Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Стационарные модели экономической динамики: методы математического анализа и решения 28
1.1. Инструменты анализа экономического роста 28
1.1.1. Производственные функции 29
1.1.2. Динамические модели 31
1.1.3. Теория оптимального управления 33
1.2. Модели экономической динамики в непрерывном времени 34
1.2.1. Общая постановка задачи 34
1.2.2. Гомогенная модель 36
1.2.3. Стационарная модель 37
1.2.4. Уравнение для неподвижной точки оптимальной стратегии (Теорема 1) 40
1.3. Стационарная многофакторная модель экономической динамики 44
1.3.1. Формулировка модели 44
1.3.2. Применение Теоремы 1: финальная формула для неподвижной точки 47
1.3.3. Примеры с производственными функциями различного вида 49
1.4. Модель Рамсея-Касса-Купманса 54
1.4.1. Содержательная постановка и редукция к одномерной модели 54
1.4.2. Теорема о структуре решения (Теорема 2) 56
1.5. Модели с линейно-однородной производственной функцией 57
1.5.1. Двумерная модель с управляемой долей потребления 57
1.5.2. Двумерная модель с фиксированной долей потребления 66
1.5.3. Формула луча сбалансированного роста в многомерной модели (Теорема 3) 72
Глава 2. Негомогенные модели экономической динамики: методы математического анализа и решения 76
2.1. Двухэтапный подход к анализу и решению негомогенной модели 76
2.2. Негомогенная версия РКК-модели 77
2.2.1. Модель с конечным горизонтом (Теорема 4) 77
2.2.2. Переход к бесконечному горизонту (Теорема 5) 85
2.3. Оптимальное управление для многофакторной модели 87
2.3.1. Формулировка модели 87
2.3.2. Квазистационарная траектория 89
2.3.3. Построение оптимального управления в переходном периоде. Индексный метод распределения инвестиций 93
2.3.4. Апробация индексного метода 99
2.4. Оптимальное управление в модели с линейно-однородной производственной функцией и фиксированной долей потребления 104
Глава 3. Анализ и прогноз демографических характеристик. потенциал трудовых ресурсов 113
3.1. Математическая модель анализа и прогноза демографических характеристик 113*
3.1.1. Подходы и методы исследования в демографии 113
3.1.2. Постановка задачи на основе уравнения динамики возрастного состава 117
3.1.3. Определение функций силы смертности и плотности распределения рождений на основе статистических данных 125
3.1.4. Аналитическое решение задачи 127
3.1.5. Численное решение задачи 129
3.1.6. Анализ погрешностей 135
3.1.7. Анализ и прогноз демографических показателей 141
3.1.7.1. Ретроспективный анализ демографических показателей 141
3.1.7.2. Прогнозирование демографических показателей 149
3.2. Экономико-математическая модель потенциала трудовых ресурсов и стоимостных характеристик демографических потерь 153
3.2.1. Состояние проблемы. Терминология и допущения 153
3.2.2. Экономико-математическая модель 156
3.2.2.1. Моделирование характеристик состояния экономической системы 156
3.2.2.2. Моделирование стоимостных характеристик демографических потерь 159
3.2.3. Результаты расчетов 161
3.2.3.1. Расчет демографических характеристик 161
3.2.3.2. Расчет характеристик состояния экономической системы 162
3.2.3.3. Расчет стоимостных характеристик демографических потерь.. 164
Глава 4. Моделирование динамики основных факторов экономического развития региона 170
4.1. Математическая модель динамики производственных фондов 170
4.1.1. Постановка задачи 170
4.1.2. Определение функции выбытия производственных фондов на основе статистических данных 172
4.2. Экономико-математическая модель динамики человеческого капитала 177
4.2.1. Понятие "человеческий капитал" и методы его измерения 177
4.2.2. Моделирование динамики человеческого капитала на основе уравнения переноса 181
4.2.3. Моделирование динамики человеческого капитала на основе кинетического уравнения 188
4.3. Построение производственной функции экономической системы региона с учетом фактора человеческого капитала 190
4.4. Разработка имитационных моделей динамики различных факторов экономики 193
4.4.1. Содержательная постановка задачи моделирования различных сценариев развития экономики 193
4.4.2. Описание динамики производственных фондов различного типа 195
4.4.3. Описание динамики трудовых ресурсов и человеческого капитала различного типа 196
4.4.4. Моделирование взаимосвязи демографических и макроэкономических процессов 198
4.4.5. Моделирование динамики внешних инвестиций 203
Глава 5. Идентификация и прогнозирование обобщающих показателей развития региональной экономической системы 205
5.1. Математическая модель экономической системы региона 205
5.2. Алгоритм идентификации модели 208
5.3. Результаты программной реализации модели 216
Глава 6. Решение задач оптимального управления динамикой экономической системы региона 224
6.1. Оптимальное управление динамикой замкнутой экономической системы 224
6.2. Оптимальное управление в условиях научно-технического и социально-образовательного прогресса 237
6.3. Оптимальное управление с учетом внешних инвестиций 242
Заключение 248
Список литературы
- Модели экономической динамики в непрерывном времени
- Модель с конечным горизонтом (Теорема 4)
- Постановка задачи на основе уравнения динамики возрастного состава
- Определение функции выбытия производственных фондов на основе статистических данных
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Целью стратегии развития экономической системы является повышение благосостояния населения, достигаемое в результате устойчивого экономического роста. Формирование такой стратегии — управленческая задача, заключающаяся в определении оптимальных объемов финансирования социальной и производственной сфер.
