Исследование нелинейной асимптотической устойчивости состояния равновесия для системы моментных уравнений переноса заряда в полупроводниках Бушманов Роман Сергеевич

Доказательство Теоремы 1

При современном стремительном развитии микроэлектронных технологий становится все более актуальным математическое моделирование полупроводниковых структур. Для снижения стоимости и ускорения процесса разработки при создании новых приборов необходимо использовать модели, обладающие достаточной точностью в соответствующей области применения. Использование упрощенных аналитических моделей для анализа и проектирования полупроводниковых устройств оказывается затруднительным, поскольку в основу таких моделей положены упрощающие принципы, которые могут существенно нарушаться в современных приборах.

Моделирование процесса переноса заряда в полупроводниковых устройствах основывается на кинетическом уравнении Больцмана, описывающем движение носителей зарядов (электронов или дырок) в полупроводнике. Для электронной функции распределения / = /(, х, v) имеем уравнение [1]:

Здесь постоянная q - заряд электрона, т - эффективная масса электрона, Е - электрическое поле, Q - оператор Больцмана, учитывающий взаимодействие электронов с решеткой. Уравнение (1) написано для случая, когда имеются носители заряда только одного типа. При наличии нескольких типов носителей (электронов и дырок, «легких» и «тяжелых» дырок и т.д.) надо ввести свою функцию распределения для каждого типа. Соответственно мы будем иметь столько кинетических уравнений вида (1), сколько есть таких типов. При этом в правой части фор мулы (1) появится сумма по всем типам частиц, на которых рассматриваемые носители заряда могут рассеиваться. Поэтому, если существенно взаимное рассеяние или превращение частиц разных типов, то мы приходим к системе связанных кинетических уравнений.

Для численного решения уравнения Больцмана широко применяется метод Монте-Карло. Этот метод зарекомендовал себя, как дающий достаточно точные результаты. Среди недостатков метода следует отметить, что он требует больших и довольно неоправданных вычислительных затрат. Кроме того, в некоторых случаях, например, если концентрация носителей заряда в отдельных областях прибора очень низкая, результаты вычислений с помощью этого метода могут значительно различаться.

Другой подход, основанный на разложении функции распределения в ряд по сферическим гармоникам, успешно применяется для решения уравнения Больцмана в работах [2,3]. В отличие от метода Монте-Карло, этот метод детерминированный и вычислительные затраты значительно ниже. Тем не менее, не до конца ясно, в какой степени влияет на точность результатов рассмотрение только младших членов разложения.

Таким образом, велика потребность в более простых моделях, представляющих собой разумный компромисс между физической точностью и вычислительной эффективностью.

Естественным упрощением, позволяющим получить приемлемую точность является рассмотрение только некоторых моментов функции распределения / = f(t,x,v), таких как концентрация и температура носителей.

Дрейф-диффузионная модель - простейшая модель переноса заря да, полученная методом моментов из уравнения Больцмана. Стандартная дрейф-диффузионная модель была предложена Van Roosbroeck [4] в 1950 году и состоит из уравнений неразрывности для носителей заряда и уравнения Пуассона для электрического потенциала р(х, t): -V-Jn = R(p,n), (2) ft-V-Jp = R(p,n), (3) A p = -±(p-n + Nd-Na), (4) где n(x,t), p(x,t) — концентрации электронов и дырок. Векторы плотности электронного и дырочного токов записываются в виде Jn = DnWn - цппЧ(р, Jp = DpVp - iippS/cp.

Здесь Dn, Dp — коэффициенты диффузии, цп, [iP — подвижности электронов и дырок, q — величина заряда электрона, Єо — относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника. Предполагается, что структура полупроводника легирована донорной и акцепторной примесями с концентрациями Nd(x) и Na(x), а также в полупроводнике происходит рекомбинация частиц со скоростью R{p,n).

Математические аспекты модели (2)-(4) хорошо исследованы многими авторами. Так, существование и единственность решения доказана в [5], вопросы точности описания различных физических явлений обсуждаются в [6]. Численное моделирование переноса заряда в полупроводниковых устройствах восходит к известной работе Шарфеттера и Гум-меля [7], предложивших устойчивую дискретизацию уравнений дрейфа и диффузии, используемую и по сей день.

