Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Анализ существующих методов мониторинга и прогнозирования значений экономических, временных рядов 7
1. Краткий обзор и история развития методов прогнозирования значений экономических временных рядов 7
2. Описание некоторых наиболее широко применяемых на практике методов статистического прогнозирования 13
Экстраполяция по скользящей средней 14
Метод экспоненциальной средней 16
Аддитивная стохастическая модель прогнозирования 17
Мультипликативная стохастическая модель прогнозирования 18
Модели анализа сезонных колебаний 19
Линейная регрессия 20
Модели ARMA 22
Модели ARIMA 23
Модели условно гетероскедастичных остатков (GARCH модели) 24
3. Оценка ошибок прогноза и модель мониторинга предсказуемости 27
ГЛАВА 2 Мультипликативная стохастическая модель динамики финансовых временных рядов. Прогнозирование и мониторинг динамики рынка ценных бумаг 32
1. Описание мультипликативной стохастической модели динамики финансовых временных рядов 33
2 Описание модели мониторинга динамики финансовых временных рядов38
3 Описание модифицированной мультипликативной стохастической модели динамики финансовых временных рядов 47
ГЛАВА 3 Практическое применение стационарной обобщенной мультипликативной логарифмически нормальной стохастической модели 59
1. Мониторинг наблюдаемой динамики 59
2. Сравнительный анализ точности прогнозов, полученных с использованием простейшей и обобщенной мультипликативных логарифмически нормальных стохастических моделей 80
3. Практическое применение стационарной обобщенной мультипликативной логарифмически нормальной стохастической модели. 103
Заключение 116
Список литературы...
- Описание некоторых наиболее широко применяемых на практике методов статистического прогнозирования
- Аддитивная стохастическая модель прогнозирования
- Описание модели мониторинга динамики финансовых временных рядов38
- Сравнительный анализ точности прогнозов, полученных с использованием простейшей и обобщенной мультипликативных логарифмически нормальных стохастических моделей
Введение к работе
Настоящая диссертационная работа посвящена анализу и разработке методов прогнозирования и мониторинга динамики рынка ценных бумаг.
Практическая актуальность использования процедур мониторинга и прогнозирования динамики показателей рынка ценных бумаг не вызывает сомнения.
Эффективное управление в любой сфере экономической деятельности предполагает наличие систем мониторинга и прогнозирования. Очевидно, что исследование динамики финансовых показателей является необходимой базой для принятия управленческих решений, т. к. при выборе стратегии поведения экономическим агентам следует ориентироваться на оценки будущего состояния интересующего их объекта. Таким образом, прогнозирование значений финансовых показателей — важный элемент любой инвестиционной деятельности, поскольку последняя предполагает получение дохода в будущем и, следовательно, неявно подразумевает осуществление процедур прогнозирования.
Прогнозирование стоимостных параметров инструментов рынка ценных бумаг - отдельная область исследования, имеющая значительную практическую актуальность. Рынок ценных бумаг РФ на современном этапе развития характеризуется значительной волатильностью. Операции, осуществляемые на данном рынке, сопряжены, как правило, со значительным риском. С учетом этого обстоятельства, анализ, мониторинг, построение прогнозов котировок инструментов, с которыми работает инвестор-участник соответствующего рынка, представляется необходимым этапом, предваряющим осуществление операций на рынке ценных бумаг. Причем практический интерес представляет прогнозирование стоимостных значений как отдельных инструментов рынка ценных бумаг, так и сводных индексов, анализ динамики которых позволяет получить информацию о положении определенной отрасли экономики, оценить состояние интересующего исследователя рынка в целом и т.д.
