Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Модель транснациональных транспортных перевозок 17
1. Постановка задачи 17
2. Сведение однопараметрической системы дифференциальных уравнений с нелокальными линейными ограничениями к однопараметрическому семейству дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом 23
3. Теорема существования и единственности решения типа бегущей волны 27
4. Стационарные решения. Устойчивость стационарных решений 35
Глава 2. Модель транспортных перевозок с выделенной начальной станцией отправления грузов 61
1. Постановка задачи 61
2. Эквивалентность исследуемого дифференциального уравнения с нелокальными линейными ограничениями и краевой задачи с нелокальными краевыми условиями .. 69
3. Теорема существования и единственности решения типа бегущей волны 83
Глава 3. Модель транспортных перевозок с начальной станцией отправления и конечной станцией распределения грузов 108
1. Постановка задачи 108
2. Эквивалентность исследуемого дифференциального уравнения с нелокальными линейными ограничениями и краевой задачи с нелокальными краевыми условиями 114
3. Теорема существования и единственности решения типа бегущей волны 124
Заключение 133
Литература 135
- Сведение однопараметрической системы дифференциальных уравнений с нелокальными линейными ограничениями к однопараметрическому семейству дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом
- Стационарные решения. Устойчивость стационарных решений
- Эквивалентность исследуемого дифференциального уравнения с нелокальными линейными ограничениями и краевой задачи с нелокальными краевыми условиями
- Эквивалентность исследуемого дифференциального уравнения с нелокальными линейными ограничениями и краевой задачи с нелокальными краевыми условиями
Введение к работе
Транспорту принадлежит особая роль в экономике страны, он связывает воедино все отрасли экономики, обеспечивая перемещение сырья, полуфабрикатов и готовой продукции. Транспортной системе присущи черты, свойственные любой другой производственной системе. Однако по сравнению с остальными отраслями экономики транспорт обладает целым рядом специфических особенностей, порождаемых характером производственного процесса.
В процессе своего функционирования транспортная система не создает нового материального продукта, ее продукцией является сам процесс перемещения грузов и пассажиров.
В отличии от продукции других отраслей транспортная продукция не взаимозаменяема: перевыполнение плана перевозок какого-либо груза между одними пунктами не может скомпенсировать невыполнение перевозок того же груза между другими пунктами. Эта продукция не существует отдельно от транспорта и не может производиться в запас, т.е. невыполнение перевозок в один период времени не может быть скомпенсировано перевыполнением их в другой период времени.
Средства производства транспортной отрасли рассредоточены по всей стране и за ее пределами, большая часть их находится в постоянном перемещении. Масштабы деятельности отрасли, рассредоточенность ее объектов, динамический характер производственного процесса, воздействие большого числа случайных факторов обуславливают чрезвычайную сложность управления транспортной системой.
Среди проблем, связанных с работой транспорта, центральное место занимают задачи планирования и организации грузоперевозок.
Впервые методы нахождения оптимального плана перевозок в нашей стране были предложены в 30-ых годах прошлого столетия. В 1939 г. эти методы более подробно были развиты А.Н. Толстым в несколько измененной и уточненной форме. По существу была решена транспортная задача линейного программирования, но точных и достаточно общих математических формулировок и обоснований сделано не было. В том же году Л.В. Канторовичем [1] математически описана транспортная задача линейного программирования; им же определен целый класс задач, близких к транспортной, предложен алгоритм для решения транспортной задачи, названный методом разрешающих множителей, посвященная транспортной задаче. В 1949 г. Л.В. Канторович и М.К. Гавурин опубликовали работу [2], в которой решалась транспортная задача с ограничениями на пропускные способности. Используя идеи общего метода Л.В Канторовича, для решения задач линейного программирования был разработан метод потенциалов. Через годэтот же метод был предложен Дж. Данцигом [3] и получил за рубежом название метода моди (модифицированный распределительный метод). В то же время в Советском Союзе А.Л. Лурье [4] был предложен метод решения транспортной задачи путем приближения условно-оптимальными планами. В 1985 г. О.И. Авен, СЕ. Ловецкий и Мо-исеенко Г.Е. опубликовали работу [5], посвященную проблемам оптимального планирования и управления транспортными потоками на транспортных сетях. Были рассмотрены математические модели транспортных сетей
и транспортных потоков (однородный транспортный поток, поток с усилениями и ослаблениями, поток нескольких видов на транспортной сети с ограниченной пропускной способностью звеньев, динамический транспортный поток). Кроме того рассматривалась задача планирования перевозок с участием нескольких видов транспорта, сформулированная как задача оптимизации взаимосвязанных транспортных потоков нескольких видов, которые могут быть преобразованы друг в друга в пунктах перевалки груза.
