Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методы анализа и прогнозирования показателей рынка фьючерсных контрактов 12
1. Характеристика исследуемых показателей и методы определения тренда 13
2. Методы определения периодических составляющих 35
3. Методы анализа и прогнозирования, наиболее часто используемые в эконометрических исследованиях 59
Глава 2. Спектральный анализ нормально сглаженного временного ряда 65
1. Нормальное сглаживание 66
2. Спектральный анализ нормально сглаженных рядов и критерий значимости 73
3. Программная реализация метода спектрального анализа сглаженного ряда 101
Глава 3. Применение метода спектрального анализа сглаженного ряда 109
1. Прогнозирование показателей рынка фьючерсных контрактов с использованием распространенных методов
2. Обработка статистического материала и сравнение точности прогноза 119
3. Проверка эффективности инвестиционной стратегии 128
4. Основные результаты апробации 135
Заключение 141
Список литературы
- Методы определения периодических составляющих
- Методы анализа и прогнозирования, наиболее часто используемые в эконометрических исследованиях
- Спектральный анализ нормально сглаженных рядов и критерий значимости
- Обработка статистического материала и сравнение точности прогноза
Введение к работе
Актуальность темы исследования
В диссертационной работе рассматриваются экономико-математические методы анализа и прогнозирования показателей рынка фьючерсных контрактов
Практическая актуальность данного исследования подтверждается широким распространением операций с фьючерсными контрактами в мировой экономике в условиях постоянного роста количества и объема сделок
Действительно, в современной финансово-экономической системе рынок фьючерсных контрактов играет важную роль В то время как в России он еще развивается, на западных торговых площадках активность операций с фьючерсными контрактами сопоставима с активностью операций с базисными активами, лежащими в основе этих контрактов Анализ закономерностей, присущих западным фьючерсным рынкам, и разработка методов прогнозирования на основании данных с этих торговых площадок позволит лучше понять перспективы развития российского рынка срочных контрактов
Фьючерсы широко используются субъектами экономики для целей хеджирования рисков, приобретения и продажи товаров, проведения спекулятивных торговых операций При совершении сделок инвесторы анализируют имеющуюся- макро- и микроэкономическую информацию, чтобы построить наилучший прогноз динамики рассматриваемых показателей От точности их прогноза зависит, насколько последствия принятых инвестиционных решений будут способствовать достижению целей экономических субъектов Таким образом, они заинтересованы в использовании наиболее точного и устойчивого метода анализа и прогнозирования фьючерсных показателей
Заметим, что подавляющее большинство инвесторов при осуществлении операций с фьючерсными контрактами в числе прочих инструментов исследования используют так называемый технический анализ, представляющий собой тот или иной экономико-матемагический метода анализа и прогнозирования динамики некоторых ключевых микро- и макроэкономических показателей К таковым, в частности, относят цену отдельных фьючерсных контрактов, объем и доходность операций с ними Многообразие инструментов технического анализа часто не позволяет исследователям выбрать наиболее точный метод, который позволил бы максимально учесть особенности анализируемых данных В этой связи актуальной является задача разработки такого метода и его сравнение с наиболее популярным из существующих методов анализа и прогнозирования динамики рынка фьючерсных контрактов
Следует также отметить теоретическую актуальность поставленной задачи анализа и прогнозирования показателей рынка фьючерсных контрактов
В последние годы исследователи обращают все больше внимания на возможности корректного экономико-математического анализа показателей рынка фьючерсных контрактов существующими методами Предметом обсуждения исследователей становятся теоретические основы методов, возможности смягчения жестких предпосылок их использования В частности, критике подвергается возможность проверки этих предпосылок
В этой связи исследователи предлагают новые методы экономико-математического анализа и модификации уже заслуживших доверие алгоритмов В качестве обоснования их большей эффективности наряду с практическими результатами исследователи воспроизводят и теоретические доказательства Тем не менее, как показывает детальное изучение, оценка точности новых методик в сравнении с традиционными алгоритмами во многом зависит от особенностей выбранной меры оценки результатов анализа В отсутствии универсального критерия большое количество методов анализа и прогнозирования фьючерсных показателей существуют одновременно, сочетая в себе различные преимущества и недостатки