Подобные управленческие задачи решаются с использованием динамических экономико-математических моделей, отражающих механизмы функционирования экономических систем на макроуровне.
Макроэкономическая математическая модель региональной экономики представляет собой описание таких взаимоопределяющих процессов, как: а производственный процесс региона и процесс воспроизводства основного
регионального капитала; о демографический процесс в регионе и процесс воспроизводства человеческого капитала; а социально-экономические механизмы воздействия на производственный
процесс региона, т.е. механизмы управления.
Существует широкий спектр оптимизационных моделей. В то же время, следует отметить, что во многих исследованиях используются одномерные макромодели экономической динамики (ЭД). Сложность реальных экономических систем приводит к необходимости учета многих факторов, существенно влияющих на функционирование экономики. В связи с этим актуальна задача построения конечномерных макромоделей экономической динамики, позволяющих учитывать произвольное количество факторов производства.
В Послании Президента Федеральному собранию Российской Федерации 2006 года [1] сформулированы приоритетные направления экономического развития, где основным фундаментом экономического роста является фактор человеческого капитала.
Фактор человеческого капитала имеет многоаспектный характер. Среди этих аспектов важную роль играет демографическая составляющая, определяющая устойчивость развития человеческого фактора [2,3]. Одним из элементов демографической составляющей является численное воспроизводство населения. Высокий уровень смертности и низкий уровень рождаемости сформировали в России демографический кризис [4]. Изменение демографических отношений неизбежно влечет изменение и в экономических отношениях, поскольку спад рождаемости приводит к нарушению существующих пропорций между производящей и потребляющей группами населения. В этой связи экономику страны могут ожидать сложности, связанные с вхождением в трудоспособный возраст малочисленного поколения, родившегося после 1990 года.
Степень серьезности изменений в пропорциях производящей и потребляющей групп, а также их влияние на макроэкономические показатели в силу ряда причин недостаточно изучены [5]. Актуальность исследований в этой области определяется необходимостью выявления тенденций сложившейся неблагоприятной демографической ситуации с целью устранения либо сглаживания негативных последствий для развития экономики.
Другим аспектом проблемы является качество человеческого капитала. Расходы на здравоохранение, образование, науку и культуру становятся ключевой составляющей в проблеме воспроизводства и повышения качества человеческого капитала [6]. В развитых стран их доля в совокупных инвестициях составляет более 50% и намного превышает инвестиции в материально-техническую составляющую производственного потенциала.
Таким образом, в сложившейся ситуации человеческий капитал, включая численность, особенности структуры и качество жизни, является основным фактором экономического развития. Из этого следует, что приоритетными вопросами развития экономической системы становятся инвестиции в человека в условиях социально-образовательного прогресса (СОП). В этой связи очевидна актуальность изучения фактора человеческого капитала, его моделирования и учета в задачах экономической динамики.
В Послании Президента Федеральному собранию Российской Федерации 2003 года [7] была сформулирована задача удвоения валового внутреннего продукта (ВВП) за десять лет. Задача увеличения ВВП успешно реализуется при условии эффективно работающих производств, имеющих отдачу, превышающую расходы на их обслуживание. В этом случае увеличение ВВП приводит к росту уровня жизни населения. Поэтому необходимо наращивать научно-технический уровень производственного потенциала и его экономическую эффективность. В связи с этим актуальна задача моделирования научно-технического прогресса (НТП) как одного из факторов экономического роста.
Анализ динамических моделей экономики, как правило, включает определенную последовательность этапов, среди которых существенную роль играет нахождение и исследование стационарного состояния сбалансированного роста, и нахождение необходимых (или необходимых и достаточных) условий существования оптимальности траекторий, сходящихся к найденному стационарному состоянию. Эти две задачи в совокупности решают проблему построения оптимальной стратегии управления экономической системой. Данные рассуждения касаются теоретических исследований.