Отдельным классом задач в планировании грузоперевозок является моделирование процессов взаимодействия транспортных потоков в пунктах перевалки грузов. Работа [6] М.Я. Постана посвящена данной проблеме. В ней разработаны новые типы экономических критериев эффективности работы пунктов перевалки грузов. На основе указанных критериев исследован вопрос об определении оптимальных производственных мощностей перевалочных пунктов (числа каналов обслуживания, вместимости складов и др.). Изучено влияние на моделирование дополнительных особенностей работы перевалочных пунктов (гидрометеорологических помех, неоднородность груза, порча груза при длительном хранении и т.п.)
Другой важной задачей, связанной с работой транспорта, является организация перевозок и их контроля. Именно этой проблеме и посвящена диссертация. Данная задача рассмотрена в трудах [7-13]. Перевозочная работа железнодорожного транспорта представляет большую сложную систему, моделирование которой связано с дополнительными трудностями из-за сложности сети дорог и сложного графика движения поездов. Создавать
модель, которая точно представляет все детали, бессмысленно, посколь-ко это приводит к усложнению процесса ее проектирования. Поэтому при моделировании всегда используется ряд аппроксимаций реальных характеристик движения поездов. Хорошая модель должна быть одновременно и точной и простой. При исследовании характеристик железнодорожной системы в целом целесообразно использовать грубые модели, в которые вводятся существенные аппроксимации, а ряд деталей не учитывается. В то же время при детальном исследовании изолированных участков сети используется точная модель, в которой связи данного участка с другими более или менее опускаются и детально исследуется только этот участок. При этом не следует упускать из ввиду отклонение модели от реальной сети в первом случае и недоучет связей участков во втором. Так как каждый поезд на участке является дискретным и случайным элементом, при моделировании используются микроскопические модели, исследующие индивидуальное поведение каждого их них с помощью точных методов. Но такие модели трудно использовать для исследования крупномасштабных сетей дорог, состоящих из большого числа участков. В этом случае целесообразно использовать макроскопические модели, представляющие средние характеристики большого числа поездов "грубыми"методами.
Модели могут быть разделены на два класса: математические и нема-тиматические. Математические модели представляются в форме уравнений. Хотя такой метод и имеет тот недостаток, что необходимо вводить грубые аппроксимации с целью нахождения приемлемого аналитического решения, но характеристики объекта могут быть систематически изучены
при широком изменении параметров и при относительно небольших рас-ходах на исследование. Нематематические методы включают аналоговые модели, в которых используются специальные моделирующие устройства, представляющие реальную систему набором аналоговых электротехнических характеристик, так и цифровые имитационные модели на ЭВМ, в которых система моделируется с помощью программного обеспечения. Подобные нематематические модели при правильном построении дают более точное представление объекта с меньшими аппроксимациями, чем математические модели, но требуют больших затрат на их создание, а также обеспечивают меньшую степень глубины исследования и прогноза поведения системы при серьезных изменениях в исходных концепциях. Отсюда ясно, что для получения характеристик всей системы в целом желательно использовать в качестве первого приближения математическую модель, а затем для детального уточнения характеристик элементов системы нематематические методы. В данной диссертации рассмотрены макроскопические математические модели организации грузоперевозок.
Для описания процесса организации движения поездов целесообразно использовать следующие показатели: интенсивность движения, состав потока поездов, плотность потока поездов, скорость движения, продолжительность задержек поездов. В данной работе ключевым показателем для описания организации движения поездов является интенсивность движения. Интенсивность движения - это объем грузов, проходящих через сечение участка за единицу времени. В качестве расчетного периода времени для определения интенсивности движения принимают год, месяц, сутки,
час в зависимости от поставленной задачи.