Как следствие, проблема анализа и прогнозирования показателей рынка фьючерсных контрактов активно обсуждается в специализированных журналах (см, например, «Валютный спекулянт», «The Journal of Financial and Quantitative Analysis», «The Journal of Business»), а также в отдельных работах современных исследователей При этом следует отметить, что предлагаемые методы не всегда учитывают специфику анализируемых данных и могут основываться на предположениях, которые трудно проверяемы на практике По этим причинам исследователь должен проявлять осторожность при выборе конкретного инструмента анализа и прогнозирования
Продолжающееся активное изучение и обсуждение проблемы анализа и прогнозирования показателей рьшка фьючерсных контрактов в научной литературе, а также обоснованная критика существующих методов подтверждают теоретическую актуальность темы диссертации
Цель и задачи исследования
К особенностям динамики многих показателей рьшка фьючерсных контрактов, которым, на наш взгляд, уделялось недостаточное внимание, необходимо отнести их выраженный периодический характер
Действительно, на современных торговых площадках широко распространены товарные фьючерсы, в основе которых лежит поставка того или иного вида сырья или
продукции Динамика цен на такие фьючерсы изменяется в результате взаимодействия спроса и предложения, имеющих ярко выраженный сезонный характер Например, с наступлением зимы растет спрос на мазут, который влечет за собой изменение цен как на само топливо, так и на соответствующие фьючерсные контракты Приблизительно в это же время наблюдается спад в потреблении бензина, что значительно снижаеі ею цену, в результате чего снижается и стоимость фьючерсных контрактов на бензин Оба эти изменения имеют четкий сезонный характер, приводящий к возникновению периодических колебаний
Отметим, что оба упомянутых товара являются продуктом переработки нефти Следовательно, факторы, влияющие на сгоимость нефти, оказывают, как правило, однонаправленное влияние и на упомянутые продукты Соответственно, в ситуации, когда инвестор приобретает фьючерсный контракт, например, на мазут, и продает фьючерс, например, на бензин, он значительно снижает рыночный риск, связанный с воздействием различных факторов на стоимость нефти и нефтепродуктов В то же время, действие сезонных факторов сохраняется Описанная позиция носит название фьючерсного спрэда В силу указанных причин динамика стоимости спрэда содержит в себе ярко выраженные периодические составляющие Это утверждение справедливо также в отношении фьючерсных спрэдов и на другие пары товаров
Отдельный интерес представляет собой позиция инвестора, при которой приобретаются и продаются фьючерсные контракты на один и тої же товар, но имеющие разные даты истечения Причиной наличия периодических колебаний в динамике стоимости таких спрэдов може г служить различная реакция отдельных контрактов на шоки рынка базисного актива В частности, контракты с большим сроком могут реагировать в меньшей степени, так как рынок ожидает, что со временем воздействие шока на спрос и/или предложение будет нивелировано В то же время характер шоков может иметь сезонные особенности в том смысле, что в одни периоды наиболее вероятными являются шоки спроса, а в другие - шоки предложения В результате в динамике стоимости подобных фьючерсных спрэдов также возникают периодические колебания, отражающие эти сезонные изменения
Важным фактором, обуславливающим наличие периодических колебаний, является также инерционность финансово-экономической системы в целом и фьючерсного рынка в частности Одним из последствий несовершенства рыночных механизмов является продолжительность периода времени, который необходим для адаптации к изменившимся условиям и перехода к новому состоянию равновесия Такая инертность системы может моделироваться с помощью дифференциальных уравнений процесса с запаздывающим
аргументом Интересным свойством этих систем является наличие среди их решений периодических составляющих
Наконец, наличие существенных периодических колебаний в динамике макро- и микроэкономических показателей отмечается учеными (см, например, работы Гренджера К, Хатанаки М, Кондратьева Н Д, Серебренникова М Г, Первозванского А А, Эллиота К, Кении П, Дарбина Дж) В то же время в силу специфики экономических данных (в частности, их дискретного характера и относительно небольшой продолжительности) применение традиционного математического инструментария выявления периодичностей сталкивается со значительными трудностями в экономических приложениях
