Содержание к диссертации
1 Введение 3
Обзор известных результатов 4
Содержание диссертации 11
2 Ступенчатые косые произведения 16
Основная лемма 17
Построение последовательности периодических орбит ... 23
Достаточные условия эргодичности 25
Эргодичность и показатели Ляпунова 28
Неатомарность предельной меры 28
Окрестность в пространстве пар диффеоморфизмов .... 30
3 Мягкие косые произведения 31
Построение диффеоморфизмов 33
Основная лемма 37
Последовательность периодических орбит 47
Эргодичность и нулевые показатели Ляпунова 47
Гладкие динамические системы 49
Негиперболичность инвариантных мер на максимальном аттракторе 53
Схема доказательства основного результата 53
Мягкие косые произведения над соленоидом 55
Управляемые косые произведения 57
Основная лемма о периодических орбитах 60
Эргодичность и нулевые показатели Ляпунова 72
Гладкая реализация косых произведений над соленоидом . 74
Введение к работе
В какой мере поведение типичной динамической системы гиперболично?
Очень многие проблемы в современной теории гладких динамических систем могут рассматриваться как те или иные варианты этого вопроса. В 60-х годах было показано, что равномерно гиперболические системы [1] (диффеоморфизмы Аносова, аксиома А) не плотны в пространстве динамических систем [2]. Стало необходимо ослабить условие на гиперболичность. Появились понятия частичной [3] и неравномерной (теория Лесина [4]) гиперболичности.
В теории Песина гиперболическое поведение характеризуется ненулевыми показателями Ляпунова относительно некоторой фиксированной инвариантной меры, и описывают поведение траекторий, типичных относительно этой меры.
Цель настоящей работы - ответить на естественный вопрос: насколько типичны (в разных смыслах) диффеоморфизмы, обладающие этим свойством? До сих пор вопрос оставался полностью открытым.
Инвариантная мера может быть задана изначально и согласована с гладкой структурой, а может определяться динамической системой. Диссертация посвящена второму случаю.
В работе доказано, что в пространстве диффеоморфизмов на трехмерных компактных многообразиях с С1-топологией существуют области, каждое отображение в которых обладает инвариантной неатомарной мерой с одним из показателей Ляпунова равным нулю. В указанных областях каждый диффеоморфизм — частично гиперболический, а мера — эргодична. На четырехмерных многообразиях эргодическая мера может быть найдена на частично гиперболическом аттракторе.
Теорема 1 (Основной результат). Для замкнутого многообразия М,
dimM > 4, найдется такая область U С Diff1(M), что любой диффеоморфизм f Є U имеет локально максимальный частично гиперболический аттрактор Л С М и неатомарную эргодическую инвариантную меру \х с supp и = А, один из показателей Ляпунова относительно которой равен нулю.
1.1 Обзор известных результатов
Определение 1. Пусть f : М -» М - Сг-диффеоморфизм (г > 1) на компактном римановом многообразии М. Характеристическим показателем Ляпунова в точке х вдоль направления v 6 ТХМ называется число
\(х, v):=\\m sup -log||r>/n(x)u||.
n-+±oo W
Классическим результатом является
Теорема 2. ( [5]) Пусть } сохраняет меру [і. Тогда для /л-почти всех точек х Є М существует разлооїсение касательного пространства
ТхМ = Е\--'Екх, & = ВД Є N,
и числа \\{х) > ...А&(х) такие, что
У«,б*\{0} X(x,vj) = Xj(x).
Подпространства Е\. и показатели Ляпунова \j(x) инвариантны онос-ительно f и измеримым образом зависят от точки х.
В частности, если мера \i эргодична, то показатели Ляпунова - константы на всем многообразии.
При рассмотрении консервативных систем изучаются диффеоморфизмы, сохраняющие некоторую инвариантную меру (например, меру Лебега) . Одним из недавних результатов (2002) о типичности нулевых Ляпуно-вских показателей в этом случае является следующая теорема.
Определение 2. Множество называется остаточным, если оно есть пересечение счетного числа открытых всюду плотных множеств.
Определение 3. Свойство называется типичным для некоторого множества U, если оно выполнено для остаточного подмножества IZcU.
Теорема 3. ([13], [18], [21]) Пусть М - компактное многообразие размерности d > 1, ц - нормализованная мера Лебега на М. Существует остаточное множество % С Diff такое, что для любого f Є TZ и Іі-почти всех х выполнена одна из двух альтернатив:
все показатели Ляпунова Xi(f,x) = 0 для 1 < і < d
или разлооїсение Оселедца доминирует на орбите х.
Второй случай означает, что существует т > 1, зависящее от орбиты точки х, такое что для любого у из орбиты х:
\\Dfm(y)vj\\ > jDfm(y)vj\\ m
N1 - INI W
для любых ненулевых Vi Є E%y, Vj Є Eiy, соответствующих показателям Ляпунова \{у) > Aj(y). Вследствие этого углы между подпространствами Е1у отделены от нуля и разложение Оселедца продолжается до доминирующего разложения на замыкании орбиты.
Во многих ситуациях (например, если преобразование / эргодично) заключение выполняется в более общей форме: либо все показатели Ляпунова равны нулю, либо разложение Оселедца продолжается до доминирующего разложения на всем многообразии М. Последнее означает, что т > 1 в 2) может быть выбрано равномерно по всему М.
Вообще, существование доминирующего разложения — очень сильное свойство, которое часто может быть исключено apriori. В этих случаях
теорема 3 говорит, что типичные системы должны удовлетворять альтернативе 1). Первым примером такого рода является 2-мерный случай теоремы 3, доказанный Bochi в 2000 году, и частично базирующийся на подходе, предложенным Мапё в [14]. Для С^-диффеоморфизмов двумерных многообразий, сохраняющих площадь, Bochi [12] обнаружил, что типичные отображения этого класса являются либо Аносовскими, либо имеют нулевые показатели Ляпунова.
Определение 4. Диффеоморфизм f компактного риманова многообразия М называется равномерно гиперболическим, если в любой точке х Є М имеет место разложение касательного пространства ТХМ = Е3Х ф Е%, инвариантное относительно действия дифференциала Df, и найдутся константы С > 0 и А Є (0,1) такие, что для любого п Є N выполнено:
VveEx НАШИ < СА"|М| и Чуєе: ||%->)11<са>ц.
