Содержание к диссертации
стр.
ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА I. ПРИТЯЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ И УСЛОВНАЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
I. Притяжение решений нелинейных систем дифферен
циальных уравнений 15
2. О существовании интегрального многообразия
притягиваемых решений 30
3. Сравнение решений нелинейной системы дифферен
циальных уравнений с решениями линейного приб
лижения 39
ГЛАВА П. МЕТОД ГРУППИРОВОК ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
I. Понятие о методе группировок 46
2. Решение задач об устойчивости состояния равно
весия методом группировок 48
3. Возмущенные нелинейные системы 55
4. Многообразие притягиваемых решений 57
ГЛАВА Ш. АСШПТОТИКА РЕШЕНИЙ И ГОМЕОМОРФИЗМ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
I. Асимптотическая эквивалентность систем дифферен
циальных уравнений 72
2. Гомеоморфизм начальных условий систем диферен-
пиальных уравнений 86
ЛИТЕРАТУРА
Введение к работе
Актуальность темы» Одним из наиболее эффективных методов, используемых для исследования поведения решений систем дифференциальных уравнений, является метод сравнения. Он заключается в том, что вместо системы
jjfc=F(i,x)+f(t,x) (I)
рассматривается система первого приближения
и на основании изучения свойств решений системы (2) делается вывод о поведении решений системы (I).
Мы рассматриваем случай, когда p(t,x) = A(i)X Систему (2) в этом случае будем называть системой линейного приближения.
Основу метода сравнения составляют положившие начало всей качественной теории дифференциальных уравнений труды А.Пуанкаре [71] , [72] и А.М.Ляпунова [51] , [52] . Перечислим здесь наиболее важные результаты, используемые нами в исследованиях.
А.Пуанкаре принадлежат основополагающие результаты по качественной теории автономных систем второго порядка. Им изучена качественная картина расположения интегральных кривых в окрестности начала координат для системы (I) при /1=2 в случае, когда А (к) = А - постоянная ( /I х П )-матрица и компонентами вектор-функции являются полиномы, не имеющие свободных и линейных членов относительно компонент вектора X
Фундаментальные результаты получены А.М.Ляпуновым. Его первый' метод эффективно используется для исследования решений системы (I). Теорема об экспоненциальной устойчивости по первому
приближению, когда (Л х П- ) - матрица A ft) непрерывна и ограничена при Ut, , / С ІУ , И/А,*)» 6 С ІІХЦ т,
171 > і , С > 0, система (2) - правильная и все её харак-
теристические показатели отрицательны, сыграла стимулирующую роль в развитии метода сравнения. Достаточно напомнить результаты й.Г.Мажина [53] , Е.А.БарОашина [12] , [із] , Н.Н.Красов-ского [48] , В.И.Зубова [34] - [38] , Б.М.Миллионщикова [57J -[59] , Н.А.Изобова [41] , д.Л.МлНШ, [ю4] и многих других.
Поведение интегральных кривых системы (I) с постоянной ( И X п ) - матрицей А и неголоморфной относительно X вектор - функцией f рассматривали с целью изучения структуры окрестности особой точки 0' sft/UO?u » И.Г.Петровский.
И.Г.Петровским [67] доказано, что если в окрестности нуля непрерывная вектор-функция < имеет непрерывные частные производные по х первого порядка, -f вместе с этигли производными обращается в нуль в точке X -=- 0 , матрица А имеет
^. собственных значений с отрицательными вещественными частями,
то существует ; - мерное интегральное многообразие 0 - кри-
вых системы (I).
Асимптотическое поведение решений системы (I) с постоянной матрипей А при i->+oo изучал В.А.Якубович [92] . Им доказана также приводимость системы (І) в случае, когда
Н.А.Изооовым [41 ] построена оценка снизу для точной нижней границы изменения показателей системы (I), где А (і) - кусочно-непрерывная и ограниченная ( Ц X ҐІ ) - матрица, f(troo)-
-Q(i)x , IIQ(i)\\$ & , в случае неустойчивости показателей системы (I).