В прикладных моделях, ориентированных на применение в практике реального планирования, стационарного состояния, как правило, не существует; оптимальные траектории сбалансированного роста носят квазистационарный характер (это связано с явной зависимостью от времени многих факторов, входящих в модель), что создает ряд дополнительных трудностей в исследовании и построении синтеза оптимального управления в таких моделях. Поэтому возникает необходимость построения новых и расширения возможностей применения существующих аналитических методов и подходов к исследованию оптимизационных моделей экономической динамики.
Отметим, что детальные экономико-математические модели, записанные в частных производных, позволяют учитывать не только величины производственных факторов, но и их качественную структуру. Подобные модели, как правило, многомерны и обладают свойством негомогенности. Для анализа моделей
такого типа необходимо исследовать как возможности применения аналитических методов, так и современных численных методов оптимизации в тех случаях, когда аналитическое решение задачи либо не существует, либо требует трудоемких вычислительных затрат.
В диссертации рассматривается также ряд других мало исследованных ранее вопросов, относящихся к построению и структуре оптимальных траекторий. Среди них связь различных способов двойственной характеризации траекторий (принцип оптимальности Беллмана, принцип максимума Понтрягина); принцип максимума для определения неподвижной точки, построение синтеза управления для многофакторной многомерной модели.
Объектом исследования в настоящей диссертационной работе являются динамические управляемые экономические системы, характеризуемые большим количеством внутренних взаимосвязанных процессов.
Предметом исследования являются аналитические методы анализа и решения задач оптимального управления; постановка и решение задач оптимального распределения капиталовложений для различных моделей макроэкономической динамики.
Целью диссертационной работы является разработка математического и инструментального аппарата для решения многопараметрических задач оптимального управления экономической динамикой в многомерном фазовом пространстве, а также модельного инструментария для прогнозирования обобщающих показателей развития региональной экономической системы.
Задачи исследования:
Математический анализ и исследование структуры оптимального управления в многофакторных стационарных и негомогенных (с экзогенно задаваемой прогнозной временной информацией) моделях ЭД.
Построение алгоритмов решения задач оптимального управления для указанного класса моделей.
Разработка параметрических моделей динамики различных факторов экономики.
Построение макромодели экономической системы региона УР, идентификация ее параметров и прогнозирование обобщающих показателей развития региональной экономической системы.
Разработка макроэкономической модели оптимального управления распределением капиталовложений для экономики УР с учетом таких факторов, как:
а демографический прогноз и фактор человеческого капитала;
а использование внешних инвестиций;
а научно-технический и социально-образовательный прогресс.
Проведение научно-аналитических расчетов для различных версий модели развития экономической системы региона (перечисленных в п. 5).
Проектирование и реализация проблемно-ориентированного программного обеспечения "Информационно-аналитическая система социально-экономического анализа" (ИАССЭА) УР.
Методы исследования. В работе использованы методы математического анализа и теории оптимального управления (принцип оптимальности Беллмана, принцип максимума Понтрягина), методы оптимизации, методы статистической обработки данных, численные и аналитические методы решения дифференциальных уравнений, методы математического прогнозирования, регрессионного анализа; использован аппарат математического компьютерного моделирования.
Достоверность и обоснованность полученных результатов. Методы, применяемые в диссертационном исследовании, обуславливают необходимый уровень его достоверности. В качестве основных факторов достоверности работы можно перечислить использование теории оптимального управления, квалифицированное владение инструментарием математического моделирования социально-экономических объектов и процессов.
При использовании численных методов достоверность обеспечена проведенными исследованиями их сходимости.
Достоверность результатов прогнозирования макроэкономических характеристик обеспечена сравнением результатов расчетов с экспериментальными (статистическими) данными на участке ретропрогноза.
Полученные выводы и рекомендации по повышению эффективности управления региональной экономикой подтверждаются содержательным анализом специфики исследуемых процессов и качественными особенностями функционирования региональной экономики.
На защиту выносятся:
1. Результаты теоретических исследований стационарных моделей экономи
ческой динамики в непрерывном времени с использованием принципа оп
тимальности Беллмана и принципа максимума Понтрягина.
В общей модели экономической динамики с ограниченными траекториями (ОТ-модель) сформулирован принцип максимума для* неподвижной точки оптимальной стратегии и на его основе получено уравнение для ее нахождения (Теорема 1).
Для монопродуктовой многофакторной ОТ-модели уравнение для неподвижной точки доведено до конечной формы, определяющей эту точ-ку через исходные параметры модели.
Дано полное описание оптимального решения для классической модели Рамсея-Касса-Купманса (Теорема 2).
Описана структура оптимального управления в двухфакторной модели с линейно-однородной производственной функцией в двух постановках: с управляемой и фиксированной долями потребления.
