Введение к работе
Актуальность темы
Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения являются математическими моделями процессов в таких областях естествознания, как газовая и гидродинамика, теория упругости, электромагнитная теория, квантовая механика, астрофизика, теория автоматического регулирования и многих других. Поэтому изучение таких уравнений представляет не только теоретический интерес, но и имеет большое прикладное значение.
Исследование сингулярно возмущенных уравнений сформировалось в самостоятельную теорию па основе работ А.Н.Тихонова, посвященных системам нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Теория сингулярно возмущенных задач получила свое дальнейшее развитие в работах А.Б.Васильевой, М.И.Вишика и Л.А.Люстерника, В.Ф.Бутузова, А.М.Ильина, С.А.Ломова, В.Г.Сушко, Н.Х.Розова и многих других авторов.
Одним из наиболее эффективных инструментов исследования решений сингулярно возмущенных задач являются асимптотические методы. Асимптотический анализ позволяет не только получить приближенное решение сложных дифференциальных уравнений, но и может служить основой для разработки и исследования эффективных численных алгоритмов, применимых к жестким задачам.
При изучении сингулярно возмущенных уравнений можно выделить класс задач, называемых бисингулярными. Этой теме посвящен ряд работ А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузова, А.М.Ильина, В.Г.Сушко, А.В.Нестерова и других авторов. Бисингулярные задачи, кроме нерегулярной зависимости решения от малого параметра, имеют еще одну особенность: решение вырожденной (при обращении малого параметра в ноль) задачи на некоторых линиях обладает меньшей гладкостью, чем решение исходной задачи. Характерными примерами могут служить сингулярно возмущенные уравнения, имеющие разрывные коэффициенты или рассматриваемые в областях с негладкими границами. Подобные задачи появляются при моделировании свойств слоистых и периодических сред, композитных материалов, процессов химической кинетики, нелинейных колебаний.
Таким образом, тематика, связанная с разработкой асимптотических методов решения бисингулярных задач, в настоящее время является весьма актуальной.
Цель работы
Цель работы состоит в построении асимптотических по малым параметрам представлений для решений ряда бисингулярных параболических задач в неограниченных областях.
Методы исследования
Основным инструментом исследования являются методы асимптотической теории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений; асимптотические представления решений рассматриваемых задач строятся на основе метода пограничных функций и его модификаций для бисингулярных задач. Для обоснования асимптотических разложений применяются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики.
Научная новизна
В диссертации изучены новые бисингулярные задачи для уравнений параболического типа, построены и обоснованы асимптотические представления для их решений.
Теоретическая и практическая ценность
Работа имеет теоретическую направленность. На основе асимптотических методов исследованы свойства решений бисингулярных параболических задач. Полученные результаты могут быть использованы для анализа математических моделей некоторых физических процессов и для разработки специальных численных методов.
Апробация работы
Основные результаты работы были доложены на следующих конференциях и семинарах:
— Седьмые (январь—февраль 1999 года) и Восьмые (январь 2000 го
да) математические чтения МГСУ;
— Семинар по качественной теории дифференциальных уравне-
' ний в Московском Университете под руководством профессоров
В.А.Кондратьева, В.М.Миллионщикова и Н.Х.Розова (апрель 2000 года, октябрь 2000 года);
— Международная конференция студентов и аспирантов по фундамен
тальным наукам "Ломоносов—2000" (МГУ, апрель 2000 года);
— Международная конференция "Математическая физика, математи
ческое моделирование и приближенные методы", посвященная па
мяти академика А.П.Тихонова (Обнинск, май 2000 года);
—- Научно-исследовательский семинар кафедры математической физики факультета ВМК под руководством профессора А.М.Денисова;
— Научно-исследовательский семинар кафедры математики физичес
кого факультета под руководством профессоров А.Б.Васильевой и
В.Ф.Бутузова (октябрь 2000 года).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 5 работ.
Структура диссертации
Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 85 названий. Общий объем диссертации — 127 страниц.
Похожие диссертации на Асимптотические решения бисингулярных задач для уравнений параболического типа