Б работах Б.Ф.Былова, Д.М.Гробмана [l7], [l8] , [вз] , изучалась топология расположения интегральных кривых систем (2) и (I) с автономным возмущением. В.В.Немыцкий поставил задачу нахождения условий, при соблюдении которых системы (I) и (2) будут топологически эквивалентными в окрестности особой точки. Д.М.Гробманом [83] был построен гомеоморфизм, преобразующий решения системы (І) в решения системы (2) и наоборот, в предположении, что матрица А ("О постоянна и не имеет чисто мнимых собственных значений, /ft 0) = 0 ив окрестности точки
Х= 0 / удовлетворяет условию Липшица с достаточно
малой константой. Им же рассмотрен вопрос об асимптотической эквивалентности этих систем.
Проблемами асимптотической, ограниченной асимптотической
и интегральной эквивалентности решений систем (I) и (2) с по
стоянной матрицей А занимались Л. 7&$CClA, и
М/. Jibtc [97] . Эти авторы рассматривали возмущения
/ftx) , для которых на интервале [0, + с>о) при каждом
фиксированном XG Ft справедливо неравенство ///ft%)1Ы
^ #ft/W), неотрицательная на множестве [0, + )х[0, + ^) функция %(t,u) является монотонно неубывающей по переменной 1С при каждом фиксированном і [0+) и удовлетворяет некоторым дополнительным условиям.
Изучению свойств гомеоморфизма между множествами ограниченных решений систем (2) и (I) с ограниченным по Степанову функциональным возмущением / посвящены работы JLL, !В<М(І(ХІ^иСШг и Ю. ^etaiou, [94].
Не претендуя на полноту библиографии, мы привели лишь крат-
кий обзор фундаментальных результатов, имеющих отношение к методу сравнения и нашим исследованиям.
Настоящая работа посвящена дальнейшему развитию приложений этого метода к изучению нелинейных систем дифференциальных уравнений. Мы будем рассматривать задачи об асимптотическом поведении решений системы (І) в зависимости от асимптотики решений системы первого приближения. Здесь естественно сравнение решений систем (I) и(2). Поэтому возникает необходимость изучения отображений фазовых пространств. Отображения эти могут быть либо взаимно однозначными, либо топологическими, либо диффеоморфнями. Такие задачи, кроме вышеперечисленных авторов, решали В.В.Воскресенский [22] , Ж XvbUlbOn/ [101] , [102], Т$ЯШт [95] ,
[96] , Л". Onuchic [юб] , [ш],Л.ХаїсаА и Л. Лис [97], J.Xato [98] , М. ZmrtowUdu- и
%). zWl^iOU/ [94] и многие другие.
Впредь мы будем считать, что малость вектор-функции
\\{(Ь,Х)\\ А (і, \\Х\\) . В случае, когда
Л (і, ИХН) = f(i)Hx\\, где / f(t)cU < + *
и /{ (t) = А , асимптотика решений, гомеоморфизм начальных условий, движение характеристических показателей исследованы в работе [83] (результаты до 1965 года ). В более общем случае результаты получены Б.Ф.Быловым [17] , [їв] . Бели же мажоранта имеет вид Л(ї, \\Х\\) = Ф(і) Ф(ЦХЦ), где Ф:[0,+")-+[0+~), ФМ *Ф(о(л) RwOsct,*^,
/ф> =+~ ' Jt<*M<+~>
„ Ф(<*) то тогда уже при ф(іІХІ\)=(ЩХІ\+1)іп(їїХ\\+1) и фиксированном
Ь ~ t для достаточно больших \\х\\ справедливо нера-
вєнство f(i) (ИХІІ + і)п(ИХИ+і) > f(i) 11X11.