Конструирование априорной оценки

Математические аспекты модели (2)-(4) хорошо исследованы многими авторами. Так, существование и единственность решения доказана в [5], вопросы точности описания различных физических явлений обсуждаются в [6]. Численное моделирование переноса заряда в полупроводниковых устройствах восходит к известной работе Шарфеттера и Гум-меля [7], предложивших устойчивую дискретизацию уравнений дрейфа и диффузии, используемую и по сей день.

На протяжении долгого времени именно на дрейф-диффузионной модели основывалось большинство прикладных программ, используемых при моделировании полупроводников. Однако при переходе полупроводниковых устройств на субмикронный уровень, предположения на которых она основывается перестают выполняться. Поэтому транспортные модели постоянно расширяются и улучшаются для более детального охвата физических явлений в таких приборах.

Тем не менее, для описания таких важных явлений, как горячие электроны, ударная ионизация, генерация тепла и тому подобное, наиболее подходящими оказываются гидродинамические модели. При построении таких моделей выбирается подходящая процедура замыкания, позволяющая из бесконечной системы моментов уравнения Больцмана получить замкнутую систему из конечного числа уравнений (как правило, из трех или четырех). Существование процедур замыкания, основанных на разных предположениях, обуславливает наличие большого количества различных гидродинамических моделей. Достаточно подробно различия и общие черты основных моделей описаны в [8].

Одна из самых первых гидродинамических моделей была получена Blotekjaer [9] и изучалась Baccarani, Wordeman [10] и другими авторами. В предположении одного типа носителей (электронов) модель записывается в виде системы для электронной плотности, скорости и плотности энергии (р,и,) (см. [И]):

Здесь T — температура, р(р, Т) — давление, ти 0 и те О — времена релаксации , V — электростатический потенциал, С(х) — проф иль легирования, Si = \рквТь, кв — постоянная Больцмана, Ті — температура решетки. Плотность энергии S имеет следующее выражение где m - эффективная электронная масса. Надо отметить, что полный математический анализ гидродинамической модели (5)-(8) пока отсутствует. В то же время достаточно хорошо изучена упрощенная, так называемая изэнтропическая гидродинамическая модель, которая получается из (5)-(8) в предположении, что температура постоянна:

Математические аспекты модели (2)-(4) хорошо исследованы многими авторами. Так, существование и единственность решения доказана в [5], вопросы точности описания различных физических явлений обсуждаются в [6]. Численное моделирование переноса заряда в полупроводниковых устройствах восходит к известной работе Шарфеттера и Гум-меля [7], предложивших устойчивую дискретизацию уравнений дрейфа и диффузии, используемую и по сей день.

На протяжении долгого времени именно на дрейф-диффузионной модели основывалось большинство прикладных программ, используемых при моделировании полупроводников. Однако при переходе полупроводниковых устройств на субмикронный уровень, предположения на которых она основывается перестают выполняться. Поэтому транспортные модели постоянно расширяются и улучшаются для более детального охвата физических явлений в таких приборах.

Тем не менее, для описания таких важных явлений, как горячие электроны, ударная ионизация, генерация тепла и тому подобное, наиболее подходящими оказываются гидродинамические модели. При построении таких моделей выбирается подходящая процедура замыкания, позволяющая из бесконечной системы моментов уравнения Больцмана получить замкнутую систему из конечного числа уравнений (как правило, из трех или четырех). Существование процедур замыкания, основанных на разных предположениях, обуславливает наличие большого количества различных гидродинамических моделей. Достаточно подробно различия и общие черты основных моделей описаны в [8].