Теорема 4. [12] Для остаточного подмножества "Я в пространстве С1 -гладких сохраняющих площадь диффеоморфизмов поверхности выполнено одно из двух:
все показатели Ляпунова \i(f,x) = 0 для 1 < г < d,
диффеоморфизм f равномерно гиперболичен на всем М (т.е. является диффеоморфизмом Аносова).
Из всех поверхностей диффеоморфизмы Аносова существуют только на торе, таким образом у типичного С1-гладкого сохраняющего площадь диффеоморфизма на любой поверхности, отличной от тора, все показатели Ляпунова равны нулю.
Для неконсервативных систем аналогичные результаты отсутствуют.
Определение 5. Диффеоморфизм f компактного риманова многообразия М называется частично гиперболическим, если в любой точке х Є М имеет место разложение касательного пространства ТХМ = Е*х Есх @ Е1", инвариантное относительно действия дифференциала Df, и найдутся константы С > О и О < Ai < Ці < Л2 < //2 < A3 < Мз> Ці < 1 < A3 такие, что для любого и Є N выполняется:
ЧьеЦ АїИ|/С<||І?/»(«)||<Сл?И|;
ЪЩ X^\\v\\/C<\\Dr(v)\\
Удивительное свойство сохраняющих объем диффеоморфизмов в размерности выше 2 было открыто Шубом и Уилкинсон [22]. Они нашли открытое множество частично гиперболических отображений трехмерного тора в себя со следующим свойством. Отображения из этого множества имеют инвариантное слоение, слои которого - окружности. Эти слои непрерывно, но не абсолютно непрерывно зависят от начального условия. Между тем, почти все (в смысле инвариантной меры Лебега) орбиты отображения имеют ненулевые показатели Ляпунова (два положительных, один отрицательный). Парадоксальное свойство состоит в том, что множество полной меры, состоящее из этих орбит, пересекает каждый слой по множеству меры 0 на окружности. Позже А. Каток обнаружил, a Ruelle и Wilkinson [23] доказали, что это пересечение состоит из конечного числа точек.
В той же работе [22] сформулирован (все еще открытый) вопрос о типичности ненулевых Ляпуновских показателей для неконсервативной динамики и "хороших" мер (т.е. мер, являющихся слабыми пределами при итерациях диффеоморфизмом некоторой гладкой меры).
Обобщая примеры из [22] и [23], можно получить следующий результат.
Теорема 5. [25] Пусть М - компактное многообразие, и - гладкая форма объема, Т%Ш(М) - множество всех частично гиперболических диффеоморфизмов с одномерным центральным направлением и сохраняющих форму ш.
Тогда форма w эргодична и даэ/се бернуллиевская для любого С2-диффеоморфизма в С1-открытом и плотном подмнооїсестве VHU(M).
Для частично гиперболических отображений, сохраняющих гладкую меру, равенство нулю центрального показателя Ляпунова (или суммы центральных показателей) разрушается сколь угодно малым (^-шевелением. А именно:
Определение 6. Пусть М - компактное риманово многообразие uui ~ форма объема на М. Сохраняющий w С2-диффеоморфизм f называется устойчиво эргодическим для и (при г = l,2j, если ui - эргодична для любого сохраняющего ш С2-диффеоморфизма g в С-окрестности /.
Теорема 6. [17] Пусть М - компактное риманово многообразие и и - гладкая форма объема на М. Пусть диффеоморфизм : М -У М сохраняет w, С1-устойчиво эргодичен и допускает доминирующее разло-окение ES@EC@EU, где подпространства Es и Еи равномерно сжимают и растягивают соответственно.
Тогда найдется С2-диффеоморфизм д, сколь угодно С1-близкий к f, для которого сумма центральных показателей Ляпунова (т.е. соответствующих Е^) относительно из не равна нулю.
Неравномерно гиперболические отображения введены Я. Б. Лесиным в [4] и, в разных аспектах, рассматриваются в [12]-[24].
Определение 7. Диффеоморфизм f на компактном многообразии М, сохраняющий меру и, эквивалентную риманову объему, называется неравномерно гиперболическим, если мноокество точек, в которых все показатели Ляпунова отличны от нуля, имеет полную меру.
В той же работе [4] изучены свойства таких отображений, в частности доказано, что если диффеоморфизм / - С2-гладкий и неравномерно гиперболический, то М можно разложить в дизъюнктное объединение счетного числа инвариантных множеств положительной меры, на которых / эргодичен. Автор сформулировал гипотезу о типичности неравномерно гиперболических отображений в пространстве Diff^(M) диффеоморфизмов, сохраняющих меру v.
Для больших г в работах [27] - [30] ответ на поставленный вопрос -отрицателен. В частности показано, что для достаточно больших г существует открытое множество в Diff, каждое отображение из которого обладает множествами положительной меры из инвариантных торов коразмерности 1; на каждом торе все Ляпуновские показатели — нулевые.
При достаточно высокой гладкости отображений КАМ-теория гарантирует существование орбит с нулевыми Ляпуновскими показателями для многих (открытое множество) отображений.
В отсутствие же "интегрального инварианта" (сохранения объема) нулевые Ляпуновские показатели встречаются гораздо реже.
Многие результаты относятся к коциклам, а не к диффеоморфизмам (диффеоморфизм можно рассматривать как коцикл, действующий на касательном расслоении). Н. Furstenberg показал [6], что для случайного произведения матриц в типичном случае старший Ляпуновский показатель положителен. Далее это утверждение было обобщено на коциклы с гиперболической динамикой в базе [7]. Другой подход - работа [9] (основанная на работе [8]).
Одним из новейших результатов является следующая теорема.
Теорема 7. [19] Пусть М - компактное многообразие размерности d > 2, пусть /л - форма объема на М. Пусть а > 0 и Din"*"1"0 - множество сохраняющих // С1+а-диффеоморфизмов с С1-топологией. Пусть SE С Diff?+a - множество устойчиво эргодических диффеоморфизмов (т.е. таких, что каждый достаточно С1-близкий сохраняющий меру С1+а-диффеоморфизм эргодичен).
Тогда существует открытое и плотное множество TZ С SS такое, что f неравномерно гиперболичен (все Ляпуновские показатели отличны от нуля) и f допускает доминирующее разложение.
Доказательство базируется на работах [15] —[18]. Следует отметить, что не всякий устойчиво эргодический диффеоморфизм приближается частично гиперболическими [20].
