Введение к работе
Актуальность темы. Изучению обыкновенного дифференциального эавнения второго порядка
-{)\<Ги-г (0.0.1)
обобщенными коэффициентами и соответствующей задачи Штурма-
'иувилля
-(р^)' + Q'u = XR'u
Xdx) * (0.0.2)
и(0) = u(l) = 0. зсвящено достаточно большое количество работ. Решения со скачками эоизводных описаны уже в классической монографии Ф. Аткпнсоиа. остаточно тонкий анализ однородного уравнения вида (ри') + Q'u — О юводился Курцвейлем. Более полную библиографию с комментариями эжно найти, например, у Ф. Аткинсона, А.Ф. Филиппова, СТ. Завали-ина и А.Н. Сесекина. Из обширного числа публикаций особо отметим іботьі В.Я. Дерра, Ю.В. Егорова, СТ. Завалищина, М.Г. Крейна, А.С еченцова, Dragovich В., Радыно Я., Хренникова А. и А.Н. Сесекина. Уравнения с обобщенными коэффициентами традиционно исслгдуют-[ с позиций теории распределений (Шварца-Соболева). Однако в не->торых качественных вопросах такой подход оказывается недостаточно [>фектнвным — известен ряд до конца нерешенных проблем в теории іобщенньїх функций (например — проблема перемножения обобщенных ункций). В этом плане теоремы сравнения (типа Штурма) для уравпе-ій с обобщенными коэффициентами, установленные недавно А.Д. Мыш-[сом в терминах распределений Шварца, являются большим прорывом., В настоящей диссертации обсуждаются вопросы качественного анали-решений дифференциального уравнения, включая информацию о зиа-шеременах и нулях решений, о числе нулей собственных функций, о юстоте (алгебраической и геометрической) всех точек спектра и пр.
В рамках классической осцилляционной теории подобный круг волросої обсумсдается обычно с помощью хорошо развитых методов, восходящи) к Штурму. Однако эти методы оказываются непригодными для обоб щепных (по Шварцу-Соболеву) производных, не позволяющих трактовпт] себя как поточечные отображения из R в R. Эту трудность мы обхо дим, следуя концепции Ю.В. Покорного, согласно которой уравнении — (ри')' + uQ'p = F может быть придано поточечное представление
где —— означает обычное дифференцирование по /i-мере (в смысле Радона Нпкодима), а мера определяется параметрами Q, F (и Л) исходной зада чи. Такой подход, снимая покров таинственности с поточечных значенні обобщенных производных и придавая решениям сильный смысл, '] ребус переноса классических методов регулярной теории на случай уравнений і производными по мере, что и делается в настоящей работе. Основные про блемы ниже связаны с переходом от обычных интегралов к интеграл аг Леб^га-Стилтьеса и с использованием общей теории интеграла Радона : интересах качественной теории уравнений второго порядка с квазшгронэ водной.
Используемому нами понятию /і-производной можно придать следую щпй вид: //-суммируемая функция /(х) называется /z-ііроизводноіі F(.r) если на множестве полной //-меры
F(x) - J f(s){dfi)(s) = const.
Последняя формула позволяет определять значения /(i) — —-F(x)
AF точке f либо как предел отношения ——, либо пару односторонних пре
делов (левые и правые производные), если они различны, любо трой
ку чисел, которая получается добавлением промежуточного (между левым и правым) значения производной "собственно в точке ", равней
F( + 0) - F( - 0)
отношению скачков —7-—^ у-—тг-. Подобная ситуация возникает,
М( + 0) - М - 0) например, при дифференцировании фупкции Хевисайда в{х) (раішоїі 1
при х > 0 и нулю при х < 0) по fi(x) = х + 9(х), когда вместо привычного в'(х) = 6(х) в соответствующем уравнении (0.0.3) оказывается —(а-) = я(х), где 7г(х) = 0 при і^Ои тг(0) = 1. В более общей ситуации уравнение —(ри'У + uQ' = F1 в точках, где /л имеет скачок, принимает вид -Д (pu') + и AQ = AF, где, как и далее, Дг- скачок функции л, т.е. Д'(О = z( + 0) — z( — 0). Именно таким образом мы "раскрываем" уравнение в сингулярных точках, придавая ему сильный смысл. Цель работы. Установить осцилляционность спектра задачи
- (ри% + uQ'^ = АЛ>, «(0) = и(1) = 0,
а именно, вещественность, дискретность, простоту (алгебраическую и і го-метрическую) и перемежаемость нулей собственных фунцнй.
Методика исследований. В работе используется аппарат іеорші меры, теории интеграла Лебега-Стилтьеса, качественной теории дифференциальных уравнений.
Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.
-
Установлена точная параллель классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
-
Доказаны аналоги теорем Штурма о перемежаемости нулей решений однородных дифференциальных уравнений.
3. Получено представление неосциллнрующего дифференциального
оператора в виде суперпозиции квазипроизводных.
4. Построена теория неосцилляции однородного уравнения.
5. Доказана осцилляционность спектра задачи Штурма-Лиувилля.
Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет тео ретическии характер.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались н; IX Саратовской математической школе "Современные проблемы георш функций и их приложения" в 1998 г., Второй международной конференції! "Дифференциальные уравнения и их приложения" (С.-Петербург, 1998г.) на Воронежских весенних математических школах "Понтрягинские чте нпя - VIII" (1997 г.) и "Понтрягинские чтения - X" (1999 г.), на сомина pax профессора Покорного Ю.В. в 1996-2000гг. и профессора Задорожне го В.Г. в 1998 г.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликопаны і работах [1]-[5].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из ьведе ния. 4 глав и списка цитируемой литературы из 39 наименований. Обшш объем диссертации — 74 стр.
