Введение к работе
Актуальность темы. Открытое в XVIII веке волновое уравнение является одним из важнейших в математической физике и связано с именами таких ученых, как Д'Аламбер, Эйлер, Д.Бернулли, Лагранж. С его помощью, наряду с механическими колебаниями, могут быть описаны процессы распространения электромагнитных, гравитационных и акустических волн в газах, жидкостях и твердых средах. Вклад в изучение классических решений смешанных или, как их еще называют, начально-краевых задач для волнового уравнения внесли многие известные математики. После выхода в свет работ Н.Винера, К.О.Фридрихса, Н.М.Гюнтера и основополагающей работы С.Л.Соболева1 в первой половине XX в. сформировался интерес к построению обобщенных решений начально-краевых задач. Фундаментальные результаты, касающиеся обобщенных решений смешанных задач для гиперболических уравнений, были получены О.А.Ладыженской2 и В.А.Ильиным3. Начально-краевые задачи играют ключевую роль при изучении задач управления, которые рассматривались А.Г. Бутковским4, Ж.Л.Лионсом5'6, Ф.П.Васильевым7'8 и его учениками.
lSoboleff S. Methode nouvelle a resoudre le probleme de Cauchy pour les equations lineaires hyperboliques normales
// Матем. сб., 1936, 1(43):1, с. 39-72.
2'Ладыженская О.А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. Гос. Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1953.
3Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений // Успехи
математических наук, 1960, т. 15, вып. 2 (92), с. 97 - 154-
4Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука,
1965.
5Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными.
М.: Мир, 1972.
eLions J.L. Exact Controllability, Stabilization and Perturbations for Distributed Systems // SIAM Review. 1988.
Vol. 30. No. 1. pp. 1-68.
7Васильев Ф.П. О двойственности в линейных задчах управления и наблюдения //Дифференциальные уравнения, 1995, т. 31, № 11, с. 1893 - 1900.
^Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М., Разгулин А.В. Приближенное решение двойственных
задач управления и наблюдения. М.: Макс пресс, 2010.
В цикле работ, начатых В.А.Ильиным в 1999г. и продолженных его учениками, а также Е.И.Моисеевым и его учениками, важнейшую роль при решении задач оптимального управления играют решения начально-краевых задач, найденные в явном аналитическом виде. Именно нахождению таких решений и посвящена данная работа.
В первой главе рассматриваются смешанные задачи для уравнения колебаний струны на отрезке с граничными условиями первого либо второго рода на левом конце и с нелокальными условиями типа Бицадзе-Самарского9, связывающими значение решения или его производной по ж в двух точках: в произвольной внутренней точке отрезка и в правой граничной точке. В.А.Ильиным10'11'12 в явном виде были найдены обобщенные решения исследуемых задач, а также проведена оптимизация граничного управления, в случае, когда указанные значения связаны равенством со знаком плюс либо минус. Явный вид решения в случае закрепленного правого конца и неоднородного нелокального условия, связывающего разность значений производных решения по ж в граничных точках, был найден А.А.Холомеевой13. Основным результатом главы 1 является построение в явном виде обобщенных решений исследуемых задач в случае, когда неоднородное нелокальное условие задается произвольной линейной комбинацией значений решения
дБицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых
задач //ДАН СССР, 1969, т. 185, № 4, с. 739-740.
10Ильин В.А. Аналитический вид оптимального граничного управления смещением на одном конце струны
с модельным нелокальным граничным условием одного из четырех типов //Доклады Академии наук, 2008, т.
420, № 3, с. 309 - 313.
11Илъин В.А. Оптимизация граничного управления упругой силой на одном конце струны с модельным нелокальным граничным условием одного из четырех типов //Доклады Академии наук, 2008, т. 420, № 4, с. 44^ -
446.
12Илъин В. А. Оптимизация граничного управления на одном конце струны при наличии модельного нелокального граничного условия // Дифференциальные уравнения, 2008, т. 44; № 11, с. 1487 - 1498.
13Холомеева А.А. Оптимизация нелокального граничного управления колебаниями струны с закрепленным
концом за произвольный кратный 21 промежуток времени // Дифференциальные уравнения, 2008, т. 44; № 5, с. 696 - 700.
или его производной по ж в указанных двух точках.
