К Lp-теории эллиптических краевых задач в трехмерных областях с ребрами Адабуну Деду

Содержание к диссертации

Введение

1 Постановка задач и обзор результатов 19

1.1 Обобщенная постановка задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа 21

1.2 Обзор Lp-теории эллиптических краевых задач D обобщенной постановке 22

2 Явные представления решений 42

2.1 Присоединенные функции Лежандра 42

2.2 Метод Фурье в классе L для двугранного угла 56

3 р-оценки обобщенных решений 69

3.1 Явный вид решений задач Дирихле и,Неймана

3.2 Весовые оценки 79

3.3 Lp-оценки обобщенных решений задач Дирихле и Неймана 88

4 Вопросы разрешимости и единственности 94

4.1 Единственность обобщенных решений задач Дирихле и Неймана 94

4.2 Неединственность обобщенных решений задач Дирихле и Неймана 105

4.3 Существование обобщенных решений задач Дирихле и Неймана 107

4.4 Несуществование обобщенных решений задач Дирихле и Неймана 109

5 Ограниченные области 130

5.1 Задача Неймана в ограниченных областях 131

5.2 Задача Дирихле в ограниченных областях 145

Литература 157

Список обозначений 172

"Указатель рисунков 176

Указатель терминов 177

• Обзор Lp-теории эллиптических краевых задач D обобщенной постановке
• Метод Фурье в классе L для двугранного угла
• Неединственность обобщенных решений задач Дирихле и Неймана
• Задача Дирихле в ограниченных областях

Введение к работе

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Рис. 1.1: Двугранный угол Q = Т_а х

Классическая постановка задач Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона предполагает достаточную гладкость входящих в задачи данных. Однако, многие математические модели физических процессов сводятся к задачам с негладкими данными. Если при этом классическая постановка и возможна, то задача в классической постановке зачастую оказывается некорректно поставленной. Наиболее естественным выходом из такой ситуации оказалось расширение класса решений путем введения понятия обобщенного решения краевой задачи. Так, обобщенные решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона определяются с помощью интегральных тождеств, содержащих в себе во-первых само уравнение Пуассона, а во-вторых краевые условия задачи, если существование

соответствующих этим краевым условиям следов не гарантировано априори классом рассматриваемых обобщенных решений.

В этой работе решаются вопросы существования и несуществования, единственности и неединственности обобщенных решений задач Дирихле и Неймана в Соболевском классе L*, т.е с первыми производными из L_p, для уравнения Пуассона в ограниченных и неограниченных трехмерных областях с ребрами — в частности, в двугранном угле fi = Г_а х 1, где Г_а — плоский угол с раствором а (0,2л"]. Рассматриваемая обобщенная постановка как задачи Дирихле, так и задачи Неймана эквивалентна разложению пространства Лебега L_p(Q;R³) вектор-функций v : 1 —ї М³ в прямую сумму соответствующих замкнутых подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций. Тема диссертации является непосредственным продолжением исследований, начатых автором в выпускной работе и в магистерской диссертации.

Lp-теория краевых задач математической физики представляет собой важный самостоятельный раздел теории дифференциальных уравнений в частных производных. Разложение пространства Лебега _p(f2; Ш?) в прямую сумму замкнутых подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций, соответствующих краевым условиям Неймана, обычно называют Lp-разложением Гельмгольца. В свою очередь, Lp-разложение Гельмгольца представляет значительный интерес и само по себе, так как на нем основываются многочисленные подходы к решению широкого круга задач механики несжимаемой сплошной среды. В частности, как установлено в работе М.Е. Боговского [10], разрешимость начально-краевой задачи для линеаризованной системы Навье-Стокса в классе сильных решений с производными из L_p для неограниченной области с гладкой некомпактной границей дО, эквивалентна _р-разложению Гельмгольца. При этом для гладкой 3Q особенностью границы типа ребра является совпадение 8Q с двугранным углом в некоторой окрестности бесконечности. Таким образом, особенность некомпактной гладкой д1 связана с ее геометрией на бесконечности и значением показателя р.

В случае р = 2 справедливость ортогональных разложений Lв

соответствующие суммы замкнутых подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций была впервые установлена Г. Вейлем [164] и С.Л. Соболевым [65] для ограниченных областей Я С R³ с гладкими границами. Позднее справедливость ортогональных разложений Вейля-Соболева была установлена для любой области в W¹ без каких-либо предположений о гладкости границы. Для ограниченных областей I/p-разложение Гельмгольца при р ф 2 изучено в работе Д. Фудживары и X. Моримото [110]. Внешние области Q С Ж³ были исследованы в работах В.А. Солоиникова [68], Т. Миякавы [146], [145] и в работе В. фон Валя [163]. Ограниченные и внешние области Q С R", п ^ 2 были рассмотрены в работе К. Симадера и Г. Зора [154]. Следует отметить, что заметно нарастающий в последние годы интерес к Lp-разложению Гельмгольца в случае р ф 2 связан, в первую очередь, с тем очевидным фактом, что для нелинейных уравнений Навье-Стокса Ь_р-теория предоставляет гораздо более широкие технические возможности, чем ее частный случай — /^-теория.

