Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I Система моделей анализа и прогнозирования временных рядов 12
1. Эмпирические модели описания временных рядов. 12
1.1.1. Определение временного ряда 12
1.1.2. Примеры временных рядов 15
1.1.3. Аппроксимация временного ряда 22
1.1.4. Составляющие временного ряда 24
1.1.5. Анализ периодической составляющей 29
2. Теоретико-вероятностные модели временных рядов. 33
1.2.1. Аддитивная стохастическая модель 36
1.2.2. Мультипликативная стохастическая модель 38
1.2.3. Мониторинг временного ряда на основе аддитивной и мультипликативной стохастических моделей 40
3. Эконометрические модели временных рядов 43
1.3.1. Эконометрическое исследование временных рядов 43
1.3.Z Модели стационарных временных рядов типа ARIMA 47
1.3.3. Модели временных рядов типа ARCH 54
4. Анализ и предсказание экстремальных значений временного ряда 61
1.4.1. Функция интенсивности 62
1.4.2. Период повторяемости 64
1.4.3. Распределение превышений 66
1.4.4. Вероятность превышений 69
ГЛАВА II. Методы опенки качества прогнозов 73
1. Случайные ошибки прогнозирования. 75
2. Критерии оценки и сравнения методов прогнозирования 76
3. Эмпирическое оценивание качества построенных прогнозов временных рядов .81
4. Агрегирование прогнозов 83
2 АЛ. Выбор весовых коэффициентов на остове теории обработки неравноточных измерений 85
2.4.2. Выбор весовых коэффициентов на остове теории выбора оптимального портфеля 87
2.4.3. Выбор весовых коэффициентов на остове построения сводного показателя .88
5. Методы построения сводных показателей 88
2.5.1. Многокритериальное оценивание сложных объектов 88
2.5.2. Шкалы измерения финансово-экономических характеристик 89
2.5.3. Методы нормировки исходных характеристик 90
2.5.4. Построение сводного показателя для выбранных методов прогнозирования..96
2.5.5. Метод рандомизированных сводных показателей 101
2.5.6. Построение дискретной модели задания неопределенности весовых коэффициентов 105
2.5.7. Учет информации о весовых коэффициентах в реальных ситуациях 107
ГЛАВА 3. Использование методики агрегирования прогнозов для анализа российского рынка ценных бумаг 111
1. Анализ моделей комбинирования прогнозов. 111
2. Анализ результатов агрегирования прогнозов для временных рядов, полученных методом статистических испытаний 115
3. Применение моделей комбинирования прогнозов для анализа временных рядов значений показателей российского рынка ценных бумаг... 128
Заключение 143
Список литературы
- Примеры временных рядов
- Мониторинг временного ряда на основе аддитивной и мультипликативной стохастических моделей
- Критерии оценки и сравнения методов прогнозирования
- Анализ результатов агрегирования прогнозов для временных рядов, полученных методом статистических испытаний
Введение к работе
Основной вопрос, который задают себе участники фондового рынка, занимающиеся инвестиционной деятельностью: как определить направление и время, необходимые для совершения фондовой операции, чтобы осуществить ее с максимальной эффективностью (прибыльностью). Ответ на этот вопрос зависит от многих факторов, как макро, так и микроэкономического характера, наблюдающихся в текущий момент времени, а также от развития ситуации на фондовом рынке в будущем. Следует отмстить, что результаты инвестиций в большей степени определяются именно будущим состоянием фондового рынка. Вот почему во всех странах финансовые аналитики уже не одно десятилетие пытаются разработать новые методы прогнозирования, позволяющие им более точно и надежно оценивать будущее развитие фондового рынка, а, следовательно, совершать более эффективные инвестиции.
Существует множество способов прогнозирования (около двухсот методов прогнозирования [153]) и еще больше мнений о возможности прогнозирования. Прогнозирование - важнейший компонент аналитической работы, позволяющий предсказать вероятное развитие событий, а также оценить, какие меры воздействия приведут к тем или иным результатам. Именно поэтому прогнозной деятельности отводится ведущая роль в экономическом анализе. Вопросы оценки качества прогнозов широко обсуждаются в специальных и общенаучных газетах и журналах: «Зеркало недели» (газета), «Менеджмент и Менеджер» (журнал), Forex magazine, «Бизнес-консультант», «Эксперт», "Аудит и финансовый анализ", "Экономический анализ: теория и практика", «Вопросы экономики», «Деньги и Кредит», «Экономист»,
«Российский экономический журнал», «Рынок ценных бумаг», «Деньги» (издательский дом Коммерсантъ), CONSULTING.RU , «Налоговый Вестник», «Business Online» , «ЭКО», «ЯТЬ», «ВЕДИ», «Профиль», «Проблемы теории и практики управления», «Факт», «Альтернативы», «Экономическая наука современной России», «Экономика и математические методы».
