Содержание к диссертации
Введение
ЧАСТЬ 1. Асимптотическая устойчивость и локальная единственность двумерных контрастных структур 31
Глава 1. Теоремы существования для эллиптических и параболических задач. Достаточные условия устойчивости 31
1. Основные обозначения 31
2. Принципы максимума и сравнения 33
3. Теоремы существования решений эллиптической задачи 35
4. Теорема существования решения параболической задачи 39
5. Теорема об асимптотической устойчивости 43
Глава 2. Общие теоремы о существовании, единственности и асимптотической устойчивости решений сингулярно возмущенных краевых задач 44
1. Формулировка основных результатов 44
2. Доказательство теоремы (2.1) 47
3. Доказательство теоремы (2.2) 49
Глава 3. Асимптотическая устойчивость и локальная единственность решений двумерных сингулярно возмущенных краевых задач 53
1. Контрастная структура типа ступеньки в критическом случае 55
2. Контрастная структура типа ступеньки в некритическом случае 86
3. Контрастные структуры типа ступеньки при других условиях 100
4. Контрастные структуры типа ступеньки с несколькими переходными слоями 118
Глава 4. О неустойчивости двумерных контрастных структур 122
1. О неустойчивости двумерной контрастной структуры типа ступеньки 123
2. О неустойчивости двумерной контрастной структуры типа всплеска 134
Глава 5. Существование и локальная единственность двухкомпонент-ной контрастной структуры типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе эллиптических уравнений с разными степенями малого параметра 142
1. Построение асимптотики 144
2. Вспомогательная задача 158
3. Теорема существования 163
ЧАСТЬ 2. Формирование контрастных структур 173
Глава 6. О глобальной области влияния одномерной контрастной структуры типа ступеньки 173
1. Лемма существования 177
2. Асимптотическое приближение решения на конечном промежутке времени 178
3. Метод параметрических барьеров 183
4. Поведение решения на бесконечном промежутке времени 185
5. Предельный переход к стационарному решению при t —> со 195
6. Глобальная область влияния (основной результат) 204
7. Доказательство теоремы(6.2) 206
8. Доказательство теоремы(б.б) 209
Глава 7. О глобальной области влияния двумерной контрастной структуры типа ступеньки 220
1. Лемма существования. Основные результаты для конечного промежутка времени 223
2. Поведение решения на бесконечном промежутке времени 229
3. Предельный переход к стационарному решению при t -> оо 253
4. Глобальная область влияния (основной результат) 266
Глава 8. Существование контрастной структуры типа ступеньки с внутренним слоем, выходящим на границу области 268
1. Доказательство существования решения 271
2. Предельный переход при є —» 0 276
3. Основной результат. 282
Глава 9. Формирование контрастной структуры типа ступеньки с внутренним слоем, выходящим на границу области 283
1. Лемма существования. Основные результаты для окрестности начального момента времени 286
. 2. Поведение решения на бесконечном промежутке времени 292
3. Основной результат. 304
Глава 10. Формирование двухкомпонентнои контрастной структуры типа ступеньки в параболической системе с разными степенями малого параметра 305
1. Обобщенный метод дифференциальных неравенств 308
2. Поведение решения в окрестности начального момента времени 313
3. Поведение решения на полном промежутке времени 319
4. Основной результат. 327
Литература
- Теоремы существования решений эллиптической задачи
- Доказательство теоремы (2.1)
- Контрастные структуры типа ступеньки при других условиях
- Вспомогательная задача
Введение к работе
Актуальность темы
В теории сингулярных возмущений одно из центральных мест принадлежит нелинейным эллиптическим краевым задачам с малыми параметрами при старших производных, рассматриваемым в ограниченной области. Такие задачи возникают в химической кинетике, биофизике, популяционной генетике, теории фазовых переходов. В последние годы исследования сконцентрированы в основном вокруг решений с внутренними слоями, которые принято называть контрастными структурами.
С точки зрения приложений наибольший интерес представляют контрастные структуры типа ступеньки (КСТС). Контрастная структура типа ступеньки характеризуется наличием внутренних переходных слоев (в двумерном случае это - малые окрестности некоторых замкнутых кривых, лежащих внутри области определения КСТС), в которых происходят резкие переходы решения из окрестности одного корня вырожденного уравнения (т. е. уравнения, которое получается из исходного при обращении малого параметра в нуль) в окрестность другого корня. Могут существовать также контрастные структуры типа всплеска (КСТВ), которыми принято называть решения, имеющие внутренние слои (целиком лежащие в области определения КСТВ), где решение быстро удаляется от корня вьфожденного уравнения и сразу вслед за этим возвращается к этому же корню.
Впервые существование контрастных структур в рассматриваемых задачах для одномерного случая было доказано в работах А.В. Васильевой и В.Ф. Кутузова [1-4]. Результат по существованию двумерных контрастных структур типа ступеньки принадлежит П. Файфу (P. Fife) и,У. Гринли (W. Greenlee) [5].