Иначе говоря, в этом случае допустимы такие возмущения f , для которых существуют мажоранты A(t7 IIXII) , обладающие свойствами: графики функций 2 = Л(і,<*) , Л- [U,+">)* [0,+^)-+ [0,+<*>\
II f(t7 X) II Л (і, 11X11), при фиксированном t-ї не обяза-
тельно проходят через начало координат и при достаточно большом
о( располагаются выше любой прям ой Z = &d ( &>,0 ).
При такой малости вектор-функпии
В нашей работе исследуются системы вида (I) с наиболее общими по сравнению с рассмотренными в [17J , [18] , [83] , [85] , [96] , [98] , [103] возмущениями f . Малость вектор-функпии мы определяем мажорантой Л (t, IIXII) , которая обладает свойствами:
1) Л: [U, + oo)x[0, + оо)-+[.0, + о), де С([іо,+ ~>)х[0, + )),
для любого ХєЦП при всех t Ъ t0 справедливо неравенство
н^а,х)\\4ла, \\х\\);
2) если 0^ o(i <*г » то A(t,o(
при каждом фиксированном ± Є [t0, + <*>);
3) при всех Ы [0, + «О существует интеграл
4-0О
J(*)=J Л(*,*)М,
4) функция nh d)- [ A(*1iC() ciiі является неубываю-
r ' ~l J(ei)
щей по переменной d
Существенную роль играет тот факт, что для вполне опреде-
ленных систем может не существовать мажоранта вида Я (t, llxll)=
и в то же время возможно существование мажоранты, удовлетворяющей условиям I) - 4). Другими словами, малость вектор-функции / определяется не мажорантой а мажорантой солее общего вида и, следовательно, оказывается малостью более низкого порядка. Пусть, например, для системы (I) не существует мажоранта Л(і,ІІхЦ)= f (і) ф (llxll) , однако существует функция Фі (//xll) , обладающая свойствами: а) Ф, .'[О,+**)-+ Ю.+~) > Ф* ССо, + ~)>
Ф1 (c(i) Ф, (Ыг) ПРИ 0 $ ed < t*z ; 6) f Щ^7, - + ,
(d)
и возможно существование мажоранты л (t, ахи) = р(*)ф, (іті)+
+ ft (*), f fi (^)сИ<+' Ясно, что в этом случае функция
\(l,ck) удовлетворяет условиям I) - 4) и справедливо неравенство
Я (-6, IIXII) > f(t) ф1 (ІІХІІ) при фиксированном і и достаточно больших llxll Отсюда следует, что малость вектор-функции
У является более "грубой" по сравнению с малостью ^(^)фі(1іхіі). Продемонстрируем это на конкретном примере. Рассмотрим скалярное уравнение
Соответствующее ему уравнение (2) имеет вид
Мажоранты вида Ф(і)Ф(і/ХЦ) не существует. Тем не менее
существует мажоранта Л(-і, ІІХЦ) = -*—'—^ Легко про
верить, что Я (t, IIХЦ) удовлетворяет условиям I) -4).
Бот при таких наиболее общих возмущениях мы проводим наши исследования.
системы М
Основные результаты. Работа состоит из трёх глав. В первой главе исследовано поведение решений нелинейной дифференциальной
= Aft)X+f(t,x) (4)
при неограниченном возрастании независимой переменной. Предпола
гается, ЧТО Л&) Є С\-оо,+оо) , И ДЛЯ
всех і [to, + ) > X Є ft справедливо неравенство
llf(i,X)IUA(t,llXll), Л:[и,+*>)*[0,+*)->[0,+), Я С([іо, + ~)х [0, +<*>)).
В первом параграфе этой главы доказано существование у
системы (4) множества решений, стремящихся к нулю при і-> + оо
(притягиваемых к началу координат, или 0-кривых) (теорема
І.І.І обобщающая результат J .TCato f98] для случая л; СО-Д)»
приведена теорема об асимптотической устойчивости возможного сос
тояния равновесия этой системы (теорема I.I.2). При этом мы пред
полагаем, что при всех о( >/ 0 и некотором О- > 0 суще
ствует интеграл
J(*) = j i*M*,<*)d* (5)
и линейное приближение системы (4)
%~ьщ (6)
имеет интегральные гиперплоскости Г\і ft), /Іг ft) размерностей Я , &i соответственно, Д + fci <: tb , такие, что если y(t0) Є Д, ft), т \\lj(-L:U,ij0)\\i: at~lk~i)(re~X(*'*0\ -b*U,
X(i-to)
если y>(U)G Mz(b), то ЩЬ:и,уо)\\*ае .tt
a , X - положительные постоянные.