Так или иначе, прогнозирование, как таковое, интересует многих. Абсолютно точно прогнозировать нельзя. Любой из методов прогнозирования может дать ошибочный результат. Но не надо думать, что прогнозирование в принципе невозможно. Это не совсем так. Делать утверждения относительно будущего можно, но любое утверждение, будет верно с определенной вероятностью.
Значение фондового рынка огромно:
Максимизация стоимости акций служит критерием успеха финансовых менеджеров корпораций, на фондовом рынке встречаются продавцы и покупатели капитала.
Фирмы с помощью ценных бумаг привлекают инвестиции для целей своего развития, что позволяет совершенствовать технологии и создавать новые рабочие места.
Эффективно действующий фондовый рынок является необходимым условием устойчивого развития страны и повышения благосостояния граждан.
Рынок ценных бумаг отражает степень стабильности экономической и политической ситуации в стране, доверие участников рынка друг к другу и к органам власти, осуществляющим регулирование рынка ценных бумаг.
Дело в том, что существует масса внешних факторов, которые независимы от фондового рынка и в то же время, могут оказывать на него серьезное влияние. Следует
признать, что таких факторов существует достаточно много, а оценить их, даже теоретически не представляется никакой возможности. Отсюда, напрашивается вывод о слабой применимости математического аппарата к прогнозированию фондового рынка.
Если оценить в целом историю развития методов инвестиционного прогнозирования, то можно придти к выводу, что в настоящее время в этой сфере конкурируют представители двух направлений: фундаментального и технического анализа. Следует отметить тот факт, что в подавляющем большинстве случаев сосуществование этих методов анализа связано с полным неприятием их приверженцами методов и технологий друг друга.
В основе инвестиционных прогнозов с помощью фундаментального анализа фондового рынка лежит исследование определяющих условий и факторов, приводящих рынок к наблюдаемому состоянию. При этом анализируются все доступные экономические, политические, социологические явления, начиная с макроэкономики отдельных стран и всего мирового сообщества, заканчивая микроэкономикой отдельного предприятия. Сторонники фундаментального анализа считают, что фондовые цены подвержены влиянию всех фундаментальных факторов и успешный прогноз поведения фондового рынка в будущем возможен только на основе изучения причин, вызывающих изменения динамики рыночных цен в результате их влияния на фондовый рынок.
Поскольку наиболее перспективной частью отечественного фондового рынка являются операции с корпоративными акциями, основное внимание было нами уделено именно этому сегменту
Задачи прогнозирования развития рынка ценных бумаг следующие:
определить будущее рынка ценных бумаг на основе научного анализа;
выявить главные направления развития рынка ценных бумаг с позиции
научного предвидения;
учесть различные факторы и обосновать конкретные способы их
регулирования.
Основные виды прогнозов развития рынка ценных бумаг классифицируются по следующим критериям:
по масштабу прогнозирования - мировой, национальный и региональный;
по характеру прогнозируемых процессов - развития фондовых операций, поведения отдельных участников рынка ценных бумаг и операций с отдельными видами ценных бумаг;
по функциональному признаку - поисковый (основан на условном продолжении в будущее тенденций развития в прошлом и настоящем) и нормативный (разрабатьшается на базе заранее определённых целей, т.е. от заданного состояния в будущем к существующим тенденциям его изменения в свете определённой цели);
по способам представления результатов — точечный (предполагает единственное сочетание показателей) и интервальный (предполагает набор показателей в заданных интервалах);
по степени пространственной и временной согласованности результатов прогнозов одномерный (по отдельным объектам без последующего согласования результатов), многомерный (по отдельным объектам с последующим согласованием результатов), перекрёстный (с установлением причинно-следственных связей и зависимостей и имитацией возможного взаимодействия) и сквозной (с имитацией поведения совокупности объектов);
по срокам - краткосрочный, или текущий (на срок менее 1 года), среднесрочный (на срок 1-3 года) и долгосрочный (на срок более 3 лет).