Получена конечная формула для луча сбалансированного роста для многофакторной модели с линейно-однородной производственной функцией и фиксированной долей потребления (Теорема 3).
2. Результаты теоретических исследований негомогенных моделей экономи
ческой динамики в непрерывном времени с использованием принципа мак
симума Понтрягина.
Предложен двухэтапный подход к анализу негомогенных моделей и построению в таких моделях оптимального управления: на первом этапе анализируется стационарное приближение, на втором этапе оно обобщается на негомогенный случай. В этих рамках получено распространение Теоремы 2 на негомогенную модель (Теоремы 4, 5).
В многофакторной ОТ-модели описана структура оптимального управления, центральным звеном которой является квазистационарная кривая. Предложен алгоритм построения оптимального управления в переходном периоде, основанный на идее выравнивания уровней значимости факторов (индексный метод).
В много факторной модели с линейно-однородной производственной функцией (в которой оптимальные траектории растут неограниченно) получены уравнения для определения направления максимального сбалансированного роста (квазистационарная кривая) (Теорема 6), являющегося аналогом луча сбалансированного роста в стационарной модели (Теорема 3).
Построено оптимальное управление в двухфакторной модели с линейно-однородной производственной функцией и фиксированной* долей потребления.
. Математическая модель демографической динамики и потенциала трудовых ресурсов, а также результаты анализа демографической ситуации в УР и прогнозирование демографических характеристик.
. Экономико-математическая модель динамики человеческого капитала; численный прогноз для УР.
. Математическая модель экономической системы региона как инструмента прогнозно-аналитических расчетов. Результаты идентификации параметров модели и прогнозирования обобщающих показателей региональной экономической системы.
. Алгоритмы и результаты решения задач оптимального управления региональной экономической системой для различных вариантов ее развития.
Научная новизна работы.
С точки зрения научной новизны результаты, выносимые на защиту (перечисленные выше), можно охарактеризовать следующим образом.
Теоретические результаты п.п. 1.1, 1.2, 1.4, 1.5, а также все результаты п. 2 являются новыми. Результат п. 1.3 дополняет известный результат Куп-манса и дает полную характеристику решения РКК-модели.
Подход к разработке модели прогноза демографических характеристик (п. 3) на основе уравнения (сохранения) переноса (известного в механике гетерогенных сред) является теоретически новым.
Формулировка экономико-математической модели п. 4. является теоретически новой. Предложена методика построения функции распределения человеческого капитала региона по времени.
Разработки п.п. 5 и 6 основаны на новых теоретических результатах и имеют научную и практическую значимость. Построены алгоритмы оптимального управления для различных вариантов развития ЭД.
Научная и практическая значимость.
Полученные новые теоретические результаты относятся к области фундаментальных исследований и являются вкладом в инструментарий научно-методологического анализа моделей экономической динамики. Приемы и методы исследований, развитые в работе, могут быть непосредственно использованы в теоретических исследованиях при построении и анализе экономических моделей.
Полученные результаты расширяют понимание закономерностей и механизма распределения инвестиционных потоков между производственной и социальной сферами. Сформулированные математические модели и алгоритмы их реализации могут быть применены для прогнозирования факторов экономического развития. Развиваемое направление исследований дает более полное представление о вкладе различных факторов при формировании стратегии развития региона.
Содержащаяся в работе информация и выводы могут быть использованы для выработки научно обоснованной региональной программы развития УР. ИАССЭА может быть адресована Министерству экономики УР и Государственному комитету по труду УР.
