Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Вспомогательные предложения 21
1.1. Основные определения и теоремы 21
1.2. Принцип масимума 22
1.3. Общая формулировка метода слабой аппроксимации 24
1.4. Теорема метода слабой аппроксимации 25
Глава 2. Задачи идентификации двух различных коэффициентов многомерного параболического уравнения 28
2.1. Задача определения функции источника и коэффициента при младшей производной 28
2.1.1. Постановка задачи и приведение ее к прямой задаче 28
2.1.2. Разрешимость прямой задачи 31
2.1.3. Существование и единственность классического решения обратной задачи 43
2.2. Задача идентификации коэффициентов при младших производных 48
2.2.1. Постановка задачи и приведение ее к прямой задаче 48
2.2.2. Разрешимость прямой задачи 51
2.2.3. Существование и единственность классического решения обратной задачи 63
2.3. Задача идентификации двух старших коэффициентов 68
2.3.1. Постановка задачи и приведение ее к прямой задаче 68
2.3.2. Разрешимость прямой задачи 71
2.3.3. Существование и единственность классического решения обратной задачи 82
Глава 3. Задачи идентификации трех и четырех коэффициентов многомерного параболического уравнения 88
3.1. Постановка задач 88
3.2. Задача идентификации трех младших коэффициентов 89
3.3. Задача определения функции источника и коэффициентов при младшей и второй производных 100
3.4. Задача определения функции источника и коэффициентов при первой и второй производных 109
3.5. Задача идентификации трех старших коэффициентов 117
3.6. Задача идентификации четырех коэффициентов 124
Глава 4. Задача определения коэффициентов при производных по времени и пространственной переменной 131
4.1. Постановка задачи и приведение ее к прямой задаче 131
4.2. Разрешимость прямой задачи 134
4.3. Существование и единственность классического решения обратной задачи 138
Заключение 143
Список литературы 144
- Общая формулировка метода слабой аппроксимации
- Существование и единственность классического решения обратной задачи
- Задача определения функции источника и коэффициентов при младшей и второй производных
- Существование и единственность классического решения обратной задачи
Введение к работе
Актуальность темы. Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи определения коэффициентов дифференциальных уравнений, границы области, граничных или начальных условий по той или иной информации о решениях этих уравнений. Многие важные прикладные вопросы, касающиеся упругих смещений, электромагнитных колебаний, диффузионных процессов и др. приводят к обратным задачам.
Интерес к обратным задачам особенно интенсивен в последние 30-40 лет в спязи с их важным прикладным значением. Они находят приложения при решении задач мониторинга окружающей среды, управления процессами, планирования разработки нефтяных месторождений, при созданнии новых приборов, аппаратов и др.
Одним из сложных для исследования классов обратных задач являются коэффициентные. Коэффициентные обратные задачи задачи об определении коэффициентов дифференциальных операторов (обыкновенных или в частных производных) по некоторой информации о решении.
Задачи идентификации коэффициентов (коэффициентные обратные задачи) уравнений и систем уравнений в частных производных исследовались М.М Лаврентьевым, В Г. Романовым, Ю.Е. Аниконовым, И. А Васиным, А И Прилепко, А Б Костиным, А Лоренци, А М. Денисовым, А.Д. Искен-деровым, В Л. Камыниным, А.И Кожановым, В.В. Соловьевым, В.М. Исаковым, Н Я Безнощенко, Н.И Иванчовым, Ю.Я. Беловым, Т.Н Шипиной, Г.А. Кирилловой, С Н. Барановым и другими.
Обратные задачи для дифференциально-операторных уравнений исследованы в работах Д. Г. Орловского.
РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ і БИБЛИОТЕКА . , I
і - *
Цель работы. Исследование на разрешимость задач идентификации нескольких коэффициентов многомерных параболических уравнений с условиями переопределения, заданными на различных гиперплоскостях.
Методика исследования. На основе преобразования Фурье и условий переопределения осуществляется переход от обратных задач к прямым вспомогательным задачам Коши для нелинейных интегродифференциаль-ных параболических уравнений Для доказательства разрешимости прямых задач используется метод слабой аппроксимации.
