Введение к работе
Актуальность темы. Для многих стационарных волновых процессов достаточно адекватной математической моделью являются задачи для уравнения Гсяьмгольца. Например, задача об определении свойств и местоположения локализованного источника звукового сиг-пала d океане, задача о5 определении показателя преломления в горизонтально стратифицированном океане по звуковому полю точечного источника, находящееся в дальней зоне. Важный для теории и приложений класс задач - это обратные задачи для уравнения Гельмгольца в дискретной постановке. В одних обратяых задачах требуется восстановить правую часть уравнения Гельмгольца по амплитудно-фазовой информации о его решении, заданной в конечном числе точек, в других - коэффициепд уравнения. В таких обратных задачах по звуковому полю, заданному в какой-нибудь области волновода, заполненного слонсто-неоднородной средой, необходимо найти поле во всём волноводе и получить информацию как об источнике звука, так и о физических характеристиках среды.
Актуальность исследования обратных задач для уравнения Гельмгольца в дискретной постановке обусловлена необходимостью разработки теоретических и алгоритмических подходов к изучению акустических полей в океане, которые несут информацию о самої, источнике звуга, о подводном звуковом канале, о зонах повышенной сейсмической активности дна, например, при покали-ации очагов землетрясения, о зонах повышенного теплообмена с атмосферой.
Цель работы. Целью данной работы является исследование вопросов единственности и устойчивости ряда обратных задач для уравнения Гельмгольца в дискретной посталовке.
Научная новизна. Основные результаты, полученные в работе, состоят в следующем:
-
Получены оценки устойчивости метода Прони, применяемого для решения нелинейной системы уравнений "чециального вида в случаях комплексных, вещественных и чисто мнимых параметров системы.
-
Исследованы вопросы устойчивости восстановления показа' чія преломления в "лоисто-неоднородной среде по заданному полю точечного источника.
3. Исследованы обратные задачи разрешения дискретных сигналов и получены достаточные условия единственности и устойчивости решение таких задач для разли mux типов криволинейных антенн.
Все результаты являются новыми.
Методика исследования. Оценки устойчивости метода Прони получаются с использованием оценок для нормы обратной матрицы Вандермонда, полученными В. Гаутши и частично полученными в диссертации.
Исследование вопросов устойчивости восстановл'іия показателя преломления в слоисто-неоднородной среде по заданному полю точечного источника, проводится с помощью идеи и методов, разработанных Л. М. Брсховских, ГО. П. Лысановьш и метода операторов преобразования для рсшени." обратной спектральной задачи, порученного Б, М. Левитаном.
Исследование обратных задач разрешения сигналов для непрерывных и дискретных антенн проводится с привлечением интерполирующих операторов, построенных с помощью полиномов Чебышева. Достаточные условия единственности н устойчивости решения в случае цилиндрической и сферической антенн получаются в терминах функций Бесселя первого рода.
Практическая и теоретическая ценность. В теоретическом отношении представленные в работе результаты развивают теорию обратных задач для уравнения Гельмгольца в дискретной постановке. Практическая ценность обусловлена применением полученных результатов для нахождения численных решений ряда задач геофизики, акустики океана.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории обратных задач в Институте математики Киргизской Академии наук под руководством акад. Т. И. Иманалиева; на семинаре лаборатории по численным методам решения обратных задач в Институте математики СО РАН под руководством проф. А. Л. Вухгсйма; на семинаре кафедры математических методов геофизики п Новосибирском государственном университете под руковог"твом проф. А. Л. Бухгейма; на семинаре отдела условно-корректных задач в Институте математики СО РАН под руководством акад. М. М.
Лаврентьева; на семинаре кафедры естественнонаучных дисциплин п Новосибирском зысшем общевойсковом командном училище под руководством проф. Е. И. Аверкова.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-4].
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 32 наименования. Материал диссертации изложен на 85 страницах.