10 Во втором параграфе доказано существование интегрального многообразия решений системы (4), притягиваемых к началу координат. При помощи преобразования (1.2.7) система (4) приводится к виду
-Й-=5ю*+#*,*}, (?)
где матрица В ft) - диагональная и существует неотрицательная непрерывная на множестве Но,+)х[0,+) функция A(t,<*) такая, что
!F(tJ)-F(tJ)hA(t,ii*-*ii),
Доказано, что если <(t,0)= 0 , то состояние равновесия системы (4) является условно асимптотически устойчивым относительно ~ мерного интегрального многообразия.
Б третьем параграфе устанавливается связь между решениями нелинейной системы (4) и решениями её линейного приближения (6). В рассмотрение вводится линейное приближение системы (7)
Ж=В(і)"'
предполагается, что нелинейная часть системы (7) имеет мажоранту Лі(і}ІІ2І\) со свойствами, аналогичными свойствам функции
Некоторые результаты этой главы содержатся в работе [9] .
Вторая глава посвящена исследованию поведения решений систем дифференциальных уравнений с помощью метода группировок.
В первом параграфе изложена суть этого метода, предложенного М. ШсШа^СШШЬ [И2] и основанного на теоретико-графическом разложении многомерных систем на подсистемы, дающем возможность переходить от системы
где Ъ : [U. + ~) X Я Л -* Я ", frtC (Ь,+ -)*/?*),
к более удобной для изучения системе
где новые функции -fi и переменные агг получены перенумерацией и объединением Cfj И U і
Метод группировок позволяет свести решение задач об устойчивости или неустойчивости состояния равновесия системы (8) к решению аналогичных задач для системы (9), более простой по своему строению (теоремы 2e2.I, 2.2,2). Наряду с системами (8),(9) рассматривается совокупность подсистем
ЯГ={іЬ,О,.~,0,хі), і = і,...,т, (Юс)
считаются всегда выполненными условия;
(I) fi(i,O,...,0) =0 при всех tbio, i=I,...,m;
(П) функция / г CoCotl (Iif ...7 /т) является локально липшицевой по х равномерно относительно і в некоторой области, содержащей начало координат.
Доказано, что состояние равновесия Х^О системы (9) равномерно асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда при всех і =1,.,.7 т состояние равновесия art- -О подсистемы (101- ) равномерно асимптотически устойчиво. Беж же при некотором
і состояние равновесия подсистемы (10t ) неустойчиво, то неустойчиво и состояние равновесия системы (9). Тем не мннее. устойчивость всех подсистем (10і ) ещё не гарантирует устойчивость системы (9).
В третьем параграфе показано, что применение метода группировок не влияет на малость возмущения.
