Введение к работе
Актуальность теми. Лшзйіша эллиптические уравнения и системи с непрерывными коэффициентами подробно изучены в раСотах Г.Лиро, Ю.Шаудера, К.О.Фридрихоа, Г.Бопля, С.Г.Михлина, М.И.Випика, О.А. Ладыяонскоп, С.Агмона, А.Дзглиеа, Л.Ниренберга, В.А.Солонникова и др. В процессе исследования нелинейных задач возникала необходимость изучения краевых задач и дифференциальных свойств решений линейных уравнений н систем с разрывными коэффициентами. Анализу этих вопросов для случал двух независимых переменных поезящэны работы С.В.Морри, Л.Борса, Л.Ниренберга, И.Н.Векуа, Ы.А.Даврен-тьева, Б.В.Боярского и др. Их довольно содержательные результаты получены с помощью теории квазиконформных отображений, и теории обобщенных аналитических функций. Основы теории обобщенных аналитических функций были заложены И.Н.Векуа в 1952 г. Несколько другой подход к теории обобщенных аналитических функции представлен в работах Л.Борса. Теория обобщенных аналитических функции имеет глубокие связи со ьзюгими разделами анализа, геометрии и механики* Аналитический аппарат этой теории позволил значительно расширять и углубить исследования геометрических и механических задач, возникавших при изучении бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны и состояния бсэмоментного напряженного раз— повесил выпуклых оболочек. Теория обобщенных аналитических функции получила дальнейшее развитие и напла многочисленные приложения я работах И.Н.Векуа, Б.Боярского, B.C.Виноградова, И.И.Данилкжа, А.Дзураева, Н.К.Блнева и др. С точки зрения приложения (теории босхоночно малых изгибании поверхностей положительной кривизны с точкой уплощения, квазиконформных отображений, безмоментная теория оболочек, ососиммотрическая теория упругости, гндро и газодинамики, квантовая механика и т.д.) представляет большой интерес исследования эллиптических систем на плоскости, когда коэффициенты имеет особенности п отдельных точках или на целых линиях. Таким системам уравнений посвящены ряд работ А.В.Бицадзе, А.И.Янупаускаса, Л.Г.Михайлова, З.Д.Усманова, С.А.Терсенова, Н.Радгабова и их учеников. В частности, в теории бесконечно малых изгибании поверхностей положительной кривизны с точкой уплоцения возникает необходимость доказательства существования и изучения сэойстз непрерывных ресений оллиптических систем на плоскости с сингулярными коо-ффициентами.
Целью работы являются построение аналитического аппарата для изучения непрерывных решений эллиптических систем на ПЛОСКОСТИ с сингулярными коэффициентами и краевых задач для них, исследование вопросов разрешимости,, свойств непрерывных решений указанных систем и краевых задач, применение полученных результатов к изучении задачи бесконечно малых изгибании поверхностей положительной кривизны с точкой уплощения общей структуры»
Методика исследования. Б диссертации используются методы теории интегральных уравнений, функционального анализа и теории функций комплексного переменного.
Научная новизна. Б диссертации получены следующие основные результаты:
1о Построены в явном виде многообразия непрерывных решений уравнения Карлемана-Векуа с сингулярной точкой.
2„ Репена в классе непрерывных функций задача Римана-Гильберта с начальным условием для уравнения Карлемана-Векуа с сингулярной точкой.
-
Подучены достаточные условия существования непрерывных по Гельдеру решений эллиптических систем на плоскости с сингулярными точками к задачи Ришна-Глльберта для них.
-
Построены непрерывные в области с разрезом решения уравнения Карлемана-Векуа с сингулярной точкой через заданные голоморфные функций.
-
Получены достаточные условия существования непрерывных ре-пений уравнения Карлемана-Векуа с сингулярной точкой через заданные голоморфные функций и при выполнении этих условий построены указанные решения,
б» Получены интегральные представления непрерывных по Гельдеру решений эллиптичеекмх систем на плоскости с сингулярными коэффициентами.
7- Построена теория непрерывных решений модельной системы эллиптических уравнений на плоскости с сингулярной точкой. В частности „ получены обобщенные формулы Коши, аналоги формулы Сохоцкого--Племеля, разложения решений в ряды Тейлора и Лорана, доказаны теоремы единственности и Лиувилля, решены задачи сопряжения, Дирихле м построено непрерывное по Гельдеру решение сингулярного интегрального уравнения типа Коши.
8. Построен аналитический аппарат и разработана методика для изучения разрешимости, свойств и построения непрерывных решений
эллиптических систем на плоскости с сингулярными -.очками. Для исследования этих систем введены новые интегральные тераторн, изучены их свойства.
9. Некоторые результаты диссертации применены к рсжению задачи о бесконечно малых изгибаниях поверхностей положительной кривизны с общей структурой в точке уплощения. Выявлено семеРство поверхностей положительной кривизны с общей структурой в точке уплоце-ния, локально жестких в пространстве бесконечно дифференцируемых функций.
Теоретическая и_ практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер, ее- результаты могут служить для дальнейшего развития теории обобщенных эчалитических функции и теории эллиптических систем на плоскости с сингулярными коэффициентами. Методика исследования и результаты работы могут быть использованы для изучения эллиптических систем на плоскости с сингуляртали коэффициентами, в теории бесконечно малых изгибании поверхностей положите-.fa-ной кривизны с точкой уплощения и в теории выпуклых оболочек.
Апробация работа. Результаты диссертации докладывались на сьми-нпрах академиков АН России В.С.Владимирова, В.П.Ильина, члена-корр. АН России А.В.Бицадэе, профессоров В.П.Михайлова, А.К.Гутги-на, А.А.Деэина (МИ РАН), Э.Г.Позняка и доц. И.Х.Сабитова (МГУ), проф. З.Н.Врзгова (НГУ>, ахадеминов АН Республики Таджикетак З.Д. Усманова и Л.Г.Мкхайлова (ИМ с ВЦ.АН Респ. Таджикстанї, академика НАН Республики Казахстан В.И.Амербавва (ИТ и ЛМ КАН Респ. Казахстан), членов-корр. НАН Республики Казахстан Н.К.Блиева, М.О.Отел-басва, Т.Ш.Кальменова и К.А.Касыиова (ИТ и Ш НАН Респ. Казахстан, КаэГУ), профессоров Д.У.Умбетжанова, С.НЛарина (ИТ и Ш НАН Респ. Казахстан), на 8-« к 9-м Республиканских ыеивузосских конференциях по математике и механике (Алматы, 4-26 сент., 1984; 12-15 сент., 1989), на Всоссвэном семинаре по аналитическим методам исследования пллиптических уравнений (5-8 ипяя, 1984, г. Уфа, Уфимский авиац. институт, ИМ СО АН СССР, рук. А.И.Януиаускас), на Всесоизном семинаре молодых ученых "Актуальные вопросы комплексного анализа" (16-23 сент., 1985, г. Ташкент).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора I - 23.
Структура диссертации. Диссертация объемом 201 стр. машинопис-
