Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Задача идентификации двух неизвестных коэффициентов многомерного параболического уравнения 21
1.1. Постановка задачи 21
1.2. Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче 22
1.3. Доказательство разрешимости вспомогательной задачи 24
1.4. Построение решения исходной задачи 32
1.5. Доказательство выполнения условий переопределения 35
1.6. Единственность решения исходной задачи 37
Глава II. Задачи идентификации трех неизвестных коэффициентов многомерного параболического уравнения 40
1. Определение трех младших коэффициентов 40
1.1. Постановка задачи 40
1.2. Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче 41
1.3. Доказательство разрешимости вспомогательной задачи 44
1.4. Построение решения исходной задачи 49
1.5. Доказательство выполнения условий переопределения 52
1.6. Единственность решения исходной задачи 56
2. Определение коэффициентов при uzz(t, х), u(t, х), /(t, ж, z) . 58
2.1. Постановка задачи 58
2.2. Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче 58
2.3. Доказательство разрешимости вспомогательной задачи 61
2.4. Построение решения исходной задачи 67
2.5. Доказательство выполнения условий переопределения 70
2.6. Единственность решения исходной задачи 70
3. Определение коэффициентов при uzz(t, х), uz(t, х), /(, х, z) . 72
3.1. Постановка задачи 72
3.2. Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче 72
3.3. Доказательство разрешимости вспомогательной задачи 75
3.4. Построение решения исходной задачи 79
3.5. Доказательство выполнения условий переопределения 82
3.6. Единственность решения исходной задачи 82
4. Определение трех старших коэффициентов 85
4.1. Постановка задачи 85
4.2. Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче 85
4.3. Доказательство разрешимости вспомогательной задачи 88
4.4. Построение решения исходной задачи 92
4.5. Доказательство выполнения условий переопределения 95
4.6. Единственность решения исходной задачи 95
Глава III. Задача идентификации четырех неизвестных коэффициентов многомерного параболического уравнения 98
1.1. Постановка задачи 98
1.2. Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче 99
1.3. Доказательство разрешимости вспомогательной задачи 103
1.4. Построение решения исходной задачи 107
1.5. Доказательство выполнения условий переопределения 110
1.6. Единственность решения исходной задачи 110
Список литературы 112
Публикации по теме диссертации 121
- Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче
- Доказательство выполнения условий переопределения
- Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче
- Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче
Введение к работе
Обратными задачами для дифференциальных уравнений называются задачи определения входных данных - коэффициентов, правых частей дифференциальных уравнений, границ области, граничных или начальных условий по дополнительной информации о решениях уравнений. Эту дополнительную информацию часто называют условиями переопределения.
Обратные задачи возникают во многих областях науки и техники. Необходимость использования обратных задач возникает, например, в следующих случаях:
• создание приборов, техники с заранее заданными или заранее планируемыми характеристиками;
• оценка экспериментальных данных, получение тех или иных выводов по косвенным наблюдениям;
• обработка данных, полученных в результате проведенного эксперимента.
Теория и методы решения обратных задач составляют важное направление научных исследований в области дифференциальных уравнений в частных производных.
Обратная задача называется одномерной, если коэффициенты уравнения зависят только от одной пространственной переменной. В случае, когда уравнение зависит от нескольких пространственных переменных, обратная задача называется многомерной.
Первые результаты о разрешимости одномерных обратных задач принадлежат Г.Герглотцу [68] и Е.Вихерту [76]. Результаты, связанные с изучением многомерных обратных задач, были впервые получены Ю.М. Березанским в работе [21]. Одномерные обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных рассматривались, например, в [42], [36, 37]. Исследования многомерных обратных задач проводились М. М. Лаврентьевым [39, 43], В.Г. Романовым [48, 51], Ю.Е. Анико-новым [1, 6, 59, 60, 61], Б.А. Бубновым [22], А.Д. Искендеровым [32, 34], М.В. Клибановым [35], А.И. Прилепко [44, 45], Н.Я. Безнощенко [8, 11], Н.И. Иванчовым [29, 30] и другими.
В диссертации рассматриваются задачи определения входных данных многомерных параболических уравнений.
Краевые задачи определения коэффициентов или функции источника для параболического уравнения в предположении независимости искомых коэффициентов (в том числе и функции источника) либо от временной переменной, либо от пространственной переменной рассматривались в работах [22], [23], [55], [64]-[67], [73], [75] и других.