Технический анализ работает в условиях нормального функционирования экономической и политической системы. На нестабильном рынке (к которым относится и российский фондовый рынок) он действует, пока не появятся сильные политические и макроэкономические сигналы, которые сводят на нет все результаты как фундаментального, так и технического анализа. На неэффективные рынки большое влияние оказывает событийная информация об изменении макроэкономической и политической ситуации.
Российский фондовый рынок до сих пор имеет спекулятивную направленность, является нестабильным. Российскому рынку присущи следующие особенности: недооцененность, узкая отраслевая структура (фондовый индекс не отражает структуру ВВП), неликвидиость значительной доли ценных бумаг, доминирующее влияние игровых спекулятивных операций (до сих пор более 90% сделок осуществляется с целью перепродажи), резкое изменение тенденций фондового рынка, отсутствие зависимости стоимости акций от финансовых результатов эмитента, отраслевая и эмитентная информационная непрозрачность, доминирующее значение политических и макроэкономических рисков.
Большая изменчивость (волатильность) различных показателей (цен акций, доходностей портфелей, биржевых индексов и т.д.) как российского, так и зарубежных рынков ценных бумаг вызывает определенные трудности в деле надежного прогнозирования значений этих показателей. Для преодоления этих трудностей в последнее десятилетие создано несколько сотен методик прогнозирования, ориентированных на различные теоретико-вероятностные и эвристические модели динамики исследуемых показателей. С каждым годом методов прогнозирования показателей рынков ценных бумаг становится все" больше, и исследователю просто
трудно ориентироваться в предлагаемом многообразии инструментов предсказания. В этой связи возникает актуальная научная проблема выбора мегода прогнозирования, наиболее адекватного конкретным задачам исследования финансового рынка, которые перед собой ставит определенный исследователь. Помимо научной значимости проблемы рационального выбора метода прогнозирования необходимо отметить и практическую актуальность создания системы сравнительного оценивания экономико-математических прогностических инструментов, позволяющей сделать результаты прогнозирования более точными и обоснованными.
Решение указанной актуальной задачи сравнительной оценки экономико-математических методов прогнозирования показателей рынков ценных бумаг и есть основная цель настоящей диссертационной работы. В развернутом виде эту основную цель можно сформулировать следующим образом: разработать на основе теории стохастического доминирования случайных ошибок систему экономико-математических моделей сравнительной оценки качества различных методов прогнозирования временных рядов показателей рынка ценных бумаг; построить на основе разработанной системы оценок комплекс методов агрегирования прогнозов для улучшения качества прогнозирования; апробировать разработанные модели и методы на тестовых и реальных временных рядах показателей российского рынка ценных бумаг.
Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:
на основе анализа существующих подходов к прогнозированию временных рядов выделить методы прогнозирования, наиболее часто используемые при анализе показателей рынков ценных бумаг;
разработать общую модель прогнозирования временного ряда по конечному отрезку наблюдений с учетом возможных ошибок прогнозирования; рассмотреть теоретико-вероятностную модель ошибок прогнозирования;
разработать комплекс методов сравнительной оценки качества прогнозов временного ряда на основе различных видов стохастического доминирования случайных ошибок этих прогнозов;
разработать комплекс методов эмпирической оценки параметров стохастического доминирования случайных ошибок прогнозов временного ряда;
апробировать разработанную систему моделей сравнительной оценки качества прогнозов на совокупности тестовых временных рядов значений, полученных методом статистических испытаний;
апробировать разработанную систему моделей сравнительной оценки качества прогнозов на совокупности реальных временных рядов значений показателей российского рынка ценных бумаг;
разработать систему методов аддитивной агрегации прогнозов с целью повышения качества составного прогноза по сравнению с качеством отдельных агрегируемых прогнозов.
апробировать разработанную систему методов агрегирования прогнозов на совокупности тестовых временных рядов значений, полученных методом статистических испытаний;
апробировать разработанную систему методов агрегирования прогнозов на совокупности реальных временных рядов значений показателей российского рьшка ценных бумаг.
Цель и логика исследования предопределили структуру диссертационной работы, которая состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений.