Основные результаты. В диссертации решены задачи одновремен-' ной идентификации нескольких коэффициентов многомерных параболических уравнений с условиями переопределения, заданными на различных гиперплоскостях В результате проведенных исследований доказаны теоремы существования и единственности классических решений
-
задачи определения функции источника и коэффициента при младшей производной,
-
задачи идентификации коэффициентов при младших производных;
-
задачи идентификации двух старших коэффициентов,
-
задачи идентификации трех младших коэффициентов,
-
задачи определения функции источника и коэффициентов при младшей и второй производных;
-
задачи определения функции источника и коэффициентов при первой и второй производных;
7. задачи идентификации трех старших коэффициентов;
-
задачи идентификации четырех коэффициентов,
-
задачи определения коэффициентов при производных по времени и пространственной переменной.
Научная новизна и практическая ценность. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми, имеют теоретическое значение и могут быть MCiioj ьзованы при построении общей теории обратных задач.
Аппробация работы. Основные результаті,! диссертации докладывались и обсуждались на
семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Красноярского госуииверситета, руководитель — д.ф.-м.н. Ю.Я. Белов (2001-2005гг);
II Всесибирском конгрессе женщин-математиков, посвященном
С.В Ковалевской (('Красноярск, 15-17 января 2002г.),
III Международной конференции "Симметрия и дифференциальные
уравнения"(гКрасноярск, 25-29 августа 2002 г);
III Всесибирском конгрессе жешцин-математиков, посвященном С В Ковалевской (['Красноярск, 15-17 января 2004г.);
Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании ВИТ-2004" (г Алматы, Казахстан, 6-Ю октября 2004г.);
Международной конференции "Информационные технологии и обратные задачи рационального природопользования" (г Ханты-Мансийск, 12 13 апреля 2005 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть работ, в которых отражено се основное содержание Список работ приведен в конце
автореферата.
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 95 наименований. Общий объем диссертации составляет 155 страниц.
Общая формулировка метода слабой аппроксимации
Задачи идентификации коэффициентов (коэффициентные обратные задачи) уравнений и систем уравнений в частных производных исследовались М.М. Лаврентьевым [45-47], В.Г. Романовым [66-68], Ю.Е. Аниконовым [2, 5], И.А. Васиным [59], А.И. Приленко [62-64], А.Б. Костиным [60, 61], А. Лоренци [81, 88-90], A.M. Денисовым [28, 80], В.М. Исаковым [32, 84], В.Л. Камыниным [35], А.Д. Искендеровым [33], А.И. Кожановым [41-43,85-87], В.В. Соловьевым [69, 70], Н.Я. Безнощенко [11, 13], Н.И. Иванчовым [29, 30], Ю.Я. Беловым [76, 77], Т.Н. Шипиной [22, 23, 78], Г.А. Кирилловой[37-39], С.Н. Барановым [7-10] и другими.
Обратные задачи для дифференциально-операторных уравнений исследованы Д.Г. Орловским в работах [50-52].
Краевые задачи идентификации коэффициентов или функции источника для параболического уравнения рассматривались в [26, 63, 69, 76, 79, 91, 92] и многих других работах.
Задачи определения функции источника параболического уравнения исследовались в [15, 46, 58, 69], когда искомая функция источника не зависит от одной или нескольких независимых переменных уравнения. Корректность задач определения функции источника параболического уравнения при различных условиях переопределения, когда функция источника зависит от всех независимых переменных, входящих в уравнение была рассмотрена в [04].