В работах А.И Кожанова [36]-[38], [69]-[71] рассматривались краевые обратные задачи, в которых неизвестный коэффициент зависит от всех независимых переменных, входящих в уравнение, и является ядром некоторого дифференциального оператора первого порядка.
В работах [52, 54] исследовалась однозначная разрешимость обратных задач для параболических уравнений, когда искомый коэффициент или функция источника зависит от всех переменных и имеет вид f(t)g(x) или f(t)-\-g(x). Обратным задачам для параболических уравнений с данными Коши посвящены работы [5], [8], [12]-[14], [16], [64], [66]. В указанных работах разрешимость получена в предположении, что искомые коэффициенты не зависят от каких - либо переменных, входящих в уравнение. В работе [49] в случае данных Коши доказана теорема единственности для задачи определения функции источника, зависящего от всех переменных и имеющего специальный вид.
В работах [25], [26] изучены задачи гиперболической аппроксимации для обратных задач, задачи однозначной разрешимости для гиперболических уравнений, содержащих малый параметр при второй производной по времени, исследован вопрос о близости решений задач с малым параметром и соответствующих предельных задач.
В работах [17]-[19] доказана однозначная разрешимость многомерной обратной задачи определения функции источника F(t, х) параболического уравнения, которая зависит от всех независимых переменных, входящих в уравнение, и представима в виде F(t, х) = f(t)g(x); исследована корректность задачи идентификации функции источника для системы составного типа в предположении, что функция источника зависит только от временной переменной t. Исследованы вопросы стабилизации решения при t — оо; доказаны теоремы существования и единственности «в целом» для одномерной нелинейной обратной задачи в случае, когда неизвестен коэффициент при младшем члене параболического уравнения. Получены достаточные условия, при которых решение исследуемой задачи стремится к решению некоторой стационарной задачи при t — оо.
В четвертом параграфе неизвестными в задаче являются коэффициенты a(t,ж), b(t,x), c{t,x) и решение u(t,x,z) задачи (38), (39).
Для каждого случая сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности решения задачи. Получены формулы, по которым решения обратных задач представимы через решения соответствующих прямых задач.
В третьей главе неизвестными в задаче являются функция u(t, ж, z) и все четыре коэффициента a(t, ж), b(t, ж), c(t, ж) и d(t, ж). Сформулирована и доказана теорема существования и единственности решения. Получены формулы, по которым решение обратной задачи выражается через решение вспомогательной задачи.
Автор выражает благодарность научному руководителю Белову Ю.Я. за помощь и ценные советы при работе над диссертацией.
Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче
Обратными задачами для дифференциальных уравнений называются задачи определения входных данных - коэффициентов, правых частей дифференциальных уравнений, границ области, граничных или начальных условий по дополнительной информации о решениях уравнений. Эту дополнительную информацию часто называют условиями переопределения.
Обратные задачи возникают во многих областях науки и техники. Необходимость использования обратных задач возникает, например, в следующих случаях: создание приборов, техники с заранее заданными или заранее планируемыми характеристиками; оценка экспериментальных данных, получение тех или иных выводов по косвенным наблюдениям; обработка данных, полученных в результате проведенного эксперимента. Теория и методы решения обратных задач составляют важное направление научных исследований в области дифференциальных уравнений в частных производных. Обратная задача называется одномерной, если коэффициенты уравнения зависят только от одной пространственной переменной. В случае, когда уравнение зависит от нескольких пространственных переменных, обратная задача называется многомерной.
Первые результаты о разрешимости одномерных обратных задач принадлежат Г.Герглотцу [68] и Е.Вихерту [76]. Результаты, связанные с изучением многомерных обратных задач, были впервые получены Ю.М. Березанским в работе [21]. Одномерные обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных рассматривались, например, в [42], [36, 37]. Исследования многомерных обратных задач проводились М. М. Лаврентьевым [39, 43], В.Г. Романовым [48, 51], Ю.Е. Анико-новым [1, 6, 59, 60, 61], Б.А. Бубновым [22], А.Д. Искендеровым [32, 34], М.В. Клибановым [35], А.И. Прилепко [44, 45], Н.Я. Безнощенко [8, 11], Н.И. Иванчовым [29, 30] и другими.
В диссертации рассматриваются задачи определения входных данных многомерных параболических уравнений. Краевые задачи определения коэффициентов или функции источника для параболического уравнения в предположении независимости искомых коэффициентов (в том числе и функции источника) либо от временной переменной, либо от пространственной переменной рассматривались в работах [22], [23], [55], [64]-[67], [73], [75] и других.
