Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ моделей логистической динамики, их приложений и используемого инструментария 15
1.1 Использование логистических кривых для социально-экономических приложений 15
1.2 Получение логистических моделей трендов как решений дифференциальных уравнений 1.2.1 Логистические модели трендов с фиксированной асимметрией .32
1.2.2 Логистические модели трендов с произвольной асимметрией...
3 1.3 Феноменологические логистические модели трендов 41
1.4 Актуальные задачи развития инструментария идентификации социально-экономической динамики с логистическим трендом 50
Выводы по первой главе 53
Глава 2. Обоснование выбора моделей рядов динамики с логистическим трендом и разработка методов их идентификации 54
2.1 Методики исследования точности идентификации временных рядов и критерии оценки точности моделирования и прогнозирования 54
2.2 Обоснование метода идентификации симметричной трехпараметрической модели Ферхюльста
2.2.1 Исследование точности идентификации модели Ферхюльста с растущим логистическим трендом 66
2.2.2 Исследование зависимости точности идентификации модели Ферхюльста с растущим логистическим трендом от объема выборки и положения точки перегиба 69
2.2.3 Исследование точности идентификации обобщенной модели Ферхюльста с падающим логистическим трендом 72
2.3 Обоснование метода идентификации асимметричной модели Гомпертца 75
2.3.1 Исследование точности идентификации моделей Гомпертца с левой и правой асимметрией с растущим логистическим трендом 79
2.3.2 Исследование точности идентификации моделей Гомпертца с левой и правой асимметрией с падающим логистическим трендом 80
2.4 Обоснование метода идентификации асимметричной модели Рамсея и ее обобщений 82
2.4.1 Исследование точности идентификации модели Рамсея с растущим логистическим трендом з
2.4.2 Исследование зависимости точности идентификации модели Рамсея с растущим логистическим трендом от объема выборки при отсутствии в выборке точки перегиба 85
2.5 Идентификация многопараметрических моделей логистической динамики с произвольной асимметрией 87
Выводы по второй главе 92
Глава 3. Применение комплекса моделей логистического роста и методов их идентификации на реальных данных экономической динамики 95
3.1 Моделирование финансовых показателей АМОУ ВПО «Самарская академия государственного и муниципального управления» 96
3.2 Примеры идентификации моделей жизненного цикла продукта
3.2.1 Моделирование кумулятивной динамики ЖЦП типа «фетиш» логистической кривой Ферхюльста с включением в модель дополнительного тренда 104
3.2.2 Моделирование кумулятивной динамики мировых продаж видеоигр 106
3.3 Моделирование логистической динамики в сфере информационно коммуникационных технологий 109
3.3.1 Моделирование рынков сотовой связи логистическими кривыми с произвольной асимметрией 109
3.3.2 Моделирование аудитории Интернета на мезо - и макроуровнях... 114
3.4 Моделирование социальной динамики 117
3.5 Моделирование макроэкономической динамики показателей тяжелой индустрии 121
Выводы по третьей главе 130
Заключение 133
Список использованных источников
- Получение логистических моделей трендов как решений дифференциальных уравнений
- Актуальные задачи развития инструментария идентификации социально-экономической динамики с логистическим трендом
- Исследование точности идентификации моделей Гомпертца с левой и правой асимметрией с растущим логистическим трендом
- Моделирование кумулятивной динамики ЖЦП типа «фетиш» логистической кривой Ферхюльста с включением в модель дополнительного тренда
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Логистическая динамика трендов свойственна большому числу объектов исследований, характеризующихся ограниченными ресурсами, отражает кумулятивный характер показателей.
Широкое применение на практике, особенно при оценке динамики невозобновляемых ресурсов, находит производная логистической функции -импульсная функция, характеризующая текущее значение показателя.
Уровень насыщения логистической кривой характеризует емкость рынка или потенциал отрасли, оценка которого важна для производителей товаров: завышенный прогноз приведет к увеличению затрат на исследования и разработку новых товаров, заниженный препятствует выведению новых товаров на рынок. К области применения логистических кривых относится динамика смены технологий, демографических показателей, жизненных циклов продуктов, финансовых показателей вузов.
Многообразие логистических траекторий в экономике делает актуальной задачу исследования логистических кривых с произвольной относительно точки перегиба (точки нерасширяемого спроса) асимметрией, которые формируют рынки с преобладанием области нерасширяемого спроса (асимметрия влево) и расширяемого спроса (асимметрия вправо).