Как правило, методы, разработанные для областей с гладкими компактными границами, оказываются в равной степени недостаточными как для областей с негладкими компактными границами, так и для областей с гладкими некомпактными границами. К настоящему времени исследованы лишь некоторые частные случаи областей с гладкими некомпактными границами. Так, в работе Р. Фарвига и Г. Зора [105] изучены случаи полупространства и области Хейвуда, т.е. области, состоящей из двух полупространств, сообщающихся через отверстие в разделяющей их плоскости. В работе Т. Миякавы [146] изучены полупространства, области Хейвуда и гиперслой К х (0,1). Отметим, что Г. Зор и Г. Тэтер рассмотрели в [156] вопрос об Lp-разложении Гельмгольца в бесконечном гиперцилиндре О. = Г х R, где Г С R"¹ — ограниченная область с границей дТ класса C^2,fi_y 0 < її ^ 1,п ^ 2. Еще раньше в работе М.Е. Боговского [10] рассматривались области О, С М" с границей дО. С¹, имеющие конечное число выходов на бесконечность. При этом бесконечный гиперцилиндр оказывается частным случаем области с двумя выходами на бесконечность из работы [10].

В настоящей работе проблема _р-р аз ложен ия Гельмгольца изучена для областей QcR³c ребрами. Несмотря на значительное число публикаций на эту тему, на многие важные вопросы до сих пор не было ответа. В диссертации даны ответы на вопрос о размерности ядра и коядра эллиптического оператора с краевыми условиями Дирихле и Неймана, устанавливается замкнутость и незамкнутость его области значений в зависимости от показателя р и геометрии области. Впервые обнаружены интервалы значений показателя р, при которых соответствующие суммы подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций не замкнуты в L_p(f2;M³). Подчеркнем, что речь здесь идет о разложении пространства Лебега L_P(Q; К³) без веса.

Цель работы состоит в изучении вопросов разрешимости и единственности обобщенных решений задач Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона в областях Q СИ³ с ребрами. Эти вопросы сводятся к вопросу о разложении пространства Лебега L_p(fi; Е³) в прямую сумму соответствующих подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций. В случае задачи Неймана эти разложения также известны как Lp-разложения Гельмгольца. В настоящей работе найдены интервалы значений показателя р, при которых рассматриваемые разложения L_p(f2;R³) имеют место для ограниченных и неограниченных областей Q с ребрами. Кроме того, установлено наличие интервалов значений показателя р, при которых рассматриваемые суммы замкнутых подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций представляют собой незамкнутые в L_p(Q,; Ж³) подпространства.

В диссертации получены в явном виде представления обобщенных решений задач Дирихле и Неймана для двугранного угла. Для получения Lp-оценок первых производных этих решений используются метод локализации, теоремы об Lp-мультипликаторах преобразования Фурье и Lp-оценки явных представлений решений в двугранном угле. На основании полученных Lp-оценок обобщенных решений во всей шкале значений показателя р установлены размерность ядра, замкнутость или незамкнутость области значения соответствующего эллиптического оператора.

Все основные результаты диссертации являются новыми. В диссертации изучены различные свойства L_p-пространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций. Установлен явный вид элементов соответствующих ядер эллиптических операторов с условиями Дирихле и Неймана для ограниченных и неограниченных областей с ребрами.

Диссертация носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть применены в математической гидродинамике несжимаемой жидкости и в теории краевых задач математической физики. Разработанные в диссертации методы могут быть использованы при исследовании достаточно широкого круга задач математической физики в ограниченных и неограниченных областях с негладкими границами. Предложенный метод решения представляет интерес для теории линейных дифференциальных уравнений в частных производных и может лечь в основу алгоритма численного решения поставленных краевых задач.

Все научные результаты, содержащиеся в диссертации, являются достоверными и тщательно обоснованы строгими доказательствами. Полученные результаты докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа Российского университета дружбы народов под руководством проф. М.Ф. Сухинина, проф. А.В. Фаминского, доц. М.Е. Боговского, доц. Н.А. Шананина, а также на XXXVI и XXXVIII Всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. Основные результаты, содержащиеся в диссертации опубликованы в пяти статьях.

Изложенная на 156 машинописных страницах диссертация состоит из пяти глав. Каждая глава содержит два, три или четыре параграфа. В конце диссертации приводится список литературы из 164 наименований, а также список иллюстраций, список обозначений и указатель терминов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Главным объектом изучения в диссертации является уравнение Пуассона в двугранном угле

Аи = divF, х Є П = Г_й х К, (1.1)

и\оа - О

_{= №*)}

с краевым условием Дирихле

или с краевым условием Неймана

(1.2)

(1.3)

где через п обозначен единичный вектор внешней нормали к 9Q. Через Lp{U) обозначено, как обычно, пространство Соболева с полунормой

Мк(п) = 53 \\^Dauh_P^m-

Задача Дирихле (1.1), (1-2) соответствует краевой задаче

div v = 0, аг П, «len = О

(1.4)

для системы первого порядка, эллиптической по Дуглису-Ниренбергу. Обобщенным решением задачи Дирихле (1.4) будем называть функцию и Є Lp(Q,), удовлетворяющую краевому условию (1.2) и интегральному тождеству

^r(Vu-F_tVi/>)dx = 0, УфєС(а). (1.5)

Краевую задачу Дирихле (1.4) удобно сформулировать в терминах разложения пространства Лебега Ь_Р{П;Ш³) в прямую сумму

Ь_Р{П\№.³) = J_p(Cl) ф в_р(П)

(1.6)

замкнутых подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций J_p(ft) и (?р(Г2), которые определяются следующим образом:

Jp(fl) ='{и: u = u|_n, uJ_p(R³)},

где J_P(Q) — замыкание в Z,_p(i;R³) его подпространства

j(fi) =^; {« є C(ft;R³) : divv = 0},

Gp{Q) — замыкание в L_P(Q;R³) его подпространства

'Ш {v. v = V0, ф Є <7(fi)}. Задача Неймана (1.1), (1.3) соответствует краевой задаче

и + Vw= F(a:),
< divu = 0_} їй, (1.7)

(v,n)\dn = О ч

для той же системы первого порядка, эллиптической по Дуглису-Ниренбергу.