В работах А.И Кожанова [36]-[38], [69]-[71] рассматривались краевые обратные задачи, в которых неизвестный коэффициент зависит от всех независимых переменных, входящих в уравнение, и является ядром некоторого дифференциального оператора первого порядка.
В работах [52, 54] исследовалась однозначная разрешимость обратных задач для параболических уравнений, когда искомый коэффициент или функция источника зависит от всех переменных и имеет вид f(t)g(x) или f(t)-\-g(x). Обратным задачам для параболических уравнений с данными Коши посвящены работы [5], [8], [12]-[14], [16], [64], [66]. В указанных работах разрешимость получена в предположении, что искомые коэффициенты не зависят от каких - либо переменных, входящих в уравнение. В работе [49] в случае данных Коши доказана теорема единственности для задачи определения функции источника, зависящего от всех переменных и имеющего специальный вид. В работах [25], [26] изучены задачи гиперболической аппроксимации для обратных задач, задачи однозначной разрешимости для гиперболических уравнений, содержащих малый параметр при второй производной по времени, исследован вопрос о близости решений задач с малым параметром и соответствующих предельных задач.
В работах [17]-[19] доказана однозначная разрешимость многомерной обратной задачи определения функции источника F(t, х) параболического уравнения, которая зависит от всех независимых переменных, входящих в уравнение, и представима в виде F(t, х) = f(t)g(x); исследована корректность задачи идентификации функции источника для системы составного типа в предположении, что функция источника зависит только от временной переменной t. Исследованы вопросы стабилизации решения при t — оо; доказаны теоремы существования и единственности «в целом» для одномерной нелинейной обратной задачи в случае, когда неизвестен коэффициент при младшем члене параболического уравнения. Получены достаточные условия, при которых решение исследуемой задачи стремится к решению некоторой стационарной задачи при t — оо.
Доказательство выполнения условий переопределения
Пусть выполняются условия теоремы 1 и хотя бы одно из условий а) или Ь). Тогда существует единственное решение задачи (1) - (3) в классе Z(t ). Решение выражается формулами (35) - (37).
Во второй главе исследована задача Коши В первом параграфе неизвестными в задаче являются коэффициенты b(t,x), с(, ж), d(t,x) и решение u(t, ж, z) задачи (38), (39). В втором параграфе неизвестными в задаче являются коэффициенты a(t,x), с(, ж), d(, ж) и решение u(t,x,z) задачи (38), (39). В третьем параграфе неизвестными в задаче являются коэффициенты а(, ж), b(t,x), d(t,x) и решение u(t, ж, z) задачи (38), (39). В четвертом параграфе неизвестными в задаче являются коэффициенты a(t,ж), b(t,x), c{t,x) и решение u(t,x,z) задачи (38), (39). Для каждого случая сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности решения задачи. Получены формулы, по которым решения обратных задач представимы через решения соответствующих прямых задач. В третьей главе неизвестными в задаче являются функция u(t, ж, z) и все четыре коэффициента a(t, ж), b(t, ж), c(t, ж) и d(t, ж). Сформулирована и доказана теорема существования и единственности решения. Получены формулы, по которым решение обратной задачи выражается через решение вспомогательной задачи. Автор выражает благодарность научному руководителю Белову Ю.Я. за помощь и ценные советы при работе над диссертацией. и коэффициенты dij, bj, с и правая часть / уравнения (1) - вещественные конечнозначные функции переменных t, х. Считаем, что а (, х) — a (t, ж), i,j = 1, п, и выполняется соотношение при любых отличных от нуля = (i,..., fn) Є J5"m. В следствие условия (2) уравнение (1) является параболическим в П[0,г]. Определение 1. Функция и называется классическим решением уравнения (1) в П[0,г], если ее производные , -, , i,j = Т п, непрерывны в Прд1]? сама функция u{t, х) непрерывна в Що,т] и в Що,т] выполняется тождество L(u(t, х)) — f(t,x). Рассмотрим для уравнения (1) задачу Коши: найти непрерывную в полосе П[о,т] = {(,#) 0 t T, х Є Em} функцию u(t:x), удовлетворяющую в П[0,г] уравнению (1) и при t = О совпадающую с заданной на Ет функцией (р: и(0, х) = р, х Є Ет. (3) Теорема 1. Пусть u(t,x) классическое ограниченное решение задачи Коши (1), (3) и выполняются соотношенияРассмотрим пространство С(Г2) непрерывных на О, функций f(x) с нормой /c(Q) = max Q = /(ж). Здесь Q - ограниченная в Ет область. Пусть М С С(0) - некоторое бесконечное множество непрерывных на Q функций. Определение 2. Множество М нормированного пространства X назавается компактным в X, если из каждой последовательности {хп} С М можно выделить фундаментальную в X подпоследовательность. Определение 3. Функции множества М равномерно ограничены в C(Q), если существует постоянная К, такая, что Ц/Ц т К для всех feM. Определение 4. Множество функций М равностепенно непрерывно в Q, если для любого б 0 существует 5 = 8(e) 0, такое, что для любых х\ х" Є Q, удовлетворяющих неравенству \х — х"\ 6, имеет место неравенство \f(x ) — f(x")\ є, выполняющееся сразу для всех /ЄМ. Имеет место [31] Теорема 2. (Арцел) Для того, чтобы множество М С C(Q) было компактно в C(Q), необходимо и достаточно, чтобы функции из М были равномерно ограничены в C(Q) и равностепенно непрерывны в Q. Одна теорема метода слабой аппроксимации.
Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче
Заменим функции в интегральных членах (4.33) на их точные верхние грани по х Є Em, затем заменим функцию \vT\, стоящую в левой части (4.33) на sup \vT\, умножим полученное неравенство на \y\i и проинтег рируем результат по у в пределах от — оо до -j-оо. Из полученного неравенства (см. (4.23)-(4.30)), учитывая монотонность по t функции W] .(t), получим неравенство4 где Ьз(С) = -В (С3 + С2 + С + 1) — полином 3-го порядка и В 0 — некоторая постоянная, независящая от т. Функция WT(t) удовлетворяет условиям Леммы 1. Следовательно, существует такая строго возрастающая функция о;(), что WT(t) uj{t) для всех t Є [ -, г]. Отсюда и из (4.32) следует, что WT(t) ш(т), 0 t T. oj(t) - строго возрастающая функция. Рассмотрим первый целый шаг (п = 1). Повторяя наши рассуждения, проведенные на нулевом целом шаге (n = 0), получим оценку Продолжая наши рассуждения на последующих целых шагах, получим равномерную по г оценку На основании (4.36) также, как и в предыдущих параграфах, доказа-ваются равномерные по г априорные оценки Оценки (4.37), (4.38) в силу теоремы Арцела о компактности в С гарантируют сходимость некоторой подпоследовательности {vTj} решений задачи (4.18) - (4.22) вместе с производными по х до второго порядка к решению 4.4. Построение решения исходной задачи Покажем, что четверка функций u(t,x,z), а(і,х), b(t,x), и с(, х), где является решением задачи (4.1) - (4.3) в (j[o,t.] Используя (4.39), получим, что решение u(t, х, z), a(t, х) , b(t, х), c(t, х) принадлежит классу Применим обратное преобразование Фурье по переменной у к задаче (4.16), (4.13). Получим, что функция u(t,x,z) удовлетворяет уравнению щ = Lx{u) + + P2uz + Pzu + / (4.44) и начальным данным w(0,,2:) = UQ(X,Z). Покажем, что функция u(t, х, z), заданная первым соотношением в (4.40) — действительнозначная функция. Пусть u(t,x,z) = Ui(t,X, z) + iu2(ty x,z), где Ui(t, x, z), U2(t,x,z) -соответственно действительная и мнимая части. Функция U2(t1 re, z) есть решение однородной задачи В силу принципа максимума ее решение равно нулю в (2[о, ф] и, следовательно, u(t, х, z) = u\(t, х, z) - действительнозначная функция. Так как м(, ж, z) — действительнозначная функция, то и функции з = Uzzz\z=o = С/3 и 4 = Uzzzz\z=o = Щ — действительнозначные и, следовательно, функции А, Н, Pj, j = 1,2,3, действительнозначные. Покажем, что в уравнении (4.16) срезку можно убрать. Для этого докажем, что А f при достаточно малых t. В силу (4.26)-(4.30), (4.39) и уравнения (4.16) имеет место неравенство \N(t, х)\ Ai(S), где Ai(S) - некоторая постоянная, зависящая от 5 и t . Проинтегрируем равенство (4.46) по t:
Приведение исходной задачи к вспомогательной прямой задаче
Применим обратное преобразование Фурье по переменной у к задаче (1.21), (1.17). Получим, что функция u(t,x,z) удовлетворяет уравнению и начальным данным г (0, х, z) щ(х, z).