Актуальна и задача оценки деятельности высшего учебного заведения на основе Системы Сбалансированных Показателей (ССП): для нее требуется получение прогнозов финансово-экономических показателей вуза, динамика которых формируется под влиянием множества ограничений внутренней и внешней среды. Для этого необходим инструментарий эконометрического моделирования многокомпонентных рядов динамики с логистическим трендом и дополнительными трендовыми и колебательными компонентами.
4 Степень разработанности темы исследования. В отечественной
научной литературе с 30-х гг. 19-го века рассматривались лишь две модели
логистического тренда, предложенные П. Ферхюльстом и Б. Гомпертцом.
В последние годы зарубежными исследователями Р. Айресом, Ф. Бассом, А. Грюблером, В. Мааджаном, П. Майером, Т. Модисом, Н. Накиченовичем, Дж. Рамсеем, Ф. Ричардсом, К. Скиадасом и др. предложены десятки моделей для тех или иных приложений, но практически отсутствуют исследования, в которых бы предлагали и сравнивали особенности моделей, точностные свойства методов их идентификации.
Разработкой теоретических положений по эконометрическому моделированию временных рядов, в частности, с логистическим характером тренда, а также проблемами оценки точности идентификации моделей занимались отечественные исследователи С.А. Айвазян, В.Н. Афанасьев, В.В. Давние, Т.А. Дуброва, И.И. Елисеева, Н.Г. Загоруйко, Е.В. Зарова, B.C. Мхитарян, Ю.П. Лукашин, С.Г. Светуньков, В.К. Семёнычев, В.Л. Сергеев, Н.П. Тихомиров, А.А. Цыплаков, Е.М. Четыркин и другие.
Однако, нет исследований, которые бы обосновывали выбор метода идентификации в зависимости от положения анализируемой выборки на логистической кривой, от объема выборки, от соотношения дисперсий помехи єк и детерминированной компоненты Dk, превышающего 5-10%.
Известные логистические модели применялись обычно при значительных объемах выборок. Возможная область их применения при другом наборе параметров, для относительно коротких «молодых» социально-экономических процессов не рассматривалась.
В известной научной литературе почти не представлены работы, где бы анализировались практически важные случаи идентификации многокомпонентных рядов, когда логистический тренд дополняется трендом Тк другого характера. Отсутствуют и результаты по учету в траектории
колебательных компонент (циклических Ск и/или сезонных Sk), которые актуальны для обеспечения точности прогнозирования.
5 Цель диссертационной работы - разработка и исследование
комплекса моделей логистической динамики, предложение их расширений,
определение области их возможного применения по диапазону значений
параметров моделей и относительной дисперсии помехи, сравнение методов
и приемов их идентификации, обеспечивающих повышение точности
моделирования и прогнозирования на относительно малых выборках.
Задачи диссертационного исследования:
показать область возможного применения логистических кривых при анализе социально-экономической динамики, определить и сравнить их основные характеристики (начало и завершение стадий роста, точек перегиба, уровня насыщения, симметрии и асимметрии);
дополнить известные логистические модели новыми, обеспечив возможность идентификации многокомпонентных рядов динамики с дополнительными трендовыми и колебательными компонентами;
разработать для моделей с логистическим трендом методы идентификации на относительно коротких выборках (до 30-35 наблюдений), методику исследования их точности в различных диапазонах изменения параметров моделей и соотношениях дисперсий детерминированной компоненты и помехи;
реализовать программные средства для идентификации рассматриваемого комплекса моделей;
разработать модели многокомпонентных рядов динамики финансовых показателей АМОУ ВПО «Самарская академия государственного и муниципального управления» (САГМУ) с логистическими трендами и пропорционально-мультипликативными колебательными компонентами.
Объектом исследования являются социально-экономические системы разного уровня агрегирования (на примере АМОУ ВПО «Самарская академия государственного и муниципального управления», а также рынков добычи невозобновляемых ресурсов, жизненных циклов продуктов, развития
технологий, социально-демографических процессов), динамика тренда которых подчиняется логистическим закономерностям.
Предмет исследования: социально-экономические процессы изменения динамики показателей объекта исследования (в частности, динамика формирующих показателей финансовой перспективы Системы Сбалансированных Показателей АМОУ ВПО «Самарская академия государственного и муниципального управления»), анализируемые при помощи 24-х эконометрических моделей с логистическими трендами и дополнительными трендовыми и/или колебательными компонентами.