Обобщенным решением задачи Неймана (1.7) будем называть функцию

и Є Lp(Q), удовлетворяющую интегральному тождеству

(Vtt-F,V^)dx = 0, Уф C(R³). (1.8)

Краевую задачу Неймана (1.7) удобно сформулировать в терминах разложения пространства Лебега _Р(Г2;Е³) в прямую сумму

L_P(Q;R³) = Ір(П) G_P(Q) (1.9)

замкнутых подпространств солено идальных и потенциальных вектор-

о о

функций J_P(Q) и G_p(fl), где подпространство J_P(Q) уже определено выше, а подпространство

G_P(Q) ^rf= {_w : гі = V^ Є _Р(П;Е³)}.

Разложением Гельмгольца принято называть именно разложение (1.9), тогда как за разложением (1.6) при рф% пока не закрепилось никакого достаточно устойчивого наименования.

Во введении дан краткий обзор известных результатов, приводятся постановки задач, обсуждается их актуальность и кратко излагаются основные результаты диссертации.

Первая глава состоит из двух параграфов. Глава посвящена постановке задач и обзору результатов. В первом параграфе приведены классические постановки задач и даны определения обобщенных решений поставленных

задач. Второй параграф посвящен вопросам разложения пространства Лебега L_P(Q;E?) в прямые суммы соответствующих замкнутых подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций. Центральное место в первом параграфе и в диссертации в целом занимает следующая

Теорема 1.0.1. Пусть 1 < р < со при 0 < а ^ тг или Y^fd ^< V < 'i-t/a при 7Г < а ^ 2тг. Тогда для двугранного угла Q, ~ Г_а х Ш имеют место разлооїсения пространства Лебега L_p(l^;IR³) в прямые суммы

i_p(fi;R³) - 7_р(П)е4(П), ₍₁₁₀₎

L_p(H;E³) = J_p(fi)G_p(Ci).

Доказательство теоремы 1.0.1 приводится в третьем параграфе четвертой главы и опирается на ряд вспомогательных результатов, установленных в главах II - IV.

Во второй главе выведены явные представления решений задач Дирихле (1.5) и Неймана (1.8) методом разделения переменных. Глава состоит из двух параграфов. В первом параграфе на интервале (—1,1) строится решение присоединенного уравнения Лежандра

(1 - z²) и" - [i/(l + 1/)- -^-j] и = 0 (1.11)

с помощью разложения в ряд в окрестности правого конца. Затем исследуется асимптотика этого решения в окрестности левого конца, что позволяет найти общее решение присоединенного уравнения Лежандра на интервале (-1,1). Далее исследуется частный случай индексов (л и г/, когда присоединенное уравнение Лежандра имеет на (—1,1) ограниченные решения. Это возможно только при г/ = п ~ (і или v = fj, — п — 1, где п ^ 0 — целое. При этом присоединенные функции Лежандра P^{z) выражаются через многочлены Гегенбауэра C*(z). Именно этот случай индексов // и v нужен в методе разделения переменных для двугранного угла, и именно этому случаю имеющиеся многочисленные публикации по присоединенным функциям Лежандра не уделили никакого внимания.

Во втором параграфе решаются задачи Дирихле (1.5) и Неймана (1.8) методом разделения переменных, который обосновывается в классе L^{Q) на

интерсале значений показателя р:

1 < р < оо при 0 < а ^ 7Г,

й^ ^<р< Ї=Ї7Ї при тг < a SC 2тг.

Обобщенные решения задач Дирихле (1.5) и Неймана (1.8) в сферических

координатах имеют вид

«(г, >, 0) = 7^(^0)8111- (1.12)

71 = 1

с коэффициентами Фурье

ы„(г, 9) — — I w(r, 0, у?) sin <&> — У^ Rnk(r)РГЛп (cos9)

^{a Jo а ti}

в случае задачи Дирихле, а в случае задачи Неймана

w(r, v>, 0) = У^ u„(r, 0) cos ^-

с коэффициентами Фурье

( 2 Г птгу>

/ и (г, у,

/ u(r,9_:ip)d(p, п = 0, К ^а Jo

где используется одно и тоже обозначение

1 г f

Лп*М = ~i _{+ 2}(fc + g)^X Г ^ / ^"*"^/»*М^

Jo ^J

как в случае задачи Дирихле, так и в случае задачи Неймана.

