Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Математические методы исследования моделей сельскохозяйственного производства 20
I.I. Исследование линейных статических моделей размещения сельскохозяйственного производства и распределение ресурсов 20
1.2. Метод решения задачи размещения сельскохозяйственного производства в стохасти ческих постановках . 49
1.3. Моделирование севооборота с помощью управляемых марковских цепей 59
ГЛАВА II. Матежтйческие методы исследования моделей водного хозяйства 68
2.1. Метод построения диспетчерских правил для каскада водохранилищ 68
2.2. Метод управления гидроузлом, использующий аппарат управляемых марковских процессов 80
ГЛАВА III. Методы получения согласованных решений для системы моделей водохозяйственного комплекса ирригащовдо-энергетического назначения 89
3.1. Получение согласованных решений для моделей сельскохозяйственного блока 89
3.2, Получение согласованных решений для систе мы моделей водного и сельского хозяйства 109
Заключение 123
Литература
- Метод решения задачи размещения сельскохозяйственного производства в стохасти ческих постановках
- Моделирование севооборота с помощью управляемых марковских цепей
- Метод управления гидроузлом, использующий аппарат управляемых марковских процессов
- Получение согласованных решений для систе мы моделей водного и сельского хозяйства
Введение к работе
В настоящее время водохозяйственные комплексы играют большую роль во многих отраслях народного хозяйства. При проектировании и управлении таких комплексов следует учитывать интересы энергетики, сельского хозяйства, речного судоходства, рыбного, лесного, коммунального хозяйства и промышленности. Важное место при этом должны занимать вопросы охраны окружающей среды.
Большое воздействие на функционирование водохожяйственных комплексов оказывают внешние неконтролируемые факторы - погодные условия, боковые приточности, осадки и др.
Практическая важность проблемы проектирования и управления водохозяйственным комплексом стимулировала создание и исследование описательных, а затем и математических моделей отдельных частей и отдельных сторон функционирования комплекса.
Уже в первых исследованиях были отмечены основные черты водохозяйственных объектов, которые свойственны большинству сложных систем. К ним относятся:
• Динамичность. Водохозяйственную систему (например, водохранилище или каскад водохранилищ) необходимо рассматривать в динамике. При этом в зависимости от вида системы и природно-климатических факторов выделяют системы сезонного, многолетне-то и других типов регулирования.
2. Многокритериальность. Управление водохозяйственной системой нельзя вести, ориентируясь на один критерий эффектив-•ности. Это прежде всего связано с тем, что различные отрасли выдвигают разные требования к работе комплекса. Например, для речного судоходства важно, чтобы в период навигации фарватер
- 5 был достаточно глубок для прохода судов; для сельского хозяйства необходимо получить воду для орошения в заданных объемах и режимах ; для рыбного хозяйства нужно иметь достаточные так называемые рыбные попуски в период нереста. Заметим, что цель и, следовательно, критерии различных отраслей часто противоречивы, и необходимо искать некоторый компромисс. Кроме того, у каждой отдельной отрасли не одна, а обычно целая система целей, связанных с использованием воды. Часто эти цели образуют иерархическую структуру. Например, энергетика в первую очередь заботится о том, чтобы соблюдался определенный график подачи электроэнергии и уже во вторую очередь получение максимальной полной энергии за некоторый период (месяц, год).
3. Наличие неконтролируемых факторов. Для водного хозяйства таким фактором является боковая приточность, для сельского хозяйства - погодные условия и как следствие этого такие важнейшие характеристики как урожайность, водопотребление и др. Отметим важную специфическую черту неконтролируемых факторов, встречающихся при исследовании водохозяйственного комплекса. Эта особенность связана с полнотой информации о неконтролируемых факторах. Довольно редко можно найти достоверную информацию о боковой приточности рек более, чем за пятьдесят-шестьдесят лет. Информация об урожайностях основных сельскохозяйственных культур также малопредставительна. Кроме того, даже имеющаяся в наличии информация редко может непосредственно использоваться при моделировании неконтролируемых факторов. Очень труден учет экзогенных воздействий, научно-технического прогресса, климатических изменений. Например, выявление из рядов статистических урожайностей тренда, связанного с научно - 6 техническим прогрессом, - самостоятельная трудная задача. Большое влияние на временные ряды урожайностей оказывали войны, резкие изменения в хозяйственных механизмах управления сельским хозяйством страны. На временные ряды боковой приточности крупных рек большое влияние оказывало строительство водохранилищ, гидроэнергетических узлов, каналов, ирригационных и промышленных сооружений.