В работе [26] авторы построили пример С^-устойчивого, сохраняющего объем неравномерно гиперболического диффеоморфизма, не имеющего инвариантных гиперболических подпространств.
Теорема 8. [26] В пространстве ^-гладких диффеоморфизмов четырехмерного тора в себя существует открытое множество U такое, что каждые элемент f &U транзитивен (существует всюду плотная орбита) и допускает непрерывное инвариантное доминирующее разложение на 2 двумерных подпространства
ТМ = ECSECU, \\Df\EC,\\ \\(Df\EC»)-l\\ < А < 1
таких, что Df\Ec, равномерно соїсимает объем, но не является равномерно сокимающим, Df\Ecu равномерно растягивает объем, но не является равномерно растягивающим, и ни одно из них не содержит инвариантных подпространств. Более того, U содержит открытое подмножество в пространстве сохраняющих объем С1-диффеоморфизмов.
1.2 Содержание диссертации
Диссертация состоит из четырех глав, разбитых на разделы.
В главе I обоснован следующий результат. Рассмотрим сдвиг Берн-улли а : Е2 —> Е2 на пространстве двухсторонних последовательностей из нулей и единиц. Пусть <7o,5i : S1 -4 S1 - два диффеоморфизма окружности. Пусть М = Е2 х S1. Следующее косое произведение
G:M->M, (и, х) -) (аи, &,0(х)). (2)
мы будем называть ступенчатым, поскольку отображение в слое зависит только от нулевого знака соответствующей последовательности в базе и, тем самым, напоминает ступенчатую функцию на Е2.
Теорема 9. В пространстве (Diff1(51))2 пар диффеоморфизмов окружности с С1-топологией существует открытое подмножество U, для каждой пары из которого соответствующее косое произведение (2) имеет инвариантную неатомарную эргодическую меру, для которой показатель Ляпунова вдоль слоя равен нулю.
Определение показателя Ляпунова вдоль слоя для отображения 2 напоминается в начале главы I. Под неатомарностью меры понимается бесконечность ее носителя.
Для доказательства теоремы 9 мы задаем условия на пару отображений и строим искомую меру как предел мер, равномерно распределенных на периодических орбитах, показатели Ляпунова которых стремятся к нулю. Кроме того, периодические орбиты будут в некотором смысле "похожи" друг на друга.
Идея реализуется следующим образом. В разделе 2.1 описывается конструкция, позволяющая по одной периодической орбите построить другую, с бблыпим периодом, меньшим (по модулю) показателем Ляпунова и достаточно "похожую" на исходную. В разделе 2.2 по индукции
строится требуемая последовательность орбит и для нее обосновывается выполнение достаточных условий эргодичности. В разделе 2.3 даются достаточные условия эргодичности предельной меры (некоторое влияние на материал раздела оказала работа А. Катка и А. Степина [40] о приближении эргодических систем периодическими). После этого, в разделе 2.4 показывается, что для рассматриваемых отображений можно утверждать, что если предел эргодических мер эргодичен, то показатель Ляпунова вдоль слоя для предельной меры есть предел показателей Ляпунова. Кроме того, в разделе 2.5 мы обосновываем неатомарность (бесконечность носителя) найденной эргодической меры.
И наконец, в разделе 2.6 приводится пример (^-открытого множества пар отображений, удовлетворяющих нашим условиям. Это доказывает теорему 9.
В главе II мы переходим от ступенчатых косых произведений над сдвигом Бернулли к так называемым мягким.
Пусть /w : S1 -» S1, и Є YiN - семейство диффеоморфизмов окружности. Косое произведение
F:M^M, {ш,х)^ (<ты,Ux)). (3)
мы называем мягким, поскольку отображение в слое зависит от всего слова ш и не определяется никакой его конечной частью.
Теорема 13. Существуют диффеоморфизмы <7o><7i><72><74 : S1 -* S1, все yi могут быть взяты произвольно близкими Kid 6 Diff^S1), такие, что для любых С > 1, а > 0, где:
L = maxnujx{\\Dgi(x)\\, Ш\х)\\), (4)
а > log2 L, (5)
и достаточно малых окрестностей Ui(gi) в Diff2(5'1) выполнено следующее.
Предположим, что отображение F (8) удовлетворяет условиям:
/w Є Um для любого и Є Е5; (6)
d&ifuyfu') < С(<2Еб(а;,и/))а для любых ш,ш' Є 5. (7)
Тогда на Е5 х S1 существует неатомарная инвариантная эргодическая мера с показателем Ляпунова вдоль слоя, равным нулю.
Доказательство повторяет схему доказательства теоремы 2. Для обоснования основной леммы (об индуктивном построении следующей периодической орбиты по предыдущей) автором, следуя [33] разработана техника контроля погрешности вдоль слоя.
В главе III доказан эффект устойчивости нулевых Ляпуновских показателей для гладких динамических систем.
Теорема 14. Для компактного риманова многообразия М, dim М > 3, найдется такая область U С Diff^Af), что любой диффеоморфизм f є U имеет локально максимальное инвариантное частично гиперболическое множество Л С М и неатомарную эргодическую инвариантную меру ц, supp/z С Л; один из показателей Ляпунова относительно которой равен нулю.
Теорема 14 доказывается по следующему плану. Каждая система G вида (2) из теоремы 9 допускает "гладкую реализацию" в смысле [33]. А именно, существует гладкое отображение Q трехмерного тора в себя с инвариантным частично гиперболическим множеством Л, расслоенным на окружности, обладающее следующим свойством. Ограничение Q на Л топологически сопряжено G, причем ограничение сопрягающего гомеоморфизма на центральный слой является гладким отображением.
Малое С ^возмущение В отображения Q имеет инвариантное множество, гомеоморфное Л (см. [3]). Ограничение В на инвариантное множество сопряжено динамической системе F вида (3), для которой выполнены условия теоремы 13. Применение теоремы дает эргодическую меру с нулевым показателем Ляпунова вдоль слоя, которая сопрягающим гомеоморфизмом переносится на трехмерный тор. Показатель Ляпунова вдоль слоя становится центральным показателем Ляпунова гладкого частично гиперболического отображения В.
В главе IV доказан основной результат диссертации — эффект устойчивости нулевых Ляпуновских показателей относительно меры на частично гиперболическом аттракторе.
