Содержание к диссертации
Введение
1 Предварительные сведения 18
1.1 Функциональные пространства 18
1.1.1 Пространства Соболева 19
1.1.2 Теоремы вложения 21
1.1.3 Пространства Бесова 22
1.2 Эллиптические краевые задачи 23
1.2.1 Разрешимость основных эллиптических краевых задач 23
1.2.2 Нелинейные эллиптические краевые задачи . 24
2 Теоремы существования решений для краевых эллиптических задач 29
2.1 Основной аппарат вариационного метода. Реализация вариационного подхода для нелинейных эллиптических задач 29
2.2 Теоремы существования и регулярности решений для уравнений с разрывными нелинейностями 34
2.3 Доказательство основных результатов 40
2.3.1 Доказательство теоремы 2.2.1 40
2.3.2 Доказательство теоремы 2.2.2 45
2.3.3 Доказательство теоремы 2.2.3 51
Содержание 2
2.3.4 Доказательство предложения 2.2.1 55
3 Правильные решения и устойчивость множеств решений краевых эллиптических задач с разрывными нелинейностями 57
3.1 Правильные решения краевых эллиптических задач с разрывными нелинейностями 57
3.1.1 Постановка задачи 58
3.1.2 Формулировка основных результатов о правильных решениях 62
3.1.3 Доказательство предложения 3.1.1 69
3.1.4 Доказательство предложения 3.1.2 71
3.1.5 Доказательство теоремы 3.1.1 73
3.1.6 Доказательство теоремы 3.1.2 81
3.2 Устойчивость множеств решений эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями 86
3.2.1 Постановка задачи и формулировка основных результатов 6
3.2.2 Доказательство теоремы 3.2.1 91
3.2.3 Доказательство следствий из теоремы 3.2.1 . 94
4 Краевые эллиптические задачи с параметрами 97
4.1 Нелинейные краевые эллиптические задачи на собственные значения 97
4.1.1 Постановка задачи и основные результаты 97
4.1.2 Доказательство результатов 103
4.2 Нелинейные краевые эллиптические задачи с распределённым параметром 107
4.2.1 Постановка задачи и основные результаты 107
4.2.2 Доказательство основных результатов 113
Список литературы
- Теоремы вложения
- Теоремы существования и регулярности решений для уравнений с разрывными нелинейностями
- Формулировка основных результатов о правильных решениях
- Нелинейные краевые эллиптические задачи с распределённым параметром
Введение к работе
Решение любой физической задачи начинается с построения математической модели предметной области. Числовые характеристики, определяющие модель, находятся посредством анализа результатов замеров или экспериментов. Сама процедура составления и проведения этих измерений опосредована теориями и приборами, которые описывают физическую реальность лишь с некоторой долей правдоподобия. Таким образом, имеется целое множество моментов, накладывающих отпечаток неточности в получаемой модели. Это только одна сторона.
Другая сторона заключается в том, что элемент неточности сознательно закладывается в модель, чаще всего с целью ее упрощения.
Многие задачи теории управления, механики и математической физики в своих математических моделях содержат разрывные нелинейности. Например, такие нелинейности могут возникать как идеализация непрерывных процессов, в которых наблюдаются короткие промежутки с резким изменением тех или иных параметров. Так как структуру такого изменения отследить довольно сложно, то в уравнениях просто считают, что некоторая функция имеет разрыв и решают задачу в таком предположении. Тем не менее при таком подходе остается открытым вопрос о том, насколько решение получившейся задачи адекватно отражает физическую действительность. Вопрос о близости множеств решений уравнения с допредельными нелинейностями и множества обобщенных решений с идеализированными разрывными характеристиками был поставлен в работе [9].
Введение
Долгое время в физике считалось, что все процессы в природе происходят непрерывно. Однако в начале 20 века были открыты факты, опровергнувшие такие допущения. В числе подобных фактов, стоят например явления сверхтекучести и сверхпроводимости, когда при достижении определенных низких температур скачком происходит полное исчезновение вязкости и электрического сопротивления соответственно.
Можно даже привести гораздо более простой пример процесса с некотролируемыми скочкообразными изменениями параметров. Рассмотрим тело покоящееся на плоской поверхности. Прицепим к нему нить и начнем тянуть за неё это тело. При постепенном наращивании прикладываемой силы тело поначалу будет находиться в полном покое, но при достижении определенного порогового значения произойдет резкий рывок тела и после этого оно уже плавно покатиться по поверхности. В описанной ситуации идеализированной моделью зависимости скорости от силы будет функция, имеющая разрыв.
В данной работе изучаются краевые эллиптические задачи, содержащие нелинейные слагаемые, разрывно зависящие от фазовой переменной.
Пусть Q - ограниченная область в R" (п > 2) с границей дії класса С2ЛаЄ(0,1), Lu{x) = - ^2(aijUXi)Xj + c(x)u(x) - равномерно эллиптический формально сопряженный дифференциальный оператор с коэффициентами ац 6 C1,a(Q), %(х) = Щі(х) на П,сеС'а{Щ.