При этом большинство наиболее широко используемых на практике моделей прогнозирования ориентированы на работу со стационарными временными рядами. В условиях же изменения характера изучаемой динамики, которое нарушает стационарность анализируемого ряда, качество получаемых прогнозов, как правило, существенно ухудшается. В связи с вышесказанным особую актуальность имеют следующие вопросы:
выявление интервалов стабильности (стационарности) исследуемого процесса;
разработка такого метода прогнозирования, который, во-первых, позволяет строить корректные прогнозы значений финансовых рядов в условиях стационарности, а, во-вторых, что особенно важно, сохраняет в определенной мере свои прогностические свойства в условиях переходных процессов (в данном случае имеется в виду переход от одного участка стационарности к другому).
Вопросам выбора эффективного инструментария мониторинга и прогнозирования динамики показателей рынка ценных бумаг посвящены множество монографий ведущих российских и зарубежных ученых, среди которых Д. Бартоломью, Р. Колби, В.Н. Русинов, Г. Тейл, В.Н. Тутубалин, Е.М. Четыркин и многие др. Рассматриваемой теме регулярно посвящают публикации такие периодические издания как «Рынок ценных бумаг», «Эксперт», «Финансы», «Деньга», «Инвестиции», «Деньга и Кредит», «the Banker», «Финансовый Директор», «Управление компанией», «Business Week», «Strategy & Business» и другие, что свидетельствует о значительной научной актуальности вопросов, освещаемых в настоящей диссертации,
С учетом значительной актуальности темы исследования, основной целью диссертационной работы является разработка эффективного инструментария оценки стабильности и прогнозируемости финансовых временных рядов, апробация соответствующих методов на данных о наблюдаемой динамике котировок реальных инструментов рынка ценных бумаг и формулировка содержательных выводов об обоснованности и корректности использования предлагаемых методик.
Для достижения указанной основной цели диссертации автором были поставлены и решены следующие задачи:
Описание некоторых наиболее широко применяемых на практике методов статистического прогнозирования
Среди всего многообразия существующих подходов к прогнозированию особого внимания заслуживают статистические методы. К числу достоинств данных методов относится то, что они реализуются на основе наиболее формализованных схем построения прогнозов. Поэтому эти методы лишены субъективности, являющейся непременным атрибутом экспертных оценок, В пользу применения статистических методов прогнозирования говорит и то, что они не требуют привлечения экспертной информации, получение которой, как правило, сопряжено со значительными издержками.
Чаще всего использование статистических методов является необходимым этапом экономического анализа. В дальнейшем полученные результаты уже могут корректироваться с учетом экспертных оценок. Применение математических методов является необходимым условием для разработки и использования методов прогнозирования, обеспечивающим высокие требования к обоснованности, действенности и временности прогнозов [56 ].
Широкое применение моделей, основанных на анализе значений прогнозируемой величины в предыдущие моменты времени, обусловлено тем, что для финансовых временных рядов характерно наличие в их динамике достаточно устойчивых тенденций. Процессы ценообразования на рынке происходят таким образом, что периоды роста и падения котировок чередуются, так что внутри каждого периода происходит развитие господствующей тенденции. В настоящее время в аналитическом исследовании динамики финансовых показателей общепринятым является подход, предполагающий, что рынок обладает памятью, и поэтому на будущие значения изучаемой величины оказывают большое влияние наблюдаемые закономерности ее прошлого поведения.
Инерционность в развитии экономических процессов проявляется следующим образом: как инерционность взаимосвязей, т.е. как сохранение в основных чертах механизма формирования явления (инерционность первого рода); V как инерционность в развитии отдельных сторон процессов, т.е. как некоторая степень сохранения их характера (темпов, направления, волатильности основных количественных параметров) на протяжении сравнительно длинных хронологических отрезков (инерционность второго рода).
Наличие инерционности не означает, что экономическая система в своем развитии будет жестко следовать уже наметившейся тенденции. Различные случайные факторы могут в большей или меньшей степени воздействовать на систему, приводя к отклонениям от тенденции.
