Введение к работе
Актуальность темы. После работы М. В. Келдыша 1951г.1 и монографий 1966г. М. М. Смирнова2 и А. В. Бицадзе 3 и др. вырождающиеся уравнения приобрели значительную известность.
Методы исследования разрешимости краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений, основанные на теории вложения весовых пространств дифференцируемых функций, были разработаны в работах С.М.Никольского,4 П.И.Лизоркина,5 Л.Д.Кудрявцева,6 Х.Трибеля7 и др.
Разработки по проблеме, к которой непосредственно относится предлагаемая диссертация, были начаты Л.Г. Михайловым8 еще в 1957г., о чем можно судить по его монографии «Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами», изданной Академией наук Таджикской ССР 1963г., которая в переводе на английский язык затем переиздана в Голландии (Wolters - Noord Hoff Publ, Groningen, 1970) и в Германии ( Academic -Verlag, Berlin, 1970). В этих работах Л.Г. Михайловым были начаты исследования уравнений вида
*=1 г г /U0
1 Келдыш М.В. - ДАН СССР, т.77, № 1, 1951, с. 11 - 14., ДАН СССР, т.77, № 2,
1951, с. 181-183.
2 Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения,
-М., «Наука» 1966, 292с.
3 Бицадзе А.В. - Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка,
-М., «Наука», 1966, 204с.
4 Никольский СМ., Лизоркин П.И., Мирошин Н.В. - Известия вузов. Матема -
тика, 1988, №8, с. 4-30.
5 Лизоркин П.И. - ДАН СССР, 1978, т. 239, №4, с. 789 - 792.
6 Кудрявцев Л.Д. - Труды Математического института им. В.А.Стеклова, 1959,
т. 55, с.167-182.
7 ТрибельХ.Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференци -
альные операторы, -М: Мир 1980. 511 с.
8 Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его примене
ния к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами.
- Душанбе: Издательство А.Н. Таджикской ССР. 1963 г. 184 с.
названых им «Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами», однако ясно, что если (1*) умножить на г2, то можно говорить об уравнении, испытывающем вырождение порядка до нулевого. Если с(х) = 0 и п = 2, уравнение (1*) сводится к обобщенной системе Коши - Римана.
Классический метод объемных потенциалов приводит к интегральному уравнению <р = К<р + f, где К не является вполне непрерывным. Они образуют новый класс особых (нефредгольмовых) интегральных уравнений, специально изучавшихся Л.Г. Михайловым. Он показал, что если величины
sup|^ \xj, sup\c(xj либо \bk (0)|, |c(o)j в случае непрерывности
D D
Ък\х\ с[х) вместе с числом Р подчинены некоторым условиям малости, то в сингулярных классах Ср,М^,..., имеют место
утверждения о существовании многообразия решений и разрешимости краевых задач. Актуальной оставалась задача изучения уравнений без условий малости и в обычных классах.
Исследования Л.Г.Михайлова были продолжены затем его учениками: А.И. Ачильдиевым9 изучалось (1*) при с(х)<0 на основе принципа максимума. В его работах рассмотрены свойства регулярных решений вырождающихся уравнений, связанные с принципом максимума и доказаны теоремы существования смешанной задачи. В работах З.Д. Усманова10 по теории обобщенной системы Коши-Римана с сингулярной точкой, был разработан метод интегральных уравнений с вполне непрерывным оператором, посредством которого при условиях малости величины
z)-b(0)| или же области D, устанавливалась взаимнооднозначное соответствие между непрерывными решениями обобщенной системы Коши-Римана с сингулярной точкой и
9 Ачильдиев А.И. - ДАН СССР, т. 152, №1, 1963, - Докл. АН Тадж. ССР, т. 4,
№1, 1961, - Изв. отд. геолг. -хим. и техн. наук АН Тадж. ССР, вып. 2(8), 1962.
10 Усманов З.Д. - Сиб. матем. журн., т.14, №5(1973) с. 1078 - 1078., - Докл. АН
Тадж. ССР, т. 14, №11, 1971 с. 16-20., - Докл. АН Тадж. ССР, т. 15, №4, 1972
с. 10-13.
