Введение к работе
Актуальность_теш_диссертации
Настоящая работа посвящена вопросам исследования на устойчивость в системах дифференциальных уравнений с малыми возмущениями. Задачи такого типа встречаются во многих разделах физики, математики и техники. Исследование на устойчивость требуется также і при решении современных задач экономики, экологии и в других областях. Изучению вопросов устойчивости посвящено большое количество теоретических и прикладных работ.
Одним из основных методов исследования устойчивости движения является второй метод Ляпунова, основанный на использовании функций, обладающих специальными свойствами - функций Ляпунова . Теория этого метода развивалась в трудах Н.Г.Четаева, И.Г.Малкина, Е.А.Ба-рбашина и многих других ученых;
Отсутствие общих методов'построения функции Ляпунова .и специфика многих задач теории нелинейных колебаний (наличие малого параметра, осцилляция возмущений, возникновение резонансных эффектов и т.п.) привело к модернизации классических рецептов метода Ляпунова и соединению их с асимптотическими методами усреднения.
В работах М.М.Хапа.ева предложено обобщение второго метода Ляпунова, ослабляющее оба его основные требования: условие положительной определенности функции Ляпунова и условие на знак ее производной.
-
Ляпунов A.M. Общая .задача об устойчивости движения.-Гостехиздат, 1950.
-
Хапаев М.М. Усреднение в теории устойчивости,- М.: Наука, 1986.
Настоящая работа также посвящена исследованию на устойчивость по части переменных систем с малыми возмущениями. Целью этих исследований является учет некоторых более конкретных свойств изучаемых систем по сравнению с классическими, но более общими случаями.
Упомянутые выпи средние значенияв обобщенном методе Ляпунова обычно вычисляются вдоль интегральных кривых невозмущенной системы. Для этого необходимо знать интегральную кривую ..пусть, вообще говоря, более простой, чем исходная система, но все-же достаточно сложной нелинейной системы, причем, на бесконечном или асимптотически большом промежутке времени.
В нелинейных диссипативынх системах часто существуют периодические устойчивые движения, которые в фазовом пространстве системы изображаются изолированной замкнутой траекторией - предельным циклом.
Естественно ожидать, что наличие учтойчивого предельного цикла может полезным образом изменить условия и возможности применения
обобщенного метода Ляпунова для исследования устойчивости. До'стато-
3 чные условия устойчивости периодических решений сводятся к исследованию характеристических показателей соответствующей системы в вариациях. Эти условия обеспечивают асимптотическую орбитальную устойчивость рассматриваемых периодических решений.
С повышением размерности фазового пространства рассматриваемых систем (т\->3), становится возможным существование более сложных
3. Демидовкч Б.П, Лекции по математической теории устойчивости.-М.: наука, 1967.
- 5 -"
устойчивых инвариантных множеств - инвариантных торов. Это имеет место, например, в случае квазипериодических колебаний. Если между частотами нескольких гармоник, описывающих колебательный процесс, нет рациональных соотношений, то возникают так называемые эргоди-ческие квазипериодические колебания'. Их фазовым пространством будет плотная намотка тора. 5ундаментальные результаты об инвариантных многообразиях тороидального вида были получены Н.Н.Боголюбовым, Н.М.Крыловым, Ю.А.Митропольским. Итоги ряда дальнейших исследований подведены в книге A.M.Самойленко . Предельные циклы и инвариантные торы принято называть ПЕ2їи_і?2И_ЕЕїМЕЕ!1_її2ЕЇЕ^Е> поскольку динамика систем с такими аттракторами не является хаотической и носит, самое сложное, эргодический характер. Регулярные аттракторы являются подмногообразиями фазового пространства динамических систем, обладающими мерой нуль в исходном фазовом пространстве.
В диссипативынх динамических системах, размерность фазового пространства которых YU "2- 3, мо"ут также существовать ограниченные притягивающие множества, которые являются аттракторами и одновременно не являются подмногообразиями. Их геометрическая структура обычно аналогична канторову множеству, а важной качественной характеристикой является дробная размерность. Такие аттракторы называются странными_аттракторами.Термин "странный аттрактор" был введен Д.Рюэлем и Ф.Такенсом в .