В первой главе «Система моделей анализа и прогнозирования временных рядов» рассматриваются и анализируются наиболее популярные и широко используемые методы прогнозирования временных рядов. Представлена классификация этих методов прогнозирования.
Во второй главе «Методы оценки качества прогнозов» обсуждаются источники ошибок прогнозов, проводится сравнение качества прогнозов, построенных по различным моделям, а также рассматриваются некоторые методы их коррекции.
В третьей главе «Использование методики агрегирования прогнозов для анализа российского рынка ценных бумаг» рассматривается пример практического использования эконометрических моделей для прогнозирования временных рядов; проводится сравнение различных моделей прогнозирования и их комбинаций для прогноза временных рядов, полученных методом статистических испытаний и реальных временных рядов (на примере котировок некоторых российских ценных бумаги индекса RTS).
В Заключении приводятся основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту.
Примеры временных рядов
Движет ли нами чисто любопытство или желание предвидеть будущее, но конечной целью анализа временных рядов является достижение более глубокого понимания тех механизмов, которые обусловливают появление этих рядов и построение по возможности более простых и экономично параметризованных моделей, адекватно описывающих имеющиеся ряды наблюдений и составляющих базу для решения, в первую очередь, следующих задач: 1) вскрытие механизма генезиса наблюдений, составляющих анализируемый временной ряд; 2) построение оптимального прогноза для будущих значений временного ряда; 3) выработка стратегии управления и оптимизации анализируемых процессов.
Теория временных рядов не достигла и, по-видимому, никогда не достигнет той стации развития, когда станет возможным ясное, структурное описание предмета. До некоторой степени это обусловлено сложной природой изучаемого объекта. В некоторых областях, особенно в экономике, накопленный опыт не столь велик, чтобы мы могли полагаться на наши модели с уверенностью, с какой это делается, например, в физике. Ряд данных до 50 дет считается достаточно большим для экономических величин, но, будь он и длиннее, у нас нет гарантии, что за этот период сама система не претерпела важные структурные изменения». [53, с.644].
Основная цель анализа временных рядов состоит в прогнозирование поведения изучаемой системы на некоторый исследуемый период времени; по крайней мере, нужно уметь определять, возможно ли в принципе предсказание при принятом уровне ошибок.
Известны два основных подхода к этой задаче. Первый носит чисто статистический характер: изучается прошлое поведение ряда наблюдений, и в предположеюга, что система не меняется во времени, предпринимается попытка экстраполяции ряда на будущее без детального изучения системы.
Первый - это откровенно эмпирический подход основан на следующих предположениях:
1) наша система такова, что выбранная и оцененная нами модель хорошо отражает механизм явления;
2) этот механизм не меняется во времени, или, во всяком случае, не меняется столь быстро, чтобы сделать неверным предположение о том, что уравнение, основанное на прошлом опыте, будет отражать и поведение системы в будущем.
Если необходимо глубже понять природу явления, нужно строить модель самой системы, т.е. постараться определить в специфической форме связи, обусловливающие движение системы. Это более сложная задача, требующая, с одной стороны, большего проникновения в причинные механизмы явления, с другой - больших усилий при оценивании различных параметров.
Обычно предпринимают более простой подход и «экстраполируют будущее» на основе прошлого, не предпринимая попыток построить модель самого явления.
Это может привести к хорошим результатам при прогнозировании на короткий срок. Но такой подход не дает возможности предсказать, что произойдет, если характер системы изменится [53, с.681].
В принципе можно выбрать любую подходящую функцию от времени, лишь бы она хорошо отражала основную тенденцию временного ряда. Для этого чаще всего применяются следующие функции: 1) линейная Yt=a + b t; 2) парабола второго и более высоких порядков Yt = а+Ьх t + Ъг -11 +...+ bt / . 3) гипербола Yt = а + ЪIt; 4) экспоненциальная Yt ea bt\ 5) степенная функция Yt=ab ; 6) логарифмическая Yt =aLogbf
Параметры обычно определяются методом наименьших квадратов (МНК), где в качестве независимой переменной выступает время t = I, 2, .„, п, а в качестве зависимой переменной - фактические значения временного ряд Yt.