Многие исследователи [47 , 58 , 66 ] при анализе динамических рядов выделяют следующие четыре основные составляющие: долговременную эволюторно изменяющуюся составляющую, которая является результатом действия факторов, приводящих к постепенному изменению исследуемого экономического временного ряда; долговременные циклические колебания, которые проявляются на протяжении длительного времени в результате действия факторов, приводящих к значимым последствиям, или циклически изменяющихся во времени (экономические кризисы, периодические природные явления); кратковременные циклические колебания (сезонная составляющая), иллюстрирующие колебания факторов в зависимости от времен года; случайная составляющая - образуется в результате суперпозиции большого числа внешних факторов, не участвующих в формировании детерминированной составляющей и оказывающих незначительное влияние на изменение значений временных рядов.
Для определения типа инерционности анализируемого экономического временного ряда необходимо выяснить, присутствует ли в динамических радах значений данного показателя тенденция (тренд). Выяснение типа инерционности позволяет в дальнейшем подобрать адекватный метод прогнозирования (например, при инерционности первого рода это могут быть регрессионные модели, носящие стационарный характер, а при инерционности второго рода - экстаполяциоиные модели, авторегрессия).
Ниже рассмотрены некоторые статистические методы прогнозирования. В качестве базы для построения прогнозов в описанных ниже моделях используются временные ряды, отражающие прошлую динамику прогнозируемого показателя.
Экстраполяция по скользящей средней
Один из самых распространенных методов статистического прогнозирования -экстраполяция по скользящей средней. Популярность этого метода обусловлена тем, что достаточно часто данные временного ряда не позволяют обнаружить какую-либо тенденцию развития (тренд) изучаемого процесса (из-за случайных и периодических колебаний). В таких случаях для выявления тенденции и прибегают к методу скользящей средней.
Данный метод состоит в замене фактических значений временного ряда расчетными — средними значениями, для которых характерны существенно меньшие по амплитуде колебания, чем у исходных данных. Средняя рассчитывается по группам наблюдений за определенный по продолжительности интервал времени. При этом каждая последующая группа образуется сдвигом на одно наблюдение по сравнению с предыдущей. В результате такой операции первоначальные колебания в динамике временного ряда сглаживаются, и основная тенденция развития выражается уже в виде некоторой плавной линии. Метод скользящей средней называется так потому, что в процессе вычисления средняя с каждым новым шагом обновляется, учитывая новую информацию о фактически реализующемся процессе.
При построении прогноза исходят из простого предположения, что следующий во времени элемент временного ряда по своей величине будет равен средней, рассчитанной за последний интервал времени.
Можно отметить, что данный метод в основном применяется для целей краткосрочного прогнозирования. Что же касается прогнозов на относительно длительную перспективу, то качество таких прогнозов вследствие характера анализируемого процесса чаще всего является крайне низким. Факторы, имеющие значимое влияние на величину прогнозируемого параметра, обычно настолько многообразны и настолько трудно предсказуемы, что получение средне- или долгосрочного прогноза представляется весьма проблематичным, /Длина же серии наблюдений для расчета скользящего среднего выбирается с учетом следующих соображений. Чем менее продолжительный период лежит в основе вычислений, тем меньше различного рода случайных колебаний он в себя включает, и тем более явно прогноз отражает тенденцию, характерную для последних по времени наблюдений. С увеличением длины серии прогноз получается более устойчивым, поскольку усредняется значительное число разнообразных флуктуации в динамике рассматриваемого процесса.