Для получения меры на аттракторе мы заменяем базу — подкову Сме-йла — на соленоид Смейла-Вильямса в конструкции гельдеровых косых произведений. Это вызывает дополнительные технические сложности, поскольку соленоид связен, а значит над ним не бывает ступенчатых систем, обладающих гладкой реализацией.
В разделе 5.1 приводится общая схема доказательства теоремы 1. В разделе 5.2 даются необходимые определения и формулируется результат для гельдеровых косых произведений над соленоидом. В разделе 5.3 определяются свойства управляемости для гельдеровых систем и обосновывается их устойчивость при ^-возмущениях. В разделе 5.4 для управляемых систем строится последовательность периодических орбит со стремящимися к нулю показателями Ляпунова. В разделе 5.5 обосновывается эргодичность и равенство нулю показателя Ляпунова для предельной меры (эта часть доказательства остается без изменений). И, наконец, в разделе 5.6 определяется гладкая реализация для почти ступенчатых отображений соленоида, что вместе с рассуждениями главы Ш завершает доказательство теоремы 1.
Автор благодарен своєму научному руководителю профессору Юлию Сергеевичу Ильяшенко за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также В. А. Клепцыну и А. С. Городецкому за полезные идеи и плодотворные обсуждения.
2 Ступенчатые косые произведения
Определение 8. Пусть G - косое произведение вида (2). Показателем Ляпунова вдоль слоя в точке (w, х) называется следующая функция (определена в тех точках, где предел существует):
Xc(w,x) := lim - In \(gWn о gWn_x о о gwo)'(x)\.
n-юо п
Если отображение G обладает эргодической вероятностной мерой и, то найдется множество ^-полной меры такое, что для всех точек из этого множества показатель Ляпунова вдоль слоя определен и не зависит от точки множества. В этом случае функция Xc(w, х) - константа на множестве г/-полной меры и можно говорить о показателе Ляпунова вдоль слоя относительно меры v (обозначение Ac(i/)).
Теорема 9. В пространстве (Diff^S1))2 пар диффеоморфизмов окружности с топологией С1 существует открытое подмножество U, для каждой пары из которого соответствующее косое произведение (2) имеет эргодическую меру, для которой показатель Ляпунова вдоль слоя равен нулю.
Теорема 9 вытекает из теорем 10 и 11:
Теорема 10. Рассмотрим множество пар отображений (д0, д{) таких, что:
(і) действие полугруппы Ст+(порожденной дифеоморфизмами 9оі9і> минимально, то есть каждая орбита плотна в S1;
(и) для каждой точки х Є S1 существует такое j Є {0,1}, что
\ф)\ > і;
(гіг) найдется диффеоморфизм g Є G+(#o, <7і), имеющий гиперболическую притягивающую периодическую точку.
Тогда для соответствующего косого произведения (2) существует эргодическая инвариантная мера, для которой показатель Ляпунова вдоль слоя равен нулю.
Замечание 1. Как следует из анализа доказательств и соображений типа компактности окружности, условие (п) может быть ослаблено до:
(ії) для каоїсдой точки х Є S1 существует такой элемент g Є G+(g0,gi), что
\9Ы > І-
Добавление к теореме 10. Мера в теореме 10 может быть выбрана неатомарной.
Теорема 11. Существует открытое множество в пространстве пар диффеоморфизмов (Diff1^1))2, все пары из которого обладают свойствами (і), (и) и (Ш).
В разделах 2.1- 2.4 мы доказываем теорему 10, в разделе 2.5 — добавление к теореме 10, а в разделе 2.6 обосновывается теорема И.
2.1 Основная лемма
Пусть go,g\,- диффеоморфизмы окружности. Порождаемую ими полугруппу обозначим G+(go,gi).
Следующие два предложения легко выводятся из компактности окружности.
Предложение 1. Если полугруппа (?+(ро,<7і) действует минимально (то есть любая орбита плотна в S1), то для любого интервала J на
окружности найдутся такие К = K{J) и 8q = 5q{J) > О, что любой интервал I длины, меньшей 60, может быть переведен внутрь J композицией не более, чем К отображений до и д\_.
Предложение 2. Пусть для любой точки х окружности для некоторого г имеем Д(х) > 1. Тогда найдутся v > l,6i > 0 такие, что для любого интервала I на окружности длины менее 5і для одного из gj имеем
УхЄІ: f'jix) > v.
Положим:
L = maxmaxb'-(x)!
І xeS1 J
Определение 9. Пусть задана периодическая орбита X отображения F, период X равен Р, и є > 0 - фиксировано. Точка у называется (є, Р)-хорошей для орбиты X, если найдется ІЄІ такое, что
\/k = 0,1... Р - 1 dibl{Fk(x), Fk{y)) < є.
Лемма 1. Пусть косое произведение F вида (2) удовлетворяет условиям теоремы 10. Пусть X — произвольная периодическая орбита косого произведения F периода Р с мультипликатором по слою 0 < а < 1. Пусть А := ^ < 0.
Тогда для любого є > 0 существует периодическая орбита Y косого произведения F с периодом Р' > 2Р и показателем Ляпунова вдоль слоя А' < 0 такая, что:
і- |A'l<|A|(i-fe);
2. Существует Y С Y и проекция ж : Y —> X такие, что:
(2а) все точки Y являются (є, Р)-хорошими относительно орбиты X, причем в определении 9 можно взять х = 7г(у);
(2b) доля x := &гу точек, в которых определена проекция it,
оценивается как:
х> 1-3*1-
(2с)
количество элементов прообраза п~1(х) одинаково для всех
хЄХ.
Доказательство. Периодическая орбита косого произведения задается своей начальной точкой (ш,х). Здесь х Є Sl, и Є Е2, о; - периодическая последовательность, w = (го0. ..ty„_i) - ее период из нулей и единиц: ш = ... www ... = (w)
Имея орбиту X с начальной точкой (lj,x) = ((го), ж) ищем орбиту Y с началом (с/, ж') = {{w'),x'), где
w' = wkRiR2 = ^^зЯіЛг-fc раз
Здесь k - большое натуральное число, которое будет выбрано ниже,
w, го', Ri и Л2 - слова конечной длины, ж, х' - точки на окружности.
Обозначим:
Tw '= &,„_, оgWn-2 ---gw0,
где гу - слово длины п.