Третья глава состоит из трёх параграфов. Она посвящена //^-оценкам. В первом параграфе выводится другое представление обобщенного решения задачи Дирихле (1.5), а именно в цилиндрических координатах в виде ряда Фурье

и(Л>>яз) = 52 «„О?, я₃) sin * (1-13)

u_n(/j,ar₃)sm

п=1

Применяя к коэффициентам Фурье u_n(p, хз) преобразование Фурье

F_x^[u(x)] = u(0 = [ и(х)е-^У dx,

мы показали, что эти коэффициенты удовлетворяют модифицированному уравнению Бесселя. Решив это уравнение, мы получили явное представление обобщенного решения задачи Дирихле (1.5) в виде ряда Фурье (1.13) с коэффициентами Фурье

О Г

Ип(р,я;з) = У2 9i(p,a,x_z) * Fj(a,»,rc₃)sm d(pda, (1.14)

^a~(Jr_a a

где функции

9i =

S₂ =

cost/? 2

-dt,

-a² + xl-\ №+*i_tI_v{t)

2ptr

V P^a J0 ^L (XT 1

13,/-^^-^

2рсг У„ L

_V*

(1.15)

"OO .!,,2,J

X₃ / 7Г /"^ _f±ff±l* r , v /- ,

Зз = —-\h— ^{e 2P} %(t)Vtdt, P V ²P^ff Jo

где I_v — модифицированная функция Бесселя порядка v. Для локализации используется разбиение единицы

l = *7i(v)+i72(>)+ifc(v), 0)

(1.18)

_{Нодіквд^с}

LAK)

+ ІИІадиі)

(1*19)

Применяя к ряду Фурье (1.13) теорему Пэли, получим оценку

„(П)

< Сйр]|^|и_р(П;ЖЗ), 2 ^ р < ₁_/_аі

(1.20)

где постоянная С_ар зависит только от а и р. Из оценок (1.17) - (1-20) следует оценка

из которой вытекает

1 — тт/а'

Теорема 1.0.2. Пусть 2 ^ р < оо при 0 < о; ^ тг или 2 ^ р < yzf/a ⁿP^u

л^- < а ^ 27Г и пусть F Є L_p(Q;Il³), где Q = Г_а X К. Тогда обобщенное решение задачи Дирихле (1.5) удовлетворяет оценке

\\Vu\\_Lp{nm ^ C\\F\\_Lp{n._m.

Аналогичным образом доказывается

Теорема 1.0.3. Пусть 2 ^ р < оо при 0 < а ^ тг или 2 ^ р < ₁_Ъ_а при тт < а ^ 2ж и пусть F Є L_P(Q;M³), где П = Г_а х Й. Тогда обобщенное решение задачи Неймана (1.8) удовлетворяет оценке

HVuH^cnsRS) ^ C\\F\\_Lpin._R3).

Четвертая глава состоит из четырех параграфов. В этой главе для двугранного угла Q = Г_а х Е. рассмотрены однородные задачи Дирихле

Ди = 0, х П, u\an = 0

(1.21)

и Неймана

Аи = 0, х Є П,

= 0. an

В первом параграфе решаются вопросы единственности обобщенных решений задач Дирихле (1.21) и Неймана (1.22). Центральное место в параграфе занимает следующая теорема.

Теорема 1.0.4. Пусть 1 < р < со при 0 < а ^ -к или ₁₊^,_а ^ р < со при тг < a : 27Г и пусть и(х) Є L* _iec(fi) — обобщенное решение однородной задачи Дирихле (1.21) или однородной задачи Неймана (1.22) для которого найдутся такие полооюительпые числа М и N, что

и\

dx < оо. (1.23)

f_n 1 + \x'\^N + Ы^м Тогда и(х) является многочленом по х^, тп.е

т it \

fc=0

(ж', х₃) = Yl ^vk{x')x%, т^[М]~ 1.

С помощью теоремы 1.0.4 легко доказывается теорема единственности обобщенных решений задачи Дирихле.

Теорема 1.0.5. Пусть 1 < р < со при 0 < а ^ 7г или ₁₊^_а ^ р < оо rcpu 7Г < а ^ 27Г и пусть и{х) Є L^(Q.) — обобщенное решение однородной задачи Дирихле (1.21), удовлетворяющее условию (1.23). Тогда и(х) = 0.

Аналогичным образом устанавливается единственность обобщенных решений задачи Неймана.

Теорема 1.0.6. Пусть 1 < р < оо при 0 < а ^ 7Г или ^Л-т^ = р < со при

7Г < а ^ 27Г и пусть и(х) Є Ь];(П) — обобщенное решение однородной задачи Неймана (1.22), удовлетворяющее условию (1.23). Тогда Vu = 0.

Во втором параграфе строятся элементы ядер эллиптических операторов, соответствующих обобщенным постановкам задач Дирихле (1.21) и Неймана

(1.22). При 1 < р < 2/(1 -f -к/а) общее решение однородной задачи Дирихле (1.21) в классе L_P(Q;R³) имеет вид

uo(r,₃) = F^_X3 [K^(\t\r)] sin^, п Є N,

где K_v — модифицированная цилиндрическая функция второго рода порядка і/, известная как функция Макдональда.

Заметим, что оператор Лапласа инвариантен относительно сдвига. Это означает, что щ (г,(р,х% — а) при любом а Є R также является решением однородной задачи Дирихле (1.21). При этом Vuo(г, (/?, 3 — а) є L_P(Q;]R³), если 1 < р < ₁₊^у_а. А тогда разность

щ(г, (р, хз) = и₀(г, <р, х₃) - щ{г, (р, х₃ - а)

тоже будет решением однородной задачи Дирихле (1.21). Поскольку щ(г, <р, гсз) и щ(г, (р, х$ — а) имеют одинаковую асимптотику на бесконечности, то их разность убывает на бесконечности быстрее. Нетрудно убедиться, что щ Є Lp(Q) при 1 < р < 2/(14- 7г/а). Продолжая процесс, можно построить решения однородной задачи Дирихле (1.21), убывающие на бесконечности быстрее любой наперед заданной степени 1/\х\. Таким образом, строится счетный набор линейно независимых и достаточно быстро убывающих на бесконечности обобщенных решений из Lp{l) однородной задачи (1.21) при