Аддитивная стохастическая модель прогнозирования
Одним из статистических методов является построение прогнозов на основе сезонных колебаний значений временного ряда. Под сезонными колебаниями понимаются такие изменения значений изучаемого динамического ряда, которые вызываются влиянием времени года. (В качестве «времени года» может выступать как квартал, так и более или же менее продолжительные периоды — в зависимости от характера анализируемого процесса.) Такие изменения проявляются с различной интенсивностью практически во всех сферах жизни общества: производстве, обращении и потреблении. Их роль наиболее велика в агропромышленном комплексе, в торговле многими товарами, в строительстве, на транспорте и т.д. Сезонные колебания строго цикличны - повторяются через каждый год, хотя необходимо иметь в виду, что сама длительность времен года, которые и вызывают колебания, подвержена флуктуациям. Для изучения сезонных колебаний необходимо иметь в распоряжении значения анализируемого временного ряда за каждый квартал, в некоторых случаях — за каждый месяц, а иногда даже за декады, хотя при вычислении декадных значений исследователь может столкнуться с сильными искажениями этих значений вследствие мелкомасштабных случайных колебаний. Впрочем, необходимость рассмотрения сезонной компоненты с периодом, равным одной декаде, возникает в практических задачах довольно редко.
Методика статистического прогноза по сезонным колебаниям основана на их экстраполяции, т.е. на предположении, что параметры сезонных колебаний сохраняются до прогнозируемого периода.
Для измерения сезонных колебаний обычно исчисляются так называемые индексы сезонности, которые находятся следующим образом. Прежде всего определяется период сезонной компоненты, т. е. промежуток времени, по прошествии которого можно ожидать изменение характера исследуемой динамики по причине сезонности. На основании статистических данных вычисляется среднее значение анализируемого показателя за период сезонной компоненты. Это значение можно идентифицировать как базовое. Затем на основании средних за выбранное число лет данных определяются индексы сезонности, т.е. коэффициенты, показывающие отношение среднего значения ряда за каждый период годового цикла
к базовому значению. Для устранения влияния сезонности фактически наблюдаемые (эмпирические) значения изучаемого аоказателя делятся на соответствующий индекс сезонности. Затем на основании полученных таким образом данных строится прогноз на интересующий исследователя период времени (например, методом экстраполяции), после чего полученное прогнозное значение умножается на соответствующий ему индекс сезонности.
Линейная регрессия
Помимо вышеописанных примеров, одним из наиболее широко применяемых методов статистического прогнозирования является метод линейной регрессии (линейной корреляции) [30 , 53 ]. Данный метод базируется на анализе взаимосвязи интересующего исследователя временного ряда (эндогенной переменной) и одной или более так называемых объясняющих (экзогенных) переменных. В первом случае говорят о парной регрессии, во втором — о множественной. При этом зависимость между переменными носит особый характер. Она, во-первых, стохастична по своей природе, т.е. позволяет установить лишь вероятностные логические соотношения между значением эндогенной переменной и соответствующими значениями экзогенных. Другими словами, из того, что экзогенные переменные приняли заданные значения, следует, что эндогенная переменная должна принять определенное значение, но не обязательно, а лишь с некоторой вероятностью (как правило, близкой к единице). Во-вторых, она выявляется на основании статистического наблюдения за анализируемыми переменными. При построении регрессии преследуется цель по отдельным, частным наблюдениям выявить некую общую закономерность.
Итак, экзогенные переменные являются параметрами регрессионной модели, от которых зависит закон распределения эндогенной переменной.
В общем виде регрессионное уравнение выглядит следующим образом: Уі= 00 +0\ХП+02 12 +- + 0кХ1к+е:,1 = \,...,Т (8) где Т - длина анализируемой выборки (количество наблюдений, на основании которых строится регрессия); к - количество экзогенных переменных, или регрессоров; yt - значение эндогенной переменной в момент времени /; хп,і = ],...,к - значение / - го регрессора в момент времени /; piJ = ,...,k значение / - го коэффициента регрессии; єг - случайная величина (ошибка регрессии), отражающая влияние на у, не учтенных в качестве регрессоров факторов, а также погрешности в измерении анализируемых временных рядов. Модель строится таким образом, что математическое ожидание случайной ошибки равно нулю. Уравнение (8) можно записать в векторном виде: ї=Х/3 + є, (9) где Г-вектор эндогенных переменных, Х- матрица, столбцами которой являются векторы экзогенных переменных, р -вектор коэффициентов, є -вектор ошибок.
