Введение к работе
Актуальность темы. В диссертационной работе исследуются некоторые вопросы теории системы Навье-Стокса во внешних областях. К их числу относятся: обоснование метода линеаризации в исследованиях устойчивости стационарных и периодических по времени решений системы Навье-Стокса во внешних областях, исследование пространственных и временных асимптотик решений, а также асимптотик стационарных решений задачи обтекания при малых числах Рейнольдса и вопросы о существовании некоторых классов решений системы Навье-Стокса. Исследования по устойчивости выполнены в рамках общего полугруппового подхода, применяемого к исследованию эволюционных уравнений с выделенной главной линейной частью. При этом подходе эволюционное уравнение рассматривается как обыкновенное дифференциальное уравнение в подходящем банаховом пространстве. Основное требование, предъявляемое к выделенному оператору, состоит в том, что в стационарном случае оператор должен порождать сильно непрерывную или аналитическую полугруппу, а в случае оператора, зависящего от времени, это условие должно выполняться в любой его момент. Это позволяет применить теорию полугрупп операторов Хилле-Филлипса-Иосиды или в нестационарном случае теорию эволюционных операторов Като, Соболевского и др. Различные аспекты полугруппового подхода развивались в работах Т. Като, М.А. Красносельского, С.Г. Крейна, П.Е. Соболевского, М.З. Соломяка, Д. Хенри, В.И. Юдовича, И.Б. Симоненко и многих других авторов.
Проблеме обоснования метода линеаризации в исследовании устойчивости стационарных и периодических решений системы Навье-Стокса и параболических уравнений в ограниченных областях посвящена монография В.И. Юдовича 1. Идеи и методы этой работы определили направление исследований для данной диссертации. Напомним, что под обоснованием метода линеаризации (например, для стационарных решений) понимается доказательство утверждения о том, что расположение спектра оператора линеаризованного на стационарном решении уравнения строго в левой полуплоскости
1Юдович В.И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости.- Ростов-на-Дону, 1984.
влечет ляпуновскую устойчивость данного решения. Следует отметить, что случай внешних областей отличается наличием у операторов Стокса и Озеена непрерывного спектра, расположенного в левой полуплоскости, причем точка ноль является точкой спектра. Применительно к проблеме устойчивости этот факт можно истолковывать как критический случай. Для соответствующих полугрупп убывание с ростом времени не является экспоненциальным. Тем не менее, как показано в диссертации, при определенных условиях на нелинейные члены обоснование линеаризации возможно.
Полугрупповой подход к исследованию системы Навье-Стокса во внешних областях стал развиваться около 40 лет назад. В первую очередь, это были работы, посвященные оценкам резольвенты оператора Стокса и полугруппы Стокса ( В.А. Солонников, П. Маремонти, W. Borchers, Y. Giga, R. Farwig, M. McCracken, H. Sohr и др .) Обзор этого направления содержится в работе В.А. Солонникова 2. Применение полугруппы Стокса к исследованию разрешимости системы Навье - Стокса в различных функциональных пространствах для внешних областей, к вопросам устойчивости и оценкам убывания решений развивалось многими авторами. В одной только работе Борхерса и Миякавы 3 приведены ссылки на исследования более 30 авторов за период 1985-1995 гг.
Аналогичные исследования, связанные с оператором Озеена во внешних областях, были начаты позднее (Т. Miyakawa, Л.И. Сазонов, Т. Kobayashi, Y. Shibata). Следует отметить, что для получения Lp — Lq- оценок полугруппы Озеена потребовались новые подходы. Впервые эти оценки были получены в [1], [4] методом гидродинамических потенциалов. Позднее другим методом они были установлены Т. Kobayashi, Y. Shibata 4. В дальнейшем эти оценки существенно использовались для исследования устойчивости стационарных и периодических решений, для оценок сходимости нестационарных решений
2Солонников В.А. Об оценках решений нестационарной задачи Стокса в анизотропных
пространствах С.Л. Соболева и об оценках резольвенты оператора Стокса // УМН. 2003.
Т. 58, вып. 2(350). С. 123 - 156.
3Borchers W., Miyakawa Т. On stability of exterior stationary Navier - Stokes flows // Acta
Math. 1995. №174. P. 311 - 382.
4Kobayashi Т., Shibata Y. On the Oseen equation in exterior domains // Math. Ann. 1998.