Рассматривается нелинейная краевая задача Lu(x) + g0(x, u(x)) = 0, х П (0.1) Bu\oa = /, (0.2)
Введение где (0.2) - одно из следующих основных краевых условий:
Дирихле, если Bu = и;
Неймана, если Ви — -г— = У
Будет предполагать, что нелинейность до(х,и) удовлетворяет условию (*): (*1) функция до : П х R — R борелева (mod 0) [10], что означает существования множества I С U х R, проекция которого на Q имеет меру нуль, и борелевой на ft х R функции, совпадающей с до{х,и) на (П х R) \ I ; s~-*u (*2) для почти всех х Є Q сечение #0(^,') имеет на R разрывы только первого рода и для произвольного и Є Ж верно включение 9о(х,и) Є [5_(ж,г*),р+(ж,и)], 0_(ж,и) = liminf g0{x,s), g+(x,u) = limsupflbfos); (*3) существует постоянная b > 0 и функция а Є 5(П), q>2, такие, что для почти всех х Є П верно неравенство
Ыя,и)| < й |«Г + а{х) Уи R, 0 < г. (0.3)
Предполагается, что функция /(e), определенная на границе Ш, лежит в пространстве Бесова Bq~ 'я(дї), если мы рассматриваем краевую задачу Дирихле; если мы рассматриваем краевую задачу Неймана или третью краевую задачу.
Введение
Обобщенным решением задачи (0.1)-(0.2) будем называть функцию и Є Wg(Q), удовлетворяющую граничному условию (0.2) и для почти всех х Є Г2 включению -Lu(x) 6 \g-(x,u(x)),g+{x,u{x))].
Сильным решением задачи (0.1)-(0.2) называется обобщенное решение, удовлетворяющая для почти всех х Є О, уравнению (0.1). Сильное решение и задачи (0.1)-(0.2) называют полуправильным, если для почти всех х Є 1 значение и(х) является точкой непрерывности #о(#, ).
К задачам, допускающим постановку в таком виде, относится известная модель отрывных течений несжимаемой жидкости, предложенная М.А. Гольдштиком [4]. В работах [42] и [43] рассматривалась задача Дирихле с нулевым граничным условием и с положительной разрывной нелинейностью, к которой сводилась задача о нагреве проводника при постоянном напряжении и постоянной температуре на поверхности проводника в случае, когда электропроводность материала при переходе через определенные температуры меняется скачком. В работе [40] Frankel L.E. и Berger M.S. описали математическую модель вихревых колец в идеальной жидкости, также имеющую вид (0.1)-(0.2).
В работе [38] были рассмотрены некоторые естественные задачи со свободными границами: задача с препятствием, задача о просачивании вод с поверхности, задача Стефана. Иссследование этих задач может быть сведено к поиску неподвижных точек многозначных отображений. Исследуются задачи с разрывными нелинейностями вида Lu(x) = -ф(х,и(х)) в П, где L — эллиптический или параболический дифференциальный оператор, ГЇ — ограниченная область в Жп с достаточно гладкой границей (для параболических уравнений краевая задача рассматривается в цилиндре), нелинейность ф(х,у) определена на 13 х R и может быть разрывна по у.
Вариационный метод исследования задачи (0.1)-(0.2) с разрывны-
Введение ми нелинейностями был использован Павленко В.Н. в работах [18], [17], [19], [21], [24], [30], [25]. В [17] и [19] доказываются утверждения о разрешимости уравнения Тх — 0 в случае, когда Т - квазипотенциальный оператор, при этом заранее не предполагается, что оператор Т монотонен. Полученные теоремы использованы для установления предложений о существовании полуправильных решений задачи Дирихле для уравнения (0.1).
Основные результаты диссертации относятся к проблеме существования обобщенных, сильных, полуправильных, корректных и правильных решений краевой задачи (0.1)-(0.2).
В первой главе даны приведены необходимые для дальнейшего изложения предварительные сведения о функциональных пространствах Соболева и Бесова, теоремы вложения для пространств Соболева, тес-ремы о разрешимости основных типов краевых задач эллиптического типа, приведена постановка нелинейной эллиптической задачи и связанные с ней понятия и определения.
Вторая глава диссертации посвящена теоремам существования полуправильных решений для резонансных эллиптических задач с разрывной нелинейностью. Под такими задачами мы понимаем следующее: Ai = 0 является собственным значением оператора L, соответствующим граничному условию (0.2); параметр г из условия (*3) удовлетворяет неравенству 0 < г < 1 (в этом случае мы будем говорить, что нелинейность до имеет подлинейный рост).
Далее через N(L) будем обозначать ядро оператора L, т.е. множе-
Введение ство решений однородной краевой задачи Lu(x) = 0, х Є Q (0.4) Bii|en = 0. (0.5)
Систематическое изучение резонансных краевых задач началось с основополагающей работы Ландесмана и Лазера [41], где предполагалось, что нелинейность go(x,u) = g(u) непрерывна на Ж , существуют lim g{u) — g± и g~ < g(u) < g+ для любых u R, а размерность u—»±oo ядра AT(L) равна единице. При таких допущениях было доказано, что решение задачи (0.1)-(0.2) с нулевым граничным условием (/ = 0) существует тогда и только тогда, когда верно неравенство д+ I ф(х)с1х+д- / ф{х)(іх < 0 г г (06) #+ / ф{х)<1х-\-д- і ф(х)Ж '{ ]tx где ф — базисная функция N(L).