Одна из самых первых гидродинамических моделей была получена Blotekjaer [9] и изучалась Baccarani, Wordeman [10] и другими авторами. В предположении одного типа носителей (электронов) модель записывается в виде системы для электронной плотности, скорости и плотности энергии (р,и,) (см. [И]):

Здесь T — температура, р(р, Т) — давление, ти 0 и те О — времена релаксации , V — электростатический потенциал, С(х) — проф иль легирования, Si = \рквТь, кв — постоянная Больцмана, Ті — температура решетки. Плотность энергии S имеет следующее выражение где m - эффективная электронная масса. Надо отметить, что полный математический анализ гидродинамической модели (5)-(8) пока отсутствует. В то же время достаточно хорошо изучена упрощенная, так называемая изэнтропическая гидродинамическая модель, которая получается из (5)-(8) в предположении, что температура постоянна:

Глобальная теорема существования. Асимптотическая устойчивость

Здесь п, V, W, S — соответственно электронная плотность, средняя скорость электрона, средняя энергия электрона, поток энергии; Р = m V — средний момент кристалла, т — эффективная масса электрона, е — абсолютное значение заряда электрона, Е = — УФ — электрическое поле, Ср(И/), Cw{W), Cw(W) — члены производства балансных уравнений, б — диэлектрическая постоянная, N = ND — NA, ND И NA плотности доноров и акцепторов.

Исследование новой модели (12), (13) представляет большой интерес. Естественно, какая бы математическая модель ни была предложена, она должна быть адекватна описываемому физическому явлению. С этой точки зрения очень важной проблемой при изучении гидродинамических моделей переноса заряда в полупроводниках является проблема устойчивости состояния термодинамического равновесия. Дело в том, что выбранная модель должна правильно описывать переходный процесс при снятии напряжения смещения. Известно, что при отсутствии напряжения смещения в реальных полупроводниковых приборах отсутствует перенос носителей зарядов (то есть электрический ток). Другими словами, требуется, чтобы состояние термодинамического равновесия было асимптотически устойчивым (по Ляпунову) для гидродинамической модели переноса заряда. Настоящая диссертация посвящена исследованию этого вопроса для модели (12), (13).

Итак, Глава 1 диссертации описывает исследование устойчивости состояния равновесия для МЕР модели в различных упрощенных случаях.

В первом параграфе приведена формулировка МЕР модели в общем случае, проведено ее обезразмеривание. В одномерном случае поставлены две тестовые задачи: о длинном полупроводнике и о баллистическом диоде. Кроме этого, обсуждается вопрос о наличии состояний равновесия и их виде, делаются некоторые предварительные замечания, используемые далее в Главе 1. Основные результаты первой главы сформулированы здесь в виде двух теорем, которые доказываются в третьем и четвертом параграфах.

Во втором параграфе собраны так называемые модельные задачи - для двух упрощенных моделей переноса заряда ставится смешанная задача о баллистическом диоде. Первая упрощенная модель получена из МЕР модели путем отбрасывания двух последних уравнений. Вторая же модель получается упрощением так называемой газодинамической модели, описанной в [25]:

На примере модельных задач показана техника конструирования априорной оценки, позволяющей доказать асимптотическую устойчивость состояния равновесия.

В третьем параграфе обсуждается положение равновесия для задачи о длинном полупроводнике и доказывается в линейном приближении его асимптотические устойчивость (Теорема 1).

Четвертый параграф содержит доказательство Теоремы 2. Рассматривается нелинейное упрощение системы уравнений МЕР модели, полученное частичной линеаризацией относительно состояния равновесия задачи о баллистическом диоде. Для упрощенной задачи доказывается асимптотическая устойчивость состояния равновесия. Основные результаты Главы 1 опубликованы в работах [31-35,39-41]. Глава 2 посвящена исследованию одномерной задачи о баллистическом диоде в нелинейной постановке и содержит главный результат диссертации - построение в нелинейном случае глобальной априорной оценки с экспоненциальным убыванием.

В первом параграфе в виде Теорем 3 и 4 описаны основные результаты главы: глобальная теорема существования и теорема об асимптотической устойчивости состояния равновесия. Кроме того, формулируется вспомогательная задача, которая приводится к виду, удобному для конструирования априорной оценки решения. Само построение оценки решения подробно описано во втором параграфе. Кроме того, с учетом полученной априорной оценки здесь сформулирована локальная теорема существования для рассматриваемой задачи (Теорема 5).

Конструирование глобальной априорной оценки

Третий параграф содержит доказательство теорем, сформулированных в первом параграфе. Основные результаты Главы 2 опубликованы в работах [36,37,42]. Предметом исследования Главы 3 является двумерный вариант МЕР модели, для которого в линейном приближении конструируется глобальная априорная оценка решения - другой главный результат диссертации.

