Содержание к диссертации
Введение
1 Постановки эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами и подходы к их решению 23
1.1 Краткий обзор Lp -теории эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами 23
1.2 Обобщенные постановки в классе с первыми производными яз Lp 30
1.3 Lp-теория эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами как проблема Lp - разложения Ходжа . 34
2 Lp -теория модельных задач 51
2.1 Преобразование Фурье 51
2.2 Задачи Штурма-Лиувилля 66
2.3 Метод Фурье для модельных задач 95
2.4 Локальные Lp -оценки 107
3 Размерности ядра и коядра 135
3.1 Компактные линии разрыва вЕ2 136
3.2 Эффект взаимодействия бесконечной и конечных особых точек BR2 143
3.3 Задача Дирихле для ограниченной области О, 161
Литература 169
- Краткий обзор Lp -теории эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами
- Lp-теория эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами как проблема Lp - разложения Ходжа
- Метод Фурье для модельных задач
- Эффект взаимодействия бесконечной и конечных особых точек BR2
Введение к работе
Обобщенные решения линейных эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами являются объектом исследования огромного числа работ. В большей части этих работ вопросы существования и единственности решений исследуются в рамках Ьг-теории, т. е. в пространствах Соболева Wl}. Значительно меньше внимания уделяется вопросам существования и единственности решений в рамках Lp-теории при р ф 2 даже в случае уравнений второго порядка в дивергентной форме.
В диссертации исследуются вопросы существования и единственности обобщенных решений в классе с первыми производными из Lp для эллиптического уравнения второго порядка в дивергентной форме с разрывными кусочно-постоянными коэффициентами и с дивергентной правой частью в случае двух переменных. При одинаковой знакоопределенности кусочно-постоянных коэффициентов частный случай р = 2 интереса не представляет, так как теорема существования и единственности обобщенного решения при р — 2 совпадает с теоремой Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала на гильбертовом пространстве.
В работах Мазьи В.Г., Пламепевского Б.А. [11] и Кондратьева В.А. [7] классы решений являются весовыми, причем случай единичного веса исключается. В работе Мазьи В.Г., Реберга И., Элшнера И., Шмидта Г. [71] вес единичный, но не рассматривается плоский случай. В диссертации рассматриваются классы решений с первыми производными из Lp без веса во всей шкале значений показателя р Є (1,оо). Работы Аушера П. [26], Ди-Фацио Дж. [50] и Мейерса Н.Г. [72] также касаются класса решений с первыми производными из Lp без веса для эллиптических уравнений второго порядка в дивергентной форме и с дивергентной правой частью. Однако, в отношении рассматриваемых в диссертации задач результаты [26], [50], [72] носят частный характер.
В вышеупомянутых работах не поднимается вопрос о необходимых и достаточных условиях того, что особая точка линий разрыва коэффициентов будет особой точкой решения, как не ставится и вопрос о вкладе особых точек линий разрыва коэффициентов в размерности ядра и коядра соответствующего эллиптического оператора. А эти вопросы интересны и важны с прикладной точки зрения. Рассматриваемые задачи описывают, в частности, стационарную теплопроводность многокомпонентных твёрдых тел. Например, композитов, когда каждая компонента имеет свой коэффициент теплопроводности, а поверхности разрыва коэффициента теплопроводности не являются гладкими (см. также [63]). Интересно, что даже в случае сколь угодно малой разницы в значениях смежных коэффициентов теплопроводности, негладкости поверхностей разрыва коэффициентов могут порождать особые точки решений, в окрестности которых градиенты решений не ограничены. При этом характер особенностей не исключает принадлежность градиентов решений к Lp при достаточно больших р.
Работ, посвященных размерностям ядра и коядра эллиптического оператора в дивергентной форме очень мало. Стоит отметить только работы Ильина Е.М. [5, 6], постановка и общий подход в которых, схожи с постановкой и подходом в диссертации. В работе [5] исследуются особенности, возникающие у слабых решений краевых задач для равномерно эллиптического оператора второго порядка с дивергентной главной частью div(AVu) в ограниченной области fi С К2 с разрывными коэффициентами. В [5] предполагается, что граница сЮ - кусочно непрерывно дифференцируема и имеет угловые особые точки с ненулевыми углами. При этом гладкие непересекающиеся кривые {Гй}^ разбивают О, на подобласти (}1 так, что производные решения претерпевают разрывы первого рода на кривых Г&. Допускаются пересечения кривых Г^ с сЮ под ненулевыми углами. На линиях разрыва коэффициентов Г& задаются условия непрерывности решения и его производной по конормали. В [5] рассматривается стандартная обобщенная постановка задачи для класса И^1^). Слабое обобщенное решение с односторонней гладкостью класса W^filk), к = 1,..., т + 1 называется в [5] сильным решением. Тогда как существование и единственность слабого решения гарантированы теоремой Рисса, сильное решение, единственность которого очевидна, может не существовать. Вопрос о коразмерности области значений эллиптического оператора в 2(0) Для сильных решений сводится к подсчету собственных чисел Л = —/х2 с условием 0 < fi < 1 в соответствующих модельных задачах Штурма-Лиувилля.
В работе [6] изучаются схожие с [5] вопросы, но для случая, когда линии разрыва имеют внутренние угловые точки. При этом матрица А в окрестности особых точек не предполагается скалярной. Работа [6] опирается на схему Кондратьева В.А. [7], применимость которой к рассматриваемым задачам в весовых классах установил Совин Я.А. в [20, 21]. Ильиным Е.М. установлено, в частности, что число собственных чисел Л = —д2 в соответствующих модельных задачах Штурма-Лиувилля с условием 0 < /і < 1 для нескалярной матрицы А может быть сколь угодно велико.
В диссертации вопросы существования и единственности решений рассматриваются во всей шкале значений показателя р Є (1,оо), а в работах [5, 6] только при р = 2. Ильин Е.М. рассматривает класс решений с односторонней гладкостью W$, а в диссертации рассматривается класс решений с первыми производными из Lp, если область неограничена, или класс Wp1, если область ограничена.
В диссертации вычисляются размерности ядра и коядра соответствующего эллиптического оператора во всей шкале значений показателя рє(1,оо). Ненулевые размерности ядра и коядра появляются из-за особых точек решений, к которым относятся, например, точки негладкости линий разрыва коэффициентов и точки пересечений гладких линий разрыва коэффициентов с гладкой границей. Необходимым и достаточным условием существования особых точек является наличие в соответствующей задаче Штурма-Лиувилля собственных чисел А = —/х2 с корнями fi Є (0,1).
Прикладное значение задач, рассматриваемых в диссертации, не ограничивается стационарной теплопроводностью многокомпонентных твердых тел. Другим важным приложением является теория упругости многокомпонентных материалов, в частности, теория равновесия неоднородных многокомпонентных мембран.
Целью работы является:
Исследование вопросов существования и единственности обобщенных решений в классе с первыми производными из Lp для эллиптического уравнения в!2в дивергентной форме с разрывными кусочно-постоянными коэффициентами и с дивергентной правой частью.
Вычисление размерностей ядра и коядра рассматриваемых эллиптических операторов с разрывными коэффициентами в классе решений с первыми производными из Lp во всей шкале значений показателя р Є (1, оо).
Исследование условий существования особых точек решений, которые порождаются негладкостыо линий разрыва коэффициентов, их пересечением между собой и пересечением с границей.
Основные результаты и научная новизна состоят в следующем:
Установлено существование собственных чисел Л = — fi2 с корнями /х Є (0,1) для модельных задач Штурма-Лиувилля, возникающих при разделении переменных. Существование таких корней fi Є (0,1) строго доказано для случая точки излома линии разрыва коэффициентов и для точек пересечения линии разрыва коэффициентов с гладкой границей и с угловой точкой границы. В общем случае, когда в особой точке пересекается несколько линий разрыва коэффициентов, существование корней fi Є (0,1) подтверждается многочисленными примерами, построенными с помощью вычислений на Maple 11;
Для обобщенных решений модельных эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами в классе с первыми производными из Lp дается полное обоснование метода Фурье, с выводом соответствующих Lp-оценок;
Устанавливаются априорные Lp-оценки первых производных обобщенных решений эллиптических краевых задач с кусочно-постоянными коэффициентами в случае компактных линий разрыва коэффициентов на всей плоскости и для задачи Дирихле в ограниченном многоугольнике;
Вычислены размерности ядра и коядра эллиптического оператора с кусочно-постоянными коэффициентами: для случая компактных линий разрыва коэффициентов на всей плоскости и для задачи Дирихле в ограниченном многоугольнике во всей шкале значений показателя р Є (1, со) в зависимости от параметров особых точек. Установлен эффект взаимодействия бесконечной и конечных особых точек.
