных параметров, определяющих участки контакта и отслоения. Для контактных напряжений получены выражения через приложенную к включению нагрузку, физические параметры задачи, а также через указанные выше параметры, определяющие участки контакта и отслоения.
к=о^, і* (-1,0; «t^,v,/f>-i (0.2)
зации матрицы в случае контура v общего вида (0.5),
при помощи которой построено явное решение уравнения (Q.4), (0.5).
Это решение исследовано для случая, когда правая часть Ь() -
гельдеровская функция, после чего проведено исследование уравне
ния (0.4), (0.5), в пространствах Lnil^) , р>1 и
нение (3.13) имело в единственное решение.
i*L = (- — > + <*о) солі)
нальная матрица с тождественно равным единице определителем, та
кая, что факторизующая матрица с дополнительными полюсами будучи
умноженной справа на эту рациональную матрицу не будет иметь по
люсов кроме, быть может, точки 2 = , причем такое умно
жение не увеличивает порядки столбцов факторизующей матрицы на
і ъ , что позволяет для таких ситуаций ликвидировать и допол-
ности алгебраической функции , в обоих рассматри-Интегральное уравнение с усложненным логарифмическим ядром на системе отрезков
Эффективный приближенный метод решения одного полного интегрального уравнения с усложненным логарифмическим ядром
Дефект в виде тонкого прямолинейного включения, имеющего по своей длине точки смены граничных условий
О факторизации матриц специального вида
Похожие диссертации на Краевые задачи плоской теории упругости при наличии дефектов внутри области