Следует отметить, что в то время как существование тренда, то есть продолжительных монотонных периодов роста или снижения показателя, в динамике фьючерсных временных рядов является общепризнанным и хорошо изученным явлением, внимание к периодическим компонентам этой динамики является незначительным В результате вопрос влияния периодических колебаний на динамику фьючерсных показателей изучен мало В этой связи интересным представляется разложение динамики изучаемых показателей на три составляющие тренд, периодические колебания и «шум», понимаемый как несущественные для исследователей изменения, не объясняемые трендом и периодическими колебаниями
Так как задача определения тренда и его прогнозирования при изучении динамики производных финансовых инструментов уже достаточно эффективно решена в работах других исследователей, в данной работе основное внимание уделяется методам определения и прогнозирования периодических составляющих динамики показателей рьшка фьючерсных контрактов
Таким образом, целью данной диссертационной работы является разработка и апробация экономико-математического метода анализа и прогнозирования динамики показателей рьшка фьючерсных контрактов с учетом ее трендовых, периодических и шумовых составляющих, а также разработка программной реализации этого метода с целью обеспечения возможности включения его в инструментарий любого исследователя
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи
изучить основные существующие методы анализа и прогнозирования показателей рьшка фьючерсных контрактов, определять присущие им достоинства и недостатки, включая требования к анализируемым данным,
разработать модификацию метода выделения периодичностей, которая позволиг осуществить эффективное разложение динамики показателей рьшка фьючерсных
контрактов на тренд, периодические колебания и «шум» с целью прогнозирования их будущих значений на средне- и долгосрочную перспективу,
разработать критерий значимости, который позволит критически оценивать результаты анализа динамики фьючерсных показателей,
осуществить программную реализацию разработанной методики, которая позволит перевести разработанный метод в категорию инструментальных методов, доступных широкому кругу исследователей,
провести апробацию разработанной методики с использованием различных показателей модельных данных с заранее заданными свойствами, разносторонне изученных другими исследователями данных финансового и нефинансового характера, исторических данных рынка срочных контрактов
Объект и предмет исследования
Сформулированные выше задачи предопределили объект и предмет проведенного исследования В роли объекта исследования выступает рынок фьючерсных контрактов Предметом исследования является периодическая структура динамики показателей объекта исследования
Теоретическая и методологическая основа исследования
Для решения поставленных задач были использованы метод системного анализа экономических явлений, методы эконометрики, метод спектрального анализа сглаженного ряда, метод имитационно моделирования, а также возможности программных продуктов Microsoft Office (в частности, Microsoft Excel и Visual Basic for Applications) и инструментарий технического анализа биржевых котировок Публикации
Основные результаты и выводы диссертационного исследования представлены в семи научных публикациях [1-9], из которых одна [2] — в издании, рекомендованном ВАК
Апробация работы
Основные результаты и выводы диссертационной работы докладывались автором
на международной конференции «Экономическая наука проблемы теории и методологии», Санкт-Петербург, 2002,
на международных конференциях «Предпринимательство и реформы в России», Санкт-Петербург, 2002-2004,
на международной конференции «Устойчивость и процессы управления», Санкт-Петербург, 2005,
на заседании кафедры Экономической кибернетики Экономического факультета СПбГУ, 2007
Методы определения периодических составляющих
Сформулируем задачу выявления скрытых периодичностей, которую решает исследователь. На конечном интервале 7 задана функция x(t), представляющая собой результат наблюдения некоторого экономического показателя. Эта функция, как правило, задана в виде совокупности значений в дискретные моменты времени. Будем предполагать, что x(t) является либо свободным от линейного тренда (ряд л;в/- г(0) либо не содержащим трендовьк компонент (ряд xmr{t)).