Диссертация носит теоретический характер. Тем не менее, полученные результаты имеют важное прикладное значение в вопросах теплопроводности и упругости многокомпонентных неоднородных материалов. Эти результаты также могут быть использованы и для развития Lp-теории эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами, в частности, для построения примеров и контрпримеров, способствующих развитию и углублению теории Lp-разложений Ходжа[26].
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 85 наименований. Диссертация содержит 21 рисунок и 8 таблиц. Общий объем диссертации составляет 176 страниц.
В главе 1 диссертации, состоящей из трех параграфов, приводится краткий обзор Lp-теории эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами. Дается определение функциональных пространств, с помощью которых обобщенная постановка краевой задачи для эллиптического уравнения в дивергентной форме сводится к системе первого порядка эллиптической по Дуглису-Ниренбергу. При этом, вопросы существования и единственности обобщенных решений сводятся к вопросам о разложимости пространства Lp двумерных векторных полей в прямую сумму двух замкнутых подпространств, определение которых дается в этой главе. Также в главе 1 содержится описание постановки задачи, являющейся предметом исследования диссертации.
В главе 2 диссертации, состоящей из четырех параграфов, выводится теорема существования и единственности обобщенного решения краевой задачи с разрывными кусочно-постоянными коэффициентами в случае, когда линия разрыва является бесконечной прямой. Обосновывается метод Фурье для случаев гладких и негладких линий разрыва коэффициентов с помощью соответствующих модельных задач Штурма-Лиувилля. Вычисления на Maple 11 показывают, что во всех рассматриваемых случаях существуют собственные числа А = — /і2 с корнями ц, (0,1), но при этом их число для разных типов особых точек будет различным. Отметим, что число корней ц Є (0,1) в любом из приведенных в диссертации случаев не превосходит трех. Результаты вычислений представлены в виде восьми таблиц. Также в главе 2 получены априорные L^-оценки первых производных обобщенных решений эллиптической краевой задачи в дивергентной форме с разрывными кусочно-постоянными коэффициентами. Оценки устанавливаются методом локализации.
В главе 3 диссертации, состоящей из трех параграфов, во всей шкале значений показателя р Є (1,оо) вычисляются размерности ядра и коядра соответствующих эллиптических операторов с разрывными коэффициентами: для случая всей плоскости с компактными линиями разрыва коэффициентов и для случая задачи Дирихле в ограниченном многоугольнике. Рассматриваются случаи, когда все особые точки конечные и когда среди особых точек есть как конечные, так и бесконечная. Показано, что сглаживание конечной угловой точки линии разрыва коэффициентов приводит к потере разрешимости в классе Ьр(Ж2) при 1 < р < 2/(1 + fi) и потере един- ственности обобщенного решения в классе L^(R2) при 2/(1 — /л) < р < оо. Такое явление говорит о взаимодействии конечной и бесконечной особых точек, поскольку добавление конечной особой точки к имеющейся бесконечной особой точке уменьшает вклад бесконечной особой точки в размерности ядра и коядра.
В главе 1 для эллиптического уравнения в дивергентной форме с разрывными кусочно-постоянными коэффициентами и с дивергентной правой частью рассматриваются две обобщенные постановки в классе с первыми производными из Ьр, а именно: задача для всей плоскости О, = Ж2 и краевая задача Дирихле для ограниченного многоугольника Q С М2. Сначала сформулируем обобщенную постановку для случая О, = К2, т.е. для эллиптического уравнения в дивергентной форме div (AWu) = div F{x), x Є R2 (0.1) с вещественной симметричной кусочно-постоянной матрицей А = А{х) = {Aij(x)}f ,-=1. Предполагается, что линии разрыва {Гг-}^1коэффициентов {^Ц?} являются кусочно непрерывно дифференцируемыми кривыми, которые делят плоскость на подобласти (}1, Подобласти (}^1 и кривые {Гг}^ могут оказаться неограниченными. На каждой линии разрыва коэффициентов задаются обычные условия сопряжения, т. е. условия непрерывности решения и и его конормальной производной по направлению vA = Аи, где v и иА — единичная нормаль и конормаль к кривой Г соответственно. А именно, и\Г- = и\Г+ , (0.2)
Т7 дил где Гг~ иГ-" — разные стороны кривой Гг-, прилежащие к смежным подобластям {^г'}^1- Под единственностью решения задачи (0.1)-(0.2) обычно подразумевается единственность с точностью до аддитивной постоянной, т. е. единственность градиента решения Vit. При этом, не ограничивая общности, тривиальным будем называть решение с нулевым градиентом. Чтобы эта аддитивная постоянная не мешала при выводе локальных 1/р-оценок, ее удобно определить, например, с помощью дополнительного условия / и{х) dx = 0, (0.3) где шСІ2- какая-либо наперед заданная фиксированная ограниченная область.
Пространство Соболева {и Є W^loc(R2) : D*u Є LP(R2), \а\ = 1} с нормой \НЧт = \Ньр{ы) + Y, \\d>\\lpw) > (-4) |а|=1 обозначим через Lp(R2), где ограниченную область си удобно связать с условием (0.3). Очевидно, что LUR2) — банахово пространство. Нетрудно убедиться, что норма (0.4) на подпространстве, выделенном условием (0.3), эквивалентна норме ||Vii||i (№$?), при этом ||Vu||Lp(K2;R2) < |MUp(E2) ^ Co||V^||Lp(M2.E2) (0.5) с постоянной Со > 0, зависящей только от выбранной фиксированной ограниченной области со. Здесь и всюду в дальнейшем через LP(]R2;]R2) обозначено Lp-пространство Лебега векторных полей v : R2 —$ R2.
Уравнение (0.1) рассматривается в обобщенной постановке в классе и Є Lp(R2), при р Є (1,оо) с заданной вектор-функцией F Є Lp(IR2;M2) в смысле интегрального тождества
Г (AVu, W) dx= Г (F, Щ) dx Уф є С {R2). (0.6) R2 R2
Точки излома кусочно-гладких линий разрыва коэффициентов и их пересечения между собой будут, вообще говоря, особыми точками рассматриваемых обобщенных решений. Такие особые точки условимся называть конечными. Множество всех особых точек предполагается конечным. Особенность обобщенного решения в окрестности бесконечности, связанную с уходящими на бесконечность гладкими кусками линий разрыва коэффициентов, условимся называть бесконечной особой точкой. Для уходящего на бесконечность гладкого куска линий разрыва коэффициентов предполагается существование касательной на бесконечности. В таком случае, конечная и бесконечная особые точки могут оказаться угловыми точками или узлами, в которых пересекаются гладкие куски {Г;}^ линий разрыва коэффициентов. Будем считать, что каждая особая точка, включая бесконечную, имеет некоторую окрестность со своим набором гладких кусков {Гг-}^1} которые являются отрезками прямых, полубесконечными в случае бесконечной особой точки.
Теперь сформулируем обобщенную постановку задачи Дирихле для ограниченного многоугольника С1 С К2, т.е. для краевой задачи Ґ div (AVu) = divF(x) , х Є CI, f ч \и\ -0 (-7) L и\дП — и' с вещественной симметричной кусочно-постоянной матрицей А = А(х) = {Aij(x)}fj=1. Предполагается, что линии разрыва {1^}^ коэффициентов {A{j} являются кусочно непрерывно дифференцируемыми кривыми, которые делят плоскость на подобласти {^г'}^1- Подобласти {^}4 и кривые {Гг-}^1 ограниченны. На каждой линии разрыва коэффициентов задаются обычные условия сопряжения (0.2).