Результаты первого этапа исследований, проводимых еще без применения ЭВМ, достаточно полно отражены в книге С.Н.Криц-кого и М.Ф.Менкеля [i] .
После появления ЭВМ появились многочисленные модели отдельных частей водохозяйственного комплекса, например, p/fl.
Наконец, третий этап связан с комплексным исследованием проблемы. Изучение водохозяйственного комплекса и у нас в стране, и за рубежом стало проводиться с позиций системного анализа. Из зарубежных работ, посвященных этому направлению, отметим [2] , из советских - [3] .
Исследования крупного водохозяйственного-комплекса - бассейна рек Волга, Кама и Дон проводились группой сотрудников ВЦ АН СССР под руководством Ф.И.Ерешко. В систему моделей водохозяйственного комплекса вошли модели сельского хозяйства, водного хозяйства, рыбного хозяйства, в моделях учитывались интересы речного судоходства и коммунального хозяйства. Работа была ориентирована на создание математического обеспечения проектирования крупных водохозяйственных комплексов. Исследование этих моделей еще продолжается, но уже получены практически важные результаты, доказавшие эффективность применяемого подхода.
- 7 Настоящая работа посвящена исследованию моделей, описывающих водохозяйственные комплексы ирригационно-энергетйческо-го назначения. В нее вошли модели сельского хозяйства (ирригация) и водного хозяйства (гидроэнергетика). Исследуемая система моделей является частью общей системы моделей водохозяйственного комплекса. В этой системе моделей есть своя специфика, заключающаяся в более подробном описании части комплекса, связанного с сельским хозяйством.
Общий вид системы моделей представлен на рис. I. Кратко охарактеризуем наиболее важные модели системы.
Центральное место в блоке сельского хозяйства занимает
а) модель размещения сельскохозяйственного производства и распределения ресурсов (в дальнейшем, кратко - модель размещения).
Для сравнения стратегий при наличии случайных факторов используют математическое ожидание, дисперсию и т.д., а при наличии неопределенных факторов обычно опираются на принцип наилучшего гарантированного результата [13] .
Специфика информации о неконтролируемых факторах, влияющих на функционирование водох хозяйственного комплекса, заключается в том, что для них обычно заданы лишь сравнительно небольшие ряды наблюдений. Поэтому относить эти факторы к случайным или неопределенным можно лишь довольно условно, при введении дополнительных гипотез.
Примерами стохастического подхода к моделям размещения могут служить работы [14-18] , а к моделям каскада водохранилищ - fl9, 20] .
Неконтролируемые факторы учитываются как неопределенные в моделях размещения [21, 22] и в моделях каскадом водохранилищ [23, 24] .
В некоторых случаях, когда относительно неконтролируемых факторов имеются "ограниченные" ряды наблюдений, используются эвристические приемы. При этом решения рассматриваются при всех значениях неконтролируемых факторов. Тем самым проводится большой набор имитационных экспериментов. Решение выбирается эксперт тами на основе неформальных оценок, полученных результатов экспериментов.
Методика таких исследований для моделей размещения описана в [25, 26] . Этот подход используется и в моделях водного хозяйства [27] . Кроме того, модели, входящие в систему, отличаются по способам математического описания. Так, модели размещения - это линейные статические модели (иногда в них делают попытки учесть динамические свойства объекта и тогда их называют псевдодинамическими). Модель каскада водохранилищ - динамичная, обычно с переменным шагом по времени от суток в период паводка до месяца в зимний период. Модели роста растений описываются системой дифференциальных уравнений или их разностным аналогом со сравнительно малым временным шагом.
Отметим также существенное различие в классах управлений для задач размещения и управления каскадом. Это различие вызвано прежде всего различием в информированности о неконтролируемых факторах к моменту принятия решений. В задаче размещения основными переменными являются площади, отведенные под сельскохозяйственные культуры. Они должны быть определены до того, как будут известны неконтролируемые факторы (погода). Поэтому решение здесь приходится искать в рамках программных управлений. Для каскада водохранилищ основные управляющие параметры - попуски из водохранилищ - можно определять как функции от состояния системы, например, объемов водохранилищ. Таким образом, решением здесь является синтез управлений.
Вышеперечисленные различия делают проблему получения согласованных решений для исследуемой системы моделей особенно сложной. Определенные успехи в разработке методов получения согласованных решений для различных систем моделей достигнуты в работах [28, 29, 30] • Однако в этом вопросе еще немало методологических и математических проблем.