На основании общих соображений о существе изучаемого показателя может быть высказана гипотеза о том, что функция x(t) содержит слагаемое xper{t), представляющее собой сумму периодических функций времени, то есть: x{t) = xper(t) + xres(t), (39) где xper(t), как предполагается, представляет собой сумму периодических компонент Sj(t) с разными периодами. Эти функции полностью определяются значениями их периодов Т. (или частот со. = —) и значениями коэффициентов ряда Фурье j Sj (t) = (aJr cos raijt+bjr sin rcOjt). (40)
Предложенное выше обозначение корректно, если исходным рядом является xntr(t); если же рассматривается ряд х" -"" ), то под xper(t) подразумевается xperJr(t), а под xres(t) понимается xresJr(t).
Таким образом, задача выявления скрытой периодичности s{t) будет полностью решена, если вычислены параметры Т} и aJr, bJr. Часто, однако, решение для Sj(t) ограничивают вычислением только параметров первой гармоники. Сразу же заметим, что запись (39) предполагает отсутствия в xres(t) значимых периодических компонент (смысл понятия «значимости» будет пояснен позже). То есть, вообще говоря, (0 = І ,(0+ геЧ0, (41) где xres(t) - функция, не содержащая значимых периодических компонент.
Такое представление x(t), если xres(t) оказывается равным нулю или в определенном смысле малым, есть представление ряда в виде не периодической, а, вообще говоря, почти периодической функции времени. Процесс вскрытия периодичности, таким образом, состоит в поочередном выявлении по одной периодической компоненте (или по несколько периодических компонент) из x{t) (и включения их в x it)) до тех пор, пока xres(t) не станет функцией, не содержащей значимых периодических компонент.
Для решения проблемы выявления скрытых периодичностей используют различного вида преобразования исходного ряда x(t), позволяющие усилить в преобразованном ряде
;с(1)(/) роль периодической компоненты, или, как говорят, осуществить селекцию периодической компоненты. Существует большое число таких селектирующих или фокусирующих преобразований. Все они могут быть разделены на два класса - линейные и нелинейные преобразования.
Линейные преобразования могут быть записаны в виде оо xm{t)=\g(r)x{t)dT. (42) -00
Из нелинейных преобразований особое значение имеет так называемой корреляционное преобразование, то есть преобразование вида xm(t) = — jx(T)x(t)dT. (43) -а
Заметим также, что сама проблема вскрытия периодичностей считается решенной, только если найдены параметры периодической компоненты. Поэтому решение задачи выделения периодической функции s(t) из исходного ряда x(t) еще не решает полностью задачи. Впрочем, если, как это часто имеет место, такое выделение (селекция) осуществлено достаточно полно, то есть в преобразованном ряде искомая периодическая компонента выражена очень четко, так что можно считать xli)(t)« s(t), то задача определения параметров сводится к обычному гармоническому анализу периодической функции.
С другой стороны, сама задача определения параметров с самого начала может ставиться как задача нахождения таких преобразований, которым надо подвергнуть исходный ряд x(t) для определения параметров его периодической компоненты. Эта идея получила систематическое развитие в работах Шустера по так анализу периодограмм (см., например, [74] и [75]). Непосредственно определить параметры периодик позволяют методы спектрального анализа, которые будут рассмотрены ниже.
Далее при изложении методов в этом пункте мы будем исходить из следующих предположений.
Временной ряд x(t), представляющий собой результат наблюдения некоторого показателя, задан на конечном интервале [-/,,]. Для непрерывного случая это соответствует тому, что Т = [- L, L], а при дискретном задании - тому, что Т = {- L = tx, t2,..., tn = Ь).