Через Wp (СІ) обозначим замыкание в пространстве Соболева И^(О) его подпространства С (Сі) с нормой Р |e|=i
Краевая задача Дирихле рассматривается в обобщенной постановке в классе uEWp (СІ), при рЄ (1,оо) с заданной вектор-функцией FeLp(Q;№?) в смысле интегрального тождества [ (AVu, VV>) dx= f {F, W) dx УфеС (О). (0.9)
Точки негладкости кривых {Гг-}^х и их пересечения между собой будут особыми точками рассматриваемых обобщенных решений. Особые точки, в этом случае, делятся на граничные особые точки и внутренние особые точки. Под внутренними особыми точками будем подразумевать точки, в которых пересекаются п ^ 2 линий разрыва коэффициентов — при этом случай п — 2 соответствует точке излома кусочно-гладкой линии разрыва коэффициентов. Под граничной особой точкой будем подразумевать вершину многоугольника Q с углом а > 7Г, являющуюся точкой непрерывности коэффициентов, а также любую точку границы дО, с углом а Є (0, 2л-), не являющуюся точкой непрерывности коэффициентов.
В случае гладких непересекающихся линий разрыва коэффициентов рассматриваемая задача исследовалась Е.М. Ильиным в [5, 6] в ограниченной плоской области при р = 2 в классе решений с односторонней гладкостью У/%-
В случае гладких линий разрыва коэффициентов матрицы Д- = А\ц. произвольные вещественные симметричные постоянные. При разной знакоопределенности матриц Аі требуется еще выполнение дополнительного условия inf |detAi — det^l Ф 0, где нижняя грань берется по множе- ству [J IV Но размерности ядра и коядра будут нулевыми во всей шкале значений показателя рЄ (1,оо), независимо от знакоопределенности матриц.
В случае негладких линий разрыва коэффициентов матрицы имеют вид Аі = щЕ, где Е — единичная матрица, щ — постоянный коэффициент, г = 1,...,/,/ ^ 1. Отметим, что значения смежных коэффициентов щ всегда предполагаются различными, так как в противном случае не было бы линии разрыва коэффициентов.
Чтобы сформулировать результаты удобно ввести следующие обозначения. Через JP(R2) обозначим замыкание в Lp(R2;R2) подпространства J (R2) = {v: v SC (R2; R2), divv = 0} .
Через Gp(R2) обозначим замкнутое подпространство А-потенциальных векторных полей в LP(R2;R2), т. е. Gp(R2) = {we Lp(R2; R2) : w = AV-ф , ф Є p(R2)} -Устанавливается, что однозначная разрешимость задачи (0.1)-(0.3) с показателем р 6 (1, сю) в обобщенной постановке (0.6) эквивалентна разложению пространства Lp(M2;]R2) в прямую сумму LP(R2; Ж2) = JP(R2) ф Gp(R2), (0.10) которую называют разложением Ходжа (см., например, [26]).
Говоря о ядре и области значений эллиптического оператора в задаче (0.1)-(0.3), мы будем подразумевать ядро NP{L) = JP{R2) П Gp(R2) и область значений 7lp(L) = JP(R2) + Gp(R2) линейного непрерывного оператора L : Jp(R2) х Gp(R2) -+ LP(R2; R2), (0.11) действующего по правилу L{v, w} = v + w \/{v,w}eJp{R2)xGp(R2). При этом разложение (0.10) соответствует системе первого порядка (0.12)
Г v + AVu = F , \ divu = 0 , эллиптической по Дуглису-Ниренбергу.
Размерностью коядра будем называть размерность фактор-пространства Lp(R2;R2)/7Zp(L), т. е. коразмерность codimTip(L) области значений 7Zp(L).
Фундаментальным фактом Lp-теории задачи (0.1)-(0.3) в обобщенной постановке (0.6) является следующая теорема двойственности.
Теорема 1 Пусть р Є (1,оо). Задача (0.1)-(0.3) в обобщенной постановке (0.6) однозначно разрешима для всех F Є Lr(M2;R2) в классе и Є Lj(M2) при г = р с оценкой HVullLr(R2;R2) ^ Cpll^lUr(IK2;E2) тогда и только тогда, когда она однозначно разрешима с такой же оценкой для сопряэюенного показателя р' — р/(р — 1), т. е. при г — р', с той Dice постоянной Ср > 0, зависящей только от р и >с.
В случае, когда при г — р уже установлена разрешимость, то при г=р' =р/(р—1) единственность решения вытекает из следующей теоремы.
Теорема 2 Пусть р Є (1,оо). Если при любых F Є С00 (1L2;R2) задача (0.1)-(0.3) имеет решение и Є L^(R2) с показателем г = р, то для сопряоюенного показателя г = р' решение задачи (0.1)-(0.3) в классе и Є Lj(M2) будет единственным.
В случае краевой задачи Дирихле для ограниченного многоугольника О С Ж2 обобщенная постановка задачи (0.7) также оказывается эквивалентной проблеме Lp -разложения Ходжа для пространства Ьр(0,,Ш2), т.е.
Ьр(р,;Ш2) = Jp(fl)@ Gp (Q). Для простоты ограничимся случаем одно- связной Q, — в этом случае упрощаются определения пространств Gp (П) и Jp(i). А именно, через Gp (Q) обозначим замыкание в Lp(fl; Ж2) его подпро- странства G (Q) = {v = V^ Ф EC(Q)}. И пусть JP(M2) — замыкание в Ьр(0,]Ж2) подпространства J (R2)|n сужений на Q вектор-функций из j (Ж2).
Говоря о ядре и области значений эллиптического оператора в зада- че (0.7), (0.2), мы будем подразумевать ядро МР{Ь) — JP(Q)C\ Gp (П) и область значений 7lp{L) — Jp(Q,)n Gp (Jl) линейного непрерывного оператора L : Jp(Q)x Gp {Q) -+ Ьр(П;Ш2), (0.13) действующего по правилу L{v, w} = v+w V {v, w} Є JP(Q) x Gp (Г2). Размерностью коядра будем называть codimTZp(L) област значений 1ZP(L).
Следующая теорема справедлива и без предположения об односвязности ограниченной области Г2 С М2. Однако, определения пространств JP(Q) и Gp (Q) в случае многосвязности О, существенно усложняются.
Теорема 3 Пусть р Є (1,оо). Задача (0.7), (0.2) в обобщенной постанов- ке (0.9) однозначно разрешима для всех F Є Lr(Q; R2) в классе и Є W} (Q) при г = р с оценкой ІМІ^1(П) ^ Cp\\F\\Lr(n.R2) тогда и только тогда, когда она однозначно разрешима с такой же оценкой для сопряженного показателя р' = р/(р — 1), т. е. при г = р', с той же постоянной Ср > 0, зависящей только от р и к.
В случае, когда при г = р уже установлена разрешимость, то при г—р' =р/(р—1) единственность решения вытекает из следующей теоремы.
Теорема 4 Пусть р Є (1,оо). Если при любых F Є С00 (f2;R2) зада- ча (0.7), (0.2) имеет решение и Є W} (Q) с показателем г = р, то для сопряоїсенного показателя г—р' решение задачи (0.7), (0.2) в классе и Є W} (О,) будет единственным.
В главе 2 диссертации исследуются модельные задачи Штурма-Лиувилля, с помощью которых обосновывается метод разделения переменных в полярных координатах г, <р для всех типов рассматриваемых особых точек, а именно: (а) внутренняя точка излома линий разрыва коэффициентов; (б) внутренняя точка пересечения трех или более линий разрыва коэф фициентов; (в) граничная угловая точка, являющаяся точкой непрерывности ко эффициентов (т.е. вершина бесконечного угла на плоскости с раствором а Є (0, 2-7г)), которая будет особой для решений класса с первыми произ водными из Lp, в случае тг < а < 27г. (г) граничная угловая точка, в любой окрестности которой коэффици енты претерпевают разрыв (т.е. вершина бесконечного угла на плоскости с раствором а Є (0, 27г), из которой на бесконечность уходят лучи, являю щиеся линиями разрыва коэффициентов).
Во всех четырех случаях (а)-(г) полярные координаты г, ср берутся с полюсом в начале координат г = 0. Случай (в) для метода разделения пере- менных является классическим, тогда как для случаев (а),(б),(г) необходимо одновременное выполнение двух условий: оператор в соответствующей задаче Штурма-Лиувилля должен быть самосопряженным и переменные г, <р должны разделяться.