№310. P. 1-45.
к стационарным, для оценок возмущенной полугруппы Озеена (G.P. Galdi и др. 5, P. Biler и др. 6, Вае и Jin7, Л.И. Сазонов [4], [7], [10],[11], [12], [14] и др.). Для системы Навье-Стокса во внешних областях теоремы о существовании решений (Ж. Лере, Э. Хопф) дают мало информации о пространственной асимптотике решения. Поэтому вопрос об асимптотическом поведении поля скорости жидкости на бесконечности потребовал самостоятельного исследования. Р. Финн 8, постулируя для трехмерных решений стационарной задачи обтекания соотношение
v(x)-Voo = 0(\x\-a), а>1/2, (1)
где -Uqo - заданный вектор скорости на бесконечности, установил асимптотическую формулу
v(x) = ^оо + Н{х)а + 0(|ж|"3/2In |ж|). (2)
Здесь Н(х) - фундаментальный тензор системы Озеена, которая получается при линеаризации системы Навье-Стокса на постоянном векторе г>оо, а ~ некоторый постоянный вектор. Формула (2) описывает появление параболо-идального следа за обтекаемым телом, поэтому решения, удовлетворяющие условию (1), были названы Р. Финном физически приемлемыми или PR- решениями. В дальнейшем Р. Финн установил для течения v(x) — Vqq бесконечность кинетической энергии и существование PR-решения при достаточно малых числах Рейнольдса.
Утвердительный ответ на интригующий вопрос - является ли решение с конечным интегралом Дирихле (существование именно таких решений установлено Лере) PR-решением - был получен К.И. Бабенко 9. В дальнейшем
5Galdi G.P., Heywood J. G., Shibata Y. On the global existence and convergence to steady
state of Navier - Stokes flow past an obstacle that is started from rest // Arch. Rational Mech.
Anal. 1997. № 138. P. 307-318.
6Biler P., Cannone M., Karch G. Asymptotic stability of Navier - Stokes flow past an obstacle
// Banach center publications 2004. V. 66. P. 47-59.
7Hyeong Ohk Bae, Bum Ja Jin. Temporal and spatial decay rates of Navier - Stokes solutions
in exterior domains // Bull. Korean Math. Soc. 2007. V. 44. P. 547-567.
8Finn R. Estimates at infinity for stationary solutions of the Navier-Stokes equations, Bull.
Math. Soc. Sci. Math. Phys. R. P. Roumaine. 1959. 3 (51). P. 387-418.
9Бабенко К. И. О стационарных решениях задачи обтекания тела вязкой несжимаемой
жидкостью // Матем. сб. 1973. Т. 91. № 1. С. 3-26
асимптотика трехмерных стационарных решений рассматривалась в работах К.И. Бабенко и М.М. Васильева, Л.И. Сазонова, G.P. Galdi и др. Заметим, что стационарной системе Навье-Стокса посвящена монография Д. Галди 10. Первые результаты по двумерной стационарной задаче обтекания принадлежат Р. Финну и Д. Смиту п, которые установили существование решения для достаточно малых чисел Рейнольдса и при ненулевом значении скорости на бесконечности. Этот результат был получен при исследовании нелинейного интегрального уравнения, к которому сводится краевая задача методом функции Грина. Данные решения допускают асимптотическое представление на бесконечности, подобное трехмерным PR-решениям. Ряд важных результатов, проясняющих суть проблемы, был получен в работах Д. Гилбарга и X. Вайнбергера 12 13, Ч. Эмика 14. В случае ненулевого граничного условия была установлена равномерная ограниченность решения и существование постоянного вектора, к которому в определенном смысле (равномерно в симметричном случае) сходится решение на бесконечности. Однако вопрос о совпадении этого вектора с предписанным значением остается открытым. В работах Ч. Эмика 15 (для симметричного случая) и Л.И. Сазонова [6] (для общего случая) доказано, что при равномерном стремлении решения к ненулевому предельному значению на бесконечности оно является PR-решением. В первоначальном определении PR-решения требовалась некоторая квалифицированная степенная оценка. В работе Д. Галди 16, под-
10Galdi G. P. An introduction to the mathematical theory of Navier-Stokes equations. Steady
- state problems. Springer, 2011. 1018 p. nFinn R., Smith D. R. On the stationary solution of the Navier-Stokes equations in two
dimensions // Arch. Rational Mech. Anal. 1967. V. 25. P. 26-39. 12Вайнбергер Г. Ф., Гилбарг Д. Асимптотические свойства решений Лере стационарных
двумерных уравнений Навье-Стокса // УМН. 1974. Т. 29, № 2. С. 109-122.