В дальнейшем было придумано множество подобных условий, которые теперь носят названия условия типа Ландесмана-Лазера.
Например, в [32) указан следующий критерий существования решения. Пусть нелинейность д{х,и) ограничена, д+(х) — liminf #(;r, в), s—»+оо д~(х) — lim sup д(х, з). а—>— оо
Тогда выполнение следующего неравенства для любой ненулевой функции ф(х) из ядра N(L)
0< / д+(х)ф{х)йх + / д~{х)ф{х)йх (0.7) гарантирует существование решения краевой задачи (0.1)-(0.2). В главе 2 мы покажем, что соотношение является следствием условия из
Введение предложения 2.2.1 при г = 0. Это означает, что мы в данной работе требуем выполнения более слабых ограничений на нелинейность, которые гарантируют существование решений.
В работе [37] К.С. Chang, базируясь на понятии обобщенного градиента Кларка для локально липшецевых функций и обобщих для них условие Palais-Smale (P.S. условие) и деформационную лемму, развил вариационный подход применительно к краевым задачам для уравнения эллиптического типа с разрывными нелинейностями. В частности, он доказал теорему о существовании и Є VF|m(^) П W' (П), удовлетворяющей включению -Аи(х) Є [g_(x,u),g+(x,u)} для почти всех х Є О, где А — формально самосопряженный, равномерно эллиптический, линейный дифференциальный оператор порядка 2т с достаточно гладкими коэффициентами, функция go(x,s) суперпозиционно измеримая и ограниченная на Q х Ш, и для неё выполнено условие lim / uN(AU\u\\^ooJn dx / ga(x,s)ds = ±оо, Jo N(A) — множество решений Аи(х) = 0, удовлетворяющих нулевым граничным условиям Дирихле.
Основным результатом второй главы является теорема о существовании полуправильного решения для задачи (0.1)-(0.2) с неограниченной нелинейностью, имеющей подлинейный рост. Условие, которое мы предлагаем в качестве обобщения условий типа Ландесмана-Лазера для неограниченных нелинейностей имеет вид lim и .,,„ I dx I g0{x,s)ds-= +00, (0.8) ІМН»ж*)є№) I1VI \2rJn Jo где параметр г — скорость роста нелинейности до из условия (*3). Заметим, что при г — 0 получиться условие, предложенное Chang,
Введение которое является наиболее общим из рассматриваемого класса условий типа Ландесмана-Лазера.
Также во второй главе рассмотрены неоднородные задачи и приведены достаточные легко проверяемые условия для проверки соотношения (0.8).
Третья глава посвящена вопросам устойчивости решений (0.1)-(0.2). Ранее мы ввели понятия обобщенного, сильного и полуправильного решения, которые были призваны охарактеризовать решения краевой задачи по формальным признакам. Устойчивость решения отражает уже совсем другое качество решения, которое, вместе с полуправильностью, является определяющим для физических приложений.
В работе [7] исследовались интегральные уравнения x(t)= ( G{x,t)f{s,x{s))ds, (0.9) где функция G(x, і) измерима, а оператор Bx{t)= I G{t,s)x{s)ds вполне непрерывен из Lco(o, 6) в С(а, Ь); функция f(x, t) суперпозици-онно измерима и удовлетворяет условию Um sup Л^І = о. (0.10) M~»cc a Для такого интегрального уравнения было сформулировано понятие полуправильного решения, приведенное выше и доказана следующая теорема. Теорема 0.0.1 Пусть ядро G(x,s) почти всюду положительно, а функция f(t,x) удовлетворяет соотношению (0.10) и не убывает по переменной х. Тогда уравнение (0.9) имеет по крайней мере одно полуправильное решение. Введение Там же, было дано определение усиленно корректного решения. Решение x*(t) уравнения (0.9) называется усиленно коректным, ее-ли Vs > 0 36 > 0, что в ^-окрестности решения ж* (t) лежит по крайней мере одно полуправильное решение любого удовлетворяющего условиям теоремы 0.0.1 уравнения x{t) = / Gi(x,t)/i(s,x(s))^5, ядро которого при почти всех t удовлетворяет неравенству ь \G(t,s)~Gl(t,s)\ds<6 и хаусдорфово расстояние от графика функции fi(t,x) до графика функции /(, х) не превышает 8. В этой работе Красносельский и Покровский впервые сформулировали понятие правильного решения, как полуправильного и усиленно корректного решения. Они дали следующий критерий правильности решения. Теорема 0.0.2 Пусть выполнены условия теоремы 0.0.1 и G(t,s) > 7 > 0. Пусть решение ж*() (получающееся некоторым итерационным процессом, который мы тут не будем описывать) изолировано. Тогда это решение правильное. Теорему 0.0.2 можно рассматривать как аналог доказанной в главе 3 теоремы 3.1.2, а сравнению результатов посвящено предложение 3.1.2, где доказывается, что малое уклонение нелинейности в метрике Хаусдорфа влечет малое отклонение в интегральной метрике (см. формулу 3.6)), которая используется в настоящей работе. В работе [8] тех же авторов они немного изменили терминологию, назвав полуправильные решения правильными. Теперь уже рассмат- Введение ривалась краевая задача Au + f(x,u) = 0, хЄІЇ (0.11) «|«ї = 0. (0.12) Для нелинейности f{x,u) предполагалось выполнение одностороннего условия Липшица, т.