Задачи идентификации коэффициента при младшем члене параболического уравнения, когда количество независимых переменных искомого коэффициента меньше числа независимых переменных уравнения исследовались в [32,33,47,60,62,94]. Задачи идентификации двух коэффициентов в случае, когда условия пере б определения задаются на одной гиперплоскости, см. [6, 75]. Некоторые задачи определения двух коэффициентов для различных уравнений см. в [74, 83, 89, 93]. Целью представленной диссертационной работы является исследование на разрешимость задач идентификации нескольких коэффициентов многомерных параболических уравнений с условиями переопределения, заданными на различных гиперплоскостях. Для достижения этой цели в работе: На основе преобразования Фурье и условий переопределения поставленные задачи приведены к прямым вспомогательным задачам Коши для нелинейных интегродифференциальных параболических уравнений. В предположении достаточной гладкости входных данных методом слабой аппроксимации [16, 73] доказана локальная разрешимость вспомогательных задач. Решения исходных задач представлены в явном виде через решения вспомогательных прямых задач. Доказаны теоремы существования и единственности классических реше ний исходных задач идентификации коэффициентов. Данный алгоритм был применен Ю.Я. Беловым для исследования разрешимости задач идентификации: функции источника, младшего коэффициента, коэффициента при первой производной по пространственной переменной в случае условий переопределения, заданных на одной гиперплоскости (см. [77]). Отметим, что процедура сведения обратной задачи к прямой вспомогательной впервые была предложена Ю.Е. Аниконовым [1]. Далее такой подход был применим к исследованию разрешимости обратных задач в работах [2, З, 6, 25, 48, 72, 76] и др. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 95 наименований. Объем диссертации составляет 155 страниц. В главе 1 приведены известные определения и теоремы из области функционального анализа и дифференциальных уравнений, используемые в диссертации. В главе 2 исследованы три задачи идентификации двух коэффициентов многомерных параболических уравнений с условиями переопределения, заданными на двух различных гиперплоскостях.
Существование и единственность классического решения обратной задачи
В разделе 3.2 показана однозначная разрешимость задачи (45)-(47) с тремя неизвестными коэффициентами q2(t,x), q (t,x), q t x). Коэффициент qi(t,x) уравнения (45) является непрерывной действительнозначной функцией в П[о,г] и qi(t,x) 0 (теоремы 3.2.1, 3.2.2).
В разделе 3.3 исследуется однозначная разрешимость задачи идентификации трех коэффициентов уравнения (45), когда три коэффициента q\(t,x), Чз{і)х), li{tix) неизвестны и определяются одновременно с функцией и при условии дополнительной информации (47). Коэффициент q2(t,x) является непрерывной действительнозначной функцией П[0іт] (теоремы 3.3.1, 3.3.2).
В разделе 3.4 рассматривается задача идентификации трех коэффициентов уравнения (45), когда три коэффициента qi(t, х), ( %) 4()х) неизвестны и определяются одновременно с функцией и при условии дополнительной информации (47). Коэффициент q t x) является заданной непрерывной действительнозначной функцией в Що,т] (теоремы 3.4.1, 3.4.2).
В разделе 3.5 рассматривается задача идентификации трех старших коэффициентов уравнения (45), когда три коэффициента qi(t, х), q2(t,x), q (t,x) неизвестны и определяются одновременно с функцией и при условии дополнительной информации (47). Коэффициент q±(t,x) является непрерывной действительнозначной функцией в Що,т] (теоремы 3.5.1, 3.5.2). В разделе 3.6 рассматривается задача идентификации четырех коэффициентов qi, Q2, 93) 74 уравнения (45) (теоремы 3.6.1, 3.6.2). Глава 4 посвящена доказательству однозначной разрешимости задачи идентификации коэффициентов при производных по времени и пространственной переменной для параболического уравнения в случае задачи Коши