Важнейшим объектом на железнодорожном транспорте являются станции. По своему назначению и характеру работы станции подразделяются на промежуточные, участковые, сортировочные, грузовые и пассажирские [14]. К промежуточным относятся станции, на которых осуществляются прием, отправление и пропуск поездов, а также обработка сборных поездов (прицепку и отцепку вагонов). Сборным называется поезд, сформированный из вагонов, отцепляемых на промежуточных станциях участка. Следуя по участку, он собирает взамен отцепляемых загруженные вагоны. К участковым относятся станции, на которых в основном обрабатываются транзитные поезда (осмотр вагонов, смена локомотивов, а также смена бригад). Объем сортировачной работы на этих станциях невелик -
расформирование и формирование участковых, сборных и вывозных по-
к ? и
ездов. К сортировачным относятся станции массового расформирования и
формирования поездов. Расположены они в пунктах массового зарождения и погашения вагонопотоков (на подходах к крупным промышленным центрам, морским и речным портам). Поскольку на участковых и сортировочных станциях выполняются в основном технические операции, эти станции называют техническими. На грузовых станциях выполняются следующие операции: прием, взвешивание, хранение и выдача грузов, погрузка и выгрузка, оформление перевозочных документов, обслуживание подъездных путей. На этих станциях также могут перегружаться грузы с одного вида транспорта на другой. К пассажирским станциям относятся станции, связанные с обслуживанием пассажиров и пассажирских поездов. В на-
ших моделях рассматриваются протяженные участки пути, на которых
преимущественно расположены промежуточные станции, вследствии чего
значимостью других видов станций в перевозочном процессе пренебрегает-
ся. Кроме того предполагается, что объем грузов прицепленных к сборно
му поезду равен объему грузов отцепленных от сборного поезда. "Учиты
вая определение промежуточной станции, а также последнее предположе
ние, получаем, что произвольный объем грузов находящийся на некоторой
станции через определенное время должен оказаться на следующей стан
ции. На этом принципе и основана система контроля за грузоперевозками.
В качестве наблюдаемой характеристики системы контроля используется
следующее балансовое соотношение: равенство объемов грузов на соседних
станциях с определенным, единым для всех станций, промежутком време
ни. /
Многие недостатки в работе транспорта порождены несовершенством планирования и организации перевозок. При определении объема перевозок на стадии планирования в основном исходят из потребностей экономики и недостаточно учитывают возможности железных дорог. Поскольку в последние годы наметилась диспропорция в развитиии железнодорожного транспорта и росте объема перевозок, потребность в перевозках необходимо увязывать с пропускной способностью направлений. Отсутствие сбалансированности плана перевозки грузов с пропускной способностью участков приводит к тому, что на участках находится в 2-3 раза больше поездов, чем предусмотрено графиком движения. Пропускная способность участка рассчитывается исходя из степени заполнения участка поездами [15]. Степень
заполнения участка поездами определяется такими пространственными характеристиками, как плотность движения потока поездов и насыщенность ими участка. Они показывают, сколько поездов приходится на единицу длины участка (например, на 1 км). Однако насыщенность участка поездами необходимо отличать от плотности движения потока поездов. При определении последнего показателя учитываются лишь поезда, находящиеся в движении или на станциях при скрещениях, обгонах, выполнении технических операции, предусмотренных графиком движения или технологическими условиями перевозочного процесса. При установлении насыщенности участка учитываются перечисленные поезда и дополнительно оставленные на станциях без локомотивов. Когда на участке нет поездов, оставленных на станциях на длительное время, значение насыщенности и плотности равны и эти две характеристики становятся эквивалентными. В данной работе предполагается эквивалентность этих характеристик. В настоящее время расчеты пропускной способности участка заключаются в установлении ограничивающего перегона. Для этого перегона определяют число поездов, которые могут быть пропущены через сечение участка за единицу времени в зависимости от технической оснащенности участка и способа организации движения поездов. Большое внимание на пропускную способность участка оказывает и характеристика потока поездов (скорость, плотность, однородность и др.). Важным моментом в данном исследовании оказался такой вопрос: какова же реакция участка на различные объемы грузопотоков? Эта реакция прослеживается через взимосвязь плотностей входящего потока поездов и выходящего с участка транзитного