Достаточно обосновать метод Фурье для случая (а) на примере модельной задачи, когда полюс г = 0 будет точкой излома линии разрыва коэффициентов, т.е. линия разрыва коэффициентов состоит из двух лучей, исходящих из начала координат и образующих угол а Є (0, 2-7г). Под корнями \і Є (0,1) будем подразумевать собственные числа А = —ц2 задачи Штурма-Лиувилля
ГФ = АФ, Ф Є DT (0.14) для дифференциального оператора Т — -—= с областью определения DT = {uE L2(a - 2тг, а) : и Є W22(a - 2тг, 0), и Є W22(0, а),
1/(-0) = u(+0), и'(-0) = W(+0), (0.15) и(а - 0) = и(а - 2тг + 0), W(or - 0) = и'(а - 2тг + 0)} , где без ограничения общности предполагается, что xi = ^ ^ 1 и хг = 1. d2 Оператор Т = ——= будет самосопряженным, если его рассматривать как dip1 T:DTd L%x{a - 2тг, а) -> L%x(a - 2тг, а), (0.16) где І/2,х - весовое пространство квадратично суммируемых на (а — 2ir, а) функций с весом, равным единице на (а — 27Г, 0) и с постоянным весом >с на (0, а). Отметим, что выбор интервала (а — 27Г, а) объясняется более простой, чем в случае интервала (0, 27г), записью собственных функций. Очевидно, что при х > 0 пространство L^'3* со скалярным произведением (и, v)x = / uv dip + к I uv dip а-2п 0 будет гильбертовым, а при к < 0 — пространством с индефинитной метрикой.
С помощью теоремы Гильберта устанавливается полнота в весовом пространстве L^ia — 27Г, а) системы собственных функций {Фк}ь=о с собственными числами Afc = — fi\ самосопряженного оператора (0.16). Поскольку оператор (0.16) самосопряженный, то его собственные функции, соответствующие различным собственным числам, ортогональны. Применяя процесс ортогонализации Грама-Шмидта, в случае собственных чисел с геометрической кратностью больше единицы, если таковые имеются, получаем ортогональный базис в L%'*(а — 27Г, а) из собственных функций {&k}kLo дифференциального оператора (0.16).
Как обычно в методе Фурье, предполагая существование решения и Є L„(M2) задачи (0.1)-(0.3) в обобщенной постановке (0.6), заметим, что при р > 2 решение и(г, ср) будет элементом Wzipi — 27Г, а) для почти всех г > 0. Раскладывая и(г, ф) в ряд Фурье ч{г,ф) = ^йк{т)Ыч>) (0-17) по ортогональному базису {Ф&}10 с коэффициентами Фурье Rk(r) = ^Ф. (0.18) заметим, что ряд Фурье (0.17) будет сходиться в W^ipi. — 2-7Г, а) для почти всех г > 0. В силу и Є Lp(K2) коэффициенты Фурье - имеют обобщенную производную по Соболеву R'k на (0, со) и удовлетворяют условиям f \B!k{r)\prdr <оо Vfc^l. (0.19)
Явное представление решения задачи (0.1), (0.2) в обобщенной постановке (0.6) удобнее получить сначала для F из всюду плотного подпро- странства С (Ж2;Ш2) «^ LP(R2;]R2) с соответствующими Lp-оценками, которые позволят затем сделать предельный переход по F и тем самым установить разрешимость задачи (0.1), (0.2) для всех F Є LP(1L2;1L2) с соответствующими Lp-оценками. Отметим, что в этом разделе задача (0.1), (0.2) рассматривается без условия (0.3). Это связано исключительно с методом получения Lp-оценок градиента Vu через весовые Lp-оценки решения и, требующие выполнения условия и(0) = 0 при р > 2. В силу известных ограничений теорем вложения условие 14(0) = 0 позволяет фиксировать аддитивную постоянную только при р > 2.
Таким образом, предполагая F Є С (Е2; IR2), обозначим для краткости div F = /. Подставляя в интегральное тождество (0.6) пробные функции вида v = р(г)Фк(<р) с произвольными р Є С (0, со), пользуясь обозначениями (0.18) и определением обобщенной производной по Соболеву, заключаем, что существует обобщенная производная по Соболеву R'k' на (0, со), причем l(rE!k)' + \k^ = fk{r), к^0 для почти всех г > 0, где коэффициенты fk имеют вид ^г) = ЇЇЖ1Ї2- / Лг> Ч>)ЫЧ>) <Ь>, к > 0. (0.20) а—2тг
В силу уравнения (0.20) и условия (0.19), коэффициенты Фурье при 2 < р < 2/(1 — ii\) имеют вид Rq = — In г / sfQ(s)ds— / s In sfo(s) ds , Rk = -^- J s-"k+1fk(s) ds-— J s^+1fk(s) ds , к > 1.
Далее устанавливаются априорные оценки в норме Lp(M?) обобщенного решения задачи (0.1), (0.2), построенного в виде ряда Фурье (0.17). Это делается с помощью локализации по полярному углу ср и теоремы Пэли, применение которой требует некоторых дополнительных условий на ортогональный базис {Фк}=о- А именно) требуется, чтобы решения соответствующих задач Штурма-Лиувилля удовлетворяли следующим условиям: |Ф*Ы1^М0 Уу?Є[а-2тг,а] V, к > 0, (0.21) inf^U*>0, (0.22) где Mq = Mo(a, >c) > 0, а Ф& и Ajt - собственные функции и собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.
Замечание 1 В задаче Штурма-Лиувилля для случая (а) неравенство (0.21) доказано во второй главе диссертации. В случае, когда в особую точку входит более двух линий разрыва коэффициентов, выполнение неравенства (0.21) считается дополнительным предположением.
Замечание 2 В случае, когда особая точка линии разрыва коэффициентов является точкой излома, условие (0.22) выполнено с 5 = 1/4. В случае, когда в особую точку входит более двух линий разрыва коэффициентов, выполнение условия (0.22) считается дополнительным предположением.
В Lp-оценках явного представления решения и Є Lp(M.2) задачи (0.1), (0.2) в обобщенной постановке (0.6) в виде ряда Фурье, определяющую роль играет собственное число Ai = — ц\ c/ti Є (0,1), существование которого гарантировано следующей теоремой.
Теорема 5 При любом вещественном к ф ±1 и любом заданном угле а Є (0,7г) U (7г, 2тт) в задаче Штурма-Лиувилля (0.14)7 (0.15) существует единственное собственное число Аі=—іі\ с корнем ji\ Є (0,1).
Для получения следующей оценки ряда Фурье (0.17) в норме L*(R2) для случая р > 2 используем неравенство из утверждения теоремы Пэли [4] гР-Ур\\ г?\\Р LP(R2;E2) ^ &ІФСрМо \\F\\lp{№№) ' (-23) которое справедливо при 2 < р < 2/(1 — i±\). Меняя представление для R\ на представление вида R^S-Js'm+lf^ds-r-Is"+lh{s)ds и рассуждая по аналогии со случаем 2
Таким образом, доказана следующая
Лемма 1 Пусть выполнено условие (0.22) и р > 2, р ф 2/(1 — ц^), к = 1,...,М, М ^ 1. Если F еС (R2]R2), то решение и Є ЬЦШ?) задачи (0.1), (0.2) в обобщенной постановке (0.6) с условием и(0) = О удовлетворяет неравенству с постоянной С > 0, зависящей только от р, к и корней Ц}~.
В условиях леммы 1 вывод Z/p-оценок первых производных опирается на соответствующие оценки для частного случая задачи (0.1)-(0.2), когда имеются только две подобласти
П± = R2_ = {х = (хъ х2) ЄІ2: х2 < 0} 02 = Ш2+ = {х = {хъ х2) Є Ж2 : х2 > 0} , т. е. линия разрыва коэффициентов Г = {х Є М2 : х2 = 0}, причем матрица А имеет вид А, . ( Е, х Є Пі, с вещественным X.
С помощью локализации по полярному углу (р доказывается следующая лемма об априорных оценках первых производных обобщенного решения задачи (0.1), (0.2).
Лемма 2 В предположениях леммы 1 решение и Є Ll(R2) задачи (0.1), (0.2) в обобщенной постановке (0.6) с условием и(0) = 0 удовлетворяет неравенству
I VwILp(R2;R2) < Ci||-F|Up(R2;R2) _j_ Q2 LP(R2;R2) с постоянными Сі > 0 и Сч > 0, зависящими только от р, х и корней цк, к = 1,...,М.
С помощью теоремы 1 и лемм 1, 2 устанавливается справедливость следующей теоремы.
Теорема 6 Пусть 1<р<ооир^ 2/(1 ± цк), к = 1,..., М, М ^ 1. Тогда для любого FeLp{E?-^?) существует обобщенное решение иЄЬ^Ж2) задачи (0.1); (0.2). Это решение единственно с точностью до аддитивной постоянной и удовлетворяет неравенству \№u\\lp(R*;W) < C\\F\\bpmW) с постоянной С > 0, зависящей только от р, н и корней i±k .