Фиксируем є > 0. Выберем и зафиксируем константы а_ и а+, достаточно близкие к а, 0 < а_ < а < а+ < 1. Как именно производится выбор, будет указано далее (см. неравенство (9)). Найдется такой интервал J, содержащий точку х, и не содержащий других неподвижных точек Tw, для которого выполнено:
Vxe J а_<Т;(ж)<а+ и LP\J\ < є. (8)
Тогда
Vk |Te*(J)| Зафиксируем K(J) и S0(J) согласно предложению 1. Зафиксируем и и Si согласно предложению 2. Заметим, что и и Si не зависят от периодической орбиты X. Положим 8 = mm(50(J), 6U \J\L~K^). Пусть г = г(к) — натуральное число, для которого выполнены неравенства: j < a\LrW\J\ < 5 (такое г (к) найдется при достаточно больших к). По предложению 2 найдется композиция из г(к) отображений д{ (первое рассматривается на интервале Twk(J), каждое следующее - на образе предыдущего), все отображения которой растягивают в каждой точке соответствующих интервалов не менее, чем в и раз. Обозначим соответствующее слово через Ri. Пусть / = Гд, о Twk(J). Тогда \i\ < s < ад. По определению 50(J) найдется слово R2, |Дг| < K(J), такое, что TR2(I) с J. Для производной T'w, на всем интервале J выполнена оценка: \T^\...} выполняется: /|я|+ыМ(')с7. (бз) Доказательство. Мы будем доказывать другое включение (из которого следует необходимое нам): /-(МЧ+Ы)М$:э/. (64) для последовательностей вида ш = {...Rvi\v2 - - -}- Начнем со слова из одной буквы Ri := 0 и будем строить слово R по индукции, выписывая новые буквы справа налево. (Мы начинаем с непустого слова, чтобы гарантировать отсутствие символа 5 после первой написанной буквы.) Пусть последние I букв, составляющие слово Ri, уже построены. Рассмотрим какое-нибудь слово ш вида (... RiVi\v2 ---))11 найдём прообраз //= /-(1+1 |) ИЙ- Если длина її превосходит 5\ — 2j, то, применив к концам / свойство предсказуемости траекторий (54), видим, что для любого другого слова и) того же вида имеем /_(г+|Ц1|)[о;](7) D /, где интервал / получается из її отступлением внутрь на j от каждого конца. Требуемый итервал / и слово R = Ri построены. В случае же, если длина її меньше 5i — 2j, опять-таки из свойства предсказуемости траекторий следует, что для любого другого слова и того же вида выполнено /-(<+Ы)МЙ С Ц := ВД), где Щ(-) — окрестность радиуса 7- Поскольку |/*| < 8і, в силу свойства растяжения в обратном времени найдётся буква aj+1 фЪ такая, что все соответствующие ей отображения растягивают в каждой точке Ц при взятии прообраза по меньшей мере в и раз. Её мы и допишем в начало: Ri+i = Щ+іК-і- Как легко видеть, такой процесс оборвётся не позже, чем через Е = logy первых |vi| + 1 шагов прообраз уменьшается в не более чем L раз, а за каждый из последующих возрастает по крайней мере в v раз. D Предложение 14 ("Поворот"). Существует константа М, не зав-исящая от к, такая, что для любых интервалов I длины \1\ < 62 и I длины \I\ > 5i — Ay найдётся некоторое слово R, не содержащее символов 5, длины \R\ < М такое, что для любого слова и) = {...\R...} имеем /]я|И(/) С /. (65) Доказательство. Заметим для начала, что если отображения /і,..., /, ^-близки в метрике С0 к повороту Н&2, то их композиция jj-близка к повороту IIjs2- + d{HS2of2o.-.ofhHlofzo..-ofj) + ... + d{Hi2-lofj,Hl)< Положим M := Как следует из несложных геометрических соображений, найдётся j, 0 < j < М, такое, что поворот на угол jd2 перемещает / внутрь /, так, что оба интервала дополнения имеют длину, не меньшую 2/2 (напомним, 5i > 3). Тогда для любого слова cj = {... |СР...} в силу вышесказанного />](/) с ил{ні,(ї)) с uh/5(HjS2(I)) с 1. > 40 Положим R := О7. Предложение 15. Существуют натуральные числа ко > 0 и Е > О, не зависящие от к, такие, что для каоїсдого k> ко найдутся слова R\, R2, Rz, не содержащие символов 5, и интервалы Д, 1%, J\ такие, что верны включения: Vw = {...\Rlu1u2R2R3w^wr'^wk...} /|Д1|+|в1|И(Д) С /; (66) Vw = {...ui|«2...} /мМ(/)с/2; (67) Vu = {...\R2...} ЫыШ С Ji; (68) Vw = {... \R3w^w^wk...} Іт+ПірПШ с J; (69) log„- причем Щ > 6і - 47 и |Яі| + |«i| + |«2| + |ifc| + |Дз| < Е. Доказательство. Пусть k\ — такое, что верно: \wkl\-\wni\>E1{F,e±,n1,J):= Тогда для всех к > ку выполнены условия предложения 13 для интервала J и слова wni\wr'^wk. Обозначим полученное слово через Rz и интервал через J\. Таким образом, для произвольной последовательности вида и = {.. \Rzwniwr'^wk...} включение (69) выполнено и длина Rz не превосходит Ei(F,0±,ni,J), т.е. не зависит от к. В силу ограничения (57) на длину интервала I и свойства предсказуемости траекторий существует интервал 72 длины меньше 52 такой, что для любой последовательности ш = {... щ\и2 . } выполняется включение (67). Применим предложение 14 к интервалам 12 и J1} полученное слово обозначим R2. Для любой последовательности ш = {.. .\R2...} включение (68) выполнено и длина R2 не превосходит некоторой константы М := M{F). № Пусть / — такое, что верно: SiLWW log, |и^|-|«і|>аді/):= Тогда для всех к > к2 выполнены условия предложения 13 для интервала / и слова иі|м2-Й2-йзгип1гог Wwk. Обозначим полученное слово через Лі и интервал через 1\. Таким образом, для произвольной последовательности вида ш = {... \RiUiU2R2R3WniwT'^wk} включение (66) выполнено и длина Лі не превосходит E2(F, U), т.