Актуальность темы. Водохозяйственные комплексы иррига-ционно-энергетического назначения играют большую роль в народном хозяйстве страны. Управление таким комплексом на современном этапе невозможно без применения методов системного анализа и как следствие математического моделирования и применения ЭВМ. Поэтому сейчас актуальной является разработка математических методов исследования системы моделей водохозяйственного комплекса. Большой самостоятельный практический интерес представляет разработка методов исследования отдельных моделей, входящих в систему моделей комплекса при различных гипотезах о неконтролируемых факторах.
В работе рассмотрены методы исследования моделей размещения сельскохозяйственного производства и распределения ресурсов каскада водохранилищ. Предложен метод построения различных вариантов севооборотов. Изучается вопрос о получении согласованных решений для моделей размещения и каскада водохранилищ, модели размещения и модели производства урожая.
Рассматриваемые вопросы являются актуальными в научном отношении, предлагаемые методы направлены на практическое использование при управлении водохозяйственными комплексами. Основные цели работы.
1. Усовершенствовать и разработать методы и приемы исследования моделей размещения при различных гипотезах о неконтролируемых факторах (погодных условий).
2. Разработать эффективные алгоритмы нахождения различных вариантов рациональных севооборотов.
3. Разработать математические методы управления водохранилищами и каскадом водохранилищ с целью обеспечения безопасности водохранилищ, обеспечения необходимых попусков для нужд других отраслей, обеспечения гарантированной выдачи электроэнергии, максимизации полной подаваемой энергии при неконтролируемом характере боковой приточности.
4. Исследовать возможности получения согласованных решений для систем моделей, состоящей из физического блока (его основную часть составляет модель производства урожая) и модели размещения (экономический блок).
5. Разработать методы получения согласованных решений для моделей сельского и водного хозяйства.
Методы исследования.
При разработке математических . методов исследования задачи размещения использовались теория игр, линейное, стохастическое и дискретное программирование. Для построения рациональных севооборотов и управления водохранилищем с целью максимизации полной электроэнергии использовались теория управляемых случайных процессов (в частности, марковских процессов) и линейное программирование. Для решения задачи управления каскадом водохранилищ использовалась теория обобщенных множеств достижимости.
При исследовании систем моделей водного и сельского хозяйства и систем физической и экономической моделей использовались элементы выпуклого программирования и метод иерархической декомпозиции.
Оценка эффективности предлагаемых методов и эвристических приемов проводилась путем численных экспериментов с использованием ЭВМ.
Научная новизна работы. В работе получены следующие новые результаты.
1. Разработан метод нахождения приближенного согласованного решения для системы моделей водохозяйственного комплекса иррига-ционно-энергетического назначения.
2. Разработан алгоритм получения согласованных решений для системы моделей сельскохозяйственного производства. Проведены численные эксперименты на ЭВМ по состыковке модели роста растений и модели размещения сельскохозяйственного производства в рамках Ставропольского проекта.
3. Разработан метод построения диспетчерских правил при управлении каскадом водохранилищ в случае, когда требуется обеспечить выполнение некоторой иерархически упорядоченной системы целей и боковая приточность рассматривается как неопределенный фактор.
4. Разработан приближенный алгоритм построения синтеза управлений с целью максимизации полной энергии гидроэнергетического узла.
5 . Разработан алгоритм решения задачи размещения сельскохозяйственного производства в различных стохастических поста - 15 становках. При этом стохастические задачи сводятся к эквивалентным задачам частично-дискретного программирования, для решения которых применяется вариант метода ветвей и границ, использующий специфику этих задач.
6. Построена математическая модель севооборота. Разработа н алгоритм построения новых вариантов рациональных севооборотов.
7. Предложена процедура проведения численных экспериментов на ЭВМ при исследовании моделей размещения при наличии неконтролируемых факторов и многокритериальности. Проведены расчеты для исследования модели "Зерно Союз" (производство зерна в СССР) в соответствии с предложенной процедурой.
Практическая ценность работы. Предложенные в диссертации методы исследования моделей размещения сельскохозяйственного производства при наличии неконтролируемых факторов ориентированы на использование при оценке перспектив развития сельского хозяйства в регионе, определения стратегии распределения материальных, трудовых ресурсов и капитальных вложений, изучение тенденций перестройки размещения сельскохозяйственных культур, структуры кормов и продукции животноводства.
К настоящему времени не было разработано формальных методов построения вариантов севооборотов - основного элемента системы земледелия. Поэтому предлагаемые в диссертации модельные описания севооборотов, основанные на теории управляемых случайных процессов, так же как и методы точного: и приближенного построения вариантов севооборотов, позволяет агроэкономистам вести более целенаправленную и эффективную разработку новых севооборотов с учетом накопленной информации о кокретных реализациях неконтролируемых факторов.
