Введение к работе
Актуальность темы. Уравнение Хилла хорошо известно в теории колебаний. Возникшее при изучении движения Луны в астрономии, оно вызвало пристальное внимание со стороны математиков. Одним из важных и трудных вопросов в теории уравнения Хилла является вопрос об устойчивости, причем эта устойчивость, если она имеет место, носит характер двусторонней устойчивости по Ляпунову, что иными словами называется устойчивостью по Дирихле.
Устойчивость по Дирихле означает, что из малости решения и его производных в какой-то момент времени вытекает его малость на всей числовой прямой, а не только в положительном направлении, как в теории Ляпунова. Из устойчивости по Дирихле вытекает, конечно, устойчивость в смысле Ляпунова. Для изучаемых в диссертации канонических систем, к которым стандартным образом может быть приведено уравнени Хилла, верно и обратное.
Устойчивость в смысле Дирихле берет свое начало от теоремы Дирихле в аналитической механике, называемой также теоремой Лагранжа.
Уравнение Прюфера хорошо известно в теории уравнения Хилла. Но никто - по нашим сведениям - не обратил внимания на то, что его можно трактовать как дифференциальное уравнение на торе. Согласно теории Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе 1 поведение решений в целом характеризуется числом вращения и некоторым гомеоморфным отображением окружности на себя. Отметим лишь,что по числу вращения можно судить не только об устойчивости уравнения Хилла (или канонической системы), но и указать номер области устойчивости или неустойчивости.
Еще больший интерес представляет нелинейное уравнение Хилла и Катеров А.И. К теории Пуанкаре-Данжуа многомерных дифференциальных уравнений / А.И. Перов, И.Ю. Эгле // Дифференциальные уравнения, - 1972, - т.8, - № 5, - С.801-810.
ионическая система двух нелинейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Здесь возникает отображение Пуанкаре, которое позволяет привлекать для изучения устойчивости по Дирихле дискретные динамические системы. Эта теория связана с именами А. Пуанкаре, Д. Биркгофа и Э. Хопфа. Здесь представляет интерес не только получение условий существования и единственности периодического решения, но и вопросы устойчивости или неустойчивости получающихся периодических решений.
Целью работы при изучение уравнения Хилла и линейной канонической системы является определение связи между их устойчивостью с соответствующими свойствами уравнения Прюфера. Для нелинейного уравнения Хилла и нелинейной канонической системы целью является получение условий существования и единственности, а также обсуждение их устойчивости и неустойчивости.
Методика исследования. Используются методы общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений, элементы теории динамических систем и систем с интегральным инвариантом.
При изучении отдельных вопросов применяются вариационные методы2, а также результаты теории дифференциальных уравнений с монотонными нелинейностями 3.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие:
1. Для изучения уравнения Хилла привлечена теория Пуанкаре-
Данжуа дифференциальных уравнений на торе.
2. Для нелинейного уравнения Хилла указаны различные условия су
ществования и единственности периодических решений, а также признаки
их устойчивости и неустойчивости.
2Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний / А.И. Перов. - Воронеж: изд-во ВГУ, 1981, - 196 с.
3Трубников Ю.В. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями / Ю.В. Трубников,А.И. Перов. - Минск: Наука и техника, 1986, - 200 с.
Для изучения линейных канонических систем с периодическими коэффициентами применяется теория Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе.
Для нелинейных канонических систем приведены эффективные признаки существования и единственности периодических решений, а также обсуждается их устойчивость и неустойчивость.
Теоретическая и практическая значимость. Ценность работы теоретическая. Материал диссертации может быть использован в вузовских лекционных курсах на кафедрах физико-математического профиля, на которых читается теория нелинейных колебаний.
Аппробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались: на региональной межвузовской научно - практической конференции "Из режима функционирования - в режим развития "(Воронеж, 2007), на Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна - 2008 (Воронеж, 2008), на региональной межвузовской научно - практической конференции "Стратегии развития - инновационно-инвестиционную активность "(Воронеж, 2008), на региональной межвузовской научно - практической конференции "Экономический кризис России: социально-экономический, правовой и гуманитарные аспекты"(Воронеж, 2009), на научном семинаре кафедры нелинейных колебаний под руководством профессора А.И. Перова (ВГУ, 2006-2009).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах. Из совместных публикаций [1], [10], [11] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично автору. Работы [6], [9] соответствуют списку ВАК РФ для кандидатских диссертаций.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на пункты, заключения и списка литературы, включающего 51 наименование. Общий объем работы 106 страниц.