Мониторинг временного ряда на основе аддитивной и мультипликативной стохастических моделей
Проведение мониторинга позволяет делать содержательные выводы относительно динамики изучаемого временного ряда, т.е. можно в режиме реального времени отслеживать параметры нормального (логарифмически нормального) распределения коэффициентов перехода для данных моделей и определять моменты изменения этих параметров.
Для проведения мониторинга математического ожидания jut и дисперсии у\ нормальных случайных величин 8t или Lnat, / = 1,„.,Г(для аддитивной и мультипликативной модели, соответственно) можно использовать т.н. скользящее среднее к-гопорядка p (t,k) : j=t-k+i l=t k+\ (1.36) для t = А:,к +1,,..,Т.. и скользящую дисперсию к -го порядка: j-k+l j=t-k+l (1.37) для t = 1,...,Г,...
Вычисление статистически значимых изменений параметра // проводится при помощи критерия Стьюдента: 1. Определяется значение
1 с которыми будут сравниваться скользящие параметры Ji(tyk), вычисляемые на следующем шаге.
2. Задается горизонт w, в пределах которого проводится мониторинг и для моментов времени t = k,k + ly...1n находятся скользящие средние к -го порядка по формулам (1.36) и «скользящая» дробь Стьюдента: ! да)=Ж ДЬДСО) (139) а{к где &г{к Ш\Кк) + Ш кУ (140)
3. Для выбранного уровня значимости (обьино а = 0.05 ) для значений t - 2кк + 1,...,и с помощью Г-критерия Стьюдента с d.f. = 2k-2 проверяется гипотеза H0:Ji{tyk) = Jt(k,k) (об относительной неизменности параметра /л) против альтернативной Я,: Д(/, к) JI(k, к).
Аналогично проводится вычисление статистически значимых изменений параметра erf (т.е. проверка гипотезы о равенстве дисперсий на непересекающихся отрезках): 1. Определяется т2(к,к) и с ним сравниваются «скользящие» cr2(t,k) 1 ?2(М)=і;к-ж д)Г к 1-і к м 2. Задается горизонт мониторинга п и для моментов t = k,k + \t...,n находятся «скользящие» дисперсии к-го порядка по формулам (20) и «скользящее отношение дисперсий»: ?4t,k) f2( , ) nW = z4z (1-42)
Для выбранного уровня значимости (обычно аг = 0.05) для значении t = 2k,2k + ],...,n проверяется гипотеза H0:az(t,k) = or2(k,k) (о несущественной изменчивости дисперсии временного ряда) против альтернативной гипотезы Нх:агЦ,к) ог(к,к) с d.f. = k-\\ к-\ .
Проблема эконометрического исследования экономических временных рядов является весьма актуальной. В последнее время появилось достаточно большое количество работ, в которых рассматриваются различные эконометрические аспекты развития российской экономики. Однако в этих работах практически не уделяется внимания статистическим характеристикам самих временных рядов. В тоже время в западной литературе анализу свойств временных рядов уделяется повышенное внимание. Это вызвано целым рядом причиа Далеко не всегда значения временного ряда формируются только под воздействием каких-либо факторов. Нередко бывает, что развитие того или иного процесса обусловлено его внутренними закономерностями, а отклонения от детерминированного процесса вызваны ошибками измерений или случайными отклонениями. Особый интерес представляют процессы, находящиеся в «переходном» режиме, т.е. процессы, являющиеся по существу «стационарными», но на исследуемом промежутке времени проявляющие свойства нестационарного временного ряда, что объясняется далекими от стационарного начальными условиями
Критерии оценки и сравнения методов прогнозирования
Представляется возможным оценивать качество различных процедур прогнозирования с помощью введенной случайной ошибки &(t + г) и ее абсолютного значения Д(/ +г) [41-44].
Например, можно предложить следующие критерии качества метода прогнозирования, осуществленного в момент времени Г на момент времени / + г: a. -=%( =И( +A=K + - Е ( +v (2.5) ft = Шиг) = jD5(t + x), (2.6) Q Q t.x EACt+xJ EfcCt + xL (2.7) & = CUf . ; = jDA(t+T) = бГ/+т; (2.8)
Понятно, что увеличение любой из введенных величин Q , QoS, 2цд Qa& означает ухудшение качества прогноза.
Стохастическое доминирование [41-44, 101-105]. Сравнение качества различных методов. прогнозирования можно свести к задаче выявления того или иного вида стохастического доминирования между соответствующими случайными ошибками или абсолютными значениями случайных ошибок.