Теоретическую и методологическую базу диссертации составили труды отечественных и зарубежных ученых в области эконометрического моделирования временных рядов с логистическим характером тренда. В качестве инструментария в диссертации применялся математический аппарат теории вероятностей, социально-экономической и математической статистики, эконометрики и вычислительной математики. Для программной реализации использованных методов анализа данных применялись пакеты Microsoft Office 2007, Maple 12, Mathcad 15, программные комплексы, разработанные при участии автора в среде Delphi.
Информационной базой исследования явились данные о финансовой деятельности АМОУ ВПО «САГМУ», Федеральной службы государственной статистики РФ, Всемирного банка, ООН, Организации экономического сотрудничества и развития, публикации и доклады отечественных и зарубежных ученых на конференциях и симпозиумах, связанных с темой исследования, материалы периодической печати и всемирной сети Интернет.
Область исследования. Исследование проведено в рамках п. 1.1. «Разработка и развитие математического аппарата анализа экономических систем: математической экономики, эконометрики, прикладной статистики, теории игр, оптимизации, теории принятия решений, дискретной математики и других методов, используемых в экономико-математическом моделировании»; п. 1.8. «Математическое моделирование
7 экономической конъюнктуры, деловой активности, определение трендов,
циклов и тенденций развития»; п. 1.9. «Разработка и развитие
математических методов и моделей анализа и прогнозирования развития
социально-экономических процессов общественной жизни: демографических
процессов, рынка труда и занятости населения, качества жизни населения и
др.» специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы
экономики Паспортов специальностей ВАК (экономические науки).
Вклад автора в проведенное исследование. Автор внес определенный вклад в постановку задач исследования, разработку теоретических положений, практических рекомендаций и выводов. Фамилии соавторов, принимавших участие в отдельных направлениях исследования, указаны в списке основных публикаций по теме диссертации. Все результаты, составляющие научную новизну диссертации и выносимые на защиту, получены автором лично.
Научная новизна исследования заключается в разработке комплекса моделей логистической динамики социально-экономических показателей и методов их идентификации.
Наиболее существенные результаты, обладающие научной новизной:
-
Впервые в отечественной научной литературе обобщены и сравнены результаты по двадцати четырем моделям логистической временной динамики, которые наглядно представлены атласами моделей в зависимости от влияния всех параметров, что помогает осуществлять визуальный выбор моделей для идентификации.
-
Предложены обобщения модели Рамсея на случай изменения длины и формы стадий логистической кривой, модели Гомпертца для случая асимметрии вправо, а также предложены новые модели билогистической динамики.
-
Обоснованы методы идентификации параметров моделей с фиксированной и произвольной асимметрией, дающие высокую точность прогноза потенциалов развития социально-экономических систем. Впервые
8 выполнено исследование точности идентификации моделей с падающим
логистическим трендом. Показаны возможности получения
пессимистического и оптимистического вариантов прогноза рядов
социально-экономической динамики на основе расчета точечных и
интервальных оценок точности с помощью предложенной методики.
4. Разработаны модели многокомпонентных рядов динамики финансовых показателей АМОУ ВПО «Самарская академия государственного и муниципального управления» с логистическими трендами и пропорционально-мультипликативными колебательными компонентами. Предложены методы идентификации рядов динамики в случаях, когда логистическая тенденция дополнена и другими трендами.
Практическая ценность полученных результатов:
1. Практическая значимость исследования определяется возможностью
использования разработанного комплекса моделей, методов и методик:
при внедрении в организации систем стратегического и оперативного управления, частью которых является получение прогнозов показателей развития организации;
при прогнозировании емкостей рынков товаров (услуг, технологий), определении точек и областей нерасширяемого спроса;
при прогнозировании жизненных циклов продуктов;
при определении потенциалов отраслей тяжелой индустрии;
при расчете прогнозов демографических показателей;
в системе подготовки и повышения квалификации экономистов, маркетологов, менеджеров.
2. Результаты исследования внедрены в выполненные при участии
автора диссертации НИР: 1) «Обоснование методики ранжирования городов,
референтных г.о. Самара по ключевым показателям социально-
экономического развития, и прогнозирование уровня конкурентоспособности
на основе сложившихся трендов до 2025 г.» по договору 11/20 от 15 мая
2012 г., заключенному между АЛО «Урбэкс-развитие» и АМОУ ВПО
9 «Самарская академия государственного и муниципального управления»;
2) «Разработка системы социальных стандартов уровня и качества жизни
населения Самарской области» по государственному контракту №348
от 15 ноября 2011 г., заключенному между Министерством экономического
развития, инвестиций и торговли Самарской области и АМОУ ВПО
«Самарская академия государственного и муниципального управления».