потока. Начальный участок этой зависимости может быть аппроксимирован линейной функцией и соответствует положительной реакции участка на возрастание плотности входящего потока поездов, т.е. любое увеличение входящего потока приводит к возрастанию выходящего потока. Участок сохраняет положительную реакцию до тех пор, пока не будет достигнуто состояния насыщения поездами. После этого дальнейшее увеличение плотности входящего потока поездов практически не приводит к возрастанию выходящего потока. При достижении состояния перенасыщения любое увеличение плотности входящего потока поездов сокращает объем выходящего потока. Последнее обстоятельство имеет место в тех случаях, когда с ростом числа поездов на участке быстро увеличивается плотность их размещения, следование на зеленое показание светофора все чаще сменяется на желтое или красное. С учетом этого, понятие пропускной способности должно быть дополнено соответствующими ограничивающими условиями и рассматриваться не в одном сечении, а на протяжении всего участка. Тогда под пропускной способностью участка рекомендуется считать максимальную интенсивность, при которой поток поездов может пройти по всему участку в течении определенного отрезка времени в зависимости от технической оснащенности и способа организации движения. В данной работе под пропускной способностью участков подразумевается пропускная способность станций и прилегающих к ним путей. Таким образом, под пропускной способностью понимаем максимальную интенсивность, при которой поток грузов может пройти через промежуточную станцию за единичный отрезок времени. Существует максимальный объем грузов,
который может единовременно находиться на станциях. Величина этого объема, обозначаемая через Д, задает пропускную способность станций. Интенсивность движения грузопотока состоит из двух слагаемых: постоянная интенсивность, величина которого v меньше А и переменная интенсивность. Запуск грузопотока с постоянной интенсивностью v позволяет организовать бесперебойное движение грузопотока. Однако подобная организация грузопотока связана с недозагруженностыо станций. В связи с этим применяются технологии, которые обеспечивают дополнительную загрузку станций, но при этом учитывают ограниченность пропускной способности станций. Прежде чем описать эти технологии, введем следующее предположение: между двумя соседними станциями существует межстанционный перегонный путь где временно может храниться часть грузов. Считаем, что емкость перегонных путей иеограничена. На произвольную станцию грузопоток может поступить как с предыдущей станции так и с перегонного пути. С произвольной станции грузопоток может быть отправлен либо на следующую станцию либо на следующий перегонный путь. Первая технология основана на установленных правилах взаимодействия соседних станций. Она строится по следующему правилу: произвольная станция по технологии принимает грузопоток с предыдущей станции если объем грузов на данной станции меньше объема грузов на предыдущей станции. Интенсивность приема пропорциональна разности объемов грузов между станциями. Соответственно, произвольная станция по технологии отправляет грузопоток на следующую станцию, если объем грузов на данной станции больше объема грузов на следующей станции. Интенсив-
ность отправки также пропорциональна разности объемов грузов между станциями. Технология, описанная выше, не гарантирует бесперебойного продвижения грузопотока (в связи с ограниченной пропускной способностью станций). Кроме того, график, составленный в расчете на максимальные размеры движения поездов, а именно такой действует на важнейших направлениях, предусматривает полное использование пропускной способности. В связи с этим, наряду с первой технологией, используется и вторая технология. Такая технология позволяет каждой станции увеличивать интенсивность грузопотока в случае недозагруженности станции и разгружать станции в случае их перегрузок. Наша задача - изучить возможность организации грузопотока с заданной системой контроля.
Актуальность темы. Чрезвычайная сложность транспорта как объекта управления, обусловленная масштабами его деятельности, тесной взаимосвязью со всеми отраслями экономики и целым рядом других факторов, делают невозможным решение этой проблемы без применения экономико-математических методов и современной вычислительной техники. Среди проблем, связанных с работой транспорта, центральное место занимают задачи планирования и организации грузоперевозок. Необходимость в постоянном совершенствовании системы организации транспорта, и в частности, организации грузоперевозок и определяет актуальность темы диссертации.
Цель работы. Основной целью проведенного в диссертации исследования являлось изучение динамики грузоперевозок. Основной задачей, выполненной в работе для достижения этой цели было построение модели,
описывающей процесс грузоперевозок, с заданными технологиями и возможности организации системы контроля таких грузоперевозок.
Научная новизна диссертации состоит в моделировании процесса грузоперевозок с системой контроля и изучении сложной динамики такого процесса.
Теоретическая и практическая ценность. Исследована сложная динамическая система, описывающая процесс организации грузоперевозок с заданной системой контроля. Изучен вопрос о наличии устойчивых режимов грузоперевозок. Разработанные методы могут быть использованы при исследованнии решений типа бегущей волны в задачах, возникающих в различных приложениях (экономика, теория деформации, теория распространения волн). Полученные результаты могут быть использованы для количественного оценивания периодов замеров объема грузов.
Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.
Первая глава посвящена изучению транснациональных транспортных перевозок, вследствии чего, множество промежуточных станций считаем бесконечным в обе стороны. В 1 приводится постановка задачи: описаны технологии, согласно которым осуществляется движение грузопотока от одной станции к другой; определяется характеристика системы контроля. Такая задача описывается бесконечномерной системой однопараметри-ческих обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющих системе нелокальных линейных ограничений. В 2 бесконечномерная система однопараметрических дифференциальных уравнений, удовлетворяющих системе нелокальных линейных ограничений сводится к эквивалент-
ному ей семейству однопараметрических дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 3 посвящен решению следующей задачи: можно ли организовать контролируемый грузопоток с заданными начальными условиями (на станции с фиксированным номером в начальный момент времени имеется заданный объем грузов)? Решение такой задачи дается в виде теоремы существования и единственности решения для полученного однопараметрического семейства дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Там же приводится переформулировка такой теоремы в виде теоремы существования и единственности решения для исходной системы однопараметрических дифференциальных уравнений с нелокальными линейными ограничениями. В 4 исследуется следующая задача: существуют ли стационарные режимы грузоперевозок и являются ли они устойчивыми? Такая задача эквивалентна следующей: существуют ли для изучаемой бесконечномерной системы однопараметрических дифференциальных уравнений с нелокальными линейными ограничениями стационарные решения и являются ли они устойчивыми?
Вторая глава посвящена изучению транспортных перевозок с выделенной начальной станцией отправления грузов. В 1 приводится постановка задачи: описаны технологии, согласно которым осуществляется движение грузопотока от одной станции к другой; определяется характеристика системы контроля. Такая задача описывается системой однопараметрических обыкновенных дифференциальных уравнений с нелокальными линейными ограничениями. В 2 система однопараметрических обыкновенных дифференциальных уравнений с нелокальными линейными ограничениями сво-
дится к краевой задаче, для которой удается написать эквивалентное интегральное уравнение. 3 посвящен решению следующей задачи: можно ли организовать контролируемый грузопоток с заданным начальным условием (на начальной станции в начальный момент времени имеется заданный объем грузов)? Решение такой задачи дается в виде теоремы существования и единственности решения системы однопараметрических дифференциальных уравнений с нелокальными линейными ограничениями.
Третья глав посвящена изучению транспортных перевозок с выделенными начальной станцией отправления и конечной станцией распределения грузов. Под распределением подразумевается отправка грузов к пунктам назначения. В 1 приводится постановка задачи: описаны технологии, согласно которым осуществляется движение грузопотока от одной станции к другой; определяется характеристика системы контроля. Такая задача описывается системой из конечного числа однопараметрических обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющих системе нелокальных линейных ограничений. В 2и 3 решаются задачи, аналогичные задачам из соответствующих параграфов второй главы.
Сведение однопараметрической системы дифференциальных уравнений с нелокальными линейными ограничениями к однопараметрическому семейству дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом
Наряду с системой (6)-(7) рассмотрим следующее дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом: Для уравнения с отклоняющимся аргументом (9) дадим определение решения.
Определение 2. Абсолютно непрерывная функция y{t) , определенная на R, называется решением уравнения (9), если при почти всех t Є R функция y(t) удовлетворяет этому уравнению. Сформулируем лемму, которая устанавливает связь между решениями системы (6)-(7) и решениями уравнения (9).
Лемма 2. Всякому решению {уп(-)}пех системы (6)-(7) соответствует решение у{.) уравнения (9) и наоборот. Такие решения связаны меоісду собой соотношением: для любых п Є Z, t Є [0,+оо), Vn(t) = y(t — n).
Доказательство. Пусть {yn(-)}nez есть решение системы (6)-(7). На пространстве вектор функций {уп(-)}пєі.і удовлетворяющих условию (7), определим оператор Р. Оператор Р действует по следующему правилу: р[{Уп(-)}пег] = 2/(-)і где y(t) = y-[t](t - [t]) для любого teR,a[t]- целая часть t. Это же условие можно задать и в иной форме: для любого п Є Z, t Є [0,1] yn(t) = y(t—n). На самом деле, последнее условие (yn(t) = y(t— п)) выполняется для любых п Є Z, t [0,+оо). Действительно, пусть t Є [m, т + 1], где т Є Z и т 0. Так как {yn(t)}nei. решения типа бегущей волны, то для любых п Є Z, t Є [m, m+1] yn{t) = yn-m(t—m). Однако, (t— m) Є [0,1] и, в силу определения функции y(t), yn(t) = y(t—m—(n—m)) = y(t — n) . Итак, мы показали, что для любых п Є Z, t Є [0,+оо) yn(t) = y{t—n). Так как функции уп(-), п Є Z являются абсолютно непрерывными, то функция 7/(.) также будет абсолютно непрерывной.