13Gilbarg D., Weinberger Н. F. Asymptotic properties of steady plane solutions of the Navier-Stokes equations with bounded Dirichlet integral // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. CI. Sci. (4).
1978. V. 5. P. 381-404. 14Amick C. J. On Leray's problem of steady Navier-Stokes flow past a body in the plane //
Acta Math. 1988. V. 161. P. 71-130. 15Amick C.J. On the asymptotic form of Navier-Stokes flow past a body in the plane // J.
Differential Equations. 1991. V. 1. P. 149-167. 16Galdi, G.P. Stationary Navier-Stokes Problem in a Two-Dimensional Exterior Domain,
Handbook of Differential Equations, Stationary PDE. 2004. Vol. 1, Elsevier Science, 71-155
водящей итоги многолетней истории исследования задачи Л ере, изложен ряд упомянутых результатов и приведены некоторые новые, в частности, об условиях существования симметричных решений при больших числах Рейнольд-са.
Остановимся еще на одном направлении исследований стационарной задачи обтекания. При малых числах Рейнольдса, несмотря на наличие малого параметра лишь при младших производных, ввиду неограниченности области задача не является регулярной в том смысле, что ее решение нельзя представить в виде степенного ряда по малому параметру, которым является число Рейнольдса Re (в трехмерном случае этот факт обнаружен Уайтхедом). В случае обтекания шара и цилиндра при малых числах Рейнольдса построение асимптотики выполнено в работе И. Праудмена и Дж. Пирсона 17 методом сращиваемых асимптотических разложений: внутреннее и внешнее разложения сращиваются в области перекрытия, где пригодны оба разложения. В дальнейшем появились работы (исследования продолжаются и в настоящее время), в которых с помощью методики Праудмена-Пирсона изучались различные задачи гидродинамики при малых числах Рейнольдса. В частности, были рассмотрены задачи стационарного обтекания канонических тел: эллиптических цилиндров, ограниченных тел вращения, систем шаров, вращающихся шаров и т. д. Вопросам обоснования получаемых асимптотик, на наш взгляд, не уделялось должного внимания. Отметим в этом направлении работу Т.М. Фишера и др.18, в которой выполнено обоснование метода сращиваемых асимптотических разложений для обтекания произвольного тела в трехмерном и двумерном случаях.
Иной подход к задачам обтекания при малых числах Рейнольдса развивался в работах [8] для двумерного случая и [30] для трехмерного случая. Основная идея, использованная в этих исследованиях, состоит в том, что внешнее разложение строится из решений системы Озеена во всем пространстве, имеющих особенность в нуле типа особенности фундаментального
17Proudmen I., Pearson J.R. A. Expansions at small Reynolds numbers for the flow past a
sphere and a circular cilinder // J. Fluid Mech. 1957. 2. P. 237-262.
18Fischer Т. M., Hsiao G.C., Wandland W. L. Singular pertubations for the exterior three-dimensional slow viscous flow problem.// J. Math. Anal. Appl. 1985. Vol. 110. P. 583-603.
решения; такие решения зависят от двух (п = 2) или трех (n = 3) свободных параметров. Для выполнения граничных условий к каждому члену внешнего разложения добавляется член внутреннего разложения - решение системы Стокса, из условий разрешимости (условий существования решений системы Стокса с нулевым условием на бесконечности при п = 2 или существования решения, имеющего порядок убывания 0(1/\х\2) при п = 3) определяется зависимость свободных параметров от числа Рейнольдса. Таким образом, сращивание внешнего и внутреннего разложения осуществляется на границе обтекаемого тела. В работе [12] установлены результаты о представимости решения трехмерной задачи обтекания при малых числах Рейнольдса в виде сходящихся рядов из решений линеаризованной системы Озеена.
В заключение отметим, что изложенное позволяет заключить об актуальности вопросов, исследуемых в диссертации.