Материалы диссертационной работы используются при обучении студентов факультета прикладной математики ИжГТУ по специальности 061800 — Математические методы в экономике, а также при проведении ими исследований на стадии написания дипломных работ и кандидатских диссертаций.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях: Научно-практической конференции ИжГТУ (Ижевск, 15-16 июля 2002 года); IV Научной конференция молодых ученых и аспирантов с международным участием "Управление экономикой в условиях интеграции хозяйственных систем" (Ижевск, 19 февраля 2003 года); VII Научной конференции молодых ученых и специалистов на секции "Информационные технологии и их применение" (Дубна, 3-8 февраля 2003 года); IV Международной научно-технической конференции "Информационные технологии в инновационных проектах" (Ижевск, 29-30 мая 2003 года); отдельные результаты работы докладывалась на семинаре профессора С.А. Айвазяна "Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов" в ЦЭМИ РАН (Москва, 2 июня 2004 года); V Международной научно-практической конференции "Государственное регулирование экономики. Региональный аспект" на секции "Математическое моделирование экономических систем" (Нижний Новгород, 20 -22 апреля 2005 года); Межрегиональной научно-практической конференции "Стратегия устойчивого развития города Ижевска" (Ижевск, 28 сентября 2005 года); Юбилейной конференции с международным участием "Современные проблемы науки и образования" (Москва, 5-6 декабря 2005г.); Международной научно-практической конференции "Научные школы и результаты в Российской статистике" (Санкт-Петербург, 29 января - 1 февраля 2006 года); Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XVII", (Во-
ронеж, 3-9 мая 2006 года); Всероссийской научно-практической конференции "Инновационная экономика и региональное инновационно-устойчивое развитие" (Чебоксары, 3 октября 2006 года); 14-ой международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" (Пущино, 22 — 27 января 2007 года); Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы", (Воронеж, 27 января - 2 февраля 2007 года); IV конференции "Российская экономика 2007: реальность и перспективы", (Пула, Хорватия, 7-14 июля 2007 года); Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения — XVIII", (Воронеж, 3 — 9 мая, 2007 года); 3-ей Международной научно-практической конференции "Достижения ученых XXI века", (Тамбов, 30-31 июля 2007 года); Всероссийской научно-практической internet-конференции "Проблемы функционирования и развития территориальных социально-экономических систем", раздел "Математические и инструментальные методы управления социально-экономическими системами" (Институт социально-экономических исследований УНЦ РАН, 15 октября - 15 ноября 2007 года); Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XIX", (Воронеж, 3-9 мая, 2008 года).
По теме диссертации опубликованы 44 печатные работы [8 - 51], в том числе 14 статей в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов докторских диссертаций.
Личный вклад диссертанта заключается в непосредственном участии на. всех этапах исследования, включающих разработку теоретических подходов и методов к исследуемой проблеме, моделирование изучаемых процессов, математическое описание, разработку методов решения и анализ результатов.
Автор выражает благодарность научным консультантам: заведующему лабораторией "Динамические модели экономики" ЦЭМИ РАН (Москва), докт. физ.-матем. наук, профессору В.З. Беленькому за ценные консультации по теории и методам оптимального управления в моделях экономической динамики и декану факультета "Прикладная математика" ИжГТУ, члену-корреспонденту РАРАН, докт. техн. наук, профессору И.Г. Русяку за консультации по теории
математического моделирования, всестороннюю помощь и поддержку при подготовке данной работы.
Структура и объем работы. Задачи и характер исследования определили объем, структуру и логику изложения материала (см. рис.1). Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы, включающего 267 наименований. Общий объем диссертации составляет 285 страниц текста, она содержит 21 таблицу и 89 рисунков.
Модели экономической динамики в непрерывном времени
Эта формула определяет функцию VT : X — R+, аргументом которой является начальное состояние системы h. Эта функция была введена Беллманом и называется функцией выигрыша горизонта Т.
По своему экономическому содержанию функции () и VT{h) имеют одинаковый смысл - обе они служат для сравнения различных фазовых состояний (чем больше значение функции, тем лучше состояние). Их принципиальное отличие в том, что в информационном паспорте (1.21) функция Ч является априорным функционалом (задаваемым до каких-либо расчетов), в то время как функция VT получается в результате расчета и поэтому является апостериорным функционалом. По смыслу определения (1.22), значение VT (h) можно интерпретировать как оценку начального состояния h, полученную в результате решения задачи.
Результат расчета, т.е. вычисление функции выигрыша, можно рассматривать как преобразование Ч - VT, имеющее смысл переоценки априорных представлений. Само это преобразование удобно представить как действие оператора Беллмана ВТ горизонта Т: Вт = VT. Принцип оптимальности состоит в том, что семейство операторов \ВХ, т 0), дополненное тождественным оператором В0:-Е, образует полугруппу: By+X=BVBX Vv,x 0. Отсюда следует [104, Лемма 4.1], что если хотя бы один из операторов (скажем Bv ) имеет собственную функцию (т.е. функцию Ч , удовлетворяющую равен ству Bv4 = ) и эта функция единственна, то она будет собственной для всего семейства операторов Вх, т.е. XJ/ = XJ/ Vx 0.
Это означает, что собственная функция не меняется при преобразованиях Вт: при любом Т апостериорный функционал VT совпадает с априорным функционалом. Такое свойство дает основание назвать собственную функцию семейства операторов Беллмана объективным функционалом задачи (1.19) - (1.20) и ввести для этого функционала обозначение V. По определению объективный функционал удовлетворяет соотношению BTV = V УГ 0. (1.23)
Из сказанного вытекает, что если в информационном паспорте (1.21) задачи (1.19) - (1.20) в качестве терминального функционала 4у записать объективный функционал V, то решение задачи становится независимым от горизонта Т. Такая постановка задачи (и сама модель) называется стационарной. В стационарной модели информационный паспорт задается набором {X,Q,/,q ,5} (1.24) и постановка задачи не содержит субъективных компонент Т,Г. Тем самым; снимается упомянутая выше проблема "хвоста".