Покажем, что таким образом определенная функция y{t) удовлетворяет уравнению (9). Вычислим производную функции y(t) на интервале [п,п + 1], п Є Z. Из определения функции у(.) следует, что для почти любой точки t Є [п, п + 1] Согласно уравнению (6) Согласно определению функции у{.) откуда и следует, что
Так как это справедливо для любого интервала [п, п + 1], то мы получаем, что уравнение (10) выполняется для почти любого t Є R. В одну сторону лемма доказана.
Проведем доказательство в обратную сторону. Пусть y(t) является решением уравнения (9). На пространстве функции y(t) введем оператор Q следующим образом: Q[y(.)] = {yn(-)}nZ, где yn(t) — y(t - п) для любых t Є [0, -foo), п Є Z. Из определения вектор функции {yn(-)}nez следует, что yn(t) = yn+i(t + 1) для любых t Є [0, +оо), п Є Z. Покажем, что таким образом определенная вектор функция {yn(t)}nZ удовлетворяют уравнению (6). Для произвольного п Є Z и почти любого t Є [0, -foo) вычислим производную yn{i). Из определения функций уп(.) следует, что Следствие 1. Всякому решению {zn(.)}nz системы (4)-(5) соответствует решение у{.) уравнения (9) и наоборот. Такие решения связаны меоісду собой соотношением: для любых п Є Z, t Є [0, -foo), zn{ri) = y{t-n). Доказательство. Доказательство следует из леммы 1, согласно которой, всякому решению {yn(-)}nez системы (6)-(7) соответствует решение {zn(.)}nez системы (4)-(5), где yn(t) = zn(rt) для любых п Є Z, t Є [0,+оо).
Итак, исследование решений системы однопараметрических дифференциальных уравнений (6) с нелокальными линейными ограничениями (7) сводится к исследованию решений однопараметрического семейства (параметр г) уравнений (9) с отклоняющимся аргументом, т.е. исследование решений системы (4)-(5), описывающей нашу модель мы заменили эквивалентной задачей - исследованием решений однопараметрического семейства дифференциальных уравнений (9) с отклоняющимся аргументом.
Стационарные решения. Устойчивость стационарных решений
В предыдущем параграфе мы показали, что если задан объем грузов в начальный момент времени на фиксированной станции, то можно единственным образом организовать технологически реализуемый грузопоток с соответствующей системой контроля (теорема существования и единственности). Нам особо интересны решения, которые со временем стабилизируются. Таким образом, мы приходим к следующему вопросу: существуют ли для пашей системы стационарные режимы и являются ли они устойчивыми? Напомним, что наша модель описывается системой (4)-(5). Найдем стационарные решения системы (4)-(5). Стационарные решения уравнения (4) это такие {cn}„ez, которые удовлетворяют системе уравнений где сп - постоянная величина для каждого п Є Z. Используя условие (5) получаем, что сп = с для любого п Є Z. Подставив данное значение в (24), получим уравнение: откуда следует, что р{с) = 0. В силу определения функции (р, следует, что система (4)-(5) имеет два стационарных режима: Как мы уже показывали, системе (4)-(5) соответствует дифференциальное уравнение опережающе-запаздывающего типа (9). Уравнение (9) имеет стационарные решения: y(t) = и, y(t) = А. При этом, согласно следствию 1, стационарному решению {zn(t)}nez={—, Л Л Л } системы (4)-(5) соответствует стационарное решение y{t) = и уравнения (9), а стационарному решению {zn(t)}nez = {} А» А, А, } стационарное решение y(t) = А. В предыдущем параграфе мы сформулировали теорему существования и единственности решения для уравнения (9) в классе функций из пространства CjtC (R), ft Є (0,1). Поэтому, исследование на устойчивость мы будем проводить также среди семейства решений из пространства С()(Д),АХ(0,1).