Четвертый параграф посвящен доказательству теорем о существовании семейства (теорема 2.4.1) и интегрального многообразия (теорема 2.4.2) решений, стремящихся к нулю при -Ь^ь-ч-оо ,для системы
Ж=9А^»^^(^^!/п)9 j=i,...,n, (id где еСр((-<*>,+«>)xRn), fj єС((-,+*)х Rn) ,
p - достаточно велико. Система (П) приводится к виду ^={і(і,Хі,...,Хі) + у>і(і,хг,...,хт), i-d,...fm ,
где (Zf,...,Xi)Rni, ft (і, 0,...,0) =0 , і = і,„.,т,
и непрерывная неотрицательная функция XH,d) является мажо
рантой для вектор-функций F(t,x) и Ф(*,х) с компонен
тами соответственно ^i (i, xif...t Xi) — fi (і, 0, ...,0, Xi)
и у>і (іг Xt, ..., хт) 9 І = іг...,т . При доказательстве
теорем 2.4.1 - 2.4.2 предполагается выполненным следующее усло
вие: при каждом t =.{,.,., A, &
X?* (*) -І -го уравнения системы (10< ) удовлетворяют
неравенству
\\ ??{*)-xV{t)U
*/*№ \\х?(и)-х?(іо)\\ exp (-Jc(i(ii)oUi)f <**.,
а при і = & +і,...,^71 -неравенству
\ІХ?>(І) -X
s< f*i Ho) II x?(uy x?(t>)\\ exp Q*iMcUi), i
іїі(і)*'0 , причем функции o(i,..., <*k ограничены снизу положительной постоянной: 0( (і.) >у С > 0, і - і,..., А
Основные результаты второй главы содержатся в работе f 25] .
В третьей главе исследуются условия асимптотической экви-
валентности и гомеоморфизма начальных условий систем дифференциальных уравнений (4) и (6), где A(t) - А - постоянная ( Пх я ) -матрица, X, if Є ft* , f С (&+">)* К1) .
В первом параграфе приводится определение асимптотической эквивалентности систем дифференциальных уравнений по Брауеру и Левинсону. Матрица л имеет жорданову форму и
Re Л: (А<)<0, Яг Лг (Аг)>-0; Л = max Йл М Ш » 0;
Xn (і) =
і ,' она,
цг - максимальный порядок жордановых ящиков матрицы Д , соответствующих собственному значению с вещественной частью Л Доказано, что системы (4) и (6) асимптотически эквивалентны по. Брауеру, если существует функция л : f^+«^)xf^+ )-*-[(),+ **), А С ([{., + -) х[0,+ ~)), такая, что выполняются следующие условия:
а) для любого хеЯП при t>,t0 Hf(i,X)H^J[(itiixll);
б) если О*о<і<о(г , то Л(*,<*і) A(tb) Для ^**»;
в) при всех (X [О, + оо) существует интеграл
% (*) =\іГ1А (i,cteMX„ (*))dt,
где p - максимальный порядок жордановых ящиков матрицы Д , соответствующих чисто мнимым собственным значениям,
г) функция а (і (А)- ( Л(Ъ,о(е чХтМ) ^ является не-
Г (е Jz (*)
убывающей по переменной а при Yttio (теорема 3.1.1.). Вели же кроме условий теоремы 3.1.I выполнено дополнительное условие:
д) существует функция А і ' Но, + «*0 х [0, + ">)—> [0, + ) ,
АіЄ C([tOj+«>)x[0+x>)) такая, что для любых х, 5 Є R
при t >/10 справедливо неравенство
\if(t,x) - fa,)\i*A<(t, и* - 5") "* - f" >
*jV"'A ft, ****"&))*# < + «> Vcxe[0, + ~>),
то системы (4) и (6) асимптотически эквивалентны по Левинеону (теорема 3.1.2).
Во втором параграфе этой главы более полно, чем в работах [97] , [ПО] , исследованы свойства соответствия, устанавливаемого мевду решениями систем (4) и (6). Дано определение асимптотической эквивалентности дтфференциальных систем по Немыпкому. Доказано, что если выполнены все условия теоремы 3.1.2, то системы (4) и (6) асимптотически эквивалентны по Немыпкому в областях
% - {Хо Rn I IIX(t:to,Xo)\U M(io,Zo))
, где
% ={%oGRn: liy,(f.t:ifo)\\4K(to,yo) }
X(-t:t97Xo),U(-b:to,U0) - решения систем (4) и (6), F\(to,Xo)j ii far У*) -положительные постоянные (теорема 3.2.1). Если при этом система (6) не имеет других ограниченных решений, кроме тривиального, то система (4) имеет единственное ограниченное решение (теорема 3.2.2).
Результаты этой главы содержатся в работе [10] .