и условий переопределения, заданных на двух различных гиперплоскостях (теоремы 4.2.1, 4.3.1). Случай линейного параболического уравнения с одним неизвестным коэффициентом при производной по времени исследован в [16], где решения рассматривались в классе гладких функций, достаточно быстро убывающих по выделенной переменной. Задача идентификации коэффициентов при нелинейном члене и производной по времени для полулинейного параболического уравнения с нелинейностью достаточно общего вида была исследована в работе [21]. Обратную задачу для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени см. в [20]. Заключение содержит выводы и результаты проделанной работы. Основные результаты диссертационной работы содержатся в публикациях [17-19], [53-55] из них в соавторстве с Ю.Я. Беловым [17-19]. Работа выполнена при частичной поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект 01-01-00848) и Федерального агентства по образованию (грант А04-2.8-625). Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Ю.Я. Белову за помощь и ценные советы при работе над диссертацией. Пусть Q - ограниченная область в Еп. Еп - действительное п-мерное евклидово пространство, п 1, п - целое. Точка в Еп обозначается через х = (#i,..., хп). Рассмотрим ограниченное в Еп множество О и пространство С (О) непрерывных на Q функций f(x) с нормой H/IUrm тг 1/( )1 Пусть М - некоторое бесконечное множество непрерывных на Q функций (М С С(П)). Определение 1.1.1. Множество М нормированного пространства X называется колтактнъш, если из каждой последователыюсти {хп} С М можно выделить фундаментальную подпоследовательность. Определение 1.1.2. Функции множества М С С(П) равномерно ограничены в C(Q), если существует постоянная К", такая, что 11Л[егт — К для всех f Є М. Определение 1.1.3. Функции множества М равностепенно непрерывны в Q, если для любого є 0 существует 5 = 6(e) 0, такое, что для любых х ,х" Є О, удовлетворяющих неравенству \х — х"\ 5, имеет место неравенство \f{x ) — /(а:") е, выполняющееся сразу для всех f Є М. Теорема 1.1.1 (Арцела). Для того, чтобы множество Ы С C(Q) было компактно в С(0), необходимо и достаточно, чтобы функции из М были равномерно ограничены в C(Q) и равностепенно непрерывны в Q. Доказательство теоремы Арцела можно найти в [36, 44]. Лемма 1.1.1 (Неравенство Гронуолла). Пусть неотрицательная, измеримая и ограниченная на отрезке [0, і ] функция х() удовлетворяет и коэффициенты Оу, 6j, с и правая часть / уравнения (1.2.1) - вещественные копечпозначные функции переменных t, х. Считаем, что ац{і,х) — aji(t,x), i,j = 1,..., п, и выполняется соотношение п при любых значениях = (i,..., „) Є i?n В силу последнего условия уравнение (1.2.1) является параболическим в П[0,т](см. [49], [71]).
Задача определения функции источника и коэффициентов при младшей и второй производных
Условие 1.4.2. Пусть классическое решение ип системы (1.4.3) в G[tQji] для всех Tk 0 существует. Последовательность {ип} сходится к некоторой вектор-функции и в G[toiti] вместе со всеми производными по х, входящими в (1.4.1), и эта сходимость равномерная в Gu 11 = {(t, ж, у) \ to t t\y \x\ M} у Є E{\ для всех фиксированных М.
Условие 1.4.3. Интегралы Jj(un) сходятся абсолютно и равномерно по тк и (t,x) Є Щі0м] = {{Ъх) \ t tux Є Еп]. Интегралы Jj(u) сходятся абсолютно и равномерно при (t,x) Є П 0)ІІ], и J/(u) сходится к Jj{u) равномерно в Ни t1 для всех фиксированных М при 7 —У 0.