Во второй главе рассматриваются смешанные задачи для уравнения продольных колебаний неоднородного стержня и уравнения поперечных колебаний неоднородной струны, состоящих из двух участков разной плотности и упругости. Отметим, что В.А.Ильиным14 были найдены решения исследуемых задач в случае
равных времен прохождения волны по каждому из участков, а также проведете 1 fi 17
на оптимизация граничного управления краевым условием первого '' и второго18 рода. В случае условия равенства импедансов ранее были найдены реше-
1Q 20
ния исследуемых смешанных задач, а также проведена оптимизация граничного управления. Задачи о возбуждении и успокоении колебаний неоднородного стержня с помощью граничного управления на одном конце были также рассмотрены В.А.Ильиным21'22. Явный вид обобщенных решений исследуемых в главе 2
14Ильин В. А. О продольных колебаниях стержня, состоящего из двух участков разной плотности и упругости, в случае совпадения времени прохождения волны по каждому из этих участков //Доклады Академии
наук, 2009, т. 429, № 6, с. Ц2 - 745.
15Илъин В.А. Оптимизация граничного управления колебаниями стержня, состоящего из двух разнородных
участков //Доклады Академии наук, 2011, т. 440, № 2, с. 159 - 163.
1вИлъин В.А. Схема оптимизации граничного управления смещением на двух концах процессом колебаний
стержня, состоящего из двух разнородных участков //Доклады Академии наук, 2011, т. 441, № 6, с. 731 -
733.
17Ильин В.А. Оптимизация производимого смещением граничного управления колебаниями стержня, состоящего из двух разнородных участков //Дифференциальные уравнения, 2011, т. 47, Л"- 7, с. 978 - 986.
18Илъин В.А. Оптимизация производимого упругой силой граничного управления колебаниями состоящего из
двух разнородных участков стержня //Доклады Академии наук, 2011, т. 440, № 6, с. 731 - 735.
19Илъин В.А., Луференко П.В. Смешанные задачи, описывающие продольные колебания стержня, состоящего
из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы // Доклады
Академии наук, 2009, т. 428, № 1, с. 12 - 15.
20'Ильин В.А., Луференко П.В. Аналитический вид оптимальных граничных управлений продольными колебаниями стержня, состоящего из двух участков, имеющих разные плотности и упругости, но одинаковые
импедансы //Доклады Академии наук, 2009, т. 429, № 4, с. 455 - 458.
21Илъин В.А. О приведении в произвольно заданное состояние колебаний первоначально покоящегося стержня, состоящего из двух разнородных участков //Доклады Академии наук, 2010, т. 435, № 6, с. 732 - 735.
22Ильин В.А. О полном успокоении с помощью граничного управления на одном конце колебаний неоднородного
стержня // Труды ин-та Математики и механики УрО РАН, 2011, т. 17, № 2, с. 88 - 96.
смешанных задач в случае произвольных длин, плотностей и модулей Юнга для каждого из участков ранее установлен не был.
Полученные в работе аналитические формулы найдут применение при решении задач управления, описываемых рассмотренными уравнениями.
Цель работы состоит в нахождении аналитического вида обобщенных решений для смешанных задач, описываемых уравнением поперечных колебаний струны с граничными и нелокальными условиями первого и второго родов, а также смешанных задач для уравнения поперечных колебаний неоднородной струны и уравнения продольных колебаний неоднородного стержня, состоящих из двух участков разной плотности и упругости, с граничными условиями первого и второго родов.
Научная новизна. В диссертации впервые получен аналитический вид обобщенных решений смешанных задач для уравнения поперечных колебаний струны на отрезке с граничными и нелокальными условиями первого и второго родов в случае, когда неоднородное нелокальное условие задается произвольной линейной комбинацией значений решения или его производной по ж в двух точках: в произвольной внутренней точке отрезка и в правой граничной точке. В работе также впервые получен аналитический вид обобщенных решений смешанных задач с граничными условиями первого и второго родов для уравнения поперечных колебаний неоднородной струны и для уравнения продольных колебаний неоднородного стержня, состоящих из двух участков разной плотности и упругости, в случае произвольных длин, плотностей и модулей Юнга для каждого из участков.
Практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер, однако ее результаты можно использовать для моделирования различных колебательных процессов в задачах математической физики. Полученные в работе аналитические формулы найдут применение при решении задач управления, описываемых рассмотренными уравнениями.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научном семинаре кафедры оптимального управления ВМК МГУ им. М.В.Ломоносова под руководством профессора Ф.П.Васильева, на научном семинаре кафедры математического моделирования НИУ МЭИ а также на всероссийских и международных конференциях, среди которых международная конференция, посвященная 110-ой годовщине И.Г.Петровского (XXIII совместное заседание ММО и семинара им. И.Г.Петровского), Москва, 2011 и 8-ая международная конференция "Function Spaces, Differential Operators, and Nonlinear Analysis", (FSDONA-2011), 2011, Ta-барц, Германия.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в шести работах, пять из которых - в изданиях, рекомендованных ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 61 наименование. Общий объем диссертации составляет 78 страниц.