Согласно формализму, изложенному в [21], исследование уравнения с отклоняющимся аргументом сводится к исследованию обыкновенного дифференциального уравнения в некотором подходящем пространстве бесконечных последовательностей, каноническим образом порожденных исходным дифференциальным уравнением. Рассмотрим некоторые результаты данного подхода. Общий вид дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом (уравнение 17) и условия, которым удовлетворяет правая часть этого уравнения (функция д), были даны в параграфе 3. Определим пространство со стандартной топологией полного прямого произведения. Элементами пространства Кп будут бесконечные последовательности Топология пространства Кп совместима с метрикой р , задаваемой разделяющим семейством полунорм Определение 3. (см.[21]) Решением уравнения (25) в фазовом пространстве Кп называется всякая слабо абсолютно непрерывная функция х(.) Є С ([0,1],Кп) (для всякого функционала Л из сопряженного пространства (Кп) функция Ax(t) = x(t),A абсолютно непрерывна в обычном смысле), почти всюду удовлетворяющая уравнению (25). Для произвольного /z Є (0,1) выделим в пространстве Кп гильбертово подпространство К , которое определяется в виде:
Эквивалентность исследуемого дифференциального уравнения с нелокальными линейными ограничениями и краевой задачи с нелокальными краевыми условиями
В первой главе была рассмотрена модель транснациональных транспортных перевозок, а именно, предполагалось, что множество промежуточных станций бесконечно как в правую, так и в левую стороны. Во второй главе мы рассмотрели модель транспортных перевозок с выделенной начальной станцией отправления грузов. В данной главе будет рассмотрена модель грузоперевозок с начальной станцией отправления и конечной станцией распределения грузов. Итак, рассмотрим модель транспортных перевозок с начальной станцией отправления грузов (п = 0), конечным числом промежуточных станций (n = 1,2, ...т) и конечной станцией расределения грузов (п = т + 1).
На начальную станцию грузопоток поступает с некоторой интенсивностью, состоящей из постоянной интенсивности v и переменной интенсивности фі(і). С конечной станции грузопоток распределяется с интенсивностью, состоящей из постоянной интенсивности v и переменной интенсивности г(0- Предполагаем, что функция фі(.) является бесконечно дифференцируемой, а функция 2(-) непрерывной. От начальной до конечной станций грузопоток движется с интенсивностью, состоящей из постоянной интенсивности и и переменной интенсивности, обеспечиваемой двумя технологиями. Опишем эти технологии.
Первая технология. Для начальной станции (n = 0) существует правило взаимодействия с последующей станцией (n = 1), которое было описано во второй главе. Для каждой промежуточной станции с номером п (п = 1,2, ...га) существуют правила взаимодействия с предыдущей - (п — 1) - ой станцией и последующей - (п+1) - ой станцией. Эти правила были описаны в первой главе. Для конечной станции (п = га+1) существует правило взаимодействия с предыдущей станцией. Согласно этому правилу, конечная станция обязана принимать груз cm-ой станции с интенсивностью пропорциональной разности объемов грузов га - ой и (га + 1) - ой станций и равной a(zm — zm+i), если объем грузов на га + 1 - ой станции меньше объема грузов на m - ой станции. В противном случае, с конечной станции дополнительно распределяется грузопоток с интенсивностью a(zm — zm+i).
Вторая технология. Для начальной и промежуточных станций вторая технология в точности повторяет вторую технологию, описанную в главах 1 и 2. Вторая технология для конечной станции такая же, как для промежуточных станций.
Таким образом, с учетом работы первой и второй технологий прием и отправка грузов будет описываться следующей системой дифференциальных уравнений
Так же как и в предыдущих моделях, в качестве наблюдаемой характеристики системы контроля используется следующее балансовое соотношение: равенство объемов грузов на соседних станциях с определенным, единым для всех станций, промеоісутком времени.
Такое условие можно описать в следующем виде: существует число г О, не зависящее от t и п, такое что при всех п = О,1,2, ...т и t Є [0,+оо) выполнено равенство: Решения системы дифференциальных уравнений (1)-(3), удовлетворяющие условию (4), называются решениями типа бегущей волны. Окончательно, наша модель описывается системой дифференциальных уравнений и условием, задающим бегущую волну.
Для системы (5)-(8) необходимо изучить множество возможных изменений параметра г (период бегущей волны), а также выявить свойства функций фі(.) (интенсивность подачи грузов на начальную станцию) и 02(0 (интенсивность распределения грузов с конечной станции), при наличии которых существует решение (существует установившийся грузопоток с заданной системой контроля).