В стационарной постановке стратегия управления не зависит от остаточного горизонта / и является функцией текущего состояния системы q: X -» Q. В терминах стратегии равенство (1.23) имеет вид: V{h)= max \e btU(xt, q(xt ))dt + e bTV(xT ) , heX Vr 0. (1.25) .o }XQ=h
Поскольку T может быть выбрано произвольно большим, то объективный функционал является решением задачи с бесконечным горизонтом, т.е. имеет место представление — max = V{h). (1.26) С другой стороны, Т в равенстве (1.25) может быть взято сколь угодно малым, что приводит к дифференциальной форме этого равенства [104]: 5V(x) = max[u(x,s)+V (x)-q (x,s)], хєХ. (1.27)
В такой форме это соотношение называется уравнением Якоби-Гамильтона-Беллмана (ЯГБ-уравнение). В этой записи V (x) есть градиент функции V в точке х, который формально надо понимать как ковектор, т.е. элемент сопряженного пространства Rn (вектор-строка, если считать х вектор-столбцом), так что второе слагаемое в квадратной скобке есть скалярное произведение векторов Гиф
Модель с конечным горизонтом (Теорема 4)
В РКК-модели п. 1.4.1 критерием максимизации выступает удельное (в расчете на одного жителя) дисконтированное потребление (см. формулу (1.77)). В описанной модели численности обеих групп населения меняются по экспоненциальному закону (1.76) с заданными постоянными темпами роста nL и пР соответственно; это позволило сформулировать модель в стационарной постановке.
В негомогенной версии численности трудоспособной L{i) и общей P{t) групп населения находятся в результате решения задачи демографической динамики (ее решение представлено в главе 3 данной работы) и вводятся в модель как экзогенные временные кривые; стационарная постановка в этом общем случае невозможна.
Решение модели в гомогенном случае представлено в разделе 1.4 (первый этап двухэтапного подхода, РКК-модель). Построено оптимальное управление относительно фазовой переменной (стратегия управления), определены параметры стационарного участка оптимальной траектории.
Рассмотрим второй этап. Негомогенная модель требует привлечения принципа максимума.Понтрягина, который строит управление относительно двойственной переменной. Математический анализ решения в негомогенной версии в силу произвольности функций времени L{t) и P{t) представляет собой сложную задачу. С другой стороны, характер решения задачи управления был "нащупан" при анализе стационарной задачи. Опираясь на результаты этого анализа, удается построить оптимальное управление как функцию фазовой переменной.
В рассматриваемой версии производственная функция F та же, что и в п. 1.4.1, F є W. Поэтому сразу сформулируем негомогенную версию редуцированной одномерной модели (будем пользоваться теми же обозначениями, что и в разделе 1.4).
Как и ранее, будем считать управляемой переменной долю инвестирования. Тогда душевой объем потребления составит величину с = (l - s)f(k)\, где X = Xt:=L(t)/P{t).
Ниже приходится рассматривать краевую задачу для системы двух дифференциальных уравнений относительно прямой и двойственной переменных. При этом появляется необходимость задавать краевое условие для двойственной переменной на правом конце при t = Т; наиболее просто это сделать, если рассмотреть исходную задачу с закрепленным правым концом. В (2.3) значение кт будет выбрано позднее.
Будем использовать для решения задачи (2.1) — (2.4) принцип максимума Понтрягина [104,108,117]; для наших целей наиболее удобна формулировка принципа максимума, предложенная в [104].
Введем двойственную переменную \\ft (оценку условия (2.2)); получим гамильтониан задачи: Н(\М,А, )= (1 - s)f(k)Xe St + y[sf(k)-yk]. (2.5)
Согласно принципу максимума, необходимым условием оптимальности траектории (\\f,s,k)t является выполнение следующих соотношений: 1) на интервале t є (0,Г) функции времени (k,\\f) являются решением краевой задачи для системы сопряженных дифференциальных уравнений Используя q в качестве новой (вместо \j/) двойственной переменной, получим, исходя из второго уравнения (2.6), уравнение Я = -/ ( )[& - Ж + sq] +(5 + y)q . (2.8) Замечание 7. Задача (2.1)-(2.4) является выпуклой, т.к. гамильтониан (2.5) есть выпуклая на X х Q. функция, поскольку производственная функция выпук ла. Поэтому выписанные условия 1) и 2) принципа максимума являются не только необходимыми, но и достаточными [89]; их выполнение влечет опти мальность соответствующей траектории. ЕЗ
Из содержательных экономических соображений можно ожидать, что если экзогенные функции времени y(t), X(t) достаточно гладкие, то при больших Т оптимальное управление будет иметь такую же структуру, как и в стационарной модели. Отличие состоит в том, что теперь стационарное состояние будет не неподвижной точкой, а гладко меняющейся функцией времени; иначе говоря, это будет квазистационарная кривая k (t).