Прогнозирование значений уп1 = Т + \,... осуществляется с использованием вектора коэффициентов р, полученного на основании оценивания регрессии по выборке t = \,...,T и соответствующих регрессоров: ,=А+А +М2+-+А . = Г + 1,... (10) Необходимо подчеркнуть, что в качестве регрессоров, объясняющих величину yt, могут выступать как значения некоторых временных рядов на тот же момент времени (/), так и различные лаги этих рядов, а также лаги эндогенной переменной или даже сконструированные определенным образом искусственные переменные. Кроме того, вообще говоря, регрессоры могут быть как детерминированными, так и стохастическими (в названных двух случаях получаемые оценки различны по своим статистическим свойствам).
Описание модели мониторинга динамики финансовых временных рядов38
Одной из основополагающих предпосылок рассмотренной Б 1 модели является утверждение о некоррелированности случайных коэффициентов элементарного перехода в различные моменты времени. Однако можно предположить, что динамика исследуемого ряда характеризуется определенной инерционностью, т.е., в терминах излагаемой модели, существует статистическая взаимозависимость приращений величины исследуемого финансового показателя (коэффициентов элементарного перехода). Данная статистическая зависимость может носить различный характер: допустимо говорить как о положительной, так и об отрицательной корреляции. По сути, описываемая модель предполагает, что значение коэффициента перехода а, некоторым образом определяет значение
одного или нескольких последующих коэффициентов at,t tQ.
В рассматриваемом случае коэффициенты элементарного перехода, задаваемые при построении мультипликативной модели, не могут определяться как независимые реализации одномерной случайной величины, распределенной логарифмически нормально. Для описания моделируемой ситуации потребуется использование понятия многомерного логарифмически нормального распределения.
При спецификации модифицированной мультипликативной стохастической модели предполагается, что наблюдаемые значения коэффициентов элементарного перехода а1,...,ат (которые рассчитываются по формуле (28)) являются последовательностью значений стационарного (в широком смысле) случайного процесса с дискретным временем. Распределение любой одномерной случайной величины - компоненты рассматриваемого случайного процесса - предполагается логарифмически нормальным. Стационарность процесса подразумевает, что рх 7, = т, / = 1,...,7 ги=сгйН1) = р(и г\)-сг\ где р(т) = p(\j-i\) автокорреляционная функция последовательности случайных величин 1пс?1а...,1па?г,... Необходимо учесть, что при условии стационарности процесса, определяющего коэффициенты элементарного перехода, случайная величина aXt имеет .;=i логарифмически нормальное распределение: lna,, eN(ji{t)t T (t)), где ju(t) = E\nau =/-//, o2{i) = D\nau =t-o2 +2 -,) = - r2 +2 /?(./-/)-(72 . Выражения для прогнозного значения на / шагов вперед, а также точности (стандартного отклонения) этого прогноза могут быть получены на основании формул (36) и (37):
Поскольку случайный процесс, порождающий последовательность сеи...,ат предполагается стационарным, коэффициенты корреляции р{тх) = р(т2) при т1 = т2, а следовательно, необходимо оценить по выборке а1,...,ат только один коэффициент p{j-i) для всех /. и j, таких что i,je\:t j i. Таким образом, очевидно, что для расчета значений х, и s, следует определить величины t-\ коэффициентов корреляции.
Резюмируя вышесказанное, можно предложить следующую схему построения прогноза на базе модифицированной мультипликативной стохастической модели:
Выбирается некоторый временной ряд значений величины некоторого финансового показателя х0,хх,...,хк, на основании которого будет проводиться анализ. Естественно, рассматриваемые значения с необходимостью должны быть положительными. Вычисляется ряд значений а{ ак коэффициентов элементарного перехода: а,= , г = \,...,к (85) Осуществляется переход от ряда (85) к ряду \nat, / = 1,...Д.