Мы ограничимся рассмотрением случая, когда исследуемый ряд x(t) составлен из конечного числа гармоник, имеющих различные, вообще говоря, амплитуды и различные частоты: x(t)=л+І] о sin(iv+aj)=л+1] к-cos v+SJ sin aA- (44) Такая функция именуется полигармонической, а ряд - полигармоническим. 2л-Частоты со. (или периоды Г, =—), величина X, амплитуды г., фазы а. (или ам J J CO. J плитуды А., В,) заранее неизвестны. Неизвестно и их число. Конечной целью анализа является определение этих параметров. Однако описываемые в этом пункте методы решают задачу определения параметров косвенным путем. Селекция отдельных гармоник из ряда x{t) осуществляется в результате различных преобразований его в процессы, в которых влияние какой-либо гармоники окажется преобладающим.
Перед тем как перейти к описанию конкретных методов выявления скрытых перио-дичностей с помощью линейных селективных преобразований, каждое из которых может быть представлено в форме (42), укажем некоторые их общие свойства.
Очевидно, все линейные преобразования отличаются лишь видом функции g(r), которая и определяет все свойства данного преобразования.
Методы анализа и прогнозирования, наиболее часто используемые в эконометрических исследованиях
Широкое распространение среди исследователей получили эконометрические методы анализа. Многие экономические процессы изучаются ими с помощью эконометрических моделей, включающих в себя модели ARMA (смешанный процесс авторегрессии и скользящего среднего), GARCH (регрессионные модели с условной гетероскедастичностью ошибок), ЕСМ (модели корректировки отклонений) и VAR (модели векторной авторегрессии). Приведем краткое описание этих моделей (более подробное описание можно найти, например, в [1], [8] и [77]).
Модель смешанного процесса авторегрессии и скользящего среднего порядка (р, q) описывается следующим уравнением: / = «i w + - + арх,-р +Ut- ЧІ-\ - - Ъы, (125) где хі - значения временного ряда, / є 1: п, п - количество значений ряда, . - независимые, одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием, равным О, ак, где к є 1: р, и Ь,, где / є 1: q, - коэффициенты модели.
Как правило, исследование моделей ARMA состоит из нескольких этапов. На первом этапе происходит исследование данных на стационарность. Для этого используются визуальный анализ, анализ графика регрессии и её остатков, анализ графика автокорреляционной и частичной автокорреляционной функций, тесты Дики-Фуллера на единичные корни. При необходимости, исходные данные модифицируются, чтобы удовлетворять требованиям стационарного процесса.
На следующем этапе происходит оценивание модели. В современные компьютерные пакеты включены различные методы оценивания моделей ARMA(p,q): линейный или нелинейный МНК, метод максимального правдоподобия. Поученные оценки позволяют судить об адекватности модели. В частности, оценки коэффициентов модели должны быть значимы, а остатки регрессии et должны быть неотличимы от реализации процесса белого шума (то
есть процесса с постоянными математическим ожиданием и дисперсией и ковариационной функцией, не зависящий от конкретного момента времени). Для оценки значимости коэффициентов используют тесты Бокса-Пирса, Льюинга-Бокса. В случае, если ошибки регрессии не удовлетворяют необходимым требованиям, модель модифицируется и переоценивается.
Если несколько моделей оказались адекватными, то выбор между моделями различного порядка осуществляется по двум критериям: Akaike и Schwarz. Оба критерия включают в себя 2 слагаемых. Первое слагаемое прямо зависит от показателей порядка модели р и q, а второе включает в себя сумму квадратов остатков. Принцип выбора модели - минимизация суммы квадратов остатков и порядка модели. Поэтому у наилучшей модели значения критериев Akaike и Schwarz наименьшее.
В ситуации, когда для регрессионной модели вида х, = А + Р22п +... + fikza + ut, (126) где и, - независимые одинаково распределенные центрированные случайные величины, предполагается, что дисперсия ошибок в момент времени tl равна условной дисперсии а) = V(u, и,ч,м,._2,...,«,._,) = E2(uf м,.,,!/,. ,...,!/,. ), (127) а условное математическое ожидание E{ut \ щ_х,щ_2,...,и1 ) равно нулю, то говорят о модели с условной гетероскедастичностью [46]. Такие модели удобны для описания экономических процессов, в которых амплитуда колебаний показателя относительно своего среднего имеет тенденцию к образованию временных кластеров - чередующихся периодов значительных и незначительных отклонений.