Полученные результаты в НИР по методике ранжирования городов,
референтных г.о. Самара, включены в принятый стратегический план
развития г.о. Самара, который будет реализован последующими городскими
программами.
3. Внедрение результатов исследования осуществлено в учебный процесс по дисциплине «Эконометрика» в АМОУ ВПО «Самарская академия государственного и муниципального управления» для специальности 080801.65 «Прикладная информатика в менеджменте», в ФГБОУ ВПО «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика СП. Королева (национальный исследовательский университет)» для специальности 080116.65 «Математические методы в экономике».
Апробация результатов исследования. Результаты диссертационного исследования апробированы на:
1) Всероссийской молодёжной научной конференции с международным участием «IX Королёвские чтения» (ГОУ ВПО «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика СП. Королева», г. Самара, 2007);
2)11 Международной научно-практической интернет-конференции «Анализ, моделирование и прогнозирование экономических процессов» (ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет», ФГАОУ ВПО «Волгоградский государственный университет», г. Воронеж, 2010);
3)11 Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Математическое моделирование, численные
10 методы и информационные системы» (АМОУ ВПО «САГМУ»,
г. Самара, 2010);
-
VI Всероссийской научно-практической конференции «Математические модели современных экономических процессов, методы анализа и синтеза экономических механизмов» (ФГБОУ ВПО «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика СП. Королева (национальный исследовательский университет)», г. Самара, 2011);
-
Всероссийской молодежной конференции «Экономический рост: математические аспекты» (ФГБОУ ВПО «Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова», г. Москва, 2011);
-
III Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Математическое моделирование, численные методы и информационные системы» (АМОУ ВПО «САГМУ», г. Самара, 2011);
-
XIII научной конференции студентов и аспирантов (АМОУ ВПО «САГМУ», г. Самара, 2012);
-
Международной конференции «Математическое моделирование в экономике, управлении и образовании» (Калужский филиал ФГБОУ ВПО «Финансовый университет при Правительстве РФ», г. Калуга, 2012);
-
IV Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Математическое моделирование, численные методы и информационные системы» (АМОУ ВПО «САГМУ», г. Самара, 2012);
10) XIV научной конференции студентов и аспирантов (АМОУ ВПО
«САГМУ», г. Самара, 2013).
Публикации. По теме диссертации опубликованы 22 научных работы общим объемом 12,7 п.л. (из которых 8,6 п.л. авторские), в том числе 7 работ в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Структура диссертации. Диссертационное исследование изложено на 171 странице, состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников из 155 наименований и приложений. Диссертация содержит 43 рисунка, 25 таблиц.
Получение логистических моделей трендов как решений дифференциальных уравнений
Обратим внимание на то, что падающие логистические кривые не нашли до настоящего времени столь широкого применения, как растущие, тем не менее, приведем ряд характерных примеров. Поскольку такая логистическая кривая берет свое начало из биологии, то отметим, что в природе популяции имеют не только максимальную численность, определяемую величиной экологической ниши (в экономике - емкость рынка), но и минимальную критическую численность (в экономике это можно интерпретировать как минимальный уровень продаж). Интересен пример описания падающими логистическими кривыми стоимости 1МВт энергии ветра в Великобритании (в ценах 2000 года) [115]. Такой же характер носит динамика производства первичной стали и добычи угля в ряде развитых стран мира [121, 127].
В экономике и социологии также существует много примеров динамики показателей, которые в своем развитии проходят последовательно несколько стадий эволюции (развития или деградации). Под эволюцией в данном случае понимаем любое изменение характера динамики показателя, например, изменение скорости роста населения какого-либо региона с течением времени, изменение основной тенденции потребительского спроса на товар после экономического кризиса и т.д. [57].
Так, маркетологи часто сталкиваются со сложным характером динамики продаж при выведении нового товара на рынок и принятии его потребителями. Обычно, на первом этапе товар пользуется спросом лишь у небольшой части потребителей, на втором этапе все большее число потребителей осваивает новинку, а на третьем этапе число потребителей становится относительно постоянным - определяется так называемая емкость рынка для данного товара, т.е. потенциально возможный объем продаж товара на рынке. Известен случай применения логистических кривых при описании спроса на товары Q в зависимости от дохода потребителей М (рис. 1.4), предполагая, что цены и другие факторы фиксированы [43]. Данный подход позволяет оценить М изменение коэффициента эластичности, по определению равного Е = —Q\M).