Предложены математические методы построения синтеза управления (аналога известных в гидроэнергетике диспетчерских правил) в задаче управления каскадом водохранилищ. Используя изложенные в диссертации методы можно рассчитывать на ЭВМ стратегии управления для выполнения целей: безопасности водохранилищ каскада, получения гарантированной мощности электроэнергии, максимизации полной энергии.
Вопросы согласования моделей и математические методы получения согласованных решений еще только начинают изучаться. В связи с этим практически важным представляется опыт состыковки моделей водного и сельского хозяйства, а также моделей размещения и производства урожая. Результаты диссертации были исполь -зованы в работах по теме НГР:01.83.080447."Разработка научно-технических основ территориального перераспределения водных ресурсов".
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на конференции Госплана, семинарах Вычислительного центра АН СССР, ВНИПГИК, ЦЭМИ, ИК АН Азерб.ССР.
Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре работы.
Структура работы. Диссертация состоит из введения и трех глав; изложена на 128 страницах, содержит 5 таблиц и 9 рисунков. Библиография включает 46 наименований отечественной и зарубежной литературы.
Машинописный текст без списка литературы и вложенных рисунков и таблиц занимает 114 страниц.
Краткое описание работы. Первая глава посвящена исследованию модели размещения сельскохозяйственного производства и распределения ресурсов. В первом параграфе описываются типичная структура модели размещения, основные блоки, типы переменных и ограничений. Проведено сравнение различных известных спо-собов моделирования .. - \ некоторых блоков модели размещения. Далее приводится методика исследования задач, которые могут быть решены с использованием этой модели. Центральное место в процессе исследования занимают вопросы, связанные с изучением взаимосвязи различных критериев и учетом неконтролируемых факторов. Предлагаются схемы, формализующие и обобщающие опыт исследований этих вопросов. Предлагается эвристический прием решения задачи размещения для случая, когда вероятности реализаций различных погодных условий являются неопределенными факторами. Приведен практический пример использования этой схемы.
В § 1.2 изучаются различные стохастические постановки задачи размещения. Полученные при этом задачи стохастического программирования сводятся к эквивалентным детерминированным задачам дискретного программирования. Для решения задач дискретного программирования предложен алгоритм, относящийся к методу ветвей и границ. Эффективность этого алгоритма исследуется на ряде модельных примеров.
Важное место в работе занимает § 1.3, где предложены подходы к получению вариантов севооборотов. Севооборот является одной из основ системы земледелия. Однако, до сих пор построение севооборотов зависело от искусства агроэкономиста. Готовые севообороты можно было исследовать на моделях производства урожая, но этот процесс требует очень много машинного времени. В этой работе варианты севооборотов моделируются при помощи управляемых случайных процессов. Исследуются различные классы уп - 18 равлений. Оказывается, что при некоторых упрощающих предположениях задача получения нового севооборота сводится к задаче линейного программирования.
Вторая глава посвящена системам водного хозяйства. В § 2.1 рассмотрена задача управления каскадом водохранилищ. В этом параграфе считается, что боковая приточность является неопределенным фактором. Ставится некоторая иерархическая система целей управления каскадом; обеспечение безопасности для каждого водохранилища, обеспечение необходимых режимов попусков для сельского хозяйства, выдача гарантированной мощности электроагрегатами и т.д. Для решения поставленных задач используется аппарат обобщенных множеств достижимости. В результате получена схема управления, которую можно рассматривать как обобщение хо« рошо известного в водохозяйственной практике метода диспетчерских правил.
В § 2.2 рассмотрена задача максимизации полной выработки электроэнергии и максимизации гарантированного уровня мощности гидроузла. Предполагается, что задан набор боковой приточности за ряд предыдущих лет. Эту задачу удается приближенно описать в терминах марковских процессов. Попуски рассматриваются в классе смешанных стратегий, однако доказано, что в результате будет получено управление в чистых стратегиях, то есть, в привычном для специалиста-водохозяйственника виде. Для нахождения этих попусков необходимо решить задачу линейного программирования.
Третья глава посвящена получению согласованных решений для системы моделей водохозяйственного комплекса.
В § 3.1 изложен способ состыковки модели ; роста растений (физический блок) и модели размещения (экономический блок). Предложен итеративный - алгоритм построения парето-оптималь - 19 -ной поверхности. В качестве примера описаны соответствующие модели Ставропольского края. В этом случае при расчетах удается эффективно использовать конкретный вид зависимости урожайностей от минеральных удобрений, принятой в той модели роста растений, которая использовалась в работах над Ставропольским проектом [3lJ .