В первом параграфе приведена постановка задачи - выписана система моментных уравнений для двумерного случая, поставлена смешанная задача описывающая кремниевый полевой транзистор со структурой металл-полупроводник (Metal-semiconductor field-effect transistor или MESFET) прямоугольной формы. Кроме того, описано состояние равновесия рассматриваемой задачи. В виде Теоремы 6 сформулирован основной результат Главы 3 - асимптотическая устойчивость в линейном приближении состояния равновесия двумерной задачи. Во втором параграфе производится линеаризация системы поставленной задачи относительно состояния равновесия; делаются предварительные замечания, формулируется вспомогательная задача, необходимые для получения априорной оценки.

Третий параграф посвящен конструированию необходимой априорной оценки и доказательству с ее помощью Теоремы 6. Результаты Главы 3 опубликованы в работе [38]. На защиту выносятся следующие основные результаты: 1. Доказательство при определенных ограничениях на функцию плотности легирования и начальные данные асимптотической устойчивости (по Ляпунову) состояния равновесия для одномерной МЕР модели в нелинейной постановке. 2. Доказательство при определенных ограничениях на функцию плотности легирования асимптотической устойчивости (по Ляпунову) в линейном приближении для двумерной МЕР модели Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору А. М. Блохину за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе.

Для системы (1.3 ), (1.4 ) будем рассматривать две тестовые задачи. Первая из них - так называемая задача о длинном полупроводнике - описывает поток электронов в однородно легированном полупроводнике большой длины. В математической постановке это задача Коши на всей числовой прямой с финитными начальными данными. При обезраз-меривании системы (1.1), (1.2) в качестве характерной длины L возьмем длину отрезка, на котором отличны от нуля начальные данные. Выбирая характерную плотность легирования N+ равную N (= const), получим р[х) = 1, хеШ1.

Поставим для системы (1.3 ), (1.4 ) еще одну задачу - широко известную в физике полупроводников тестовую задачу о баллистическом диоде [6,48,57]. Это одномерная задача, описывающая полупроводниковый прибор, состоящий из трех частей. Две области, представленные высоколегированным материалом (п+-области) разделены зоной низкой концентрации легирования (п-область). В этом параграфе рассмотрим технику получения априорной оценки, позволяющей доказать асимптотическую устойчивость состояния равновесия задачи о баллистическом диоде на примере двух простых моделей. Первая упрощенная задача получается из (1-3"), (1.15), (1.7) отбрасыванием двух последних уравнений системы (1.3"), заменяя их тождествами

Помимо системы моментных уравнений (1.1), полученной с помощью принципа максимума энтропии, рассмотрим так называемую газодинамическую модель переноса заряда в полупроводниках, описанную в [25] (см., также, [43]).

Похожие диссертации на Исследование нелинейной асимптотической устойчивости состояния равновесия для системы моментных уравнений переноса заряда в полупроводниках

Асимптотика решений и методы исследования устойчивости состояния равновесия нелинейных систем дифференциальных уравнений Артемьева Елена Николаевна

Асимптотическое поведение решений системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае смены устойчивости положения равновесияАнарбаева, Гулжамал Маматовна

Интегрируемость по Пенлеве систем нелинейных дифференциальных уравнений с приложениями к теории переноса Баландин Сергей Павлович

Исследование устойчивости дифференциальных включений методом усредненияБалабаева Наталья Петровна

Исследование устойчивости сильной ударной волны при сверхзвуковом обтекании бесконечного плоского клинаПашинин Юрий Юрьевич

Исследование устойчивости систем двух нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом по первому приближениюБыкова Алевтина Николаевна

Исследование устойчивости решений линейных уравнений соболевского типаСагадеева Минзиля Алмасовна

Исследование устойчивости решений уравнения Хилла Тарамова Хеди Сумановна

Исследование на устойчивость нелинейных системобыкновенных дифференциальных уравнений, имеющихинвариантные множестваМедведева, Мария Германовна

Приложение обобщенной производной Шварца к исследованию бифуркаций потери устойчивостиЯкушкин Николай Андреевич