Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ...
1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МОНОТОННЫХ ОПЕРАТОРОВ 9
1.1 .Основные понятия и обозначения... 10
1.2 Дуальное отображение и операторы монотонного типа 14
2. МЕТОДЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С МОНОТОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ 29
2.1. Непрерывный метод регуляризации второго порядка для монотонных уравнений 30
2.2. Метод итеративной регуляризации второго порядка для монотонных уравнений 47
3. МЕТОДЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С АККРЕТИВНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ 61
3 Л. Непрерывный метод регуляризации второго порядка для аккретивных уравнений 62
3.2. Итеративный метод регуляризации второго порядка для аккретивных- уравнении 70
4. МЕТОДЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С d-АККРЕТИВНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ 79
4.1. Непрерывный метод регуляризации второго порядка для d-аккретивных уравнений 80
4.2. Метод итеративной регуляризации второго порядка для d-аккретивных уравнений 91
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 103
ЛИТЕРАТУРА
Введение к работе
Многие прикладные задачи приводятся к операторному уравнению где оператор А действует из метрического пространства X в метрическое пространство Y. Нас будут интересовать задачи вида (1), относящиеся к классу некорректных. Понятие корректности связано с исследованиями французского математика Адамара различных краевых задач для уравнений математической физики. Ему же принадлежит следующее определение.
Определение 0-0.1 . Задачу (1) называют корректной, если выполняются следующие условия:
1) задача (1) имеет решение х при любом f Y;
В) решение х единственно;
3) х непрерывно зависит от / є метриках пространств X и У ,
Если хотя бы одно из этих требований не выполняется, то задачу (1) относят к классу некорректных.
Ранее существовало мнение, что некорректные задачи не имеют физического смысла. Впоследствии выяснилось, что это мнение было ошибочным, и что многие задачи математической физики, являющиеся некорректными и, в частности, задачи, отмеченные Адамаром, имеют реальное физическое содержание. Оказалось также, что некорректные задачи возникают и во многих других разделах математики, связанных с приложениями. Некорректной является такая классическая задача математического анализа, как задача дифференцирования, если она. связана с обработкой экспериментальных данных. Кроме того, также некоторые задачи оптимального управления, задачи выпуклого программирования и многочисленные задачи математической физики, сводящиеся к уравнениям в частных производных, тоже относятся к некорректным. При численном решении любой задачи важнейшим является вопрос о непрерывной зависимости решения от данных задачи (оператора А и элемента /), так как на практике точные А и /, как правило, неизвестны. При отсутствии этого свойства непосредственное численное решение задачи невозможно. Но установление непрерывности обратного к А оператора весьма непростая задача. Этот факт также способствовал созданию теории и методов решения некорректных задач.
В отечественной математической науке сложились три школы в теория некорректных задач, основоположниками которых являются А.Н. Тихонов, М.М. Лаврентьев, В.К. Иванов. А.Н. Тихонову принадлежит следующее важное понятие регуляризиругагдего алгоритма (РА) задачи [63]. Определение 0,0.2 . Оператор R(a, f) : К — А называется регуляризирую-щим алгоритмом задачи (1), если oil обладает следующими свойствами:
a) R(a.f) определен при \/а 0 и V/ Є У;
b) существует функция а = а(6) такая, что регуляризоеаниое решение х = R(a(S),fs) —5- х при а(6) — 0, где х - некоторое решение (1), py(f\f5) 5, ру -.метрика в пространстве Y.
Параметр а называется параметром регуляризации.
Наиболее тонкие результаты в области решения некорректных задач получены для линейных операторных уравнений. Фундаментальные результаты указанного направления исследований получены в монографиях М.М. Лаврентьева [43. 44], М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, СП. Шишатского [45], А.Ы. Тихонова, В.Я. Арсенина [63], В.К. Иванова, В.В. Васина, В,П. Тананы [37], В.А. Морозова [49], А.Б. Бакушинского, А.В. Гончарского [10] и т.д. В качестве наиболее значимых методов решения линейных некорректных задач укажем: операторный метод регуляризации М.М. Лаврентьева [43], метод сглаживающего функционала А.Ы. Тихонова [63], метод невязки и метод квазирешений В.К. Иванова [36, 37]. Полные и законченные результаты в этой области достигнуты в основном благодаря использованию в качестве аппарата исследований основополагающего раздела, анализа - спектральной теории линейных операторов. Достаточно полных результатов, близких к тем, что известны в линейном случае, для всего класса нелинейных некорректных задач получить не удается. В связи с этим появилась необходимость выделения для исследований отдельных классов нелинейных задач. Важным классом нелинейных операторных уравнений являются уравнения с операторами монотонного типа. К операторам монотонного типа мы относим монотонные операторы, впервые определенные Р.И. Качуровским [40], аккретив-ные [78] и d-аккретивные [60] операторы. К таким уравнениям сводятся многие задачи математической физики, оптимального управления, задачи минимизации выпуклых функционалов, задачи о седловых точках и т.д. Подтверждением этого факта может служить утверждение: градиент выпуклого функционала является монотонным оператором [40]. Интенсивное изучение задач с отображениями монотонного типа привело к созданию целостной теории монотонных операторов, которая содержит подробное описание свойств этого класса отображений, теоремы существования решений уравнений. Существенный вклад в ее развитие внесли Ф. Браудер [73]-[76], X. Брезис [71, 72], М.М. Вайнберг [20], Р.И. Качу-ровский [40, 41], Ж.-Л. Лионе [47], С. Райх [82], Р. Рокафеллар [83]-[86] и другие математики (укажем некоторые монографии [33, 79, 81]). Их фундаментальные исследования создали базу для построения устойчивых методов решения нелинейных некорректных задач, описываемых с помощью отображений монотонного типа.