1 < р < 2/(14-7г/а). Аналогичным способом строится счетный набор линейно
независимых и достаточно быстро убывающих на бесконечности обобщенных
решений задачи Неймана (1.22) из пространства LUQ) при 1 < р < n^jy^-*

В третьем параграфе доказано существование обобщенных решений задач Дирихле (1.5) и Неймана (1.8) для любого показателя 1 < р < со при О < а < 7г или т+І/а < Р < i-L_tt ^ПР^И я < ^а = 27Г. А именно, в третьем параграфе доказана теорема 1.0.1. Справедливость теоремы 1.0.1 устанавливается сначала при 2 ^ р < со, когда 0 < а ^ 7г и при

2 ^ р < 2/(1 — 7г/а), когда тг < а : 2тт. При этом используются теоремы
1.0.5, 1.0.6 и уже установленная единственность обобщенных решений задач
Дирихле и Неймана. Справедливость теоремы 1.0.1 при 1 < р < 2, когда
0 < а < 7г и при 2/(1 4- х/ск) < р ^ 2, когда тг < а ^ 2х следует из
установленной М.Е. Боговским в [10] теоремы, согласно которой разложения

(L10) имеют место при р = ц тогда и только тогда, когда они справедливы при р = q' = q/(q - 1).

В четвертом параграфе доказана незамкнутость области значений эллиптического оператора как в случае задачи Дирихле (1.5), так и в случае задачи Неймана (1.8) при 1 < р < ₁₊%, или _хХіа ^ Р ^< ' ^когД^а я" < « ^ 27г. Незамкнутость области Незамкнутость области значений эллиптического оператора более естественно формируется в виде следующей теоремы

Теорема 1.0.7. Пусть -к < a ^. 2п и пусть 1 < р ^ ї+ha' Тогда подпространства J_p{i) 4- G_p(l) и J_P{Q) -f G_P(Q,) незамкнуты в L_P(Q,;№?).

При р = Т+тГ/а ^{незамкн}У^тсть суммы соответствующих подпространств в L_p(fi;]R³) доказывается по схеме работы В.Н. Масленниковой и М.Е. Боговского [138]. В случае 1 < р < ₁ ^, незамкнутость суммы соответствующих подпространств доказывается путем построения примеров.

Так для доказательства незамкнутости суммы J_P(Q.) + G_P(Q.) в L_p(f2;R³) рассматривалась вспомогательная задача

Ли = 0, жбП,
ди\ ди

dn\tp=o дп

у>=а

= 0, (1.24)

U=0=tf*(r)cOsJy?,

_n def _ „ _

где U = Г_а X К+ и Г _а — плоский угол с раствором а Є (тг, 2щ,

а /Г„ — функция Макдональда. Предполагая, что подпространство

Jp(l) + G_P(Q) замкнуто в L_p(^;R³) при 1 < р < ₁₊²_п,_а легко доказать, что задача (1.24) имеет решение в классе L_p(Q,). С другой стороны общий вид решения задачи (1.24) в классе L_p(Q) может быть найден методом разделения переменных:

и(х) = У^ и_п(г, ягз) cos —ср. (1.25)

В преобразовании Фурье коэффициент щ(г,хз) представим в виде

$щ(г,0 = К*(г) - j^K^r) + ЄЛ(Є)^Кг), V R+, (1.26)

где Л — некоторая измеримая по Лебегу функция. При этом решение (1.25) задачи (1.24) принадлежит классу L_p(Q), только в случае

"ОО

/ ^2p"²[ui(r,)PV < оо, V г > О, К р < 2/(1 + тг/а), Jo

т.е. в случае, когда найдутся положительные числа гі > ті > 0 и

последовательность {&} С (0,оо) такие, что

Km ^|йі(гі,&)І + |йі(г2,&)|] = 0, 1<р< 2/(1 +тг/а). (1.27)

Тогда из (1.26) при г = гу, j = 1,2 получаем равенства

lim &А(&)Кфч) = -Ki(rj), j = 1,2,

ffe-ЮО

из которых следует, что существует конечный предел

urn «;;* = -4^. (1.28)

fc-+~tf*(&ri) tfj(n) ^v '

при любых фиксированных п > гг > 0. С другой стороны в силу известной асимптотики функции Макдональда, при фиксированных гі > r 0 дробь ^*(ft7*2)/^(fcn) ^ПР^И & ~* экспоненциально растет. Из полученного противоречия следует, что предположение о замкнутости подпространства Jp(fi) + <2р(Ю) в _p(fi; R³) неверно.

Как установил М.Е. Боговский [10] для произвольной области О, с М.³

о о

суммы подпространств J_P(Q) + (^>(2) и J_P(Q) + Gp(fi) замкнуты в L_P(H;IR³) при р = q тогда и только тогда, когда они замкнуты в L_p(2;R³) при р = q', q¹ — q/(q~ I), 1 < q < сю. Отсюда и из теоремы 1.0.7 следует

Теорема 1.0.8. Пусть -к < а ^ 2-к и пусть yzf/a ^ р < со. Тогда

о о

подпространства J_p(fi) + G_v(Q) и J_P(Q) + G_P(Q) незамкнуты в L_P(Q;'.

Пятая заключительная глава посвящена вопросам существования или несуществования, а также вопросам единственности или неединственности обобщенных решений задач Дирихле (1,5) и Неймана(1.8) в ограниченных областях с ребрами, В частности, рассматриваются ограниченные области вида Q = Г* х Ж, где Г^ — сектор единичного круга с раствором а Є (0, 27г].