В стационарном решении неподвижная точка к является одновременно точкой переключения (см. п. 1.4.2, Теорема 2). Определим по аналогии квазистационарную кривую как такую функцию времени тс := \k (t\ t О), на которой поддерживается режим переключения в формуле (2.7). Заметим, что это можно сделать корректно, причем независимо от краевых условий (2.3). В самом деле, согласно (2.7), для этого необходимо и достаточно выполнение тождества qt=Xt. Подставляя его в (2.8), находим, что искомая кривая определяется (неявным образом) соотношением (0 : Xt=[-f (k) + {6 + y)]Xt, t 0. (2.9)
Замечание 8. Если записать уравнение (2.9) в виде то в гомогенном случае при прогнозе величин Lt и Pt по экспоненте уравнение (2.10) совпадает с уравнением (1.89), определяющим неподвижную точку к .
Каждое состояние к єн также будем называть квазистационарным. Если система находится в таком состоянии в некоторый момент времени, то для удержания ее в дальнейшем на кривой % необходимо применять такое управление s (называемое поддерживающим), чтобы выполнялось соотношение (2.2) при k = k (t)\ это условие определяет квазистационарное управление формулой
Постановка задачи на основе уравнения динамики возрастного состава
Математическое моделирование динамики возрастного состава в настоящее время осуществляется в основном с использованием двух подходов. Это подход, основанный на конечно-разностном методе передвижки возрастов [169], и подход, основанный на теории дифференциальных уравнений и гипотезе сплошности [170,171].
В отличие от [170,171], получим уравнение динамики возрастного состава, используя подход к выводу уравнений сохранения, развитый в механике гетерогенных сред [172,173].
Рассмотрим динамическое множество демографических элементов М. Среди этого множества элементов можно выделить непересекающиеся подмножества, между которыми переход невозможен (например, подмножества мужчин и женщин), подмножества, между которыми возможен только последовательный переход, связанный с возрастом (например, множества трудоспособного и нетрудоспособного населения), и подмножества, между которыми возможен как последовательный, так и параллельный переход (например, подмножества городского и сельского трудоспособного населения и подмножества городского и сельского нетрудоспособного населения) (см. рис.3.1).
Разбиение множества М осуществляется в каждом конкретном случае в зависимости от решаемой демографической задачи. Иерархия вложенных пересекающихся и непересекающихся подмножеств может быть достаточно велика. Например, подмножество мужчин городского поселения, трудоспособного возраста, врачей (инженеров, учителей, рабочих, бизнесменов и т.д.), имеющих доход выше заданной величины, и т.д.
Рассмотрим множество демографических элементов, состоящее как из не пересекающихся, так и пересекающихся подмножеств: М = \Мj]d ; j,k,l...eNj, где комбинация нижних индексов характеризует при надлежность к тому или иному подмножеству элементов. Первый индекс заре зервируем для обозначения пола: j = 1 - мужчины, j = 2 — женщины. Второй — для обозначения типа поселения: к = 1 - город, к = 2 - село. Третий - для обозначения возрастной динамики: / = 1 - дети до года, / = 2 - дошкольники, / = 3 - школьники, / = 4 - трудоспособное население, 1 = 5— пенсионеры. Например, Мї23 обозначает множество мужчин, живущих в сельской местности, находящихся в школьном возрасте.
Отметим, что каждый из индексов вводится таким образом, что после разбиения множества М на подмножества (группы), после суммирования элементов, независимо от того, какой признак был положен в основание группировки, всегда получаем исходное множество демографических элементов М.
В общем случае количество демографических элементов в каждом из подмножеств обусловлено следующими процессами: 1) рождением элементов; 2) исчезновением элементов в связи со смертью; 3) трансформацией элементов, происходящей в связи с изменением возраста; 4) миграцией элементов между подмножествами внутри множества М; 5) обменом элементов между подмножествами множества М и внешней средой (эмиграция и иммиграция).