Для моделирования ошибок и; могут применяться различные способы. В частности, их можно описывать как авторегриссионный процесс, или как процесс ARMA( р, q).B последнем случае модель называется обобщенной авторегрессионной моделью с условной гетероскедастичностью GARCH (p,q).
Можно показать, что несмотря на то, что условная дисперсия ошибок в таких моделях зависит от времени, безусловная дисперсия от времени не зависит. Поэтому для оценивания модели можно использовать стандартные эконометрические процедуры.
Часто при исследовании экономических процессов в распоряжении исследователя оказываются несколько процессов, которые, с одной стороны, являются нестационарными, а с другой стороны, являются связанными друг с другом по экономическим причинам. Если при этом оказывается, что указанные процессы являются первого порядка интегрируемости (то есть их первые разницы стационарны), а некая линейная комбинация этих процессов является стационарной, то можно ожидать устойчивого долгосрочного соотношения между исследуемыми величинами. Другими словами, если, например, в период /._, потребление превышало доход, то в периоде t.x потребление снизится, и наоборот. То есть имеется тенденция к возвращению (в долгосрочном периоде) к некому устойчивому развитию.
Спектральный анализ нормально сглаженных рядов и критерий значимости
К общим особенностям, присущим всем методам спектрального анализа, относятся следующие. Во-первых, эти методы учитывают всю историю ряда и позволяют в результате однократного применения осуществить выделение нескольких периодических компонент с указанием на возможную величину их периодов. Такие методы, как показывают эксперименты, весьма устойчивы к наличию случайной компоненты в значении временного ряда и сохраняют свои селективные свойства даже при высокой дисперсии этой случайной компоненты.
Кроме того, многие колебания в значениях экономических показателей носят не строго периодический, а скорее, почти периодический характер. То есть период какой-либо компоненты может с течением времени изменяться в некоторых относительно небольших пределах. Одним из преимуществ спектральных методов является то, что они дают для изучения такой смеси регулярности и нерегулярности естественный с математической точки зрения подход. Более того, часто результат взаимодействия множества компонент с различными фазами и амплитудами, но с близкими периодами достаточно аппроксимировать одной периодической компонентой со средней продолжительностью флуктуации. Предлагаемые спектральные методы как раз позволяют выполнить эту аппроксимацию.
Отметим, что наилучшие результаты применение рассматриваемого метода дает в случае, когда исследуемый временной ряд стационарен, или, хотя бы, близок к стационарному. В противном случае, график спектра дает значительно более грубую оценку. Тем не менее, эта проблема оказывается не столь существенной в случае, когда целью является получение средних оценок периодов циклических составляющих. Для описания упомянутых методов введем следующие понятия. Пусть x(t) є R], где teRx, - достаточно гладкая (то есть имеющая производную второго порядка) функция. Пусть она еще и квадратично интегрируема, то есть пусть интеграл En=\x2(t)dt (133) конечен.
Заметим, что если t - время, a x2(i) - функция, выражающая мощность, то по своему физическому смыслу этот интеграл представляет собой объем выделившейся за все время энергии. Само понятие энергии заимствовано из инженерных наук, в которых метод спектрального анализа нашел широкое применение.