Эквивалентность исследуемого дифференциального уравнения с нелокальными линейными ограничениями и краевой задачи с нелокальными краевыми условиями
Наряду с системой (22)-(24) рассмотрим следующую краевую задачу с нелокальными краевыми условиями, полученную как ограничение системы (22)-(24) на интервал [0,1]: Замечание 1. Яз соотношений (32) и (33) следует, что функции фі(.) и гр2{-) могут принимать и отрицательные значения. В этом случае, с интенсивностью і(.) с 0-ой станции грузопоток отправляется на перегонный путь, а с интенсивностью [ 2(01 грузопоток поступает на (т + 1)-ую станцию с перегонного пути. Ш Лемма 1. Функция e(t), построенная в силу соотношений (28)-(33), единственна. Доказательство. Доказательство аналогично доказательству соответствующей леммы из второй главы. Лемма 2.
Для произвольного решения с{.) системы (22)-(24) его ограничение х(01[о,і] = К0 па интервал [0,1] является решением системы (25)-(27). Более того решение x{t), t Є [0,+оо) системы (22)-(24) будет удовлетворять соотношениям (28)-(33). Функция х{.), построенная по решениям с(.) системы (25)-(27), в силу соотношений (28)-(33), почти всюду удовлетворяет уравнению (22), нелокальному ограничению (23), за исключением целочисленных точек, условию (24) и является кусочно сильно абсолютно непрерывной с разрывами только лишь в целочисленных точках. Доказательство. Пусть х(.) решение системы (22)-(24). Соотношения (28)-(32) являются аналогами соотношений (24)-(28) из второй главы и доказательство их выполнимости в точности повторяет сответствующее доказательство из второй главы. Покажем, что соотношение (33) также имеет место. Так как х(.) является решением системы (22)-(24), то имееют место следующие равенства В этом случае из соотношений (36) и дифференциального уравнения (34) следует, что Приравняв правую часть полученного уравнения к правой части уравнения (35), получим следующее равенство т.е имеет место соотношение (33). Докажем лемму в обратную сторону. Пусть х{.) решение системы (25)-(27). Покажем, что на интервале (1,2) функция х(.) построенная по решениям (.) системы (25)-(27) в силу соотношений (28)-(33) удовлетворяет дифференциальному уравнению (22), нелокальному ограничению (23) и условию (24).
Дифференциальное уравнение (22) эквивалентно следующей системе дифференциальных уравнений следовательно, мы должны показать, что на интервале (1,2) функция .%(.), построенная по решениям к{.) системы (25)-(27) в силу соотношений (28)-(33) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений (37)-(40). Из определения проектора Рв следует, что функцию х(.) можно представить в виде: Из соотношения (29) следует, что P x{t) удовлетворяет уравнению (37). Из соотношений (31) и (32), а также соотношения которое следует из (30) получаем, что следовательно, Pu0x{t) удовлетворяет уравнению (38). Повторяя рассуждения, проводеденные в соответствующей лемме из второй главы, получим, что Рдх(.) удовлетворяет уравнению (39). Покажем, что Рвт+і( ) удовлетворяет уравнению (40). Для этого посчитаем производную хт+і(.).
Согласно соотношению (30), Так как 0 t — 1 1, то из дифференциального уравнения (25) и соотношений (41) следует, что Для того, чтобы Pnm+1 (t) удовлетворял уравнению (40) достаточно показать, что правые части уравнений (42) и (40) тождественно равны. Через Lo{i) обозначим разность между правыми частями уравнений (40) и (42) Согласно соотношению (33), u){t) = 0. Таким образом, мы показали, что на интервале (1,2) функция х(.), построенная по решениям с{.) системы (25)-(27) в силу соотношений (28)-(33) удовлетворяет уравнению (22). Аналогичным образом можно показать, что функция я{.) удовлетворяет уравнению (22) на произвольном интервале (к, к + 1), к = 2.3... . Это означает, что функция я{.), построенная по решениям х(.) системы (25)-(27) в силу соотношений (28)-(33), почти всюду (за исключением целочисленных точек) удовлетворяет уравнению (22). Из соотношения (30) следует, что условие бегущей волны (23) выполняется для произвольного интервала (к, к + 1), к — 1,2,... . Условие (24) совпадает с условием (27).