е. (« - v)(f(x, и) - /(аг,«)) > -/*(г)(« - vf (0.13) при |и|, |и| < г, ж Є Q, г є ИЦ.. Теорема существования полуправильного решения для такой задачи формулировалась в предположении ограниченности нелинейности. Далее авторы дают другое по сравнению с [7] определение корректного решения. Теперь корректным решением (0.11)-(0.12) называется такое решение щ, что для любого є > 0 существует 5 > 0, что каждая краевая задача Аи + д{х, и) = 0, х Є ft (0.14) «Ian ==0 (0.15) имеет по крайней мере одно полуправильное решение в е-окрестности ісо(П) решения щ, если хаусдорфово расстояние между графиками нелинейностей / и д над О х (—6~1,6~1) меньше <5 и если д(х,и) удовлетворяет одностороннему условию Липшица с той же /х(г), что и /. Авторы указали следующую теорему существования правильных решений. Теорема 0.0.3 Пусть / суперпозиционно измерима, ограничена и удовлетворяет одностороннему условию Липшица, и задача (0.11)-(0.12) имеет не более счетного числа классических решений. Тогда эта задача имеет по крайней мере одно корректное решение. Обратим внимание на прямую аналогию этой теоремы со следствием 3.1.2, доказанным в главе 3, где уже не предполагается ограни- Введение ченность нелинейности и выполнение для неё одностороннего условия Липшица. Отметим также работу Покровского А.В. [31], где рассматривались абстрактные уравнения с монотонными операторами и возможные приложение к дифференциальным уравнениям с частными производными. В работе [9] авторы явно указывают, что нелинейные звенья с однозначными или многозначными характеристиками обычно возникают как идеализация звеньев, непрерывные характеристики которых содержат участки быстрого роста по переменной щ при этом удобно считать, что непрерывные характеристики содержат малый параметр є > 0, а идеализация возникает как предел при є —» 0. В подобных ситуациях важен анализ близости множеств F(e) решений уравнений с допредельными нелинейностями и множества F(0) обобщенных решений уравнения с идеализированными разрывными характеристиками. В данной постановке вопрос решался в работе [30], где рассматривалась нерезонансная задача с положительно определенным эллиптическим оператором, а нелинейность предполагалась ограниченной, и все её разрывы были расположены на конечном числе поверхностей, отделенных друг от друга на некоторое положительное расстояние. При этом аппроксимирующие нелинейности строились следующим образом. Фиксировалась малая окрестность каждой из поверхностей разрыва исходной нелинейности, и приближенная нелинейность полагались равной исходной вне этой окрестности. Внутри же окрестностей разрыв некоторым образом "сглаживался". Результат работы [30] об устойчивости решений полностью перекрывается теоремой 3.2.1 данной диссертации. Более того мы расширили класс исходных нелинейностей и допустимых для них апроксима-ций, введя интегральные метрики, которые позволяют приближенным нелинейностям отклоняться на большую величину от исходной нели- Введение нейности, но только на множестве небольшой меры. Также следует отметить, что в рамках следствия 3.2.1 формулируется новое условие, обеспечивающее коэрцитивность вариационного функционала, и это условие обобщает требования, накладываемые на нелинейность с докритическим ростом в работах других авторов (см. замечание 3.2.2). Предположения, в рамках которых сформулированы теоремы главы 3 включают нелинейности с докритическим ростом, т.е. такие, в ко- . . 71 + 2 торых параметр г из условия (*) удовлетворяет неравенству г < ТЬ ' ^ (если п = 2, то на г не накладывается каких либо ограничений). Данная оценка для скорости роста нелинейности появляется и в ряде других подходов и связана прежде всего с операторной постановкой исходной краевой задачи. В четвертой главе диссертации рассмотрен два класса полулинейных краевых эллиптических задач с параметрами: задачи со спектральным параметром и задачи с распределенным параметром. В общей операторной постановке нелинейные задачи со спектральным параметром были поставлены в [6]. В данной работе мы рассматриваем следующую задачу Lu{x) = \go(x,u(x)), жЄІ2 (0.16) Ви|да=0. (0.17) В таком виде можно оформить упомянутую выше задачу Гольд-штика. Задача (0.16)-(0.17) рассматривались H.J. Kuiper в [42] и [43], I. Massabo в [44] и [45], I. Massabo и С.A. Stuart в [46]. Цель исследования в таких задачах — нахождения таких А > 0, при которых краевая задача имеет решение (нетривиальное решение), а также выяснение различных свойств множеств решений. Из всего ряда работ в данном направлении мы выделим работы [27], [28] и [29], результаты которых развиваются и расширяются в Введение диссертации. Теоремы 4.1.1 и 4.1.2 являются обобщением результатов [27] и [28] на случай нелинейностей с подлинейным ростом для резонансных и нерезонансных задач, и посвящены существованию луча (Ао,+оо) положительных собственных значений задачи (0.16)-(0.17), где под собственным значением понимается такое А, при котором задача (0.16)-(0.17) имеет нетривиальное решение. Наличие тривиального решение этой задачи обуславливается априорным предположением до(х, 0) = 0 для п.