Обзор Lp-теории эллиптических краевых задач D обобщенной постановке

Кондратьев В. А. и Егоров Ю. В. изучали некоторые свойства пространства Lp(Q) в работе [132]. В этой работе особое внимание уделено плотности непрерывных функций в Lp(Q)i отделимости Lp(Q) и критерию компактности Рисса. Для ограниченной области Q показано, что инъекция WQ(Q) —У Lq(Q.) компактна при \fq 1/р — mfn 0. Для эллиптических операторов Т доказана альтернатива Фредгольма для уравнения Ти = F.

Для областей с гладкой границей, в настоящее время построена законченная теория краевых задач для эллиптических уравнений и систем. Один из центральных результатов этой теории состоит в том, что если коэффициенты уравнения и граничных операторов, их правые части, а также граница области являются достаточно гладкими, то решение задачи — соответственно гладкая функция.

Хорошо известно, что нарушение условия гладкости границы в этих задачах приводит к появлению у решения особенностей в окрестности нерегулярных точек границы. Для некоторых областей классическое решение задачи Дирихле для эллиптических уравнений вида может не существовать.

Влияние особенностей границы dQ на разрешимость эллиптических задач в пространстве Соболева W Q) исследовалось во многих работах, которые можно условно разделить на две группы. В одних рассматриваются особенности типа конических точек, ребер, многогранных углов. В работах другой группы рассматривается признак нётеровости оператора общей эллиптической краевой задачи. В работах второй группы особенности не локализуются и основное внимание уделяется условиям гладкости границы, достаточным для справедливости тех или иных оценок решений. Настоящая работа относится к первой группе, где рассматриваются особенности типа ребер. Современная теория краевых задач для эллиптических уравнений в негладких областях начала развиваться с работы [23] В. А. Кондратьева. К настоящему времени подробно изучен вопрос о разрешимости общих эллиптических краевых задач в областях с изолированными коническими точками на границе. Основные результаты в этом направлении изложены в статье [27]. Значительно более сложным является случай граничной точки, в окрестности которой область Q диффеоморфна многограннику. Вопрос о разрешимости краевых задач для областей, граница которых содержит такие точки, изучен сравнительно мало. Пусть д1 = Гі U Г2, Гі П Гг = 1о, гДе Г і и Гз — бесконечно гладкие поверхности с краем. При определенных значений fc и /3 В. Г. Мазья и Б. А. Пламеневский в [37] получили теорему об однозначной разрешимости краевой задачи для уравнения (1.2.2) в пространстве #(Q). X. Рейсман получил этот результат в [153] энергетическим методом. О. А. Ладыженская и Н. Н. Уральцева установили в [30], что для решения задачи (1.2.2), (1.2.1) классическая оценка Шаудера имеет место при условии, что коэффидиенты уравнения принадлежат пространству Ска и граница дО. — поверхность класса Ск+2а. Исследование вопроса о справедливости этой оценки при наличии ребер на границе области проведено в работе [82] А. Аззама. Краевые задачи для эллиптических уравнений вида (1.2.2) и вида (1.2.5) рассматривались в работах О. А. Олейник [59] и Г. Тауца [159]. Основной результат этих работ состоит в том, что если то для регулярности по Винеру граничной точки для уравнений (1.2.2) необходимо и достаточно, чтобы эта точка была регулярной для уравнения Лапласа (см. определение регулярности по Винеру в [27]). В последующие годы требования гладкости коэффициентов эллиптического оператора L, обеспечивающие совпадение регулярных по Винеру точек уравнения (1-2.2) и уравнения Лапласа, были заменены условиями Гёльдера или условиями Дини в работах [126] Р. Эрве, [28] Н. В. Крылова, [57] А. А. Новрузова, [46] И. Т. Мамедова и [31] Е. М. Ландиса. В работе [136] В. Литмана, Г. Сампаккьи и Г. Ф. Вайнбергера показано, что при aj а = / = 0 граничная точка для уравнения (1.2.5) регулярно тогда и только тогда, когда она регулярна по Винеру для уравнения Лапласа. В работе [34] В. Г. Мазья установил оценки модуля непрерывности обобщенного решения задачи (1.2.5), (1.2.1) в регулярной граничной точке. Оценки решения уравнения (1.2.5), удовлетворяющего однородному краевому условию Дирихле, получены Б работах [12], [13] Г. М. Вержбинского и В. Г. Мазьи при условии, что ац удовлетворяют условию Гёльдера и a,j = 0. В работе [71] А. К. Тюлииой получены энергетические оценки для решения задачи Дирихле, аналогичные неравенствам, выражающим принцип Сен-Венана теории упругости.

Метод Фурье в классе L для двугранного угла

В этом параграфе мы получим Lp-оценки обобщенных решений задач Дирихле и Неймана для двугранного угла Q в ]R3. С этой целю мы в первом пункте представим в явном виде решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона с помощью преобразования Фурье и метода Фурье.