Асимптотическое разложение контрастной структуры по малому параметру можно построить на основе метода пограничных функций [1]. Для одномерных задач это сделано в [1-4,6] и ряде других работ, для некоторых двумерных задач — в [6,7]. Обширная библиография содержится в [6].
В работах Н.Н. Нефедова [7,8] предложен эффективный метод доказательства существования контрастных структур и оценки остаточных членов асимптотических разложений — так называемый асимптотический метод дифференциальных неравенств. Суть его состоит в том, что верхнее и нижнее решения конструируются путем модификации формальной асимптотики. Следует отметить, что из существования верхнего и нижнего решений вытекает существование, но не вытекает единственности (даже локальной) решения исходной
} ышдмотии J
1 Sft9&r\
задачи.
Важным вопросом как с теоретической, так и с прикладной точки зрения, является вопрос об устойчивости контрастных структур как стационарных решений соответствующих параболических задач (в смысле Ляпунова).
Для одномерных задач с краевыми условиями Неймана этот вопрос был решен в работах А.Б. Васильевой [9,11], В.Ф. Бутузова [10], S. Angenent [12], J. Hale [13] и др. В частности было показано, что одномерные КСТС могут быть как устойчивыми так и неустойчивыми, а одномерные КСТВ всегда неустойчивы.
Методы, использованные в [9-13] не удается применить для многомерных задач.
Таким образом, вопросы о достаточных условиях локальной единственности и устойчивости двумерных контрастных структур типа ступеньки оставались открытыми.
Одной из основных и наиболее сложных в теории контрастных структур является проблема их формирования, т.е. вопрос о том, из каких начальных функций в параболических задачах формируются (в финале) такие решения или, по крайней мере, асимптотически не отличимые от них (т.е. обладающие теми же предельными свойствами при стремлении малого параметра к нулю) нестационарные КСТС, а из каких начальных функций подобного формирования не происходит.
Речь прежде всего идет о нахождении областей влияния КСТС в случаях, когда эти решения асимптотически устойчивы. Отметим, что в работе используется термин "глобальная область влияния", отражающий тот факт, что рассматриваемые задачи содержат малый параметр. Под глобальной областью влияния асимптотически устойчивого решения понимается множество всех фугас- » ций, каждая из которых, при достаточно малых значениях параметра принадлежит области влияния данного решения.
Определенные результаты по глобальной области влияния одномерной КСТС для некоторого частного случая были получены в работе P. Fife [14]. Но даже для рассмотренного частного случая не было ясности, насколько условия, обеспечивающие в [14] принадлежность начальной функции глобальной области влияния КСТС, близки к необходимым (более того, как следует из результатов нашей работы, указапные условия далеки от необходимых и поэтому позволяют найти лишь сравнительно небольшую часть глобальной области влияния
і *»1
КСТС).
Таким образом, вопрос о том, каковы глобальные области влияния асимптотически устойчивых КСТС оставался открытым даже для одномерного случая.
Наряду с КСТС, имеющими внутрепние переходные слои в окрестностях некоторых замкнутых кривых (кривых переходного слоя), целиком лежащих внутри области определения КСТС, в двумерном случае могут существовать аналогичные решения, у которых кривые переходного слоя имеют общие точки с границей области (при этом указанные кривые могут быть незамкнутыми). Будем называть такие решения КСТС с внутренними слоями, выходящими на границу области.
Впервые существование таких решений для задач с краевыми условиями Неймана было установлено в работе М. del Pino [15].
Отметим, что основная трудность при изучении решений этого типа связана с тем, что из-за выхода внутреннего слоя на границу не удается построить формальную асимптотику во всей области (а, следовательно, и соответствующих верхнего и нижнего решений достаточной точности методом из [7,8]). В случае краевых условий Дирихле ситуация сильно усложняется еще и тем, что решение имеет пограничный слой, который накладывается на внутренний слой в окрестностях общих точек кривой переходного слоя и границы области; вопрос существования КСТС с внутренними слоями, выходящими на границу области, для задач с краевыми условиями Дирихле до последнего времени решен не был.
Проблема формирования КСТС с внутренними слоями, выходящими на границу области оставалась неисследованной.
Также неисследованной оставалась проблема формирования КСТС, возникающих в системах, состоящих из двух сингулярно возмущенных (СВ) уравнений с разными степенями малого параметра при старших производных. Будем называть их также двухкомпонентными КСТС.
Заметим, что алгоритмы построения асимптотики (основанные на методе пограничных функций) и методы доказательства существования двухкомпонент-ных КСТС хорошо разработаны для одномерного случая [16]. В двумерном случае вопрос существования таких решений до последнего времени был открытым.
Цель работы
Исследование всех перечисленных выше проблем и в связи с этим:
Разработка методов исследования вопросов локальной единственности и
асимптотической устойчивости контрастных структур в двумерном случае.
Разработка методов, позволяющих исследовать проблемы формирования контрастных структур.
Научная новизна работы
Все основные результаты работы являются новыми.