Рассмотрим временно-возрастную плоскость (t, т), где каждому элементарному участку dx оси т можно поставить в соответствие определенное количество демографических элементов т множества М (или любого из подмножеств множества М, индексы опускаем):
Определение функции выбытия производственных фондов на основе статистических данных
Главной компонентой развития территории, главной производительной силой развития общественного производства, является население [2]. Причем не толь ко количественные, но и качественные демографические характеристики, в ко нечном счете, определяют экономическое и социальное развитие региона. Именно люди с их здоровьем, образованием, квалификацией, профессиональ ным опытом и культурой определяют возможности и границы необходимых перемен. При этом основным фундаментом экономического роста является фактор человеческого капитала. При решении задач прогнозирования экономической динамики и, в частности, задач оптимального управления экономикой, используются производственные функции, отображающие влияние факторов производства на выходные показатели экономической системы. В настоящее время разработан широкий арсенал производственных функций, в которых в качестве факторов, определяющих объем произведенной продукции, используются вещественный капи-тал и численность трудовых ресурсов или вещественный капитал и величина заработной платы работающих. В первом случае не учитывается качество трудовых ресурсов, кроме того, их объем на исследуемом промежутке, как правило, меняется незначительно, вследствие чего коэффициент детерминации построенных зависимостей достаточно низок. Недостатком второго случая является то, что заработная плата все же не может служить адекватным мерилом качества трудовых ресурсов. В связи с вышесказанным становится очевидным и актуальным введение в производственную функцию фактора, связанного с человеческим капиталом, объединяющего в себе количественные и качественные демографические характеристики.
Сделаем одно важное, на наш взгляд, замечание. А именно: если для величины вещественного капитала существует достаточно надежная система статистических измерений, то для величины человеческого капитала подобная сис тема в настоящее время отсутствует. Это обстоятельство заставляет при построении производственной функции прибегать к оценке динамики данной величины на основе математического моделирования с использованием различного рода допущений.
Под человеческим капиталом в экономике понимается запас знаний, здоровья, навыков, опыта, культуры, которые используются индивидом для получения дохода [201].
Виды человеческого капитала экономисты классифицируют по видам затрат (инвестиций). Выделяют следующие составляющие человеческого капитала: капитал образования, капитал здоровья, капитал культуры. Ясно, что оценка человеческого капитала чрезвычайно трудная задача. Его можно рассматривать как качество жизни [202], или как объем инвестиций [203], или как способность к инновационной деятельности [204], или как объем заработков (доходов) человека [205].
Инвестиции в образование способствуют формированию высококвалифицированных специалистов, труд которых оказывает наибольшее влияние на темпы экономического роста [206]. Капиталовложения в здоровье приводят к сокращению заболеваний и смертности, продлению трудоспособной жизни человека [207]. В течение жизни человека происходит износ человеческого капитала. Инвестиции, связанные с охраной здоровья, способны замедлить данный процесс. Капиталовложения в культуру снижают уровень криминализации общества, повышают творческий потенциал человеческой личности, формируют нравственные ценности человека, что, в конечном счете, сказывается на эффективности экономики.
Следует отметить, что износ и амортизация человеческого капитала протекают иначе, чем эти процессы протекают в материально-вещественных ресурсах. В первые годы функционирования человеческого капитала за счет физического взросления работника, а также за счет накопления им производственного опыта экономическая ценность запаса его знаний и способностей отнюдь не уменьшается, как это происходит с физическим капиталом, а, напротив, возрас тает. Обычно темпы физического и морального износа запаса знаний и квалификации начинают перекрывать значения непрерывно продолжающегося накопления другого актива производственного опыта где-то к концу второго десятилетия трудового стажа. Лишь с этого момента начинается процесс "обесценивания" человеческого капитала.
Существует несколько подходов к проблеме оценки производства человеческого капитала. Известны модели Бен-Порэта [208], Хекмана [209], А.С. Акопяна, В.В. Бушуева и B.C. Голубева [210].
На значение инвестиций в производительные способности человека впервые указал А. Смит [55], включивший знания людей и мастерство в основной капитал, который является элементом производства: "Ловкость и умение рабочего можно рассматривать с той же точки зрения, что и машины и орудия производства, которые сокращают или облегчают труд и которые, хотя и требуют известных расходов, но возмещают эти расходы вместе с прибылью".
Понятие "человеческий капитал" и его роль в процессе производства изучали экономисты XIX-XX в.в.: Л. Вальрас, А. Маршалл, А. Пигу [191,209,211].
Понимание того, что для увеличения национального дохода недостаточно инвестиций в физический капитал и необходимы вложения в человеческий капитал, окончательно сформировалось в конце 1950-х годов. В это время концепция "человеческого капитала" начала приобретать свои современные черты и сформировалась благодаря исследованиям Т.У. Шульца, Г. Беккера, Дж. Минцера и др. ученых [191, 212—224].
Инвестиции в человеческий капитал имеют ряд особенностей, отличающихся от других видов инвестиций [219]. 1. Отдача от инвестиций в человеческий капитал непосредственно зависит от срока жизни его носителя (от продолжительности трудоспособного периода). Чем раньше делаются вложения в человека, тем быстрее они начинают давать отдачу. 2. Человеческий капитал не только подвержен физическому и моральному износу, но способен накапливаться и умножаться.