Определяются оценки параметров модели по формулам (41), (42), (84). Полученные оценки параметров подставляются в формулы (64) и (65) и. Согласно методу моментов это дает искомые выражения для прогнозной величины х, на момент времени / и для точности s, этого прогноза:
Итак, при построении прогноза на / шагов в используемых формулах фигурируют коэффициенты корреляции порядка 1,2,...,/-1. Естественно считать, что для рассматриваемого случайного процесса коэффициенты корреляции большего порядка, чем выбранный горизонт прогноза, незначимы, т.е. равны нулю. Отсюда непосредственно следует, что модифицированная мультипликативная модель является инструментом краткосрочного прогнозирования, другими словами, ее следует использовать исключительно при построении прогнозов на относительно непродолжительные временные интервалы.
Для иллюстрации реализации методики построения прогнозов с помощью простейшей и обобщенной лог-нормальных мультипликативных моделей ниже приведен пример апробации описанных выше расчетных схем применительно к специально сгенерированным данным.
В качестве ряда логарифмов коэффициентов элементарного перехода In отбыла рассмотрена следующая выборка у,, t = 1,...,100: УІ =-0,3- .,+0,3- +є„ st GN(0;\). (88)
С использованием данной выборки были построены скользящие прогнозы на основе простейшей и обобщенной мультипликативных моделей на 5 периодов вперед по данным о предыдущих 15-ти наблюдениях. После этого были найдены относительные отклонения прогнозных значений от фактических. Характеристики полученных относительных отклонений представлены в таблице № 1.
Сравнительный анализ точности прогнозов, полученных с использованием простейшей и обобщенной мультипликативных логарифмически нормальных стохастических моделей
В настоящем параграфе представлены некоторые результаты построения для рассматриваемых данных прогнозов на базе простейшей и обобщенной мультипликативных логарифмически нормальных стохастических моделей. В качестве исследуемых данных был взят временной ряд значений индекса корпоративных облигация РФ CBonds-RUX, включающий наблюдения за период 01.01.2003 г.-01.01.2005 г.
Гипотеза о принадлежности рассчитанных по соответствующей выборке значений логарифмов коэффициентов элементарного перехода нормальной генеральной совокупности может быть проверена с помощью критерия % (см., например, [30 , 45, 46, 51 ]
Прежде всего, были рассчитаны выборочные среднее и стандартное отклонение элементов выборки, соответственно, по формулам: _ Iй Д = -! , " =1 , (105) Є -Чі0па,-#2 1 " ч»-ім ( (106) где п - количество элементов выборки. Затем были построены следующие интервалы: (- Д-З-ст], (Ji-3-a,Ji-2-a\ (Д+2-а, Д+З-ст], (+3- ,+0)).(107)
Для каждого из данных интервалов была рассчитана вероятность р попадания в него случайной величины, имеющей нормальное распределение с параметрами, равными значениям /7 и и.
В соответствии с методикой проведения данного теста, была составлена следующая таблица: Значение критериальной статистики теста вычисляется по следующей формуле: = 5 = Ь8067. (109)
В случае если верна гипотеза о принадлежности рассматриваемой выборки нормальной совокупности, критериальная статистика имеет х1 -распределение с т-\ степенями свободы, где т - количество интервалов, частота попадания в которые исследуемых данных (ик) отлична от нуля.