С точки зрения экономики понятие энергии можно трактовать как одну из многочисленных мер волатильности (volatility) - изменчивости исследуемого показателя. Причем энергия в определенном смысле аналогична одной из наиболее популярных мер волатильности - дисперсии. По своей сути энергия представляет собой нецентрированную дисперсию показателя. Действительно, дисперсия случайной величины определяется следующим образом: Dx=Ex 2-(Ex)2, (134) где второе слагаемое играет роль центрирования. В то же время одним из следствий часто используемой эргодической гипотезы в отношении анализируемых временных рядов можно предположить, что Ex2{t) \x2{t)dt, (135)
где /_ и t+ определяют интервал задания временного ряда x(t). Формулы (137) и (138) - основные формулы теории спектров. Представляя собой пару преобразований Фурье, они связывают между собой две функции: вещественную функцию времени x(t) и комплексную частоты S(o)). Формула (138) представляет собой интеграл Фурье в комплексной форме. Ее смысл состоит в том, что функция x(t) представлена суммой синусоидальных составляющих. Однако, функция x(t) предполагается непериодической (в строгом математическом смысле этого слова). Следовательно, она может быть представлена только суммою бесконечно большого числа бесконечно малых колебаний бесконечно близких по частоте. Комплексная амплитуда каждого отдельного колебания бесконечно мала; она равна
Как уже говорилось, описываемый метод основывается на соотношении (143). С его помощью можно выделить частоты со, на которые приходится основная часть энергии нашего временного ряда, то есть частоты, которым соответствуют основные периодические компоненты динамики рассматриваемого показателя. .
Перед тем как перейти к непосредственному рассмотрению предлагаемого нами метода обнаружения скрытых периодичностей напомним, что мы будем применять его для анализа рядов x" - r(t) и xntr(t), определенных в предыдущей главе. Тем не менее, для сокращения записи далее в этом параграфе мы будем использовать обозначение x(t).
Итак, в нашем распоряжении теперь есть формула для вычисления значения подынтегральной функции в правой части соотношения (143). Далее необходимо выбрать точки со., і = 1 -5- к, которые будут соответствовать частотам основных периодических компонент исследуемого ряда. Для этого можно, например, выбирать те точки, в которых функция (145) достигает своих локальных максимумов. При этом из всего множества обнаруженных точек выбираются только те, которые отвечают к наибольшим по величине локальным максимумам.
Или же можно отбирать точки со. как середины небольших отрезков на оси абсцисс, площадь графика спектра над которыми является наибольшей. Действительно, интеграл от функции Ф2 по небольшому отрезку представляет собой энергию, приходящуюся на полосу частот, принадлежащих этому отрезку. При этом именно объем энергии определяет величину вклада колебаний с данными частотами в общую динамику рассматриваемого показателя. Небольшая же величина отрезка позволяет аппроксимировать полосу частот одной частотой со средним значением. Если же построить гистограмму площадей под графиком функции Ф2, то по ней, как и в предыдущем случае, можно определить частоты основных периодических составляющих: это те точки, в которых на гистограмме достигается локальный максимум. Именно на этом способе основана схема определения периодических составляющих, которой мы будем пользоваться в нашей работе.
Обработка статистического материала и сравнение точности прогноза
В настоящей главе приводится подробное описание использования разработанного метода спектрального анализа нормально сглаженного временного ряда в целях анализа и прогнозирования показателей рынка фьючерсных контрактов.
В первом параграфе этой главы представлены основные термины и определения, используемые при работе на рынке фьючерсных контрактов. В целях апробация разработанного метода были выбраны ценовые показатели фьючерсных контрактов, а также стоимости так называемых фьючерсных спрэдов, представляющих собой одновременную покупку и/или продажу нескольких различных фьючерсных контрактов. При этом используются контракты, торгуемые на рынках США. Такой выбор продиктован, в основном, двумя факторами: наличием продолжительной истории значений прогнозируемых показателей и высокой ликвидность инструментов западного срочного рынка. Помимо определения самих анализируемых данных в первом параграфе введены основные предпосылки относительно целей анализа, которые состоят в прогнозировании их будущих значений для построения прибыльной инвестиционной стратегии управления портфелем срочных контрактов.
Во втором параграфе проиллюстрирован метод построения эконометрических моделей типа ARIMA в целях описания и прогнозирования обозначенных показателей рынка фьючерсных контрактов. Также приводятся результаты построения прогнозов исторических данных сроком на два месяца.