Отметим, что единственность в теореме 6 устанавливается сначала для р > 2 с помощью метода Фурье. Вытекающая из лемм 1, 2 оценка теоремы 6 означает замкнутость области значений соответствующего эллиптического оператора при р > 2, р ф 2/(1 — \х\). Однозначная разрешимость при р < 2 устанавливается с помощью двойственности, т. е. с помощью теоремы 1.
В третьей главе диссертации вычисляются размерности ядра и коядра эллиптического оператора (0.11) с кусочно-скалярной матрицей, т. е. в предположении, что кусочно-постоянные коэффициенты имеют вид -<4|п,- = щЕ, г = 1,...,/. В случае компактных линий разрыва в Ш2 для простоты ограничимся случаем, когда все особые точки конечные, т. е. некоторая окрестность бесконечности не содержит разрывов коэффициентов. Случай некомпактных (т.е. неограниченных) линий разрыва коэффициентов в Ш2 осложняется эффектом взаимодействия бесконечной и конечных особых точек. Также рассматривается случай краевой задачи Дирихле для ограниченной области Г2, представляющей собой многоугольник, когда имеются как внутренние, так и граничные особые точки.
При вычислении размерностей ядра и коядра неизбежно возникает вопрос о геометрической кратности собственных чисел соответствующих задач Штурма-Лиувилля. Нетрудно убедиться, что геометрическая кратность собственных чисел в рассматриваемых задачах Штурма-Лиувилля не превосходит алгебраической кратности. Отметим, что в рассматриваемых в диссертации модельных задачах Штурма-Лиувилля геометрическая кратность любого собственного числа равна единице. В общем случае, когда в особую точку входит произвольное конечное число линий разрыва коэффициентов, вопрос о геометрической кратности собственных чисел остается открытым. Теоремы о размерностях ядра и коядра можно сформулировать и для общего случая, когда геометрические кратности каких-либо собственных чисел отличны от единицы, если таковые имеются. Однако, нам пока не удалось построить ни одного примера особой точки с геометрической кратностью собственных чисел, отличной от единицы. Поэтому, формулируя теоремы о размерностях ядра и коядра, мы ограничились особыми точками, для которых все собственные числа Л = —ц2 с /і Є (0,1) имеют геометрическую кратность равную единице.
Пусть имеется п конечных особых точек, которым соответствуют корни /і Є (0,1). Каждой j-ои особой точке соответствует число Nj корней /л Є (0,1), j = 1,...,п с кратностью равной единице. Установлено, что Nj ^ 3 при 3 ^ т ^ 8, т. е. число корней ц Є (0,1), соответствующее одной особой точке не превосходит трех в случае пересечения в особой точке не более восьми лучей линий разрыва коэффициентов. Пусть
М = Yl Nj, занумеровав в возрастающем порядке все различные имею- i=i щиеся корни /j, Є (0,1), будем иметь набор {vk}kLi упорядоченных корней / < ftk+i- Таким образом, предполагается существование п конечных особых точек, которым соответствует п задач Штурма-Лиувилля, причем различным особым точкам может соответствовать одна и та же задача Штурма-Лиувилля.
Будем говорить, что корень /j,k Є (0,1) имеет кратность рь ^ 1, если он соответствует различным особым точкам, общее число которых равно рк-В случае pk = 1 корень ц/. будем называть простым.
Ради удобства записи в следующей теореме расширим набор {а^}^1' формально полагая, что fiM+1 = 1 и 2/(1 — fiM+1) = со. Подчеркнем при этом, что вопрос о фактическом существовании или несуществовании корня /і = 1 не представляет здесь никакого интереса.
Теорема 7 Пусть имеется п конечных особых точек, пусть все щ одного знака, г = 1,...,/; и 1 < р < со. Тогда если 2/(1 + /іі) < р < 2/(1 — ці), то dimJ\fp(L) = codimTZp(L) = 0;
I если 2/(1 + fjLi+i) < p < 2/(1 + m), mo d\mJ\fp{L) = J2 Pk, k=l codim??,p(L) = 0; если 2/(1 - iii)
Случай, когда среди особых точек есть как конечные, так и бесконечная, значительно сложнее случая, когда все особые точки конечные. Это связано с эффектом взаимодействия бесконечной и конечных особых точек, причем наличие кратности соответствующих корней Цк для конечных особых точек значительно усложняет такой эффект. Чтобы убедиться в наличии эффекта взаимодействия особых точек, достаточно рассмотреть пример с одной конечной и одной бесконечной особыми точками, которым соответствует один и тот же простой корень /і Є (0,1). А именно, рассмотрим случай ломаной линии разрыва коэффициентов, состоящей из двух
Лучей if = tpj Є [0, 2ТГ], j = 1,2, ifi ф <р2: (pi - ср2 ф ±тг, кг = К ф 1, >с > 0, Х2 = 1. В этом случае для всякого F Є LP(M?; R2) существует единственное обобщенное решение г* Є Lp(M?) задачи (0.1)-(0.3) с показателем 1<р<оожрф 2/(1 ± ц).
Сглаживание конечной угловой точки линии разрыва коэффициентов приводит к потере разрешимости в классе Lp(M?) при 1 < р < 2/(1 + ^) и потере единственности обобщенного решения в классе Lp(M?) при 2/(1 — ц) < р < оо. Точнее, справедлива следующая
Теорема 8 Пусть имеется одна бесконечная особая точка, и пусть 1 < р < оо ирф 2/(1 ± jll). Тогда если 2/(1 + fi) < р < 2/(1 — fi), то dimJ\fp(L) — codim7p(L) — 0; если 2/(1 — р) < р < оо; то dim. J\fp{L) = 1, codim7?.p(L) = 0; если 1 < р < 2/(1 + fi), то dimN'p(L) = 0, codimlZp(L) = 1.
Таким образом, добавление конечной особой точки к имеющейся бесконечной особой точке уменьшает вклад бесконечной особой точки в размерности ядра и коядра. Если все особые точки конечные, то добавление еще одной конечной особой точки увеличивает размерность ядра и коядра.
Теперь рассмотрим случай, когда область Q представляет собой многоугольник и имеет внутренние особые точки и граничные особые точки, т.е. точки, в которых пересекаются т линий разрыва коэффициентов, угловые точки без разрыва (т.е. вершины многоугольника Q с углами а > 7г), а также угловые точки с разрывами (т.е. вершины многоугольника Г2 с входящими в них линиями разрыва коэффициентов). Отметим, что а = 7г соответствует граничной особой точке в случае, когда точка гладкости dQ является точкой разрыва коэффициентов. Пусть имеется п конечных особых точек, которым соответствуют корни /і Є (0,1). Каждой j-ой особой точке соответствует число Nj корней ц Є (0,1), j = 1,..., п. Общее число М различных корней ц Є (0,1) может принимать значение от 1 до ^ А^-, в зависимости от параметров имеющихся особых точек. Занумеро-вав в возрастающем порядке все различные имеющиеся корни (і (О,1) будем ИМеТЬ Набор {llk}kLl уПОрЯДОЧенНЫХ КОрнеЙ / < №к+1-
Теорема 9 Пусть имеется п конечных особых точек (граничные особые точки и внутренние особые точки многоугольника 1), 1 < р < со и пусть все щ одного знака, і = 1,..., /. Тогда если 2/(1 + ii{) < р < 2/(1 — ці), то dimJ\fp(L) = codim7p(L) = 0; і если 2/(1 + fii+i) < р < 2/(1 + т), то d\mMp{L) = Yl Vk, k=i codimTlp(L) = 0; если 2/(1 — fii) < p < 2/(1 — fii+i), mo dimJ\fp(L) = 0; і codimT^(L) = j%; k=\ если p = 2/(1 + iii) и p = 2/(1 — m), 1 < I < M, mo dmiNp(L) = 0, codim7p(L) — со; і если p — 2/(1 + fii+i), 1 = I ^ M — 1, mo dimA/^(L) = ]T) pk) codimT^p(Z) = со.
Краткий обзор Lp -теории эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами
Пусть 1 р ооир 2/(1 ± цк), к = 1,..., М, М 1. Тогда для любого FELP{E?- ) существует обобщенное решение иЄЬ Ж2) задачи (0.1); (0.2). Это решение единственно с точностью до аддитивной постоянной и удовлетворяет неравенству с постоянной С 0, зависящей только от р, н и корней i±k .