В § 3,2 рассмотрены модели сельского и водного хозяйства. Для их совместного исследования применяется метод иерархической декомпозиции. Указан путь получения мажоранты и миноранты для критерия задачи в детерминированном случае, в случае, когда боковая приточность является случайным фактором и в случае, когда заданы /У реализаций боковой приточности.
Метод решения задачи размещения сельскохозяйственного производства в стохасти ческих постановках
Специалисты в области сельского и водного хозяйства при исследовании систем обычно выдвигают требования, чтобы некоторые соотношения выполнялись с определенной частотой, т.е. для определенного процента от общего числа реализаций. Например, в водохозяйственных системах обычно требуют определенную обеспеченность попусков из водохранилищ. Специалисты в области сельского хозяйства часто требуют выполнение плановых заданий 75-90-процентной обеспеченностью, подразумевая под этим, что для 75-90$ реализаций погодных условий плановые задания должны быть выполнены полностью.
Обобщая эти интуитивные представления, можно прийти к стохастической постановке задач размещения сельскохозяйственного производства J35J Пусть ОС как и прежде, - переменная модели размещения, например, площади под сельскохозяйственные культуры, С - вектор удельных показателей, характеризующий хозяйственную деятель ность (например, приведенные затраты), /\ - матрица, элементы которой зависят от неконтролируемых факторов (урожайности и т.п.), L - матрица, определяющая ресурсные, технологические и другие ограничения на возможности производства (земельные ограничения, ограничения на трудовые ресурсы и т.п.). Ставится следующая задача стохастического программирования с вероятностными ограничениями J35] : где вероятность V соответствует обеспеченности некоторых, чаще всего,плановых ограничений. Предполагается, что известен закон распределения многомерной случайной величины /4, . Таким образом, мы перешли от стохастической задачи к задаче частично-дискретного программирования.
При фиксированных значениях переменных t4/ tt " f ъ эта задача является обычной задачей линейного программирования, поэтому решить общую задачу можно, перебрав всевозможные допустимые значения вектора
Решения подобных задач дискретного программирования обычно вызывает затруднения из-за наличия большого количества переборных вариантов, полный перебор которых практически нереализуем на ЭВМ. Один из наиболее общих и распространенных методов решения таких задач - метод ветвей и границ [Зб] . Успех применения этого общего метода в основном зависит от того, насколько удается использовать специфику конкретной задачи. Введем следующие обозначения: Будем рассматривать задачи вида rvum fax)
Легко видеть, что при Х- У1 эта задача эквивалентна задаче (І.2Л). Определение. Вектор 1: Ь называется подвектором вектора Ll $ , если для любого iH /M из , / вытекает, что Л і Обозначим этот факт через {. Пусть (f) - оптимальное значение функционала при решении задачи ЛП , полученной из (1.2.2) при фиксированных Обозначим эти задачи через L± . Справедливость следующего факта очевидна.
Предложение. Пусть . Если найдется Z- Є - такое, что (i j -fft / » то - не может быть подвектором вектора i , являющегося дискретной компонентой решения задачи (1,2.1). Это утверждение лежит в основе алгоритма, к описанию которого мы переходим. Разобьем множества S О f/ f (выбор параметра ф , так же как и способ разбиения множеств,зависит от специфики задачи (см. п. 1.2.5)) на подмножества Была проведена серия вычислительных экспериментов на ЭВМ БЭСМ-6 для модели Л при различных значениях параметров- т , //и Т . Расчеты проводились на данных об урожайностях сельскохозяйственных культур для ряда предыдущих лет в Ставропольском крае.
Итак, в рассматриваемой модели параметры ССу - урожай , І ность L -й культуры на / -м типе земли в году К 9 &у пло щадь у -го типа земли и /1 - количества типов земель - брались из конкретных данных. При проведении экспериментов следующие параметры менялись произвольно: С и - цена 6-й культуры, п\ - число культур, N длина рядов наблюдений, Т - обеспеченность (в годах) выполнения ограничений. Переменными модели являются %-ij -площадь под 1-ю культуру на j -м типе земли, U;- управляемые планы, b\L. - целочисленная переменная, характеризующая номера выбираемых лет.