в. х Є fi. Одним из основных условий в упомянутых теоремах, так как и в соответствующих теоремах из [27] и [28], является условие существования такой функции uq(x), что верно неравенство г гМ%) I dx I go(x,s)ds > 0. Jo. Jo Мы доказываем предложение 4.1.1, содержащее необходимое и достаточное условие для существования подобной функции щ(х). Более того, в отличие от упомянутых работ мы даем оценку для величины Ао-Дополнительно к общему случаю мы доказываем теорему о существовании луча положительных собственных значений в ситуации, когда существуют конечные пределы 9±{х)= lim до(х,и), s—*±cc а задача Lu{x) = gQ(x,u(x)), х є ft (0.18) Bu\ffa = 0 (0.19) имеет нетривиальное корректное решение, где _ , х , 9+(х)> ПРИ s > 0, go{x,s)= <, 9-{х), при s < 0. Введение Далее, используя результаты главы 3 мы доказываем теорему об устойчивости множества собственных функций задачи (0.16)-(0.17) по отношению к возмущению дифференциального оператора, спектрального параметра и нелинейности. Этот результат обобщает соответствующую теорему из [29], т.к., во-первых, мы рассматриваем неограниченные нелинейности, а, во-вторых, в упомянутой работе принцип выбора аппроксимирующих нелинейностей заимствован из [30] (этот принцип был описан выше). Вторая часть четвертой главы посвящена полулинейным краевым эллиптическим задачам с распределенным параметром: Lu(x) + ga(x,u(x),Wa(x)) = 0, хе О, (0.20) Bu\dn = 0. (0.21) В данной постановке возмущениям вместо нелинейности до подвергается распределенный параметр wq(x), который можно интерпретировать как управление. Историография исследования устойчивости решений этой задачи приведена в работе D. Bors и S. Walczak [36], однако во всех упомянутых там статьях фигурируют непрерывные нелинейности. Так как самые новые результаты для проблемы устойчивости решений задач с распределенным параметром получены авторами в работах [35] и [36], то мы проведем сравнение именно с ними. Чтобы использовать результаты главы 3 для задач с распределённым параметром мы ввели класс полукаратеодориевых функций и доказали ряд свойств, связанных с этими функциями (утверждения 4.2.1 и 4.2.2). В отличие от работ D. Bors и S. Walczak, где предполагалась непрерывность нелинейности go(x,u,w) по совокупности переменных (it, ги) при фиксированном х, мы допускаем разрывы по фазовой переменной. Второй отличительной особенностью результатов является использование более сильной топологии при описании сходимости решений, Введение что, однако, потребовало ужесточение требования на рост нелинейности по отношению к распределенному параметру (см. условие (* * 2)). И последнее, что следует отметить — это то, что для доказательства теоремы 4.2.2 об устойчивости множеств решений мы не предполагаем коэрцитивности вариационного функционала. Основные результаты диссертации опубликованы в [48]-[56]. В совместных работах научному руководителю В.Н. Павленко принадлежит постановка задач, диссертанту - получение конкретных результатов. Основные результаты докладывались конференции ИНПРИМ-2000 в Новосибирске (2000г.), на Воронежских математических школах (2003г., 2005г.), на XXVI Конференция молодых ученых мехмата МГУ (2004г.), на Международной конференции "Nonlinear partial differential equations" в Алуште (2003г.), на научных семинарах кафедры вычислительной математики математического факультета Челябинского государственного университета. В заключение, автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору В.Н. Павленко, за постановку задачи и помощь в работе. Равномерная эллиптичность означает, что существует положительная константа х такая, что для для произвольного вектора (е!"и произвольной точки х Є П выполняется неравенство п Рассматривается краевая задача Lu(x) = f(x), х Є ft (1.1) ВПІСКЇ = 9, (1.2) где оператор граничного условия В задает одно из трёх следующих основных граничных условий: Дирихле, если Ви — и; я п Неймана, если Ви = —— = V ajj(x)uXi cos(n, Xj), где cos(n, Xj) - направляющие косинусы внешней нормали п к границе dVt\ третье краевое условие, если Ви = -z 1- а(х)и(х), где функ ция а Є С1,а(Г) неотрицательна на дО, и не равна тождественно нулю. Предположим, что оператор L, рассмотренный на множестве функций из VF22(n), удовлетворяющих нулевому граничному условию Bu\ga -О, положительно определён, т.