Рассмотрим простейшие виды стохастического доминирования случайных ошибок 5{t + г) и A(f + г), характеризующих некоторый метод прогнозирования, над случайными ошибками 5 (t + г) и A (t + г), описывающими другой из сравниваемых методов. Математическое ожидание случайной ошибки \xb=\Eb(t + x)\ и стандартное отклонение CTS = D S f(t + т) (и соответственно цд = Е A(t + х) математическое ожидание и стандартное отклонение + г) абсолютной ошибки) используются для упорядочения различных методов прогнозирования: на множестве Q={5,,/e/j всех возможных вариантов, каждый из которых описывается случайной величиной 5t (аналогично для случайной абсолютной ошибки 5.) вводится отношение f.a стохастического доминирования у. которое обозначим: S(t + T)M S (t + T)
Введенное отношение - является отношением порядка и допускает простую М- . интерпретацию: S(t + r) S (t + r) означает, что некоторый метод прогнозирования, описываемый случайной ошибкой J(f + r), является не менее предпочтительным (точным), чем второй метод, описываемой случайной ошибкой 5 {t + r). Другими словами, согласно введенному отношению - субъект финансово-экономической деятельности предпочитает при равных математических ожиданиях ошибки прогноза метод с меньшей дисперсией, а при равных дисперсиях ошибки прогноза — метод с меньшим математическим ожиданием.
Заметим, что jj,a-доминирование допускает существование «несравнимых» случайных величин, поскольку является многокритериальным (точнее, двухкритериальным): случайные величины S(t + r)t S (t + r) (A(f + r), А (і + т) соответственно) сравниваются сразу по двум критериям: Q , QabiQy , Q&n соответственно). «Доминирование по математическому ожиданию» (доминирование «в среднем») случайной величины 5{t + г) (A(f + г) ) над случайной величиной 5 (t + г) (A (f + г) ), обозначаемое (f + r) J {t + г) ( A(f + г) - А ( + г)), определяется соотношениями 6(7+т 5Гг+хЛ Гм; &ґ дД= (2.11) W.+ T)brt+x fa(t.T) Q(t,T% (2.12). где ХвЛх; = Е6Г/+т;-, Q (t,x) = EX(t + x).
Помимо «доминирования в среднем» и «//, а -доминирования» можно определить еще один вид стохастического доминирования, обозначаемый А(/ + г) - A (f + г) и определяемый соотношением
Иными словами, вероятность Р(д А )) вычисляется как значение F(0; 2) функции распределения F(z;2) случайной величины 2 = А -Д\ Важным частным случаем является тот, когда случайные величины Х,А независимы и их совместная функция распределения имеет вид произведения частных функций распределения: (д,Д ; (Д,Д ))= (Д;Д (Д ;Д ) (2.15) Тогда (2.14) можно записать как: / ( . A })=JF(A;A) JF(A ;A )/A (2.16) о о О.Р Введенное отношение стохастического доминирования по вероятности не является транзитивным - можно привести примеры, когда Р(д Д ) а, Р(д Д") а, ( \ а р но Р\А А") а .[154] Отсутствие транзитивности у отношения . создает определенные трудности при его практическом использовании.
Следует отметить, что введенные типы стохастического доминирования ( -, -, . ) учитывают разные аспекты распределения сравниваемых случайных ошибок прогноза и поэтому могут давать разные упорядочения соответствующих методов прогнозирования.
Анализ результатов агрегирования прогнозов для временных рядов, полученных методом статистических испытаний
Попробуем ответить на следующие вопросы: Могут ли комбинации прогнозов превосходить по точности прогнозы, основанные на каком-то одном методе, и если да, то в каком отношении эти комбинации должны взвешивать наилучшие на данный момент методы прогнозирования? Есть ли польза от использования «сложных» методов по сравнению с «простыми» (экстраполяциоиными) прогнозами, чтобы оправдать их использование? Как наилучшим образом комбинировать различные методы прогнозирования? Какие комбинации прогнозов можно рекомендовать как оптимальные, подходящие для всех (или большинства) временных рядов?