Результаты некоторых экспериментов приведены в таблицах 1-3. п и м соответственно, время, затраченное ЭВМ на решение задачи при полном переборе и при использовании описанного метода. (В качестве tn выбиралось произведение числа вариантов на время, затрачиваемое для решения одной из подобных задач). За характеристику эффективности алгоритма естественно при-нять отношение Кэ - ± . . Прежде чем перейти к анализу таблиц, заметим, что эффективность алгоритма чувствительна к выбору параметров О, и способу разбиения множеств 5 0 tf (хотя при интуитивно разумных их выборе всегда К 1 ) Во всех экспериментах было выбрано CL-Ъ , а множества разбивалось таким об-разом, что на каждом шаге решались фиксированное для каждого S число задач Z# , причем при увеличении числа вариантов, 2 увеличивалось для всех - .
Моделирование севооборота с помощью управляемых марковских цепей
Одним из основных факторов системы земледелия является севооборот (см., например, [37J ). В настоящее время существуют два основных подхода к моделированию севооборота. К первому отнесем статические и динамические модели размещения и развития сельскохозяйственного производства и распределения ресурсов. В этих моделях севооборот обычно принимают как некоторую более или менее заданную структуру посевов и определяют лишь необходимые площади под эти севообороты. Цель создания таких моделей - изучение потенциальных возможностей развития данного региона. Второй подход связан с использованием детальных моделей, предназначенных для описания производства урожая. Эти модели подробны и описывают рост биомассы с шагом в декаду или даже в одни сутки. Такие модели позволяют в принципе изучать эффективность данного конкретного севооборота, однако имитационное исследование каждого такого севооборота - весьма трудоемкий и длительный процесс. Например, для точного изучения пятипольного севооборота с выбранными четырьмя характерными по погодным условиям годами необходимо про 1.5 вести Ч имитационных экспериментов. Оба эти подхода неприспособ-лены для отыскания оптимальных севооборотов. В этом параграфе предлагается математическая модель, ориентированная на нахождение новых вариантов рациональных севооборотов. С помощью этой модели могут быть получены севообороты, рациональные по некоторой системе критериев. Затем эти севообороты должны пройти экспертную оценку и имитационную проверку на физических моделях, после чего они поступают как входные данные в экономические модели.
В этом параграфе .предлагается способ получения такой последовательности культур для данного участка земли, которая в среднем обеспечила бы наибольший выход продукции в натуральном или стоимостном выражении при учете таких случайных факторов, как погодные условия. Для описания модели использован язык теории управляемых случайных последовательностей. При этом считаем, что урожайность в данном году зависит лишь от способа обработки культуры, погодных условий, состояний почвы в данном году и от предшественника (то есть, типа культуры в предыдущем году), и приходим, таким образом, к модели, описываемой с помощью марковского процесса.
Определения и теоремы теории случайных управляемых процессов, используемые в этом параграфе, взяты из [38-40J .
Пусть управляемый случайный процесс (с задан семейством вероятностных мер /йіН ( /X U J -i-O l, где Gr - измеримое подмножество фазового пространства X j - пространство управлений, X -(#0,%»"/ Х ) , процесса и управления в момент L . Если меры М tZ0,{,1 "-зависят только от последнего значения процесса Х . и последнего значения управления уи не зависят от рассматриваемого момента, то есть, если Ґ f (f/ Zjfl -Н M(jl /4b)% то такой процесс называется марковским.
Если д«(7 yj- /1 Г /М - "7 то 10 цесс Vt(oy называется обобщенным однородным процессом с независимыми значениями.
В диссертации рассматриваются процессы с конечным числом состояний и управлений. Пусть Д {З- у X j X J J 41$P/I J - множества состояний и управлений случайного процесса. Стратегией называется последовательность L.XJI -мерных мат риц v\/ filL,"s A/h " ) » Удовлетворяющих условиям Си %0 /L.Q/T при всех i/ Z и i U/ , где & - элемент матрицы , расположенный в L -й строке и -м столб це. и,, трактуется как вероятность выбора в момент т. управления если значение процесса равно 3 . Поэтому такие стратегии принято называть смешанными или рандомизированными в отличие от чистых стратегий, для которых должно выполняться дополнительное условие ФІ -І /Ч nPH всех t /A1" и - 4- " - . Страте гии вида ( й/; Д/ ф . „ J называются стационарными и обозначаются через а Определение» Квадратная матрица А с неотрицательными элементами называется регулярной, если для какого-то /. элементы ее /1-й степени уч являются положительными.