Условие 1.4.4. Для всех фиксированных М Iim max \W(t,x,y,ifk,J(uTk)) - {(1 , , J(ип))\ = О, j = 0,1,..., г. Здесь М 0 - константа в условиях 1.4.1 - 1.4.4. Теорема 1.4.1 [77]. Пусть условия 1.4.1 - 1.4.4 выполнены. Тогда вектор-функция u(t,x,y) есть решение системы (1.4.1) в G[(0)fl]. Задачи идентификации двух различных коэффициентов многомерного параболического уравнения 2.1. Задача определения функции источника и коэффициента при младшей производной 2.1.1 Постановка задачи и приведение ее к прямой задаче В полосе G[QfT] = {{t,х,z)\0 t X, x Є E2, z Є E{\ рассматривается уравнение Ou д и — = Lx{u) + а3 ) 2 + a(f х)и + 9& х)№ ж z) (2ЛЛ) с двумя неизвестными коэффициентами a(t} х), g(t, х), с начальным условием u(0,x,z) = щ{х,г), (x,z) Ez. (2-1-2) Здесь д и д и Lx{u) = al{t) + a2{t) } функции /(, х7 z), щ(х, z) заданы в G T] И Е% соответственно, коэффициенты ai(t), а2(і), аз(і) - непрерывные действительнозначные функции переменной і, 0 t Т, Г О, Т = consi, причем a3(t) 0. Предполагается, что выполняются условия переопределения на двух различных гиперплоскостях z = 0 и z = b (b 0): u{t, ж, 0) - p(t, х), (і, х) П[0,п, (2-1.3) и(і,х,Ь) = ф(і,х), (г,а;)єП[о,г], 2.1.4) где П[0іг] — № ж)0 t Т,х Є Е2}, Ь Є ?і, а уг(,а;), ф{і,х) - заданные функции, удовлетворяющие условиям согласования Ниже мы рассматриваем классические (достаточно гладкие) решения. Под решением обратной задачи (2.1.1)-(2.1.4) в полосе G .j, 0 і Т, понимается тройка функций а (і, ж), (i, л?), u{t% х, z), которые удовлетворяют соотношениям (2.1.1)-(2.1.4). Пусть функция и(, х, z) допускает преобразование Фурье по неременной z +00 w( ,z,y) = — / n(f,x,z)e-l dz = F(u)(,x,y) —00 и обратное преобразование Фурье u(i,x,z) = J v{t,x,y)eizydy = F-1{v)(t,x,z). (2.1.7) —00 Применим преобразование Фурье по переменной z к уравнению (2.1.1). Получим уравнение — = Lx(w) - az{t)y2v + a(i, ж)и + ff(i,x)F(t, x, у). Здесь и далее в диссертации F{t,x,y) = F(f)(t,x,y) = f -ж f(t,2, z)e lzy dz является преобразованием Фурье по переменной z функции f(t,x, z). Находим коэффициенты a(t, ж), #(, х). Полагая z = 0 в уравнении (2.1.1) и в силу (2.1.3) и (2.1.7) получаем уравнение (2.1.17) Представления (2.1.15) для g{t,x) и (2.1.16) для a(t,x) в дальнейшем позволят нам доказать разрешимость задачи (2.1.1)-(2.1.4).
Заметим, что представления (2.1.15) для g(t, х) и (2.1.16) для а(, х) совпадают с представлениями (2.1.10), (2.1.11) в том случае, когда v(t,x,y) является преобразованием Фурье действительнозначной функции u(t,x,z) или функция u(t,x,z) является действительнозначной функцией, полученной согласно формуле (2.1.7).
Существование и единственность классического решения обратной задачи
В данном разделе в случае задачи Коши исследуется задача определения младших коэффициентов для параболического уравнения при условиях переопределения, заданных на двух различных гиперплоскостях.
В полосе С?[о,т] — {{t xiz)\Q і Т, х Є Ет z Є Е{\ рассматривается уравнение — = Ьх{и) + к( ) 2 + &х) + x )u + Я а:,г) (2-2-1) с двумя неизвестными коэффициентами а(, a:), g(t, х), с начальным условием u(0,x,z) = и0(ж,2), (x,z) Є „+і- (2.2.2) Здесь функции /( , ж,;г), ио(ж,г) заданы в С?[о,т] и n+i соответственно, коэффи циенты к(і), Qij{t), &i(t)} i,j = 1,п, - непрерывные действительнозначные функции переменной , 0 t Т. Т О, Т = const, причем n{t) 0. Здесь и далее в диссертации будем считать, что aij{) = &ji(t) и выполняется соотношение п J2 ЯіМі 0 Ve Еп, t Є [0,Т]. Предполагается, что выполняются условия переопределения на двух различных гиперплоскостях: u(i, я, 0) = (?( , х), (і,ж) П[о,т], (2.2.3) u(i, яг, Ъ) = ф(і, х), (t, х) Є П[0,г], (2.2.4) где П[о,т] — {( )ж)0 t Т,х Є Еп}, и p(t,x), tft(t,x) - заданные функции, удовлетворяющие условиям согласования р{0,х) = ио{х,0), х Є Еш (2.2.5) (0, х) = щ(х, Ь), х Є Еп, b 0,b = const. (2.2.6) Под решением обратной задачи (2.2.1)-(2.2.4) в полосе G[o,t,], 0 Т, понимается тройка функций а(, х), g(t, #), u{t, х, z), которые удовлетворяют соотношениям (2.2.1)-(2.2.4). Предполагая существование прямого и обратного преобразования Фурье функции u(t} х, z) по переменной z (см. (2.1.7)), перейдем от уравнения (2.2.1) к уравнению jr- = Lx{v) - K.{t)y2v + a(t, x)iyv + g(t, x)v 4- F(tt x, y). Найдем коэффициенты a(t,x), g(t}x). Полагая z — 0 в уравнении (2.2.1), а затем z = 6, получим в силу (2.2.3), (2.2.4), (2.1.7), что где vo(x,y) = Е(щ)(х,у) - преобразование Фурье функции щ по z.