При увеличении дохода потребителя рост спроса на многие товары с какого-то момента времени начинает замедляться и, в конце концов, останавливается на некотором уровне. Поэтому можно утверждать, что в более обеспеченных группах населения, где уровень удовлетворенного спроса более высок, склонность населения увеличивать потребление товара (при одном и том же относительном приросте доходов) будет ниже, чем в менее обеспеченных группах населения.
Другими словами, при одинаковом доходе значение коэффициента эластичности Е в более обеспеченных группах увеличивается меньше, чем в менее обеспеченных группах: в точке Q2 на рис. 1.4 коэффициент эластичности ниже, чем в точке Qi. Кроме того, в различных группах при одинаковом уровне потребления реакция на изменение дохода будет также различной (точки Q2 и Q3). В более обеспеченной группе реакция на рост дохода может оказаться более сильной, поскольку потребление одинаково. Но поскольку у более обеспеченной группы существуют большие возможности увеличивать потребление данного товара, то в точке Q3 коэффициент эластичности выше, чем в точке Q2. Известна статистическая модель изменения цен на жилье на примере г. Москвы, основанная на логистической закономерности роста цен (в долларовом эквиваленте) при переходе от централизованной к рыночной экономике и корреляционной связи между приростом месячных темпов роста курса доллара и долларовых цен на жилье [68].
В приведенных примерах определяемыми показателями являются численность населения, уровень спроса на товары или объем продаж товаров. Подобные примеры могут иллюстрировать как развитие показателей во времени, так и в пространстве (т.е. отражать зависимость исследуемого показателя от значений других показателей, например уровень сбыта продукции в функции рекламного бюджета фирмы) [11].
В диссертации будет рассматриваться динамика показателей во времени t (временная динамика), хотя ряд результатов может быть применен и для пространственной динамики. Показатель (или иначе траекторию, результирующую, определяемую, эндогенную, внутреннюю, зависимую переменную) в дальнейшем будем обозначать как Y .
Как правило, значения рассматриваемого показателя формируются под воздействием множества факторов (называемых внешними, экзогенными, определяющими переменными), которые далеко не всегда удается учесть, поскольку во многих случаях имеет место сравнительно большое число определяющих переменных, а также вследствие нелинейного характера действия факторов на определяемый показатель, малости исходных выборок и задачи прогнозирования на малый горизонт прогноза (упреждения).
Фактор времени, как единственная экзогенная переменная, позволяет отразить совокупное (интегрирующее) влияние всего множества факторов. Именно поэтому на практике широко применяются модели временной динамики, рассматриваемые в диссертации. Зафиксированные в разные моменты времени значения показателя, собранные в хронологическую последовательность, образуют временной ряд или ряд динамики.
Актуальные задачи развития инструментария идентификации социально-экономической динамики с логистическим трендом
В главе 1 диссертации была обоснована необходимость разработки и реализации методики оценки точности моделирования и прогнозирования временных рядов логистической динамики при больших соотношениях дисперсий стохастической и детерминированной компонент, в различных диапазонах изменения параметров для комплекса логистических моделей.
Возникает и задача обоснования выбора наиболее точного метода идентификации основных предложенных в диссертации моделей в рамках предлагаемой далее методики.
Обычно в известных публикациях методы идентификации эконометрических моделей проверяются на реальных выборках, при этом редко сравниваются показатели точности их моделирования и прогнозирования.
Известна попытка сравнения точности нескольких методов идентификации на одной тестовой детерминированной выборке Dk логистического тренда Ферхюльста при дисперсии аддитивной помехи єк в 5% от дисперсии этой детерминированной выборки [73]. Существенным развитием этого подхода можно считать предложенную в [61] методику исследования точности в широких диапазонах изменения значений параметров моделей со стохастической компонентой, дисперсия которой меняется в диапазоне значений коэффициента шум/сигнал (2.1), определяемого отношением дисперсий стохастической и детерминированной компонент: Knls=a2[s]lcj2[D}. (2.1) Применим этот подход для комплекса анализируемых логистических моделей. Анализу будет подвергаться тестовая (генерируемая компьютером) выборка наблюдений ряда динамики г -і- sk-M\e\ Yk=Dk+ r[e]ek,ek = J. а [є] При применении тестовых выборок необходимо разбить выборку на две части: рабочую (п наблюдений) и прогнозную (/ наблюдений). По рабочей части выборки (наблюдения к = 0, п -1) строится модель, рассчитываются критерии точности модели. По прогнозной части выборки рассчитываются критерии точности прогноза (наблюдения к - п,п + I -1). Приведем основные характеристики, используемые при выборе моделей, построенных на основе реальных данных, и оценки их точности. Под точностью модели регрессии понимаем меру близости модельных значений ряда к реальным значениям уровней на всём интервале наблюдения.