В этом параграфе рассматриваются только регулярные марковские мат процессы, т.е. предполагается, что для любого набора О/ , А, ж. - » \-4A/ jL; 141, ,% такого, что ( }Q , 2Lfy =4 рица (Р , элементы которой вычисляются по формуле л br%f?n ч-« регулярна. Здесь рс\- - заданная вероятность перехода из состояния ОС: в состояние X-j , если выбрано управление Ук . Определение. Будем говорить, что вектор 0--$ ,4г/ /?іМе меньше вектора & (ІІ,(Zj /іи/ и писать &?,, » если для любого
Метод управления гидроузлом, использующий аппарат управляемых марковских процессов
В предыдущем параграфе был предложен способ управления кас-кадомЬодохранилищ при заданной иерархической структуре целей. При этом была получена система множеств в пространстве объемов и времени, который можно рассматривать как некоторый аналог зон на диспетчерском графике. Заметим, что в самой внутренней области остается свобода выбора управлений, который можно использовать для максимизации некоторого функционала. Для гидроузла таким функционалом является выработка электроэнергии.
В этом параграфе будет предложен способ управления гидроузлом, использующий аппарат марковских процессов. При этом мы будем считать, что объем воды в водохранилище находится в таких границах, что все более важные цели удовлетворены, т.е. здесь мы ограничимся решением задачи для гидроэнергетики.
Обычно при гидроэнергетических расчетах используют следующую формулу для подсчета мощности энергосистемы [її в момент времени где IL - попуск, проходящий через турбины энергосистемы, - разность уровней верхнего и нижнего бьефов, И - коэффициент полезного действия турбин. Уровень верхнего бьефа для каждого водохранилища может быть выражен как функция от объема воды в водохранилище где X - объем воды в водохранилище, а Их) - монотонно возрастающая функция.
Уровень нижнего бьефа тесно связан с попусками из водохранилища. При больших попусках вода не успевает уйти вниз по реке, под плотиной образуется характерная горка, уровень нижнего бьефа повышается и это уменьшает выработку электроэнергии. Мы будем считать, что задана монотонно возрастающая функция $(&) зависимости уровня нижнего бьефа от попуска, т.е. где \ . - потребный режим выработки электроэнергии. Критерий (2.2.2) определяет степень обеспечения заданного режима, означает выполнение режима, а означает невыполнение режима хотя бы при одном значении и . Второй функционал максимизации полной выработки электроэнергии за определенный промежуток времени V % (2.2.8) где [0,Т} - интервал планирования. В упрощенном виде уравнение баланса для гидроузла выглядит следующим образом: -M- iT fc Л "/ где LJ - боковая приточность. Для простоты в этой формуле опущены члены, связанные с испарением воды с зеркала водохранилища, попуски на нужды водопотребителей и водопользователей и некоторые другие.
Считается, что интервал планирования [ОТJ разбит на конечное число интервалов. За длину интервала в водохозяйственных расчетах обычно принимают декаду. Кроме того, предполагаем, что решение ищется при ограничениях сверху и снизу на объемы воды вводохрани-лище и попуски. В целом оптимизационная задача принимает вид: при условиях где Х Х максимально и минимально допустимые объемы воды в / водохранилище, обеспечивающие выполнение других (неэнергетических) целей, Ц. - максимально возможный попуск через гидротурбины, а 11 - минимально допустимый попуск для водопотребителей и водопользователей, a CL - объем воды в водохранилище к началу периода планирования.
Основная сложность при решении такой задачи заключается в недостатке информации о боковой приточности. Обычно в практике водохозяйственных расчетов известна последовательность боковой приточности за ряд предшествующих лет. Так например, для Волжско-Камского каскада известны ряд наблюдений боковых приточностей за 60 лет. Сравнительно малые ряды наблюдений затрудняют построение стохастической модели боковой приточности и ее статистическую оценку. Поэтому представляется естественным попытаться применить к описанию процесса некоторые приближенные, отчасти эвристические, подходы.
Пусть в момент времени І. система находится в / -м состоянии и применяется і -е управление. Допустим, что в этот момент времени мы располагаем набором боковых приточностей лет. Будем последовательно подставлять имеющиеся боковые приточности в формулу для баланса гидроузла и в выбранный критерий, считая при этом число попаданий в тот или иной интервал объема водохранилища в момент f/ и одновременно оценивая для каждого такого интервала получаемое в среднем значение критерия. При этом мы не рассматриваем те годы, боковые приточности которых выводит нас за границу допустимой области.
Из имитационных экспериментов можно расчитать частоты перехода из состояния j в момент времени в состояние - в момент времени +/( при применении L -го управления. Эти частоты принимаются за оценку Ріці переходных вероятностей в управляемом марковском процессе. Одновременно с этим будут получены средние значения SX iJ критерия, рассчитанного по формуле (2.2.1), которые можно принять за функцию выигрыша при данном переходе.