вспомогательной модельной системы. В таких ограничениях построена теория решений обобщенной системы Коши - Римана с сингулярной точкой. Н. Раджабовым1 рассматривались вырождающиеся уравнения различных типов. В его работах даётся интегральное представление многообразия решений ряда уравнений в частных производных высшего порядка с сингулярными поверхностями, через решение дифференциальных уравнений высшего порядка с регулярными коэффициентами. Эти представления используются при решении основных краевых задач и задач типа Рикье. Данный метод применяется для решения осесимметри-ческой задачи гидродинамики. В работах М. Турсунова1 в классе функций, удовлетворяющих в нуле условиям типа излучения, исследованы картина разрешимости краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения (1*) в случае, когда и = 2, &Дх)зО, с(0) < 0 и особенность коэффициента выше второго порядка.
Проблемам разложений по собственным функциям дифференциальных операторов посвящено достаточно много работ: О.А.Ладыженской,13 В.А-Ильина,14 КШ.Березанского,15 Э.Титчмарша,16 А.Н.Боголюбова,17 Б.М.Левитана,18 М.Исматова19 и др.
11 Раджабов Н.Р. - ДАН СССР, 1976, т. 228, №4, с. 801- 804., - ДАН СССР, 1977,
т. 233, №5, с. 796 - 799., - Изв. отд. геояг. -хим. и техн. наук АН Тадж. ССР,
вып. 2(8), 1973, с. 10-17; 1974, №4(53), с. 3 - 14.
12 Турсунов М. - Докл. АН Тадж.ССР, т. 2, № 5,1969 с. 3-6., - Докл. АН Тадж
ССР, т. 15, №2, 1972 с. 11-14.
13 Ладыженская О.А. - ДАН СССР, 1950, т. 74, №3, с. 417 - 420, - ДАН СССР,
1950, т. 75, №6, с. 763 - 768, - ДАН СССР, 1955, т. 102, №2, с. 207 - 210 .
м Ильин В.А. - ДАН СССР, т.105, №2,1955, с. 210-213., - ДАН СССР, т.114, №4, 1957, с. 650-652, - ДАН СССР, т.114, №4, 1957., с. 698-701, - ДАН СССР, т.227„ №4, 1976, с. 796-799., - ДАН СССР, т.273, №5,1983, с. 1048 - 1053.
15 Березанский Ю.М. Разложения по собственным функциям самосопряженных
операторов. - «Наукова думка», Киев, 1965, 798с.
16 Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с
дифференциальными уравнениями второго порядка т. 1. - ИЛ: Москва 1960,
278с. т.2. - ИЛ: Москва 1961, 555с.
17 Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике, - М., Изд- во
МГУ, 1998, 320с.
18 Левитан Б.М. Разложения по собственным функциям, - ГИТТЛ, Москва -
Ленинград, 1950, 159с.
Однако разработкам этих проблем для дифференциальных уравнений, испытывающих вырождение порядка, посвящено меньшее количество исследований. Сюда могут быть отнесены, рассматриваемые в диссертации следующие задачи: построение многообразий решений, получение теорем о разрешимости краевых задач для некоторых многомерных вырождающихся (сингулярных) уравнений в частных производных эллиптического типа, а именно для следующих уравнений:
-r2AU(x) + q2U(x) = f{x) , (1)
-p2AU + q2U = f(x,z), р = \х\ (2)
-z2Mf + q2U = f(x,z), (3)
Лм +
\р2 г2
и = 0 , (4)
где в первом уравнении х = (х,, х2,..., хт ) - точка т - мерного
< m
пространства Rm, г1 -^xj - квадрат расстояния до начала
к=\
координат, Д = Лт - т — мерный оператор Лапласа, во втором и третьем уравнении (x,z) = (x1,A"2,...,xm,z) - точка т + \-
мерного пространства Rm+], р2 =^х* - квадрат расстояния до
Э2 Я2
д1 д1
оси Oz, Л = У, ( т — (w + IV мерный оператор Лапласа.
Соответствующие однородные уравнения обозначим через (10),
(2о), (Зо).