-
Самойленко A.M. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные торы.- М.: Наука, 1987.
-
Рюэль Д., Такенс Ф. Странные аттракторы,- М.: Мир, 1981.
Одним из типов странных аттракторов являются гиперболические аттдакторы, состоящие из множества нейстойчивых по Ляпунову траекторий, которые всюду в аттракторе являются седловыми. Примерами гиперболических аттракторов служат так называемые У-системы Ано-г сова, соленоиды Смейла-Вильямса и др.
При изучении динамических систем ряд важных количественных характеристик имеют вид средних значений некоторых известных функций вдоль траекторий рассматриваемой системы. Важную роль при этом играет понятие эГодического_двикения.Это свойство имеет место, если фазовая траектория всюду плотно заполняет некоторый обьем в фазовом пространстве. Эргодическим является движение, например, на двумерном торе при несоизмеримости частот.
Важнейшим моментом эргодической теории является существование инвар_иантной (то есть не зависящей от времени и начальных данных) меры, позволяющей заменять вычисление средних значений по времени средними значениями по инвариантной меое в области фазового простран ства, заполненной рассматриваемой траекторией. Одной из последних, посвященных инвариантным мерам для гиперболических отображений, является статья Е.А.. Сатаева . Следуя 6,7 мы будем пользоваться понятием стохастического _аттр_актор_а.
В настоящей работе исследуются на устойчивость по части переменных системы дифференциальных уравнений, имеющие регулярные и стохастические аттракторы.
-
Сатаев Е.А. Инвариантные меры для гиперболических отображений с особенностями.// ЛИ,- 1992. Т.47, вып.1 (283), с.147-202.
-
Синай Я.Г. Стохаотичность динамических систем.//Нелинейные волны.- М.: Наука, 1979,- С. 192-212.
0сновные_уели_2аботы
применение обобщенного метода Ляпунова к исследованию"на устойчивость в системах, обладающих притягивающими инвариантными множествами (аттракторами); і
рассмотрение как регулярных'(предельные циклы, инвариантные торы), так и "странных" (стохастических, гиперболических) аттракторов.
В работе доказаны теоремы:
об устойчивости по части переменных при постоянно действующих малых возмущениях для существенно нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, обладающих предельными циклами;
то же для систем, обладающих инвариантными торами,
то же для систем, обладающих стохастическими аттракторами.
Проведено сопоставление полученных результатов.
Таким образом, исследована возможность применения обобщенного метода Ляпунова для исследования на устойчивость в системах, содержащих основные типы притягивающих инвариантных множеств.
0бЩ5_итодика_исследования
Б доказательстве теорем применялось сочетание идей второго метода Ляпунова и асимптотического метода усреднения.
При наличии у исследуемых систем -дифференциальных уравнений инвариантных множеств (аттракторов), обладающих инвариантной мерой, изучалась возможность замены исследования требуемых конструкций вдоль интегральных кривых их исследованием на аттракторах.
Практическ^_и_теоретическая_значимость
В диссертационной работе доказаны теоремы, позволяющие исследовать устойчивость по части переменных при постоянно действующих малых возмущениях в нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений.
Результаты обобщенного метода Ляпунова расширены на случаи, когда рассматриваемые системы обладают инвариантными множествами, в результате чего исследование поведения заданных систем в окрестности аттракторов может быть проведено путем изучения этих систем на самих аттракторах.
Рассмотрены основные типы аттракторов: предельные циклы, инвариантные торы, стохастические аттракторы. Выявлен различный характер результатов для регулярных и странных аттракторов.
Апробация_работы
Основные результаты диссертационной работы докладывались на научных семинарах: Семинаре по асимптотическим методам математической физики iM.M.Хапаева (факультет ВМиК МГУ), зимней математической школе "Алгебраические структуры и теория сингулярных возмущений" (Москва, АксакоЕО, 1993 г.), Семинар кафедры Спецкурсов Высшей математики Московского энергетического института.
Структура^иссертации
Диссертация состоит из введения и трех глав, и содержит 65 страниц машинописного текста. Список литературы содержит 39 наименований.