Отметим, что вычисление функции выигрыша и матриц перехода легко реализуемо на ЭШ. За значение состояния и управления можно принимать середину выбранных интервалов.
Получение согласованных решений для систе мы моделей водного и сельского хозяйства
В предыдущих главах и в параграфе 3.1 были рассмотрены математические методы исследования отдельных моделей или блоков системы, изображенной на рис. I и описанной во введении. В этом параграфе будут изложены способы получения согласованных решений для системы моделей водохозяйственного комплекса ирригационно-энерге-тического назначения в целом.
Для дальнейшего изложения удобно использовать следующее краткое математическое описание блоков и моделей системы. Блок сельского хозяйства. Модели роста растений опишем здесь в виде где Ч - вектор урожайностей, вектор водопотребления, причем где % - вектор водопотреблений в L-ю декаду, - набор удельных ресурсов, & - параметр, обозначающий то или иное агротехническое мероприятие, в частности, он отражает участие культуры в севообороте.
Водопотребление разобьем на две части считая, что Ц/ обеспечивается естественными источниками (осадки и т.д.), а \) обеспечивается поливом. На богаре , в аридных зонах V - вектор неконтролируемых факторов,за исключением осадков. Модель размещения запишется следующим образом: где ггШ/ ih l - матрица модели размещения, Д - вектор переменных (площадей под культуры и т.п.), / - вектор правых частей. При фиксированных /Щ Си матрица п постоянна и модель становится обычной линейной моделью размещения.
Предполагается, что к началу работ по получению согласованных решений для системы моделей, в блоке сельского хозяйства выполнено уже следующее:
1. Проведены исследования модели размещения по методике, изложенной в I.I (возможно, с использованием методов 1.2) с целью приближенного определения потенциальных возможностей сельскохозяйственного производства. В результате уточнены некоторые компоненты вектора л? (плановые, ресурсные и другие ограничения), а также найдены Парето-оптимальные точки в пространстве функционалов, которые по представлениям экспертов сельского хозяйства следует стремиться достичь.
2. Для модели роста растений проведены исследования, позволяющие по каждому векторуw определить оптимальную стратегию полива
3. На основе предложенных экспертами вариантов севооборотов, которые получены с помощью моделей севооборотов ( 1.3), согласованы агротехнические ограничения в модели размещения и в модели роста растений (один из возможных вариантов такого согласования предложен в 3.1).
4. Проведены совместные исследования моделей (3.2.1) и (3.2.2) ( 3.1). В результате общие параметры согласованы.
5. Реализована вычислительная система (назовем ее система с/х). позволяющая при любом допустимом векторе подачи воды для целей ирригации 2 решить задачу \ї- (Y -,)) .2.3) где VI [Ч/ Л/ - некоторый избранный функционал для оценки сельскохозяйственного производства , а - матрица. (Заметим, что если единый функционал для системы с/х сформулировать не удается, необходимо строить Парето-оптимальную поверхность в пространстве выбранных критериев. Тогда, если нСУ/Л) - свертка этих критериев, задача (3.2,3) служит для отыскания одной Парето-оптимальной точки).
Считаем, что выработка электроэнергии на гидроузле оценивается по одной из двух возможных формул ( 2,2). & -= (3,2.5) /Г ГЧуі 77 (3.2.6) БІ (3.2.5) определяет полную выработку энергии, а (3.2.6) - степень обеспеченности заданного режима i -у& : если b i , то режим выполняется, при Е- л режим не выполняется. Функция l(X Un задает зависимость выработанной мощности от векторов 3 и ее можно рассматривать как часть модели гидроэнергетики.
Предполагается, что в блоке водного хозяйства проведены уже следующие работы: 1. Для системы сформирована иерархическая система S целей. Используя методы 2.1 для целей, которые выше по иерархии, чем гидроэнергетические цели (3.2.5), (3.2.6), удалось построить систему множеств Qj j-IA, "j n3 - l"OSs) » внутри которых эти (высшие по иерархии) цели можно выполнить (через Qj будем обозначать множество, соответствующее конкретной реализации неконтролируемых факторв). 2. Для пересечения построенных множеств найден приближенный синтез управления # (%J , позволяющий максимизировать (3.2,5), (3,2.6). (Для построения синтеза управления можно использовать методы 2,2). 3. Реализована вычислительная система (назовем ее система ГЭ). позволяющая решить задачу