е. наименьшее собственное значение оператора L, соответствующее граничному условию Bu\dsi = 0, положительно. Теорема 1.2.1 Пусть l 2, 1 р ос u Bu = и. Тогда для любых f(x) Є Wp 2{Vt), g Є Bp ІР{дО) существует единственное решение у(х) Є W (fi) задачи (1.1)-(1.2). Это решение удовлетворяет неравенству где константа С не зависит от / и д. Теорема 1.2.2 Пусть 1 2, 1 р оо и _ ди - , , . , _ ди . . . . Ви = j— aij\x)uxt cos(n, Xj) или Ви = — 1- и{х)и{х), где cos(n, Xj) - направляющие косинусы внешней нормали п к границе дО.. Тогда для любых f{x) Є Wp 2{Q), g Є Bp p(dQ) существует единственное решение у(х) Є W Q) задачи (1.1)-(1.2). Это решение удовлетворяет неравенству где константа С не зависит от f и д. Доказательство данных теорем можно найти в работах [13], [15]. Пусть как и выше L — равномерно эллиптический оператор. Рассматривается нелинейная краевая задача где (1.4) - одно из трёх основных краевых условий. Будет предполагать, что нелинейность QQ(X, U) удовлетворяет условию ( ): ( 1) функция g0 ; Q х Ж —» К борелева (mod 0) [10], что означает существования множества I С П х Ш, проекция которого на Г2 имеет меру нуль, и борелевой на Q х Ш функции, совпадающей с до(%, и) на (П х Ж) \ I ; S— U ( 2) для почти всех х Є П сечение ?о (ж, ) имеет на R разрывы только первого рода и для произвольного и Є Ш верно включение д0{х, и) є \д-(х,и),д+(х, и)}: д {х, и) = liminf gQ{x, s), g+(x, и) = Umsvpgo(x,s)\ S—+U ( 3) существует постоянная 6 0 и функция а Є Lq(Q), q 2, такие, что для почти всех х Є П верно неравенство Предполагается, что функция /(s), определенная на границе 3Q, лежит в пространстве если мы рассматриваем краевую задачу Дирихле; если мы рассматриваем краевую задачу Неймана или третью краевую задачу. Замечание 1.2.1 При исследования уравнений указанного вида естественным образом возникает общее ограничение на нелинейность д0(х, и), а именно требуется, чтобы эта функция была суперпозиционной измеримой (см. ниже). Многие исследования исходят именно из такого предположения, однако вариационный подход, с помощью которого доказаны основные результаты данной работы, предъявляет свои требования к нелинейной части краевой задачи (1.3)-(1.4). Например, как минимум должен быть корректно определен вариационный функционал, который будет описан ниже, на пространстве Н1(І) или Яд(Г). Мы ссылаемся на [10], где отмечено, что борелевы (mod 0) функции являются суперпозиционно измеримыми (этот факт будет также доказан в главе 4). Кроме того, если выполнено А-условие (А1-условие), то такое UQ является полуправильным (сильным) решением задачи (2.5)-(2.6). Замечание 2.2.1 Условие 3) в теореме 2.2.2 напрямую обобщает соответствующее условие 4) теоремы 1.3 из [26] на случай неограниченных нелинейностей с подлинейным ростом. Отметим, что в [26] нелинейность до(х,и) ограниченная. Теперь сформулируем аналогичный результат, касающийся задач с ненулевыми граничными условиями. Теорема 2.2.3 Пусть выполняются следующие условия: 1) оператор С неотрицательно определенный, т.е. (и,и) 0 для любого ненулевого и Є X; 2) нелинейность до удовлетворяет условию ( ) с параметром - г 1; 3) выполняется следующее соотношение 1 / /ч&( ) lim ., ..., / dx / g0(x,5)rfs +оо, (2.10) где через N(L) обозначено ядро оператора L. Тогда для любого f Є Bq (dQ) (для краевого условия Неймана и третьего краевого условия f Є Bq q{dO)) краевая задача (2.5)-(2.6) имеет по крайней мере одно обобщенное решение щ Є W (Q,). Кроме того, если все разрывы нелинейности до падающие (см. замечание 1.2.3 на стр. 28), то у краевой задачи (2.5)-(2.6) найдется полуправильное решение щ Є И 2(0). Замечание 2.2.2 В непрерывном случае, т.е. когда нелинейность до ка-ратеодориева (что является предметом обсуждения во многих работах), мы немедленно получаем теорему о существования сильного решения. Сразу следует обратить внимание, что тут уже не идёт речь о существовании сильных или полуправильных решений в более общих ситуациях, т.к. эти свойства решений связаны с выполнением А-условия или Al-условия, однако в данном случае происходит "сдвиг" фазовой переменной за счет ненулевого граничного условия, что влечет малопредсказуемые изменения в поведении поверхностей разрыва нелинейности, поэтому даже если для нелинейности до указанные условия и выполнялись, то после сдвига этого утверждать нельзя. Второй момент, который бы хотелось отметить, это то что в данном случае нелинейность должна соответствовать некоторому росту, т.е. в данной теореме мы не допускаем медленно растущих нелинейностей и требуем, чтобы параметр г в условии ( 3) на стр. 25 был как минимум -, что в свою очередь влияет на условие 3) теоремы. При использовании сформулированных теорем в какой-то конкретной ситуации возникает естественный вопрос о том, как проверить условие 3) этих теорем. Мы приведем результат, позволяющий сделать это для достаточно широкого круга нелинейностей. Это означает, что Gto(x) — измеримая функция, т.к. инфимум счетного числа измеримых функций измерим. Далее, т.к. G+(x) = lim Gn(x), то G+(x) измерима, как поточечный предел измеримых функций. Аналогично доказывается измеримость функции G-(x). Т.