Сравнение полученных прогнозов по точности с прогнозами, полученными с использованием метода спектрального анализа нормально сглаженного временного ряда, представлено в третьем параграфе. Предварительно в этой части работы представлены результаты анализа ценовых и стоимостных показателей с использованием разработанного метода, определены основные периодические составляющие их динамики, а также введены различные меры точности прогноза. Как показала апробация, различные методы могут быть как хуже, так и лучше в зависимости от выбранной меры. Стоит отметить, при этом, что когда предпочтение в силу дополнительных предположений отдается таким мерам как среднее абсолютное отклонение прогноза и сумма квадратов ошибки прогноза, метод спектрального анализа нормально сглаженного временного ряда во всех рассмотренных случаях демонстрирует лучшие результаты.
В четвертом параграфе представлены результаты управления портфелем фьючерсных контрактов, каждый из которых входит в состав того или иного фьючерсного спрэда, с ис пользованием разработанного метода. Так как механизм принятия решения основан на информации о периодических компонентах динамики показателя, результаты использования предложенной торговой стратегии не охватывают эконометрические методы. Тем не менее, прибыльность этой стратегии свидетельствует об эффективном решении задачи анализа и прогнозирования показателей рынка фьючерсных контрактов с использованием метода спектрального анализа нормально сглаженного временного ряда. Следует отметить, что представленные данные отражают результаты внедрения разработанной методики в функционирующей компании, осуществляющей операции на рынках срочных контрактов
В заключительном пятом параграфе третьей главы представлены в агрегированном виде результаты апробации разработанного метода на модельных, «классических» и фьючерсных показателях. Также здесь делается попытка экономической интерпретации выявленных периодических колебаний. Хотя поиск экономических осцилляторов является одним из основных доказательств значимости выделенных циклических компонент, сам по себе он является отдельной нетривиальной задачей, которая выходит за рамки данного исследования.
Во втором параграфе первой главы были описаны основные эконометрические модели, которые получили широкое распространение среди современных исследователей при решении задачи анализа и прогнозирования показателей рынка срочных контрактов. Их популярность связана во многом с проработанностью теоретической основы методов и хорошими практическими результатами их использования.
В этом параграфе мы на примере моделей ARIMA проведем анализ и построим прогноз некоторых показателей рынка фьючерсных контрактов. В следующем параграфе мы проведем сравнение полученных результатов с результатами применения метода спектрального анализа нормально сглаженного временного ряда, которое позволит сделать выводы относительно преимуществ и недостатков соответствующих методик.
Для иллюстрации метода построения модели ARIMA мы будем использовать данные о ежедневных фьючерсных ценах на краткосрочные государственные облигации США на момент закрытия торгов. Их график за период с 10 марта 2004 года по 28 марта 2006 года представлен нарис. 37.
При построении моделей семейства ARIMA, как правило, используется следующий алгоритм: 1) проверка стационарности исходных данных и, если необходимо, приведение анализируемого временного ряда к стационарному виду; 2) подбор адекватной модели ARMA к полученному стационарному временному ряду; 3) проверка наличия ARCH-эффекта и, если необходимо, оценка модели с условной гетеро-скедастичностью в остатках.
При реализации данного алгоритма для получения результатов, изложенных в этом параграфе, нами использовался статистический пакет ЕViews Version 3.1. При этом исходный временной ряд был обозначен как Г2?(/,).
На основании визуального анализа графика на рис. 37 можно предположить, что анализируемый временной ряд является нестационарным, так как в нем присутствует трендовая составляющая.
Применение расширенного теста Дики-Фуллера с использованием 15 лагов первой разности приводит к результатам, представленным в табл. 4.
Перед тем как перейти к сравнению t-статистики коэффициента регрессии перед переменной 7В(-1), являющейся лагом исследуемого временного ряда, с критическим уровнем, необходимо убедиться, что ошибки в построенной регрессии не коррелируют. Для этого оценим регрессию остатков регрессии в табл. 4 на лаги этих же остатков. Результаты приведены в табл. 5.