Отметим, что единственность в теореме 6 устанавливается сначала для р 2 с помощью метода Фурье. Вытекающая из лемм 1, 2 оценка теоремы 6 означает замкнутость области значений соответствующего эллиптического оператора при р 2, р ф 2/(1 — \х\). Однозначная разрешимость при р 2 устанавливается с помощью двойственности, т. е. с помощью теоремы 1
В третьей главе диссертации вычисляются размерности ядра и коядра эллиптического оператора (0.11) с кусочно-скалярной матрицей, т. е. в предположении, что кусочно-постоянные коэффициенты имеют вид - 4п,- = щЕ, г = 1,...,/. В случае компактных линий разрыва в Ш2 для простоты ограничимся случаем, когда все особые точки конечные, т. е. некоторая окрестность бесконечности не содержит разрывов коэффициентов. Случай некомпактных (т.е. неограниченных) линий разрыва коэффициентов в Ш2 осложняется эффектом взаимодействия бесконечной и конечных особых точек. Также рассматривается случай краевой задачи Дирихле для ограниченной области Г2, представляющей собой многоугольник, когда имеются как внутренние, так и граничные особые точки.
При вычислении размерностей ядра и коядра неизбежно возникает вопрос о геометрической кратности собственных чисел соответствующих задач Штурма-Лиувилля. Нетрудно убедиться, что геометрическая кратность собственных чисел в рассматриваемых задачах Штурма-Лиувилля не превосходит алгебраической кратности. Отметим, что в рассматриваемых в диссертации модельных задачах Штурма-Лиувилля геометрическая кратность любого собственного числа равна единице. В общем случае, когда в особую точку входит произвольное конечное число линий разрыва коэффициентов, вопрос о геометрической кратности собственных чисел остается открытым. Теоремы о размерностях ядра и коядра можно сформулировать и для общего случая, когда геометрические кратности каких-либо собственных чисел отличны от единицы, если таковые имеются. Однако, нам пока не удалось построить ни одного примера особой точки с геометрической кратностью собственных чисел, отличной от единицы. Поэтому, формулируя теоремы о размерностях ядра и коядра, мы ограничились особыми точками, для которых все собственные числа Л = —ц2 с /І Є (0,1) имеют геометрическую кратность равную единице.
Пусть имеется п конечных особых точек, которым соответствуют корни /і Є (0,1). Каждой j-ои особой точке соответствует число Nj корней /л Є (0,1), j = 1,...,п с кратностью равной единице. Установлено, что Nj 3 при 3 т 8, т. е. число корней ц Є (0,1), соответствующее одной особой точке не превосходит трех в случае пересечения в особой точке не более восьми лучей линий разрыва коэффициентов. Пусть М = Yl Nj, занумеровав в возрастающем порядке все различные имею i=i щиеся корни /J, Є (0,1), будем иметь набор {vk}kLi упорядоченных корней / ftk+i- Таким образом, предполагается существование п конечных особых точек, которым соответствует п задач Штурма-Лиувилля, причем различным особым точкам может соответствовать одна и та же задача Штурма-Лиувилля.
Будем говорить, что корень /j,k Є (0,1) имеет кратность рь 1, если он соответствует различным особым точкам, общее число которых равно рк-В случае pk = 1 корень ц/. будем называть простым. Ради удобства записи в следующей теореме расширим набор {А } 1 формально полагая, что fiM+1 = 1 и 2/(1 — fiM+1) = со. Подчеркнем при этом, что вопрос о фактическом существовании или несуществовании корня /І = 1 не представляет здесь никакого интереса. Теорема 7 Пусть имеется п конечных особых точек, пусть все щ одного знака, г = 1,...,/; и 1 р со. Тогда если 2/(1 + /ІІ) р 2/(1 — ці), то dimJ\fp(L) = codimTZp(L) = 0; Случай, когда среди особых точек есть как конечные, так и бесконечная, значительно сложнее случая, когда все особые точки конечные. Это связано с эффектом взаимодействия бесконечной и конечных особых точек, причем наличие кратности соответствующих корней Цк для конечных особых точек значительно усложняет такой эффект. Чтобы убедиться в наличии эффекта взаимодействия особых точек, достаточно рассмотреть пример с одной конечной и одной бесконечной особыми точками, которым соответствует один и тот же простой корень /І Є (0,1). А именно, рассмотрим случай ломаной линии разрыва коэффициентов, состоящей из двух Лучей if = tpj Є [0, 2ТГ], j = 1,2, ifi ф р2: (pi - ср2 ф ±тг, кг = К ф 1, с 0, Х2 = 1. В этом случае для всякого F Є LP(M?; R2) существует единственное обобщенное решение г Є Lp(M?) задачи (0.1)-(0.3) с показателем 1 р оожрф 2/(1 ± ц). Сглаживание конечной угловой точки линии разрыва коэффициентов приводит к потере разрешимости в классе Lp(M?) при 1 р 2/(1 + ) и потере единственности обобщенного решения в классе Lp(M?) при 2/(1 — ц) р оо. Точнее, справедлива следующая Теорема 8 Пусть имеется одна бесконечная особая точка, и пусть 1 р оо ирф 2/(1 ± JLL). Тогда если 2/(1 + fi) р 2/(1 — fi), то dimJ\fp(L) — codim7p(L) — 0; если 2/(1 — р) р оо; то dim. J\fp{L) = 1, codim7?.p(L) = 0; если 1 р 2/(1 + fi), то dimN p(L) = 0, codimlZp(L) = 1. Таким образом, добавление конечной особой точки к имеющейся бесконечной особой точке уменьшает вклад бесконечной особой точки в размерности ядра и коядра. Если все особые точки конечные, то добавление еще одной конечной особой точки увеличивает размерность ядра и коядра. Теперь рассмотрим случай, когда область Q представляет собой многоугольник и имеет внутренние особые точки и граничные особые точки, т.е. точки, в которых пересекаются т линий разрыва коэффициентов, угловые точки без разрыва (т.е. вершины многоугольника Q с углами а 7г), а также угловые точки с разрывами (т.е. вершины многоугольника Г2 с входящими в них линиями разрыва коэффициентов). Отметим, что а = 7г соответствует граничной особой точке в случае, когда точка гладкости dQ является точкой разрыва коэффициентов. Пусть имеется п конечных особых точек, которым соответствуют корни /і Є (0,1). Каждой j-ой особой точке соответствует число Nj корней ц Є (0,1), j = 1,..., п. Общее число М различных корней ц Є (0,1) может принимать значение от 1 до п А -, в зависимости от параметров имеющихся особых точек. Занумеро-вав в возрастающем порядке все различные имеющиеся корни (і (О,1) будем ИМеТЬ Набор {llk}kLl уПОрЯДОЧенНЫХ КОрнеЙ / №к+1 Теорема 9 Пусть имеется п конечных особых точек (граничные особые точки и внутренние особые точки многоугольника 1), 1 р со и пусть все щ одного знака, і = 1,..., /.
Lp-теория эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами как проблема Lp - разложения Ходжа
Для эллиптического уравнения в дивергентной форме с разрывными кусочно-постоянными коэффициентами и с дивергентной правой частью в диссертации рассматриваются две обобщенные постановки в классе с первыми производными из Lp, а именно: задача для всей плоскости Q = R2 и краевая задача Дирихле для ограниченного многоугольника ficl2. Сначала сформулируем обобщенную постановку для случая Q = R2, т.е. для эллиптического уравнения в дивергентной форме с вещественной симметричной кусочно-постоянной матрицей А = А{х) — {Aij(x)}fj=1. Предполагается, что линии разрыва {Г;}! коэффициентов {A{j} являются кусочно непрерывно дифференцируемыми кривыми, которые делят плоскость па подобласти { }1, Подобласти { }4 и кривые {ГІ} могут оказаться неограниченными. На каждой линии разрыва коэффициентов задаются обычные условия сопряжения, т. е. условия непрерывности решения и и его конормалыюй производной по направлению vA = Аи, где v и vA — единичная нормаль и конормаль к кривой Г соответственно. А именно, где Гг и Гг- — разные стороны кривой Г;, прилежащие к смежным подобластям { г} 1- Под единственностью решения задачи (1.8)-(1.9) обычно подразумевается единственность с точностью до аддитивной постоянной, т. е. единственность градиента решения \7и. При этом, не ограничивая общности, тривиальным будем называть решение с нулевым градиентом. Чтобы эта аддитивная постоянная не мешала при выводе локальных р-оцеиок, ее удобно определить, например, с помощью дополнительного условия где шСІ2- какая-либо наперед заданная фиксированная ограниченная область.