Необъясненная (остаточная) сумма квадратов возмущений єк отражает меру близости значений Yk, полученных по предложенной модели, к я-1 2 реальным значениям наблюдений Yk: USS = (Yk-Yk) . Для обоснования выбора лучшей по адекватности модели из комплекса предложенных используют информационные критерии Акаике и Шварца. Оба критерия «штрафуют» за увеличение числа параметров модели, критерий Шварца является более строгим [75, 124]. Данные критерии рекомендуется использовать при п I т 40. Для задач, где п I т 40, существует скорректированный критерий Акаике AICC = AIC + 2т{т +1) / (и - т -1).
Наиболее распространенной до настоящего времени характеристикой точности модели является доля дисперсии Y, объясненная выбранной моделью, которая описывается безразмерным коэффициентом детерминации
R , изменяемым от 0 до 1. Для сравнения моделей с разным числом параметров применяют скорректированный коэффициент детерминации R.. Для оценки точности прогнозирования используются несколько характеристик. Наиболее известной можно считать М4РЕ-оценку (среднюю относительную ошибку прогноза) [74]. Хорошим считается прогноз, если значение М4Р-оценки не превышает 10%, а удовлетворительным - в пределах 20%). М4Р-оценка мало чувствительна к ошибкам прогноза больших значений. В тоже время, ее расчет затруднителен, если значения наблюдений ряда близки к нулю. Она чувствительна к случайному выбросу в выборке, поскольку при расчете осуществляется деление на абсолютное значение ряда.
Второй коэффициент Тейла более устойчив к случайным выбросам, поскольку при его расчете используются сглаженные значения: суммы квадратов наблюдений исходного и модельного рядов.
Тем не менее, второй коэффициент Тейла также рассчитывается по абсолютным значениям ряда. Следовательно, при наличии растущего логистического тренда в знаменателе получим его большую величину, чем при наличии падающего логистического тренда, в то время как числитель останется примерно одинаковым (поскольку он рассчитывается как сумма квадратов отклонений модельного ряда от исходной реальной выборки). Данную проблему сравнения точности прогнозирования растущих и падающих логист позволяет исправить критерий, предложенный И+/-1 , 100%о Н.Г. Загоруйко в [14]: Z = -Y \{Yk-Yk)/(Ymax-Ymm) В отличие от М4Р-оценки и второго коэффициента Тейла, данный критерий использует для расчета не только прогнозную часть выборки: минимальное и максимальное значения берутся по всей выборке. При
Исследование точности идентификации моделей Гомпертца с левой и правой асимметрией с растущим логистическим трендом
Проведем исследование точности моделирования и прогнозирования для модели Ферхюльста с аддитивной помехой девятью методами: Фишера, Готеллинга, Юла, Родса, Нейра, трех сумм, ARMA I, ARMA II и решением МНК методом Левенберга-Марквардта.
Данную задачу можно осуществить лишь на одних и тех же тестовых детерминированных выборках функции Ферхюльста, с регулированием ее параметров в различных диапазонах изменения, с наложением стохастической компоненты, дисперсия которой меняется в широком диапазоне по отношению к дисперсии детерминированной компоненты.
В отечественной литературе известно лишь одно подобное исследование [73] оценки параметров симметричной логистической функции Ферхюльста (2.5) шестью методами (трех точек, трех сумм, Фишера, Юла, Родса, Нейра), но на единственной тестовой выборке.
Усложним задачу как по расширению диапазона значений параметров, так и по обеспечению репрезентативности результатов.