Явные представления обобщенных решений задач Дирихле и Неймана для уравнения (3.0.1), которые необходимы для получения оценок в норме Ьр с весом в случае 1 р со при 0 а 7г и в случае jj -a р їа при -к а 27Г. Кроме того, явные представления решений необходимы для построения примеров неединственности решений и для доказательства несуществования решений. Во втором пункте мы получаем с помощью теоремы Пэли о коэффициентах Фурье весовые оценки для решений задач Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона (3.0.1). В третьем пункте весовые оценки, полученные во втором пункте, используются при оценке градиента решений задач Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона в Lp. 3.1 Явный вид решений задач Дирихле и Неймана

Явное представление решения задачи Дирихле. Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона в двугранном угле Q: Аи = div F, х Є П = Va х Е, где Га — плоский угол с раствором а 6 (0, 27г]. Определение 3.1.1. Обобщенным решением задачи (3.1.1) из класса Lp называется функция и{х), принадлежащая пространству Lp(Q), равную нулю на границе 0Q и удовлетворяющая интегральному тождеству / (Vu,Vv)dx + I vdivFdx 0 (3.1.2) Jn Jn о для всех функций v(x) Є C(Q). Решение задачи Дирихле (3.1.1) в смысле определения 3.1.1 можно найти последовательно методом интегрального преобразования Фурье и методом разделения переменных. Покажем, что для почти всех Є Ж образ Фурье й(г,(р,) является решением интегрального тождества Как нетрудно убедиться G(r,) Є (115+) V Є R. Тогда из (3.1.13) следует, что для почти всех Є К. функция -йп имеет обобщенную производную второго порядка по г. Интегрируя по частям в (3.1.12), из леммы Дюбуа-Реймона следует, что функция йп удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению (3.1.10) и, следовательно, его общий вид совпадает с общим видом решения йп уравнения (3.1.10). Таким образом, тождество (3.1.13) представляет собой определением обобщенного решения йп уравнения (3.1.10) в классе

Неединственность обобщенных решений задач Дирихле и Неймана

Как нетрудно убедиться ?(г,) Є І»ІІЇОС(Е+) V Є К. Тогда из (3.1.32) следует, что для почти всех Є Ж функция йп имеет обобщенную производную второго порядка по г.

Интегрируя по частям в (3.1.31), из леммы Дюбуа-Реймона следует, что функция йп удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению (3.1.29) и, следовательно, его общий вид совпадает с общим видом решения йп уравнения (3.1.29). Таким образом, тождество (3.1.32) представляет собой определением обобщенного решения й„, уравнения (3.1.29) в классе (3.1.15). Лемма 3.1.2. Обобщенное решение задачи Неймана (3.1.24) в классе Lp(l) в смысле определения 3.1.2 представимо в ряд Фурье вида где ЗД рї з) выражаются равенствами (3.1.18). Доказательство. Повторив рассуждения в доказательстве леммы 3.1.1, мы представим обобщенное решение задачи Неймана (3.1.24) в смысле определения 3.1.2 в ряд Фурье вида задачи Неймана (3.1.24) в виде ряда (3.1.34). Лемма 3.1.2 доказана. В случае трех пространственных переменных явное представление решений в виде рядов Фурье позволяет получить Lp-оценки решений только в некоторой окрестности р = 2, когда ряды Фурье являются рядами по многочленам Лежандра или сферическим гармоникам. Это связанно с расходимостью в Lp соответствующих рядов Фурье при р . (, 4) (см. [86], [147], [150], [151], [152]). В нашем представлении ряды Фурье являются рядами по тригонометрическим системам {sin } или {cos k p} L0, т.е. ряды Фурье являются сходящимися в Lp(0, а) при 1 р оо. Отсутствие в нашем случае р-оценки при показателях р (т+ІТа і-тг/а) вызвано сингулярными особенностями решений на ребре, а вовсе не расходимостью рядов Фурье как в работах [86], [147], [150], [151] и [152]. Отметим, что при тг си 2тг справедливо включение (,3 7 С \1 + 7г/а 1-7т/а) При этом интервал (,4) совпадает с интервалом (і+І/а і- /а) лишь в случае а = 2ж. Это означает, что интервал значений показателя р при котором возможна сходимость рядов Фурье по многочленам Лежандра или по сферическим гармоникам в Lp полностью вложен в интервал {iJ -, Г-1/а) и является его частным случаем при а — 27г. Такое вложение существенно влияет на способ получения р-оценок решений.

Для получения Lp-оценок в настоящей работе используется найденный в [137] подход, основанный на локализации. А именно, область 1 покрывается тремя полупространствами Qj, j = 1,2,3, для каждого из которых мы получаем р-оценки первых производных обобщенных решений задач Дирихле и Неймана через -р-норму правой части и весовую Lp-норму решения. Весовые Lp-нормы обобщенных решений задач Дирихле и Неймана оцениваются с использованием явных представлений этих решений в виде рядов Фурье по тригонометрическим системам {s mk p}%L1 и {cos к(р} =0, соответственно.

Из полученных локальных оценок следует Хр-оценки обобщенных решений задач Дирихле и Неймана для всей области ІІ. Подчеркнем, что речь здесь идет об оценке первых производных обобщенных решений задач Дирихле и Неймана в норме Lp без какого-либо веса.

Задача Дирихле в ограниченных областях

Доопределим функцию и(х) на множестве меры нуль по формуле (4.1.31) так, что vm-i(xf) станет вещественно-аналитическая на Га. Продолжая этот процесс рекуррентно можно доопределить функцию и(х) на множестве меры нуль так, что все ил(ж ), к = 0,1,.., , m станут вещественно-аналитическими на Га. Тогда неравенство (4.1.29) выполняется для всех хг є Га. По теореме Фубини из условия (4.1.19) следует, что при L = 1 Условие (4.1,32) выполняется только в случае Vk(x ) — 0, V/г = 1,2,..., т. В случае т = 0 из задачи (4.1.18) получим woare = 0. Отсюда следует, что г о(х ) = const. Что и требовалось доказать.