Если оператор А в уравнении (1) произвольный монотонного типа, то задача нахождения решения (1) в общем случае не является корректной. Кроме того, сходимость известных итерационных методов решения монотонных уравнений доказана лишь при выполнении требований сильной или равномерной монотонности отображения (см., например, [4, 10, 22]). Для уравнений с операторами монотонного типа операторный метод регуляризации изучен достаточно подробно.
Практически все существующие методы решения некорректных задач сводятся к решению некоторой корректной задачи, которая дает приближение к решению исходной проблемы. Наиболее известными и подробно изученными являются операторные методы регуляризации, в которых решаются семейства корректных задач, зависящих от дискретного параметра а, называемого параметром регуляризации [4, 10, 43, 44, 55]. Однако, сведение некорректных задач для дифференциальных уравнений к решению операторных уравнений неэффективно. В настоящее время разраработаны методы регуляризации, использующие дифференциальную специфику некорректных задач. Например, для решения некорректных задач управления процессами, описываемыми дифференциально-операторными уравнениями, Ж.-Л. Лионсом и Р. Латтесом был предложен метод квазиобращения [46]. Метод получил широкое распространение для задач управления и был применен для решения некорректных обратных задач. Суть этого метода заключается в том, что некорректная краевая задача заменяется корректной введением в уравнение дополнительных слагаемых с малым параметром. Кроме того, в екатеринбургской школе математиков создан метод вспомогательных граничных условий (ВГУ), в котором регуляризующие слагаемые вводятся в граничные условия. Наиболее полные результаты по вопросам корректности и регуляризации некорректной задачи Кошн изложены в [38].
В данной работе изучаются непрерывные методы регуляризации второго порядка и построенные на их основе методы итеративной регуляризации.
К непрерывным методам мы будем относить те методы решения некорректных задач, в которых роль параметра регуляризации выполняет некоторая функция a{t), і t0 0, и которые сводятся к задаче Копій для дифференциального уравнения некоторого порядка. Под порядком непрерывного метода понимают порядок дифференциального уравнения, которое его описывает.
Отметим преимущества непрерывных методов регуляризации. При решении операторного уравнения (1) с помощью непрерывных методов полнее используется априорная информация об искомом решении, появляется возможность использовать мощный современный аппарат численного решения дифференциальных уравнений, а также строить на основе непрерывных методов новые итерационные процессы для решения операторных уравнений [8]. В силу сказанного, интерес к непрерывным методам решения корректных и некорректных задач в последнее время существенно возрос. Укажем, например, следующие работы [5, 8, 21, 28, 29, 30, 34, 35, 54, 56, 62, 68].
Непрерывные методы первого порядка в гильбертовом пространстве для задач минимизации изучались Васильевым Ф.П., Альбером Я.И. (см., например, [5, 21]). Для уравнений с дифференцируемыми операторами монотонного типа в гильбертовом и банаховом пространствах сходимость непрерывных методов первого порядка изучалась в [1, 3, 5, 34, 68]. Методы второго порядка имеют ряд достоинств, выгодно отличающих их от методов первого порядка. К этим достоинствам следует отнести лучшую приспособленность для минимизации овражных и многоэкстремальных функций, по крайней мере для корректных задач [8]. Кроме того, они дают более широкую свободу при выборе методов численного интегрирования соответствующих задач Коши и позволяют эффективно распараллелить вычисления [8]. Поэтому исследование сходимости методов второго порядка для задач минимизации, для решения уравнений с операторами монотонного типа представляется интересным, Непрерывный метод второго порядка в гильбертовом пространстве для задач минимизации изучен достаточно полно (см., например, [26, 56, 62]). В работах [25, 51] рассматриваются непрерывные методы третьего порядка для задач минимизации в гильбертовом пространстве. Однако, не всякую нелинейную задачу можно рассмотреть в рамках гильбертова пространства. Примером, подтверждающим это высказывание, может служить оператор А Немыцкого, порожденный некоторой функцией а(и.х-): Аи = а(и(х).х), .т Є [«,&]. Известно [19], что А действует из Lp[a,b] в [«,&], 1/р -j- \jq = 1, тогда и только тогда, когда \а{и х)\ а\{х) + cup_1, с О, aj(x) Є іч[а, Ь], р 1. Последнее соотношение накладывает ограничение на порядок роста по и функции а(и х). Следовательно, в гильбертовом пространстве L2[a,b] порядок роста а(и,х) по и не выше линейного. Значит, существенно нелинейные задачи следует рассматривать в банаховых пространствах.