Решение ищется в пространстве Соболева где ограниченную область со удобно связать с условием (1.10). Очевидно, что Lp(R2) — банахово пространство. Нетрудно убедиться, что норма (1.11) на подпространстве, выделенном условием (1.10), эквивалентна норме VwLp(R2.E2), при этом llVulli . ) MLi(R2) CoHVull . ) (1.12) с постоянной Со 0, зависящей только от выбранной фиксированной ограниченной области си. Здесь и всюду в дальнейшем через Lp(R2;IR2) обозначено Lp-пространство Лебега векторных полей v : М2 —у Ж2. Уравнение (1.8) рассматривается в обобщенной постановке в классе и Є Lp(R2), при р Є (1,оо) с заданной вектор-функцией F Є LP(R2;1R2) в смысле интегрального тождества f {AVu, W) dx= f (F, Уф) dx \/фєС (R2). (1.13) Точки излома кусочно-гладких линий разрыва коэффициентов и их пересечения между собой будут, вообще говоря, особыми точками рассматриваемых обобщенных решений. Такие особые точки условимся называть конечными. Множество всех особых точек предполагается конечным. Особенность обобщенного решения в окрестности бесконечности, связанную с уходящими на бесконечность гладкими кусками линий разрыва коэффициентов, условимся называть бесконечной особой точкой. Для уходящего на бесконечность гладкого куска линий разрыва коэффициентов предполагается существование касательной на бесконечности. В таком случае, конечная и бесконечная особые точки могут оказаться угловыми точками или узлами, в которых пересекаются гладкие куски {Г;} линий разрыва коэффициентов. Будем считать, что каждая особая точка, включая бесконечную, имеет некоторую окрестность со своим набором гладких кусков {Гг}, которые являются отрезками прямых, полубесконечными в случае бесконечной особой точки. Теперь сформулируем обобщенную постановку задачи Дирихле для ограниченного многоугольника Q, С М2, т.е. для краевой задачи Г div (AVu) = div F(x), x Є fi , с вещественной симметричной кусочно-постоянной матрицей А = А{х) = {Aij(x)}?j=1. Предполагается, что линии разрыва {I } коэффициентов {Aij} являются кусочно непрерывно дифференцируемыми кривыми, которые делят плоскость на подобласти (} 1. Подобласти (}1 и кривые {Гг} ! ограниченны. На каждой линии разрыва коэффициентов задаются обычные условия сопряжения (1.9). о Через Wp (О,) обозначим замыкание в пространстве Соболева Wp(Q) о его подпространства С (Q) с нормой Краевая задача Дирихле (1.14), (1.9) рассматривается в обобщенной по о становке в классе и Є Wp (Г2), при р Є (1, со) с заданной вектор-функцией F Є LP(Q; К2) в смысле интегрального тождества Точки негладкости кривых {Гг} и их пересечения между собой будут особыми точками рассматриваемых обобщенных решений. Особые точки, в этом случае, делятся на граничные особые точки и внутренние особые точки. Под внутренними особыми точками будем подразумевать точки, в которых пересекаются т 2 линий разрыва коэффициентов — при этом случай т = 2 соответствует точке излома кусочно-гладкой линии разрыва коэффициентов. Под граничной особой точкой будем подразумевать вершину многоугольника Q, с углом а 7г, являющуюся точкой непрерывности коэффициентов, а также любую точку границы dfl с углом а Є (О, 2тг), не являющуюся точкой непрерывности коэффициентов. В случае гладких непересекающихся линий разрыва коэффициентов рассматриваемая задача исследовалась Е.М. Ильиным в [5, 6] в ограниченной плоской области при р = 2 в классе решений с односторонней гладкостью W22. В случае гладких линий разрыва коэффициентов матрицы А{ = А\ произвольные вещественные симметричные постоянные. При разной знакоопределенности матриц АІ требуется еще выполнение дополнительного условия inf detAi — det l Ф О, где нижняя грань берется по множе т ству (J ГУ Но размерности ядра и коядра будут нулевыми во всей шкале г=1 значений показателя рЄ(1,оо), независимо от знакоопределенности матриц.
Метод Фурье для модельных задач
В случае, когда при г = р уже установлена разрешимость, то при г = р = р/{р— 1) единственность решения вытекает из следующей теоремы.
Теорема 11 Пусть р Є (1,оо). Если при любых F єС (R2;R2) задача (1.8)-(1.10) имеет решение и Є ЬЦМ?) с показателем г = р, то для сопряженного показателя г = р решение задачи (1.8)-(1.10) в классе и Є L (R2) будет единственным.
Доказательство. Достаточно заметить, что из разрешимости задачи (1.8)-(1.10) в классе и Є (R2) при любых заданных F еС (К2; Е2) в силу (1.30) следует тривиальность пересечения J 2)nGp,(E2)={0}, т.е. тривиальность ядра Afp (L ) оператора L : Jp(M?) х Gy (R2)- Z R R2). Теорема 11 доказана. Доказательство следующей леммы представляет собой несложное упражнение по функциональному анализу и приводится здесь ради полноты изложения. Лемма 4 Если X, Y — замкнутые подпространства рефлексивного банахова пространства В, то подпространство X-j-Y замкнуто в В тогда и только тогда, когда подпространство Xі- + Y1- замкнуто в банаховом пространстве В , сопряоюенном к В. Доказательство. Лемма будет доказана, если установить, что из замкнутости в В подпространства X -f Y следует замкнутость в В подпространства Х± + УХ. Таким образом, пусть подпространство X + Y замкнуто в В. Для доказательства замкнутости в В подпространства X +Y1- достаточно установить замкнутость в фактор-пространстве В /{XА- П Y1-) подпространства Xі -{-Y-1 /(Х-1 DY-1), а для этого в свою очередь достаточно доказать неравенство І Х С + УХ (1.42) для всех х Є XL/ (Х-1 П Y-1), у Є Y±/(X± П Y-1) с постоянной С О, не зависящей от элементов х , у . Заметим, что для рефлексивного банахова пространства В с точностью до изометрического изоморфизма справедливо равенство (В /{XА- П У"1)) =х {XА- П УХ) --1 ((X + У)-1) =Х+У=Х+У — точную формулировку см. в [17] (теорема 4.9 на стр. 110). Поэтому в силу рефлексивности В для каждого х Є B /{X±DY±) найдется элемент z Є X + У с нормой Н Цв = 1 такой, что А так как, согласно предположению, подпространство X + Y замкнуто в В, по теореме Банаха об открытом отображении найдется постоянная 7 0 такая, что любой элемент z Є В представим в виде z = x-{-y,xEX,yEY с оценкой \\Х\\В/ІХ±ПУ + IMLx-LnW-) ИЖ + 2/Ив/(хХп ) С1 44) Поскольку (ж, ж ) = (?/, / ) = 0 для всех х Є X, х Є Х-1 и для всех т/ Є У, у Є У"1, то представив элемент z Є В из (1.43) в виде z — х + у с элементами ж Є -X", у Є У, удовлетворяющими неравенству (1.44), получим IHU( nW-) = ( + 2Л » ) = У, = (У, х + у ) = TlkL/ nnlk + у \\в-/1Х±пу±) = тії + у \\в пх у откуда сразу же следует оценка (1.3) с постоянной С = j, не зависящей от элементов х , у . Лемма 4 доказана. Теорема 12 Пусть р є (1,оо). Область значений 1ZP{L) линейного непрерывного оператора (1.29) замкнута, т.е. 7ZP{L) = TZP{L), тогда и только тогда, когда замкнута область значений сопряэюенного оператора, т.е. IZp (L) = TZp (L) с сопряженным показателем р = р/(р — 1). Доказательство. Так как 7ZP(L) = JP(M2) П Gp(M?), то утверждение теоремы 12 очевидным образом вытекает из леммы 4 и соотношений (1.22). Теорема 12 доказана. В случае краевой задачи Дирихле для ограниченного многоугольника Г2 С М2 обобщенная постановка задачи (1.14), (1.9) также оказывается эквивалентной проблеме Lp -разложения Ходжа для пространства LP(Q,, R2). Для простоты ограничимся случаем одпосвязной Q — в этом случае упро о о щаются определения пространств Gp (2) и JP(Q). А именно, через Gp (Q) обозначим замыкание в LP(Q,] Ш2) его подпространства И пусть Jp(M2) — замыкание в LP(Q;M2) подпространства J (R2)\Q суже о ний на О, вектор-функций из J (К2). Хорошо известно (см., например, [12]), что для ограниченного многоугольника Q С М2 с липшицевой границей Кроме того, задача (1.14), (1.9) в обобщенной постановке (1.16) эквивалентна постановке [ {А7и,Щ)(1х = А(ф) \/фєС(ІЇ) (1.46) n с линейным функционалом Л, допускающим оценку \А(Ф)\ С\\ф\\ ЧфеС(П) (1.47) р с некоторой постоянной, не зависящей от ф, например, с нормой функционала С = Лр, которая определяется как наилучшая постоянная в (1.47). В случае задачи Дирихле утверждение следующей леммы очевидно. Лемма 5 Пусть р Є (1, оо). Задача (1.14), (1.9) в обобщенной постанов о ке (1.16) однозначно разрешима в классе и(Е W (Q) с оценкой.