Мы будем рассматривать также уравнения с особенностью более высокого порядка, то есть когда множителями
19 Исматов М. - Докл. АН Тадж. ССР, т. 16, №7, 1973 с. 3-6., - Докл. АН Тадж. ССР, т. 18, №10, 1975 с. 3-6., - Всесоюзный журнал «Диф. уравнения » - Минск,
т.2, №2, с. 2220-2230., - Всесоюзный журнал «Диф. уравнения » - Минск,
т. 12, №10, с. 1824-1831
при операторе Лапласа будут r2+2v, p2+2v\ z2+2v, v >0 , вместо
„2 „2 „2 Г , p ,Z .
Цель работы. Получение интегральных представлений многообразий решений, а так же интегральных представлений решений тех или иных краевых задач.
Методы исследования. Метод разложения по собственным функциям дифференциальных операторов типа Бесселя; метод разделения переменных и методы теории функций, функционального анализа и математической физики.
Научная новизна.
1. Для произвольной т - мерной ограниченной области
D с кусочно-гладкой границей Г, когда D содержит точку нуль
строго внутри, получено интегральное представление много
образия решений уравнения с сингулярной точкой
-|xf AU(x) + q2U(x) = f(x) , x = (xvx2,...,xm)
в виде аналогов потенциалов объемного, простого и двойного слоя.
2. Для однородного уравнения (10) и несколько более
общего получены решения основных краевых задач и их разло
жения по собственным функциям в шаре, вне шара и в шаровом
слое.
Для однородного уравнения (10) в шаре, либо вне шара, получены интегральные представления решений первых трех краевых задач; ядра этих представлений подобны ядру Пуассона.
3. В произвольной трехмерной области D, ограниченной
замкнутой поверхностью S, методом интегральных уравнений
установлено соответствие между множествами непрерывных в
замкнутой области D решений уравнения
-r2AW + b(x)V/ = F{x), хе D с R3, г = |*|,
и решениями однородного уравнения (10) [при q2=b(0)] из
класса C2(D). Для достаточно малых областей соответствие будет взаимно - однозначным.
4. Для однородного уравнения (Ь) с особенностью
r2+2v, v > О, построены две серии собственных функций и
получены решения основных краевых задач в виде разложения по
этим собственным функциям в шаре, вне шара и в шаровом слое.
Доказаны абсолютная и равномерная сходимость полученных
разложений.
Для однородных уравнений (20) и (30) решены первая, вторая и третья краевые задачи. Решения этих задач получены в виде разложения по собственным функциям. Доказаны абсолютная и равномерная сходимость полученных разложений.
В случае трёх переменных для неоднородных уравнений (2) и (3), применяя разложения Фурье - Бесселя, найдены интегральные представления их решений.
Для уравнений
-pU2l,AU + g2U = 0 и -z2+2vAU + q2U'=0 методом интегральных уравнений, доказаны теоремы существования, как собственных функций, так и решений краевых задач.
8. Для уравнения (4) даны как постановки, так и решения
краевых задач.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты, полученные в работе, являются новыми. Они могут быть использованы для изучения проблем разложения по собственным функциям сингулярных дифференциальных операторов теоретической и математической физики. Их можно использовать также при исследовании как динамических, так и стационарных процессов различной физической природы (теории колебаний, теплопроводности, диффузии и др.).
Апробация работы. Материалы диссертации неоднократно докладывались на общеинститутском семинаре Института математики АН РТ; на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений под руководством академика АН РТ Михайлова Л.Г; на научном семинаре под руководством члена -корреспондента АН РТ Мухамадиева Э. М. (Худжандский госуниверситет им. академика Б. Гафурова); на расширенном заседании семинара института Прикладной математики им И.Н.Векуа Тбилисского государственного университета; на
юбилейной научной конференции «50- летие развития математики в АН Казахстана», Алма-Аты; на конференции «Актуальные проблемы математики и ее приложения» - Сулюкта; а также на ряде международных конференций; проводившихся в г. Душанбе и на ежегодных конференциях Худжандского государственного университета им. академика Б. Гафурова.
Публикации и личный вклад. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. По теме диссертации опубликовано 20 работ, одно из которых - в Докладах АН России выполнено в соавторстве с научным консультантом Л.Г. Михайловым.
Структура диссертации. Работа состоит из оглавления, введения, четырех глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Список литературы содержит 90 наименований. Работа изложена на 230 страницах.
Похожие диссертации на Исследования многообразий решений и краевых задач для некоторых многомерных вырождающихся (сингулярных) уравнений в частных производных эллиптического типа