Цель работы состоит в построении теории линеаризованной системы Озеена во внешних областях, включающее исследование резольвенты оператора Озеена, развитие метода гидродинамических потенциалов для получения степенных оценок полугруппы Озеена, применение теории обратимости в банаховых алгебрах к оценкам возмущенной полугруппы Озеена. На основе построенной линейной теории в диссертации выполнено исследовании ряда вопросов теории системы Навье - Стокса во внешних областях, к которым относятся обоснование метода линеаризации в проблеме устойчивости стационарных и периодических решений, построение и обоснование пространственной и временной асимптотики решений, доказательство существования решений некоторых задач гидродинамики во внешних областях.
Методика исследования. В диссертации используются методы и результаты функционального анализа и теории уравнений с частных производных.
Научная новизна. Результаты, выносимые на защиту. Все результаты, выносимые на защиту являются новыми. К ним относятся:
-
Построение и оценки фундаментального решения системы Озеена со спектральным комплексным параметром;
-
Применение метода потенциалов к доказательству ограниченности
гидродинамического проектора в весовых пространствах суммируемых со степенью р > 1 векторных полей,
-
Развитие метода гидродинамических потенциалов для системы Озее-на и его применение к вопросам разрешимости системы интегральных уравнений задачи типа Дирихле для системы Озеена с параметром;
-
Оценки резольвенты оператора Озеена и исследование спектра возмущенного оператора Озеена в Lp - пространствах соленоидальных полей, интегральное представление резольвенты;
-
Степенные оценки полугруппы Озеена и применение методов некоммутативных банаховых алгебр для исследования возмущенной полугруппы Озеена;
-
Метод регуляризации в построении новых старших членов асимптотики решения трехмерной стационарной задачи обтекания в окрестности бесконечности;
-
Определение новых условий для PR- решений двумерного обтекания;
-
Обоснование метода линеаризации в исследованиях устойчивости стационарных и периодических решений задачи обтекания;
-
Результаты о существовании симметричного решения задачи Л ере о протекании вязкой жидкости в многосвязной области;
-
Результаты о возникновении автоколебаний при обтекании;
-
Результаты о существовании переходов между стационарными режимами обтекания, входящих в устойчивое гладкое семейство;
-
Результаты о существовании слабых решений задачи сопряжения для системы Навье - Стокса;
-
Построение решения системы Навье - Стокса во внешней области трехмерного пространства при малых числах Рейнольдса в виде сходящихся рядов и вычисление силы сопротивления;
-
Построение и обоснование асимптотического разложения решения двумерной задачи обтекания при малых числах Рейнольдса.
Степень достоверности результатов диссертации. Все результаты диссертации достоверны, что подтверждается строгими математическими доказательствами.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. В диссертации рассмотрен ряд фундаментальных вопросов теории системы Навье-Стокса во внешних областях. Разработано применение метода гидродинамических потенциалов к исследованию пространственных и временных асимптотик решений системы Навье-Стокса во внешних областях. Получено обоснование метода линеаризации в задачах об устойчивости стационарных и периодических решений внешних задач для системы Навье-Стокса. Установлен ряд теорем о существовании решений. Развит метод исследования возмущенной системы Озеена, основанный на результатах теории обратимости в некоммутативных банаховых алгебрах. Результаты, полученные в диссертации, являются новыми и актуальными. Они могут найти применение при исследовании внешних задач для родственных для системы Навье-Стокса уравнений типа Буссинеска или магнитогидродинамики.
Аппробация диссертации. Результаты работы неоднократно докладывались на семинаре В.И Юдовича по математической гидродинамике (РГУ, ЮФУ), на международной конференции «Математическая гидродинамика: модели и методы» (Ростов-на-Дону, 2004), на X, XII, XIII, XIV, XV, XVI международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2006-2012), на VIII и IX международных конференциях «Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование» (Владикавказ, 2010, Волгодонск 2011), на международной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения» (Ростов-на-Дону, 2012).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 31 работе (4 из них в соавторстве). В совместной статье с В.И. Юдовичем [15] результаты принадлежат соавторам в равной мере. В совместных статьях с Д.А. Мальцевым [30], [29], [31] Л.И. Сазонову принадлежат постановки задач, разработка схем доказательств основных результатов, А.Д. Мальцеву принадлежит реализация указанных подходов. 15 работ опубликованы в журналах из списка ВАК.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения,