Следствие 4.1.2. Пусть р 1+La « пусть и(х) Є ЛріІ0С(А+) — обобщенное решение задачи Дирихле «Ы+ = 0 для которого найдутся такие положительные числа М и N, что ТЪгда и(ж) = 0. Теорема 4.2.1. Пусть 1 р 1+La Тогда задача Неймана (4.1.1) имеет бесконечное число обобщенных решений из Lp(-Q). Доказательство. Пусть .Fr] [/()] — обратное преобразование Фурье функции /(). Нетрудно убедиться в том, что функция u(r,tp,x3) = Ff_lX3 [апКж(\\г)] cos- -у п О является решением однородной задачи Неймана (4.1.1) в классе LP(Q;R3) при 1 р 2/(1 +тг/о;). Отметим, что в цилиндрических координатах модуль градиента функции и(х) выражается равенством Vu=[(«r) " + 1/г2КГ + КзУ Отсюда следует, что вектор-функция Vw принадлежит LP(Q; R3), если / [(ur)2 + 1/г2 (г )2 + (wX3)2]P rdipdrdxs оо. (4.2.1) Выберем решение Uo в виде где &() — суммируемая функция. Поскольку /Gi(r) экспоненциально убывает при г — со, то условие (4.2.1) выполняется, если Из асимптотического разложения функции Макдональда Кн. вблизи нуля следует, что условие (4.2.2) выполняется, если 1 р 2/(1 + 7г/а). Заметим, что оператор Лапласа инвариантен относительно сдвига. Это означает, что «о(г, , жз — а) также является решением однородной задачи Неймана(4.1.1). При этом Vuo(r, v?,X3 — а) Є р(П;М3) при 1 р ,. А тогда разность будет решением однородной задачи (4.1.1). Поскольку uo(rt (р, хз) и ио(г, р,х$ — а) имеют одинаковую асимптотику на бесконечности, то их разность быстрее убывает на бесконечности. Заметим, что щ Є Lp(Q) при 1 р 2/(1 + -її/а). Таким образом, получаем ряд быстро убывающих на бесконечности обобщенных решений из Lp(Q) однородной задачи (4.1.1), где 1 р 2/(1 + тс/а). Теорема (4.2.1) доказана. Следствие 4.2.1. Пусть р 2/(1 — тг/а). Тогда коразмерность замыкания подпространства Jp{l) + GP(Q) в Lp(Q;M?) бесконечна. 4.2.2 Задача Дирихле. Теорема 4.2.2. Пусть 1 р у+ х - Тогда задача Дирихле (4.1.18) имеет бесконечное число обобщенных решений из Lp(-Q,). Доказательство. Пусть F7 x [/()] — обратное преобразование Фурье функции /(). Нетрудно убедиться в том, что функция u(r,ip,x3) = РГ_1Х, [апКш(\\г)} sin——, п 1 а является решением однородной задачи Дирихле (4.1.18) в классе Ьр(&;№?) при 1 р 2/(1 + тг/а). Отметим, что в цилиндрических координатах модуль градиента функции и{х) выражается равенством Из асимптотического разложения функции Макдональда К вблизи нуля следует, что условие (4.2.4) выполняется, если 1 р 2/(1 + тг/а). Заметим, что оператор Лапласа инвариантен относительно сдвига. Это означает, что о(г, у7, хз а) также является решением однородной задачи Дирихле (4.1.18). При этом Vno(r, р,х$ — а) Є LP(Q]Ж3) при 1 р j-- -. А тогда разность будет решением однородной задачи (4.1.18). Поскольку по(г, ір, жз) и щ(г, р,Хз — а) имеют одинаковую асимптотику на бесконечности, то их разность быстрее убывает на бесконечности. Заметим, что щ Є Lp{Q.) при 1 р 2/(1 + 7г/а). Таким образом, получаем ряд быстро убывающих на бесконечности обобщенных решений из Lp(Q) однородной задачи (4.1.18), где 1 р 2/(1 + тг/а). Теорема (4.2.2) доказана. Следствие 4.2.2. Пусть р 2/(1 — -тт/а). Тогда коразмерность замыкания о подпространства JP(Q) + Gp(Cl) в p(fi;IR3) бесконечна.

Похожие диссертации на К Lp-теории эллиптических краевых задач в трехмерных областях с ребрами

К Lp-теории эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентамиДудкина Анна Александровна

Теоремы единственности решений краевых задач для системы теории упругости в неограниченных областяхМатевосян, Овик Амаякович

Метод гладких возмущений в задачах теории упругости с односторонними ограничениями для областей с негладкими границамиРудой, Евгений Михайлович

Краевые задачи плоской теории упругости при наличии дефектов внутри областиМоисеев, Николай Григорьевич

К теории краевых задач для параболических и ультрапараболических уравнений в областях с негладкими границамиОрынбасаров, Мамажан

Задачи сопряжения для уравнений плоской теории упругости в слоистых областяхСтехина Кристина Николаевна

Теория Нетера многоэлементных краевых задач со сдвигом для функций, аналитических в области Скороход Сергей Федорович

Интегральные многообразия и траектории-утки в задачах теории теплового взрываЩепакина, Елена Анатольевна

Усреднение задач теории упругости на тонких периодических структурахПастухова Светлана Евгеньевна

Исследование некоторых интегральных уравнений, возникающих в краевых задачах теории аналитических функцийМигдальский, Александр Ильич