о. G+ и G- измеримы и ограничены суммируемой со степенью q функцией, поэтому по теореме Лебега это функции из пространства Lq(Q). Этот факт необходим нам, чтобы корректно сформулировать следующий результат. Пусть для каждой непулевой функции ц Є N(L) выполняется неравенство Замечание 2.2.3 Указанное достаточное условие является обобщением условия Ландесмана-Лазера на случай неограниченных нелинейностей со степенным ростом. Это новое условие может быть подвергнуто проверке для любой нелинейности до(х}и), удовлетворяющей условию ( ). В то же время условие Ландесмана-Лазера дополнительно требует существование пределов на ±оо, причем нелинейность должна быть строго зажата между этими пределами. Замечание 2.2.4 В случае одномерности ядра N(L) проверка указанного в предложении 2.2.1 условия сводится просто к подстановке в него функций ф{х) и —ф(х), где ф(х) — базисная функции ядра N(L). Замечание 2.2.5 В доказательстве предложения 2.2.1 можно заметить, что показатель степени г+1 в (2.12) оказывается по существу только для неравенства г + 1 2г. Однако мы использовали г + 1 для того, что бы корректно определить функцию G±(x) и соответствующие интегралы. Однако, если вдруг окажется, что для некоторого числа р Є (2г,г + 1) можно корректно определить суммируемые функции то предложение 2.2.1 будет по прежнему верным. Замечание 2.2.6 Во введении мы привели условие (0.7), гарантирующее существование решения краевой задачи с ограниченной нелинейностью. Покажем, что аналогичное условие (2.12) при г О является более слабым ограничением. Действительно, это немедленно следует из неравенств которые означают, что правая часть неравенства в условии (2.12) оказывается больше, чем правая часть условия (0.7). Известно, что ядро N(L) является конечномерным [3], и что касается случая неодномерного ядра, то тут с большой долей вероятности стоит отбросить попытки доказательства выполнения условия (2.9) в том виде, в котором оно сформулировано, а попытаться использовать предложение 2.2Л. Конечно, мы допускаем, что бывают некоторые специальные ситуации, в которых даже в случае многомерного ядра можно сразу установить справедливость условия (2.12). Такой специальной ситуацией несомненно является выполнение неравенства G±(x) 0 для всех х Є ft. Договоримся обозначать через Y пространство Бесова: если мы рассматриваем краевую задачу Дирихле; если мы рассматриваем краевую задачу Неймана или третью краевую задачу. Пространство X имеет тот же смысл, что и в главе 2. При исследовании на корректность решений краевой эллиптической задачи (3.1)-(3.2) мы будем возмущать граничное условие, коэффициенты дифференциального оператора и нелинейность уравнения (3.1). При этом мы выделим в качестве частного случая ситуацию, в которой изменениям подвергается только нелинейность. Такая дифференциация вызвана причинами, схожими с теми, что были описаны после формулировки теоремы 2.2.3 на стр. 36. Ещё раз повторимся, что введение ненулевого граничного условия, а теперь и возмущений дифференциального оператора, ведет к тому, что А-условие и А1-условие, обеспечивавшие то, что обобщенные решения краевой задачи получались полуправильными или сильными, пропадают. Сохранение этих условий возможно лишь в некоторых специальных ситуациях (например, если априори нелинейности каратеодориевы или имеют лишь "падающие" разрывы по фазовой переменной). Определение корректного решения дадим по следующей стандартной схеме. Пусть задана мера отклонения нелинейностей R(ga,g), характеризующая различие двух функций, представляющих нелинейные части соответствующих краевых задач. Сразу условимся, что мера отклонения граничных условий будет задаваться метрикой пространства F, а возмущения коэффициентов дифференциального оператора будут происходить в равномерной метрике на П. Определение 3.1.1 Обобщенное решение щ Є И (П) задачи (3.1)-(3.2) с нулевым граничным условием будем называть корректным, если найдется такое 6 0, что для любой последовательности (} 6 8k 0, удовлетворяющей условию 6 — 0, приближенная краевая задача имеет по крайней мере одно обобщенное решение, причем возможно построить последовательность {щ}, состоящую из обобщенных решений соответствующих краевых задач, слабо сходящуюся к щ в пространстве Wq (О,), где граничное условие удовлетворяет неравенству ДЦу fc/ коэффициенты Хц{х) и с (ж) дифференциального оператора Lk подчиняются тем же ограничениям на гладкость, что и соответствующие коэффициенты оператора L и отличаются от последних не более чем на дк в метрике С(І); функции gk(x,u) удовлетворяют условию ( ) с такой же как и для да(х,и) функцией а Є Lq(Q) и константами 6,г О в оценке (3.3), а также неравенству R{go,9k) fa Определение сформулировано таким образом, чтобы требовать от исходной задачи и приближенных задач как можно меньше различных искусственных условий. Однако, если мы возвращаемся к исходному физическому смыслу, то как уже говорилось разрывная нелинейность может быть идеализацией непрерывного изменения с узкими участками быстрого роста. В этом случае можно ограничиться рассмотрением каратеодориевых приближений исходной нелинейности, и