Для реализации предложенной методики генерировались тестовые выборки логистического тренда (2.5) объемом 24, 36, 48 наблюдений. Для характеристики области возможного применения методов целесообразно назначать не отдельные значения параметров тренда, а варьировать значения параметров в достаточно широком диапазоне. Значения параметров выбирались таким образом, чтобы логистическая кривая сохраняла .S-образную форму и включала точку перегиба. На каждую выборку аддитивно накладывалась генерируемая помеха, дисперсия которой задавалась с помощью коэффициента шум/сигнал Knls, который варьировался от 0 до 0,3 с шагом 0,05. Для каждого из девяти методов генерировались 12600 выборок, результаты усреднялись по 1800 выборкам. Точность моделирования оценивалась помощью коэффициента детерминации R2, а точность прогнозирования - с помощью МАРЕ-оц&нки.
Рассмотрим и точность оценивания отдельных параметров модели: смещение, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации оценок параметров. Для этого было сгенерировано 10 000 выборок объемом 36 наблюдений, глубиной прогноза 12 наблюдений и коэффициентом шум/сигнал в 10%.
Значения параметров модели, использованные при генерации тестовых выборок, а также найденные с помощью различных методов идентификации оценки параметров представлены в табл. АЛ Приложения А.
На рис. А. 1-А.4 Приложения А представлены результаты оценивания точности моделирования и прогнозирования для четырех лучших по точности методов. В результате исследования получены близкие результаты для методов Фишера и Готеллинга, ARMAI и ARMA И.
Методы Фишера и Готеллинга позволяют приближенно вычислять производные функции, обладающие низкой точностью в условиях «зашумленности» выборки, а точность идентификации модели для всех аналитических методов сильно зависит от наборов исходных данных.
Применение взвешенного МНК в методах ARMA I и ARMA II существенно не улучшает точность идентификации.
Методы Родса, Юла и Нейра не дали удовлетворительного результата даже в случае добавлении «шума», дисперсия которого не превышает 5% дисперсии детерминированной компоненты (т.е. объясняют менее 10% исходных данных). Анализ показал, что только численное решение МНК методом Левенберга-Марквардта дает наиболее приемлемые результаты по точности моделирования и прогнозирования, а также несмещенные и эффективные в классе рассмотренных методов оценки параметров модели (2.5).
Проведем сравнение двух методик исследования точности идентификации временных рядов, представленных в п. 2.1, для логистической модели Ферхюльста (2.5) методом Левенберга-Марквардта. В качестве критерия точности моделирования примем коэффициент детерминации, как и в предыдущем исследовании, а в качестве критерия прогнозирования будем вместо МАРЕ-оценки применять второй коэффициент Тейла, а также критерий Н.Г. Загоруйко. Исходные параметры для генерации тестовых выборок соответствуют значениям из табл. АЛ Приложения А.
Зависимость R , кп и Z от К для сравниваемых методик расчета оценок точности представлена на рис. А.5 Приложения А. Для каждого значения коэффициента K s (каждая точка на графике) генерировалось 1800 выборок и результаты усреднялись. Проанализированный метод идентификации по второй методике позволяет восстановить заданную исходную модель с точностью 98% при дисперсии шума в 30% дисперсии детерминированной компоненты. В случае реальной зашумленной выборки (по первой методике) этот показатель равняется 78%.
Точность прогноза по первой методике не превышает 16%, а по второй - не более 5%. Стоит отметить, что в сравнении с предыдущим исследованием (см. рис. А.4, б) Приложения А), второй коэффициент Тейла и критерий Н.Г. Загоруйко дают более высокие значения точности прогноза. Для выборки в 24 наблюдения МАРЕ-оценка не превышает 24%, а кт2 и Z -соответственно 16% и 11% при шуме в 30%.
Моделирование кумулятивной динамики ЖЦП типа «фетиш» логистической кривой Ферхюльста с включением в модель дополнительного тренда
Доходы от образовательной деятельности складываются из двух составляющих: бюджетных средств и внебюджетных поступлений.
Бюджетное финансирование зависит от числа студентов, однако в наиболее критической экономической ситуации министерство может снизить финансирование и профинансировать только защищенные статьи бюджета (главным образом часть заработной платы). Привлечение и использование внебюджетных средств, полученных от образовательной деятельности, позволяет покрыть оставшуюся долю расходов, тем самым обеспечив вузу окупаемость и экономическую устойчивость.