Покажем, что функция u(t,x, z), заданная в соотношениях (1.44) -действительнозначная функция. Пусть u(t,x, z) = ui(t, x,z) + iu2(t,x,z), где U\(t, x,z), U2{t, x,z) -соответственно действительная и мнимая части. Функция W2(t, х, z) есть решение однородной задачи В силу принципа максимума ее решение равно нулю в С о, »] и, следовательно, u(t, х, z) = ui(t, х, z) - действительнозначная функция. Так как u(t,x,z) — действительнозначная функция, то и функции Y\ — Uzzzz\z=0 = Щ и Yb = Uzzzzz\z=o = С/5 — действительнозначные и, следовательно, функции А, Н: Pj, j — 1,2,3,4, действительнозначные. Покажем, что в уравнении (1.21) срезку можно убрать. Для этого докажем, что А при достаточно малых t. Рассмотрим производную по t от функции В силу (1.31) - (1.34), (1.43) и уравнения (1.21) имеет место неравенство \N(t, х)\ Bi(8), где Bi(5) - некоторая положительная постоянная, зависящая от 8 и t . Проинтегрируем равенство (1.50) по t: Предполагая выполнение условия A(0) 6, (1.51) получим, что А - при Є[0,і], (1.52) где t\ — min{t , S/2Bi}. Из определения срезки Ss(9) следует, что 5j(A) — А при t Є [0,ti]. Аналогично доказывается, что Н . Рассмотрим производную по t от функции Н = А\ -f A2U4: Щ = (AJt + (A2)tU4 + A2(U4)t = M(t, x). В силу (1.31) -(1.34), (1.43) имеет место неравенство \M(t, х) \ В2(8), где В2(8) - некоторая постоянная, зависящая от 8 и t . Проинтегрируем предыдущее равенство по t: H(t) = H(0)+ f M{0,x)d0. 0 Так как в начальный момент времени Н(0) 8 (см. (1.20)), то Н - при te[Q,t2], где t2 = min{t , 8/2В2}. И S6(H) = Н при t Є [0, t2]. Доказали, что Ss(H) = Н, 5д(А) = А на отрезке [0, ], где U — min{ti,t2}. Следовательно, u(t,x,z), a(t, ж), &(, ж), c(t,x), d(t,x) можно записать в виде Таким образом, доказано, что функции и, а, Ь, с, «і, заданные соотношениями (1.53), удовлетворяют равенствам a = Р\, b = Р2, с = Р$, d = Р4 и являются решением задачи (1.1), (1-2). 1.5. Доказательство выполнения условий переопределения Аналогично доказательству условий переопределения в 1 Главы 1, подстановкой выражения (1.44) для а, Ь, с, d, в соотношения (1.5) - (1.8) доказывается выполнение соотношений (1.3). 1.6. Единственность решения исходной задачи Докажем единственность решения задачи (1.1) - (1.3). Пусть w\, а\, &i, с\, d\ и w2, a,2, &2, c2) 2 — Два решения задачи (1.1) - (1.3). Функции w — w\ — W2, a = a\ — a,2, b = b\ — b2, с = c\ — C2, d — d\ — d2 являются решением задачи В силу (1.12) - (1.15) и неравенств (1.46), (1.47) Из (1.57) получаем, что Vj(Q ciV(Q(, О . Суммируя последнее неравенство по j, получим (1 — 6ciQV(Q 0, 0 +, откуда следует, что w = W\ — w2 = 0 в Gtr\ \/(QC )] Таким же способом докажем, что w = 0 в G\ ucc \ 2/(Qc )] и так Далее- Через конечное число шагов получаем, что W = 0B [О, ,] Из (1.54) (так как w = 0) получаем соотношение Так как определитель А системы последних четырех уравнений отличен от нуля (см. (1.52)), то она имеет только нулевое решение: а = О, Ь — О, с = 0, d = О в П[о ]. Доказана Теорема 3.1. Пусть выполняются условия (1-4), (1.20), (1.31) -(1.35), (1.51). Тогда существует и единственно в классе Z(t+) решение u(t, ж, z), a(t, х), b(t, х), c(t, х), d(t, х) задачи (1.1) - (1-3), удовлетворяющее соотношениям (1.46), (1.47). Постоянная t , 0 Т, зависит от постоянных S и Cj, Rj, Nj, Mj, Kj из условий (1.31) - (1.35). Решение u(t, х, z), a(t, x), b(t, x), c(t, x), d(t, x) выражается формулами (1.53).