тогда для аппроксимирующих задач заведомо выполняется А-условие, что даст нам основания говорить в дальнейшем, что мы рассматриваем полуправильные решения и близкие к ним решения аппроксимирующих задач, которые также являются полуправильными решениями. Наконец, дадим определение правильного решения, следуя [7]. Определение 3.1.2 Правильным решением задачи (3.1)-(3.2) называется корректное и полуправильное решение этой задачи. Как мы видим, класс корректности, а значит класс правильных решений, зависит от способа определения меры отклонения нелинейно-стей. Например, в работе Красносельского и Покровского [7] в качестве такой меры бралось хаусдорфово отклонение графиков нелинейностей в R"+1, и мы покажем, почему результаты данной работы в достаточно широком классе нелинейностей покрывают упомянутые результаты. Теперь (3.24) немедленно следует из того, что hk — 0 ъ пространстве W%(Q), а как следствие и в Lr+i(Q), т.к. в силу наложенных на г ограничений пространство W%{Q) компактно вложено в Lr+1(fi). Итак, показано что для любого є 0 вспомогательная задача (3.20)-(3.21) имеет для достаточно больших к решение йк в є-окрестности точки щ пространства X. Это означает, что мы сумеем построить последовательность решений {йк} соответствующих краевых задач такую Согласно теореме 2.2.1 точка йк (к — 0,1,2,...) будет являться обобщенным решением соответствующей краевой задачи из W (Q), причем лемма 2.3.1 с учетом замечания к ней гарантирует, что все эти решения будут ограничены единой константой С в этом пространстве, т.к. исходно все щ лежат в некоторой окрестности точки wo в пространстве X. Окончательно, рассматриваем последовательность щ = Щ + hk, где щ — решение приближенной задачи (3.4)-(3.5). Теперь докажем, что щ — Щ в пространстве Wq{Q). Выберем произвольную подпоследовательность {ukn}- Т.к. последовательность {ик} ограничена в рефлексивном пространстве И (П), то {икп} тоже, поэтому из неё можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность. Предположим, что Wfc„ — й. Пространство W (Q) компактно вложено в X, поэтому Ukn — й в X, но с другой стороны нам известно Uk — UQ в пространстве X (т.к. йк — щ ъ X и hk —» 0 в W (Q)). Из чего заключаем, что й = щ. Т.о. мы находимся в условиях леммы 3.1.2, поэтому ик — wo в пространстве Wq(Q). Ш Известно, что рассматриваемый класс задач имеет такую особенность, что там нет единственности решений. Так, в работе [11] приводится пример задачи, которая имеет счетное число решений. Поэтому наряду с исследованием на устойчивость отдельного решения, как мы это делали в предыдущем разделе, мы будем исследовать устойчивость подмножества решений краевой задачи, элементы которого удовлетворяют энергетической оптимальности. Под этим мы понимаем точки абсолютного минимума функционала .7л(и), т.к. этот функционал в физических приложениях может быть проинтерпретирован как энергия системы. Рассматривается эллиптическая краевая задача где оператор L, нелинейность д0, оператор граничного условия В и граничная функция / удовлетворяют ограничениям, описанным для задачи (1.3)-(1.4) на стр. 24. По аналогии с определением корректного решения 3.1.1 мы дадим определение корректного множества решений. Определение 3.2.1 Множество 9Я Є Wq(Q) обобщенных решений задачи (3.27)-(3.28) с нулевым граничным условием (f = 0) будем называть корректным, если для любого достаточно малого е найдется такое S 0, что для любой последовательности { 5fc}j 1; д Sk 0, удовлетворяющей условию ёк приближенная краевая задача имеет no крайней мере одно обобщенное решение в е-окрестности множества 9Я пространства Н1(1), причем из любой последовательности решений {ик}, состоящую из обобщенных решений соответствующих краевых задач, можно выделить подпоследовательность слабо сходящуюся к точке щ Є 2Я в пространстве W?(l), где граничное условие удовлетворяет неравенству ЦДЦг 6к; коэффициенты а -(ж) и с (ж) дифференциального оператора Lk подчиняются тем же ограничениям на гладкость, что и соответствующие коэффициенты оператора L и отличаются от последних не более чем на Зк в метрике С(0); функции gk(x,u) удовлетворяют условию ( ) с такой же как и для до(х,и) функцией а Є Lq(Q) и константами Ь,г 0 в оценке (3.3), а таксисе неравенству R(go,gk) 5к. Обозначим через SWf-z множество точек абсолютного минимума на шаре BR(0) пространства i fQ) функционала Jgo, удовлетворяющих граничному условию (3.28), где функционал J9o задается соотношением (2.4). По определению положим %№„ множество всех точек глобального минимума указанного функционала.Теоремы вложения
Теоремы существования и регулярности решений для уравнений с разрывными нелинейностями
Формулировка основных результатов о правильных решениях
Нелинейные краевые эллиптические задачи с распределённым параметром
Похожие диссертации на Существование и устойчивость решений краевых задач эллиптического типа с разрывными нелинейностями