е. не зависит от к. Положим ко := max(A;i,A;2) и Е := Ех + \щ\ + \и2\ + М + Е2, что Зафиксируем М и Е из предложений 14 и 15 и положим 6 = { Пусть к — произвольное большое число, к > ко (далее мы будем накладывать на к дополнительные ограничения снизу). Выберем г (к), чтобы выполнялось: - < (0+)feLr(fc) < S. (71) Положим г'(к) := \ГЩ. Предложение 16 ("Растяжение"). Найдутся слово R^ = Ri{k), не содержащее символов 5, длины \R$\ = г(к), и интервал J2 = J2(k) длины, не большей 82, такие, что для любой последовательности и = {...wni+r'^+k\wk+niRAa...},гдеафЪ, верно: л WML > (n*b-niVW, (72) fs+r(kM(J) С J2, (73) где S :={k + щ)Р. Доказательство. Как и в предложении 13, мы выписываем слово Ri по индукции, начиная с пустого слова. Считая, что первые / букв, составляющие слово R\(l), уже написаны, мы рассматриваем l + S-ый образ J,* интервала J для какого-нибудь слова из — {... u;ni+r'W+A;|wfc+nii?4 }: J? = /i+sH(J). Заметим, что этот образ имеет длину, не большую \J\ (0+)k LniP+l < (\J\LniP) (в+f Lr<*> <52- 2T. Значит (в силу свойства предсказуемости траекторий (53)), /-ый образ J под действием любого другого слова из того же вида содержится в 7-окрестности Jf* := C/7(Jj*); при этом |J,**| < 27 + |Jj*| < 2. В силу свойства растяжения (49) мы можем выбрать букву 6j+i ф 5, такую, что все соответствующие ей отображения растягивают на J" по крайней мере в v раз. Допишем эту букву в конец уже построенной части: R*4(l + 1) := R\(l)bi+i. Выписав г (к) букв, мы останавливаем процесс и полагаем R± := R\(r(k)). Тогда, как следует из вышесказанного, для произвольной последовательности из = {...wni+r'^+k\wk+niRia...}, афЪ выполняется: fs+T{k)(J) С J2 := J*(fc) С другой стороны, поскольку у каждого из применяемых на участке Ri отображений производная на соответствующем интервале не меньше и, получаем D/5+r(fc)M|,>(r)fcL-"'VW Предложение 17. Существует слово R$, не содержащее символов 5, длины \Яь\ < М, такое, что верно включение: Vw = {...|Jfc...} 1\щПШ С h; (74) Доказательство. Прямое следствие из предложения 14, примененного Рассмотрим периодическую последовательность а/, задаваемую словом w'-Ri щ и2 R2 R3 wni wT'{k) wk | wk wni R4 R5. Легко видеть, что в силу цепочки включений (66), (67), (68), (69), (59), (73) и (74) имеем: /KlM(J) с J' где включение (59) применяется k + г'(к) раз. Из (70) и (71) следует оценка: (ц/мИ)1., ^ (o+)2k^h42niP+T^+E+M < і, поэтому отображение J\w>\[oj'} обладает на интервале J притягивающей неподвижной точкой, обозначим ее у. Орбита У = (о/, у) построена. Заключение 1 леммы 9 выполнено по построению. Предложение 18. При достаточно больших к для показателя Ляпунова орбиты У справедливы заключения 2 и 3 леммы 9. Доказательство. Напомним, что мы до сих пор не установили требования на 9± в построении орбиты У. Они будут конкретизированы в доказательстве данного предложения. Оценим снизу производную /jW'|[w'] на интервале J: (DfM[u/])\j > (^-)2*+r'(t)I/r(fc)L-(2niP+B+M)> По (71) найдется константа Сі = Сі (J, 9^,щ), не зависящая от к, такая, что: г(к)>^7{-к\пв+)+С1, откуда найдутся Сг и Сз, также не зависящие от к, для которых выполняется: lnllD/нМІІ > (2* + ^)1п0-+г(*)1пї/ + С2 > nf1 . к\пв+Ъ9- Сі In Г кЫв+Ыи „ что влечет для Ляпуновского показателя орбиты Y оценку: л, _1пЦРУ|И(у)Ц^1п||>/К|И(у)Ц ,,п(1\ Функция /г(ог) непрерывна в нуле, кроме того в силу неравенства D A + lni/ л 4 21nL 2lnL выполняется оценка: Выберем и зафиксируем а < 1 (а с ним и 0і) таким малым, чтобы выполнялась оценка h(a) > (1 — )А. Тогда, при достаточно больших к оценка А' > (1 - |)А, доказывает заключение 2 леммы 9. Неравенство А' > А влечет заключение 3. Осталось обосновать заключение 4 леммы 9. Определим множество Y и проекцию 7г. Пусть К = К(є, w) — минимальное натуральное число такое, что 2~КР < е. При к > К положим Y = {Fj(u',x') \-(k-K)P Определим проекцию 7Г: Y -» X следующим образом: k{Fj{lo',x')) = Fp{u,x), где р — остаток от деления j на Р. Очевидно, число точек в прообразе 7г_1(а>, х) не зависит от (ш,х) и равно (А; — 2Р — 1). Утверждение (4с) леммы выполнено. Предложение 19. Все точки множества Y — (Зє, Р)-хорошие для орбиты X. Доказательство. Оценим расстояние по базе. В силу выбора К, для любой точки у Є Y расстояние между Е^-координатами точек Fl(y) Є Y и %{F\y)) Є X не превосходит є для всех / = 0... Р — 1. Оценим расстояние по слою. По построению точка х' после итераций на участке wk+niRiR5RiU\U2R2R^ni оказывается внутри интервала J. Следующие итерации, в силу выбора щ и соотношения (59), отображают J в себя. Соответственно, расстояние между F^{w', х') и F\w, х) = Fp(w, х) суть расстояние между р-ми итерациями некоторых точек J под действием некоторых (разных!) слов, имеющих вид {...wni\wni...}, где р — остаток от деления j на Р. Будем итерировать точку, соотвествующую новой орбите, словом w (координата по базе старой орбиты). В силу (61) изменение координаты вдоль слоя за р итераций не превосходит є. Но теперь обе точки, итерируются словом старой орбиты, а число итераций не превосходит Р, знач- ит, в силу (62) расстояние между ними не больше є. Итого, расстояние по слою между Fi(w',x') и FJ(w,x) не превосходит 1е. Отсюда, первые Р итераций точек у Є Y и тг(у) расходятся в S6 х S1 на расстояние меньше Ъе. Это доказывает утверждение (4а) леммы 9. D Оценим долю точек на орбите Y, не являющихся хорошими для орбиты X. Найдется константа С^, не зависящая от к, такая, что: #У _ 2щР + r'(k)P + r(k) + Е + М + (2К + 1)Р 2r(k) + С4 В силу (71) найдется константа С$, не зависящая от к, такая, что: т{к) < ^(-Ып0+) + С5 < ^-{-2к\пв)+С5, а значит: #7 ЫЬ \к) 5.5 Эргодичность и нулевые показатели Ляпунова Лемма 10. Для любой управляемой системы найдётся эргодическая инвариантная мера с полным носителем и нулевым показателем Ляпунова вдоль слоя. Доказательство. Выберем счётное семейство окрестностей /j таких, что каждая точка пространства покрыта окрестностью сколь угодно малого диаметра. Воспользовавшись леммой 9, мы можем построить последовательность притягивающих вдоль слоя периодических орбит Xj, начинающуюся со слабопритягивающей орбиты (см. (52)), каждая орбита Х{ перес- екается с окрестностью Ui. Показатели Ляпунова для этих орбит экспоненциально стремятся к нулю, причём следующая орбита бблыпую часть времени проводит около предыдущей. Рассмотрим последовательность атомарных мер, равномерно распределённых на этих орбитах. Из условия на "похожесть" орбит (см. заключение 4 леммы 1) с помощью эргодической теоремы Биркгофа-Хинчи-на выводится, что любая предельная точка построенной последовательности будет эргодической инвариантной мерой; также несложно проверяется неатомарность предельной меры. Поскольку пространство мер на Ё6 х 51 *-слабо компактно, мы можем выделить из этой последовательности сходящуюся — в силу вышесказанного к эргодической инвариантной мере — подпоследовательность. Эта предельная мера и будет искомой. Действительно, показатель Ляпунова для эргодической инвариантной меры выражается как интеграл по этой мере от непрерывной функции — производной отображения вдоль слоя. Поэтому показатель Ляпунова для предельной меры равен пределу показателей Ляпунова, то есть нулю. С другой стороны, если орбита Х{ перескает Ui, то пересечение есть Доказательство теоремы 17. В силу леммы 8, существует открытая область в пространстве (L, С, а)-систем, содержащая 5-ступенчатые системы сколь угодно близкие к тождественной (вдоль слоя), и такая, что каждое отображение из этой области управляемо. С другой стороны, в силу леммы 10 для каждой управляемой системы найдётся эргодическая мера с нулевым показателем Ляпунова вдоль слоя. Тем самым, любое отображение из построенной области обладает эр-годической мерой с нулевым показателем Ляпунова вдоль слоя. Теорема 17 доказана. 5.6 Гладкая реализация косых произведений над соленоидом Рассмотрим соленоид Смейла-Вильямса, реализованный как отображение полнотория. А именно, пусть В — единичный диск на плоскости с комплексной координатой и, S1 — окружность, D = S1 х В. Рассмотрим отображение Т': D -> D: Т:(<р,и)^(6<р mod 1, \г^ + ^ч) Хорошо известно, что отображение Г имеет локально максимальный гиперболический аттрактор Л, гомеоморфный Ё6, и Т|л сопряжено сдвигу Бернулли а : Е6 -> Е6. Мы обозначим сопрягающий гомеоморфизм через Ф0 : Л -> Ё6. По заданным диффеоморфизмам {дк}к=о,...,ь окружности мы можем построить гладкую реализацию S-ступенчатого косого произведения (46). А именно, положим: Sk = {и Є S^u = 0, каъаг... и а2 Ф 5}, Д = {и Є S^u = 0,^503...), и определим отображение Т :В xSl —> D х S1: T(zx)=[ №'5fc(x)) приф)є5А, І №), a*(>(z))pt(a;) + /Зк{ф))дш{х) при где Легко видеть, что J^IaxS1 сопряжено отображению (46). Множество Л х S1 является (при достаточно близких к тождественному отображениях дк) частично гиперболическим для Т, а его центральные слои являются слоями проекции на первый сомножитель: Л х 51 -> Л. Дальнейшее доказательство полностью повторяет рассуждения главы III. Список литературы [1] S. Smale, Differentiable dynamical systems. Bull. Am. Math. Soc. 73 (1967), pp. 747-817. [2] R. Abraham, S. Smale, Nongenericity of 0,-stability. Global Analysis, Proc. of Symposia in Pure Math., Vol. 14 AMS (1970), pp. 5-8. [3] M. W. Hirsch, С. С. Pugh, M. Shub, Invariant manifolds. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 583. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977. [4] Я. Б. Песин, Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория. Успехи математических наук, том 32 (1977), вып. 4 (196), стр. 55-112. [5] В. И. Оселедец, Мультипликативная эргодическая теорема. Труды Московского Математического Общества, 19 (1968), стр. 179-210. [6] Н. Furstenberg, Н. Kesten, Products of random matrices. Ann. Math. Statist, vol. 31, 1960, pp. 457-469. [7] C. Bonatti, X. Gomez-Mont, M. Viana, Genericite d'exposants de Lya-punov non-nuls pour des produits deterministes de matrices. Annales Inst. Henri Poincare, 20 (2003), pp. 579-624. [8] L. Arnold, N. D. Cong, V. I. Oseledets. Jordan normal form for linear cocycles. Random Operators and Stochastic Equations, 7 (1999), pp. 303-358. [9] L. Arnold, N. D. Cong, Linear cocycles with simple Lyapunov spectru-mare dense in L. ErgodicTheory and Dynamical Systems, 19 (1999), pp. 1389-1404 [10] М. И. Брин, Я. Б. Песин, Частично гиперболические динамические системы. Известия Мат. Наук, том 8 (1974), вып. 1, стр. 177-218. [11] Я. Б. Песин, О существовании инвариантных слоений для диффеоморфизма гладкого многообразия. Математический сборник, том 91 (1973), вып. 2, стр. 202-210. [12] J. Bochi, Genericity of zero Lyapunov exponents. Ergodic Theory Dy-nam. Systems 22 (2002), no. 6, pp. 1667-1696. [13] J. Bochi, M. Viana, Uniform (projective) hyperbolicity or no hyperbol-icity: a dichotomy for generic conservative maps. Ann. Inst. H. Poincare, 2002, Vol. 19, no. 1, pp. 113-123. [14] R. Mane. The Lyapunov exponents of generic area preserving diffeomor-phisrns. In International Conference on Dynamical Systems (Montevideo, 1995), pages 110-119. Longman, 1996. [15] C. Bonatti, L. Diaz, E. Pujals, A C1-generic dichotomy for diffeomor-phisms: weak forms of hyperbolicity or infinitely many sinks or sources. To appear in Annals of Math. [16] A. Arbieto, C. Matheus. A pasting lemma I: the case of vector fields. To appear: Ergodic Theory and Dynamical Systems. [17] A. Baraviera, С Bonatti, Removing zero Lyapunov exponents. Ergodic Theory and Dynamical Systems, N 23 (2003), pp. 1655-1670. [18] J. Bochi, M. Viana. The Lyapunov exponents of generic volume preserving and symplectic systems. To appear in Annals of Math. [19] J. Bochi, B. R. Fayad, E. Pujals, A remark on conservative diffeomor-phisms. Сотр. Rend. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006), pp. 763-766. [20] A. Tazhibi, Stably ergodic diffeomorphisms that are not partially hyperbolic. Israel Journal of Mathematics, vol 24 (2004), pp. 315-344. [21] J. Bochi, M. Viana, Lyapunov exponents: how frequently are dynamical systems hyperbolic?Modern dynamical systems and applications, pp. 271 - 297, Cambridge Univ. Press, 2004. [22] M. Shub, A. Wilkinson, Pathological foliations and removable zero exponents. Inventiones Math. 139 (2000), pp. 495-508. [23] D. Ruele, A. Wilkinson, Absolutely singular dynamical foliations. Comm. Math. Phys., 219 (2001), no. 3, pp. 481-487. [24] D. Dolgopyat, Y. Pesin, Every compact manifold carries a completely hyperbolic diffeomorphism. Ergodic Theory Dynam. Systems 22 (2002), no. 2, pp. 409-435. [25] C. Bonatti, С Matheus, M. Viana, A. Wilkinson, Abundance of stable ergodicity. Comment. Math. Helv., 79 no. 9 (2004) pp. 753 - 757. [26] C. Bonatti, M. Viana, SRB measures for partially hyperbolic systems whose central direction is mostly contracting. Israel J. of Math. 115 (2000), pp. 157-193. [27] Cheng, C.-Q., and Y.-S. Sun, Existence of invariant tori in three dimensional measure-preserving mappings. Celestial Mech. Dynam. Astronom. 47 (1989/90), no. 3, 275-292. [28] Herman, M. Stabilite Topologique des systemes dynamiques conservat-ifs. (1990) preprint. [29] Xia, Z., Existence of invariant tori in volume-preserving diffeomorphisms. Ergod. Th. Dynam. Syst. 12 (1992), no. 3, 621-631. [30] Yoccoz, J.-C, Travaux de Herman sur les tores invariants. Seminaire Bourbaki, Vol. 1991/92. Asterisque No. 206 (1992), Exp. No. 754, 4, 311-344. [31] M. I. Brin, J. Feldman, A. Katok. Bernoulli diffeomorphisms and group extensions of dynamical systems with non-zero characteristic exponents. Annals of Mathematics, Vol. 113, No. 1 (Jan, 1981), pp. 159-179. [32] А. С. Городецкий, Ю. С. Ильяшенко. Некоторые новые грубые свойства инвариантных множеств и аттракторов динамических систем. Функциональный анализ и его приложения, N 2, том 33, 1999, стр. 16-30 [33] А. С. Городецкий, Ю. С. Ильяшенко. Некоторые свойства косых произведений над подковой и соленоидом. Труды Математического Института им. Стеклова, том 231 (2000), стр. 96-118 [34] А. С. Городецкий. Минимальные аттракторы и частично гиперболические инвариантные множества динамических систем. Текст диссертации, Московский Государственный Университет им. Ломоносова, механико-математический факультет, 2001. [35] А. Городецкий, Регулярность центральных слоев частично гиперболических множеств и приложения. Известия РАН, том 70 (2006), N 6, стр. 52 - 78. [36] А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Теория функций и функционального анализа. М.: Наука, 1964. [37] Yu. Ilyashenko and W. Li, Nonlocal bifurcations. AMS, Providence, Long Island, 1998. [38] А. В. Katok, В. Hasselblat, Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999. [39] А. Б. Каток, А. М. Степин, Об аппроксимациях эргодических динамических систем периодическими преобразованиями. Доклады Академии Наук СССР, том 171 (1966), стр. 1268-1271 [40] А. Б. Каток, А. М. Степин, Аппроксимации в эргодической теории. Успехи математических наук, том 22 (1967) вып. 5 (137), стр. 81-106. [41] S. V. Gonchenko, I. I. Ovsyannikov, С. Simo, D. Turaev, Three-dimensional Henon-like maps and wild Lorenz-like attractors. International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 15, No. 11(2005), pp. 3493 3508. РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ [42] А. Городецкий, К). Ильяшенко, В. Клепцын, М. Нальский. Неуст-рапимость нулевых показателей Ляпунова. Функциональный анализ и его приложения, 2005, том 39, вып. 1, стр. 27-38. [43] М. Нальский. Устойчивость существования негиперболических мер для С1-диффеоморфизмов. Депонировано в ВИНИТИ РАН, N 918-В2007. [44] В. А. Клепцын, М. Б. Нальский, Сближение орбит в случайных динамических системах па окружности. Функциональный анализ и его приложения, 2004, т. 38, вып. 4, с. 36-54.flL|l? + шагов, поскольку при обратных итерациях за каждый из
завершает доказательство предложения 15. L2uXe+M>J^\) (70)
к интервалам J2 и Д.
фУ ~ \w'\ - 2kP '
Отсюда следует утверждение (4Ь) леммы 9 для достаточно больших
к. Лемма 9 полностью доказана.
и у всех орбит Xj, j > і, причем доля общих точек не стремится к нулю.
Тем самым, предельная мера Ui не равна нулю, что обеспечивает совпа
дение носителя меры со всем пространством. Похожие диссертации на Устойчивость существования негиперболических мер для С1-диффеоморфизмов