Эффект взаимодействия бесконечной и конечных особых точек BR2
В этом разделе изучаются модельные задачи Штурма-Лиувилля, возникающие при разделении переменных. Устанавливается существование собственных чисел А = —д2 с корнями (і Е (0,1). Существование таких корней ц. Є (0,1) строго доказывается в этом разделе для случая точки излома линии разрыва коэффициентов и для точек пересечения линии разрыва коэффициентов с гладкой границей и с угловой точкой границы. В общем случае, когда в особой точке пересекается несколько линий разрыва коэффициентов, существование корней /J, Є (0,1) подтверждается многочисленными примерами, построенными с помощью вычислений на Maple 11. Вычисления на Maple 11 показывают, что во всех рассматриваемых ниже случаях корни ц Є (0,1) существуют, но при этом их число в разных случаях будет разным. Любопытно однако, что число корней /І Є (0,1) в любом из приведенных ниже случаев не превосходит трех. Результаты вычислений представлены в восьми таблицах. Результаты вычисления корней /і Є (О,1), приведенные в табл. 4-8, имеют важное прикладное значение в вопросах теплопроводности и упругости многокомпонентных неоднородных материалов. Эти результаты имеют также важное значение и для развития Lp-теории эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами. В частности, они могут быть использованы для построения примеров и контрпримеров, способствующих развитию и углублению теории Lp-разложений Ходжа [26].
Начнем со случая, когда линия разрыва коэффициентов Г имеет излом, а именно, состоит из двух лучей исходящих из начала координат и образующих угол а (0, 2тт).
Обоснование метода Фурье в классе решений Ьр(Ш2) опирается на теорему Пэли об Lp -оценках рядов Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля где без ограничения общности предполагается, что «Ї = ЛҐ=1ИХ2 = 1. Отметим, что Де предопределена рассматриваемой обобщенной постановкой задачи для эллиптического оператора с разрывными коэффициентами. В этой постановке неявно содержится условие непрерывности производной решения по конормали иА — АР к линии разрыва коэффициентов. Область определения (а — 2л", а) выбрана исключительно по соображениям простоты записи решения задачи Штурма-Лиувилля, что совершенно безразлично с точки зрения обоснования метода разделения переменных. Самосопряженность оператора L значительно облегчает обоснование метода разделения переменных. Очевидно, оператор L будет самосопря d2 женным, если только DL = DL, ЧТО невозможно в случае, когда L = -— : dip1 d2 DL С Ьг(0, 27г) — (0, 2ж). Самосопряженным оператор L = —г будет, dipz если его рассматривать как L : DL С Щ ісх. — 2-к, а) — L% (a — 2тг,а), где Щ - весовое пространство квадратично суммируемых на (о; — 27Г, о;) функций с весом, равным единице на (а — 27г, 0) и с постоянным весом x на (0,а). Очевидно, что при х О пространство L 3 со скалярным произведением будет гильбертовым, а при х 0 — пространством с индефинитной метрикой. Существенно, что для задачи (1.8)-(1.10) определение оператора L = -j—$ как L : DL С L ia — 27г, a) —У L ipx — 27Г, а) не мешает разде . dip2 лению переменных в полярных координатах (r,ip). Ниже, в замечании 6, упомянут гипотетический вариант другого определения оператора L как самосопряженного. С точки зрения одной лишь задачи Штурма-Лиувилля такой гипотетический вариант будет эквивалентен определению (2.7), (2.8). Вариант определения из замечания 6 не исключает даже значений х 0, но препятствует разделению переменных г и ip в задаче (1.8)-(1.10) при любых х ±1. Лемма 6 Оператор L = -j— : DL С Ь а — 27г, а) — L a. — 27г, а) — dip самосопряженный. Доказательство. Поскольку область определения сопряженного оператора DL = {v Є L2(a - 2ir, a) : З/ Є L2 : (Lu, v)x = (и, f)x У и Є DL}, то выбирая пробные функции с suppw Є (а — 27Г, 0), получим тождество о J u"v dip = I ufdip У и ЄС (а - 2тг, 0), а—2тг GL—I-K которое означает существование второй обобщенной производной v" = f Є L2(cx — 27Г, 0). И аналогично, выбирая пробные функции с suppw Є (0, а), получим тождество а а х u"v dip = х uf dip WueC (0,а), о о которое означает существование второй обобщенной производной v" = f Є 2(0, а). Таким образом, сужения функции v Є W icx — 2ж, 0) и v Є ТУ22(0,а). Поэтому, интегрируя по частям в тождестве (Lu,v)x= (м,/)х VueDL получаем тождество (г г — гш ) а_27Г + xiu v — uv ) 0 = 0 \/и DL -А это означает, что для всех v Є DL выполнены условия сопряжения: Г v(+0) - «(-0), Г W(+0) - t/(-0), \ и(а - 0) = г (а - 2тт), \ W(a - 0) = v (a - 2тг), и следовательно область определения DL =DL- В таком случае оператор : DL С Ц {а - 2тг, а) - 1%х{а. - 2тг, а) (2.10) - d2 dip будет самосопряженным. Лемма доказана. Следствие 1 В весовом пространстве L ipt — 27г, а) сх 0 существует ортогональный базис из собственных функций оператора (2.10). Доказательство. Нетрудно убедиться, что область значений пространства (2.10) образует замкнутое подпространство в L ia. — 2ж,а). Ввиду компактности вложения W ot — 2тг,а) —»L ipc — 2тт, а), собственные числа оператора L являются изолированными точками вещественной оси. Поэтому найдется такое вещественное число Л, что ядро Af(L — XI) = {0} и 7Z(L — XI) = L ipt — 2тг, а). А тогда существует обратный оператор T=(L- XI)-1 : L% x(a - 2тг, а) - DL С 1% ( х - 2тг, а) (2.11) и имеет место оценка \\Tu\\W2(a_2Tr$) + Ги 2(0)а) C«La. (a_2ff a) с некоторой постоянной С 0, зависящей только от чисел а и с. Из компактности вложения W2(a—27r, a) C-J - L (а—2-, а) следует, что обратный оператор (2.11) будет вполне непрерывным. Из самосопряженности L = L следует самосопряженность Т = Т. Поэтому по теореме Гильберта в весовом гильбертовом пространстве Щ ісх. — 27г, а) существует ортогональный базис из собственных функций вполне непрерывного самосопряженного оператора Т. Следствие доказано. Замечание 6 В задаче Штурма-Лиувилля (2.7), (2.8) вместо оператора (2.10) можно было бы взять оператор Ь:ИьС1 2(сх—27г,а)— Ь2(сх—27г,а), действующий по правилу (и"(ср), а- 27Г р О, Ьи — .. [ си {(р), 0 р а , с той же самой областью определения DL, НО рассматриваемой как подпространство в Ьг(а — 27г, а) без веса. Нетрудно убедиться, что определенный таким образом оператор L тоже самосопряженный и в L,2(cv — 2-7Г, а) без веса существует ортогональный базис из его собственных функций даоюе при к 0. Однако с таким оператором L переменные в полярных координатах (г,(р) в задаче (1.8)-(1.10) не разделяются.