Для ответа на эти вопросы предложена Методика прогнозирования временного ряда. Предлагается использовать следующий алгоритм процедуры прогнозирования ожидаемых значений временного ряда: 1. Выбор нескольких хорошо зарекомендовавших себя моделей прогнозирования. 2. Тестирование выбранных моделей. С этой целью по каждой модели строятся и анализируются серии прогнозов. 3. Расчет нескольких статистик по ошибкам прогнозов (для каждой модели): mind -минимальная ошибка прогноза; max б - максимальная ошибка прогноза; О -ожидаемое (среднее) значение ошибки прогноза; OnS - стандартное отклонение ошибки прогноза. 4. Выбор «лучшей» модели прогнозирования по нескольким видам доминирования случайных ошибок прогноза. Для этой цели предложены три вида доминирования: 1) доминирование «в среднем»; 2) доминирование по вероятности; 3) fi, а -доминирование. 5. Расчет весовых коэффициентов для агрегирования прогнозов по предложенным пяти способам агрегирования 6. Построение агрегированных прогнозов. 7. Выбор «лучшего» агрегированного метода прогнозирования.
В работе для прогнозирования применяется традиционное эконометрическое моделирование временных рядов.
Пример практического использования методики прогнозирования
В работе проводится эксперимент, состоящий из двух этапов. На первом этапе предложенная методика была апробирована на сгенерированных временных рядах с целью выбора наилучшего агрегированного метода прогнозирования.
На втором этапе проиллюстрировано использование методики на примере реальных временных рядов.
Статистическая база исследования На первом этапе были сгенерированы 100 временных рядов из стандартного нормального распределения - N (0,1) объемом в п=100 наблюдений. На их основе созданы модели AR(1), AR(2), МА(1), МА(2), ARMA(1,1), ARMA(1,2), ARMA(2,1), ARMA(2,2), GARCH(1,1), учитывая соответствующие ограничения на параметры. Полученные модели были наложены на линейный, полиномиальный и экспоненциальные тренды. Параметры трендов были выбраны произвольно: линейный тренд -а = 1,2; Ъ — 0.5 ; полиномиальный - а 0.5; Ъ — -0.6; с - 0.3 ; экспоненциальный - а — 0.1.
Тем самым бьши смоделированы наиболее типичные ситуации для экономических, временных рядов: постоянный рост, резкий подъем, смена тенденции от падения к росту.
В эксперименте рассматриваются прогнозы, полученные 7-ью выбранными моделями прогнозирования. 1 - Мультипликативная стохастическая модель (см. Глава 1 пункт 2.2.). 2- Линейная аппроксимирующая функция f(j;a1,a,)=a, +a2 j. 3 - Экспоненциальная аппроксимирующая функция: f(j;a,,a2)=a1 exp(ou j). Значения параметров ссх х2 определяются методом наименьших квадратов по значениям временного ряда. 4 - Модель авторегрессии первого порядка AR(l) (см. Глава 1 пункт 3.2.1). Модели (2), (3) и (4) постоянно переоценивались по 20 наблюдениям, учитывая новую информацию. - «Тривиальный» метод (по среднему предшествующих значений). 6 - Метод экспоненциально взвешенного скользящего среднего (см. Глава I. пункт 1.4.2.3.). 7 - модель ARMA(p,d,q) с поправкой на ARCH-эффект в остатках модели (см. Глава 1 пункты 3.2. - 3.3.).
Модели (I), (6) и (7) первоначально оценивалась на 20 наблюдениях. Постепенно на каждом шаге добавлялись новые значения временного ряда и переоценивались коэффициенты. Каждый следующий прогноз строился по вновь поступившей информации. Выборка для оценки коэффициентов модели все время наращивалась.
В моделях 4-ой и 7-ой прогнозировались доходности соответствующих временных рядов. Предварительно перед подбором модели был проведен тест Дикки-Фулла (ADFest) на стационарность.
В 7-м методе прогнозы строятся не на единственной оцененной модели, а на результатах выбора одной из нескольких моделей в результате предварительного тестирования или применения критериев выбора модели. Полученные прогнозы для доходностей на период t + І преобразовывались в Pt Pt \ прогнозы для значении самого временного ряда: rt = , - pt = rtpt_x + pt_x PtX
Эксперимент иллюстрирует применение выбранных методов прогнозирования в реальном времени, т.е. все прогнозы (включая оценки всех параметров, все правила выбора модели, все предварительные тесты и т.п.) базируются исключительно на наблюдениях до даты построения прогноза.