В основе решения поставленных нами задач стоит метод тяжелого шарика (см. [11, 53]), который сводится к решению задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка. Идея метода тяжелого шарика для целей оптимизации была впервые предложена японцами [77] и получила свое развитие в работе [52]. Метод "тяжелого шарика" опирается на очень прозрачную механическую аналогию между движением системы в пространстве параметров и движением материального шарика в физическом трехмерном пространстве.
Дискретные варианты непрерывных методов регуляризации для задач минимизации в гильбертовом пространстве изучались в [7, 27, 31, 50, 58]. В данной работе на основе непрерывного метода второго порядка строятся методы итеративной регуляризации, использующие иную аппроксимацию производных, нежели в [23] к генерирующие последовательности с иными свойствами.
Основу аппарата методов решения нелинейных уравнений в банаховом пространстве с операторами монотонного типа составляет оператор дуального отображения и его свойства, базирующиеся на геометрии банахова пространства. Следует отметить, что при исследовании сходимости непрерывных и итеративных методов в банаховом пространстве существенную роль играют не только свойства оператора А : Л" - А ", но и геометрические свойства банахова пространства X и его сопряженного X , другими словами, возникает необходимость использования определенных свойств дуального отображения, находящихся в тесной связи с геометрией банахова пространства, выражаемых в терминах модуля выпуклости и модуля гладкости этих пространств.
Кроме того, крайне важно для каждого тина рассматриваемых нелинейных уравнений монотонного типа правильно выбрать стабилизирующий функционал, который в отличие от гильбертова пространства ые всегда совпадает с квадратом нормы.
Диссертация состоит из четырех глав, разделенных на восемь пунктов, и заключения. Нумерация определений, лемм, теорем, замечаний и следствий тройная: первая цифра совпадает с номером главы, вторая - с номером пункта, третья цифра - порядковый номер в пункте.
В главе первой приводятся основные, используемые в дальнейшем определения п утверждения функционального анализа, а также теоремы существования решений для уравнений с операторами монотонного типа и примеры таких операторов.
Последующие главы (вторая, третья и четвертая) посвящены исследованию сходимости методов регуляризации второго порядка для нелинейных уравнений с операторами монотонного типа в банаховом пространстве.
В пунктах 2.L 3.1, 4.1 рассмотрены непрерывные методы регуляризации второго порядка для монотонных, аккретивных и d-аккретивных нелинейных уравнений в банаховом пространстве соответственно. Во всех трех случаях получены достаточные условия сходимости непрерывных методов регуляризации в форме задачи Коши для дифференциальных уравнений второго порядка, исследована устойчивость этих методов к возмущениям исходных данных задачи (т.е. оператора А и правой части / уравнения (1)). Во второй части каждой главы на базе непрерывных методов строятся методы итеративной регуляризации второго порядка для нелинейных уравнений с операторами монотонного типа в банаховом пространстве. Итеративные методы строятся таким образом, что они генерируют последовательности со свойствами соответствующих им регуляри-зованных решений непрерывных методов. Это достигается за счет определенного способа аппроксимации производных. Сохранение у таких последовательностей свойств регуляризованных решений, получаемых в непрерывных методах, необходимо для доказательства сходимости итеративных методов. Таким образом, все свойства решений непрерывных методов переносятся на последовательности. генерируемые методами итеративной регуляризации, построенными на базе рассматриваемых непрерывных методов. Аппарат теории операторов монотонного типа показал свою высокую эффективность при установлении сходимости рассматриваемых методов в банаховом пространстве.
Основные результаты предложенной работы являются новыми и вносят вклад в методы решения нелинейных некорректных задач. Они опубликованы в [12]-[17], [59]-[61] и докладывались на Международной конференции "Математическое моделирование, статистика и информатика в современном управлении экономикой1 (Самара, 2001г.), на Всероссийских научных конференциях "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2001г., 2004г.), на научной конференции 10-ой Нижегородской сессии молодых ученых (Саров, 2005г.), на научных семинарах кафедры прикладной математики Нижегородского государственного технического университета и кафедры математической физики Нижегородского государственного университета им. Н.ЇЇ. Лобачевского. Работа выполнена при поддержке РФФИ грант N99-01-00807. Результаты представляемой здесь работы отмечены стипендией администрации Нижегородской области имени академика Г.А. Разуваева и дипломом I степени 10-ой Нижегородской сессии молодых ученых.
Похожие диссертации на Непрерывные и итеративные методы решения нелинейных некорректных задач монотонного типа