К переменным расходам относятся заработная плата профессорско-преподавательского состава (ГШС), социальные выплаты и прочие расходы. В состав постоянных затрат входят: оплата труда персонала сопровождения и административно-управленческого персонала с учетом налогов; расходы по обеспечению образовательного процесса; расходы на служебные командировки и разъезды; расходы по содержанию транспортных средств; оплата услуг связи, коммунальные расходы; расходы на текущий ремонт и обслуживание; прочие текущие расходы; амортизационные отчисления по основным средствам и нематериальным активам [16].
В настоящее предусмотрены два метода признания доходов и расходов для целей исчисления налога на прибыль: метод начисления - доходы и расходы признаются в учёте по мере их возникновения, то есть в том отчётном (налоговом) периоде, в котором они имели место, независимо от факта их оплаты, и кассовый метод - доходы и расходы признаются в учёте в день поступления или выбытия денежных средств в качестве оплаты по сделке.
При моделировании экономических показателей вуза ставилась задача отыскания «уровня насыщения» для данного отрезка экономического развития. Известен пример моделирования и прогнозирования динамики показателей деятельности вуза на основе логистических функций [41]. При этом представленные результаты используют давно известный и не обеспечивающий высокой точности метод Родса для идентификации функции Гомпертца.
Для использования в практике управления АМОУ ВПО «Самарская академия государственного и муниципального управления» на данных за 2006-2012 гг. был реализована и использована Система Сбалансированных Показателей, составной частью которой комплекс моделей с логистическим трендом для рядов динамики экономических показателей вуза [18, 19].
Результаты были получены для 12 экономических показателей вуза, учитываемых двумя методами - кассовым и начисления. Рассматриваемые показатели включали суммарные затраты, с делением на переменные и постоянные, и суммарные доходы, с делением на бюджетные и внебюджетные.
Реализованный комплекс моделей включал в себя логистические тренды следующих видов: - логистическую функцию Ферхюльста (2.8), - функцию Рамсея с константой (2.13), - трехпараметрическую модифицированную функцию Рамсея (2.15), - обобщенную четырехпараметрическую функцию Рамсея (2.16). Дополнительно к ним, рассматривались и возможность дополнительного присутствия в траектории временных рядов показателей вуза и линейного, обобщенного экспоненциального тренда (вид тренда приводился п. 3.1.2 диссертации), а также суммы линейного тренда и обобщенной экспоненты.
Исследования показали, что показатели экономической деятельности вуза включают, помимо трендов, и сезонную компоненту, которая моделировалась суммой двух гармоник с постоянной и переменной амплитудами: Sk = Ах sin(щкА + у/х) + А2 sin(со2кА + у/2), Sk= А2 sin (со2кА + у/2) + Аъё аъкК sin (соък А + у/3).
Моделирование проводилось на достаточно длительном временном интервале, который включал в себя и переход вуза в Автономное образовательное учреждение ВПО (2010г.). Данный переход потребовал уточнения модели, в частности смены структуры аддитивной колебательной компоненты на пропорционально-мультипликативную [18], которая оказалось более точной, в сравнении с результатами, полученными в [19]: Yk=Tk(l + Sk) + k=Tk+TkSk+ek, где єк — стохастическая компонента. Для МНК-идентификации использовался двухэтапный метод на основе обобщенных параметрических ARMA-моделей (для трендов на основе логистической функции Рамсея), метода Левенберга-Марквардта (для тренда на основе логистической функции Ферхюльста), дополненных методом итеративной параметрической сезонной декомпозиции [24, 60, 62].
Применение такого комплекса моделей позволило провести моделирование и прогнозирование рядов динамики экономических показателей вуза и осуществить мониторинг эволюции моделей. При этом изменяющаяся во времени скорость роста тенденции показателей, описываемая логистическими трендами, будет отражать медленную эволюцию тренда. Быстрая эволюция тренда определяется сменой функции тренда. Эволюция сезонной компоненты выражается в изменении параметров гармоник либо заключена в изменении их амплитуды по некоторому закону (в данном случае по экспоненциальному).
Рассмотрим применение логистических кривых для описания медленной эволюции динамики микроэкономических показателей на примере моделирования затрат АМОУ ВПО «САГМУ». При моделировании суммарных затрат для обоих методов учета - кассового и начисления - в прогнозную часть выборки были вынесены четыре наблюдения за 2011г. и одно наблюдение за 2012г. Суммарные начисленные затраты (рис. 3.1) описаны логистическим трендом Рамсея, сезонность описана суммой двух гармоник с постоянными амплитудами. Значения параметров модели и показатели точности моделирования и прогнозирования представлены в табл. 3.1.