Таким образом, значение /2 необходимо сравнить с критическим значением, определяющим доверительную область теста, %2Крит. Для уровня значимости, равного 0,05, соответствующее значение составляет 14,0671 (см. [10 ])
Поскольку %2 х1Рит следует принять тестируемую гипотезу о том, что анализируемая выборка принадлежит нормальной генеральной совокупности. Для получения прогнозов с использованием предлагаемых моделей, как уже было отмечено, необходимо задать длину базового периода. В общем случае, для этого можно воспользоваться следующими соображениями. С одной стороны, если есть основания предполагать, что тенденция, существовавшая на анализируемом рынке в течение нескольких последних дней, сохранится и в ближайшем будущем, целесообразно использовать достаточно непродолжительный базовый период (несколько дней). Проведение расчетов по относительно небольшому базовому периоду позволит определить текущую тенденцию наиболее оптимальным образом. Правомерность такого допущения объясняется тем, что с увеличением длины базового периода под рассмотрение попадает большее количество различных случайных колебаний изучаемой величины. Тенденция, присущая прогнозу, определяется в результате их сглаживания. То есть поведение прогнозных значений уже не будет следовать той тенденции, которая была последней в базовом периоде. С другой стороны, надо учитывать следующее. Достаточно резкие колебания значений рассматриваемого ряда могут иметь место и в течение небольшого по продолжительности временного интервала. При наличии таких колебаний невозможно говорить о некой характерной для данного периода устойчивой тенденции, которая бы проецировалась на прогнозные значения. В этом случае существует неопределенность относительно дальнейшего поведения анализируемого процесса, и, естественно, точность прогноза снижается. Использование достаточно продолжительного базового периода позволяет сгладить случайные текущие колебания и определить присущую изучаемому ряду данных более долгосрочную тенденцию. В результате прогноз становится более устойчивым.
Для оценки качества прогнозов, построенных на базе рассмотренных моделей, были проведены расчеты прогнозных значений на 5 дней вперед по различным базовым периодам: протяженностью три месяца и один месяц, непосредственно предшествующих той дате, начиная с которой осуществлялось прогнозирование. Следует отметить, что в данных рассуждениях под периодом, равным неделе (месяцу), понимается временной интервал, включающий 5 (20) наблюдений (т.к. рассматриваются только рабочие дни), поэтому возможны несовпадения с календарными неделями (месяцами).
Свидетельствуют о высоком качестве построенных прогнозов: средние относительных отклонений достаточно малы, разброс значений
вокруг среднего, характеризующийся выборочным стандартным отклонением, также невелик. Что же касается предпочтительности одной или другой модели, то, как и следовало ожидать, однозначно сделать выбор в пользу какой-либо из них на основании представленных результатов достаточно сложно. Этот вывод полностью согласуется с результатами мониторинга значимости коэффициентов корреляции (рис. 20 - 24), при поведении которого было выявлено весьма незначительное количество моментов времени, характеризующихся значимой взаимозависимостью коэффициентов элементарного перехода. Вместе с тем, можно проследить улучшение результатов (хотя и достаточно незначительное), полученных с использованием модифицированной мультипликативной модели по сравнению с результатами прогнозирования, рассчитанными базе исходной модели. Данный факт может быть объяснен тем, что при наличии относительно небольшого (возможно, недостаточного) количества информации о характере динамики исследуемого ряда корреляционные связи выступают в роли дополнительного источника такой информации, и, следовательно, учет этих связей повышает точность получаемых оценок. Отметим также, что репрезентативным показателем улучшения качества прогнозов может служить не абсолютное, а относительное изменение статистических характеристик ошибок прогноза. Для примера, рассмотрим данные таблицы 7. Среднее ошибок, полученных с использованием исходной модели, в абсолютном измерении превышает аналогичный показатель, соответствующий модифицированной модели, весьма незначительно (на 0,000003), в процентном же выражении улучшение составило 3,23%. В случае прогноза, построенного по базовому периоду, включающему 60 наблюдений, улучшение среднего ошибок прогноза при использовании модифицированной модели составило 36,71%.
Можно отметить, что в случае большей длины базового периода качество прогнозов несколько лучше. Однако исследователь не всегда располагает достаточным объемом информации для того, чтобы сформировать выборку значений анализируемого ряда за относительно продолжительный отрезок времени. В некоторых ситуациях получение данной информации невозможно или же связано со значительными затратами. Таким образом, обоснованным представляется рассмотрение вариантов прогноза на базе непродолжительных базовых периодов.