Практическая ценность работы
Работа носит теоретический характер, ее результаты могут быть использованы как для дальнейших исследований проблем асимптотической устойчивости, локальной единственности и формирования решений нелинейных сингулярно возмущенных задач, так и для решения прикладных задач теории сингулярных возмущений из различных естественно-научных областей: химической кинетики, теории фазовых переходов, популяционной генетики и др.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре МГУ по малому параметру (руководители: профессора А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, Н.Н. Нефедов), на семинаре кафедры общей математики факультета ВМиК МГУ (руководители: академик В.А. Ильин, академик Е.И. Моисеев, профессор А.А. Дезин), на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском университете (руководители: профессора В.А. Кондратьев, В.М. Миллионщиков, Н.Х. Розов), на научных семинарах факультета ВМиК (руководитель: профессор И.А. Шишмарев), механико-математического факультета (руководители: профессора В.А. Кондратьев, Е.В. Радкевич) и кафедры математики физического факультета МГУ, на совместных заседаниях семинара им. И.Г. Петровского и Московского математического общества (Москва, 1998), на международной конференции "Математическая физика, математическое моделирование и приближенные методы", посвященной памяти академика А.Н. Тихонова (Обнинск, 2000), на международной конференции "Differential Equations and Related Topics", посвященной 100-летию со дня рождения И.Г. Петровского (Москва, 2001), на Тихоновских чтениях (Москва, 2001), на Ломоносовских чтениях (Москва, 2001 и 2004), па пятом международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002), на шестых (1998), седьмых (1999), восьмых (2000), девятых (2001), десятых (2002) и одинадцатых (2003) математических чтениях МГСУ.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в 23 работах автора, список которых приведен в конце автореферата. Из совместных работ используются только результаты, полученные автором.
Структура и объем работы
Теоремы существования решений эллиптической задачи
В последние годы в теории сингулярных возмущений активно исследуются решения с внутренними переходными слоями. Такие решения получили название "контрастные структуры" [1] (далее имеются ввиду решения нелинейных эллиптических задач с малыми параметрами при старших производных, рассматриваемых в односвязной ограниченной области).
С точки зрения приложений наибольший интерес представляют контрастные структуры типа ступеньки (КСТС). Контрастная структура типа ступеньки характеризуется наличием внутренних переходных слоев (в двумерном случае это — малые окрестности некоторых замкнутых кривых, лежащих внутри области определения КСТС), в которых происходят резкие переходы решения из окрестности одного корня вырожденного уравнения (т. е. уравнения, которое получается из исходного при обращении малого параметра в нуль) в окрестность другого корня. Могут существовать также контрастные структуры типа всплеска (КСТВ), которыми принято называть решения, имеющие внутренние слои (целиком лежащие в области определения КСТВ), где решение быстро удаляется от корня вырожденного уравнения и сразу вслед за этим возвращается к этому же корню.
Впервые существование контрастных структур в рассматриваемых задачах для одномерного случая было доказано в работах А.Б. Васильевой и В.Ф. Бу-тузова [1-4]. Результат по существованию двумерных контрастных структур типа ступеньки принадлежит П. Файфу (P. Fife) и У. Гринли (W. Greenlee) [5].
Асимптотическое разложение контрастной структуры по малому параметру можно построить на основе метода пограничных функций [1]. Для одномерных задач это сделано в [1-4,6] и ряде других работ, для некоторых двумерных задач — в [6,7]. Обширная библиография содержится в [6].
В работах Н.Н. Нефедова [7,8] предложен эффективный метод доказательства существования контрастных структур и оценки остаточных членов асимптотических разложений — так называемый асимптотический метод дифференциальных неравенств. Суть его состоит в том, что верхнее и нижнее решения конструируются путем модификации формальной асимптотики. Следует отметить, что из существования верхнего и нижнего решений вытекает существование, но не вытекает единственности (даже локальной) решения исходной задачи.
Важным вопросом как с теоретической, так и с прикладной точки зрения, является вопрос об устойчивости контрастных структур как стационарных решений соответствующих параболических задач (в смысле Ляпунова).
Для одномерных задач с краевыми условиями Неймана этот вопрос исследовался в работах А.Б. Васильевой [9,11,14], В.Ф. Бутузова [10], S. Angenent [12], J. Hale [13] и ряде других (см. библиографию, приведенную в работах [9-14] и [6]), и ответ был получен путем оценки главного (наибольшего) собственного значения соответствующего линеаризованного оператора. В частности для рассматриваемых задач было показано, что одномерные КСТС могут быть как устойчивыми так и неустойчивыми, а одномерные КСТВ всегда неустойчивы.
Методы, использованные в [9-14] не удается применить для многомерных задач, рассматриваемых в данной работе. Таким образом, вопросы о достаточных условиях локальной единственности и устойчивости многомерных контрастных структур типа ступеньки оставались открытыми. Эти вопросы решены в данной работе на основе нового метода.
По сути удалось указать условия на верхнее и нижнее решения сингулярно возмущенной краевой задачи, при выполнении которых наряду с существованием (точного) решения (в области между верхним и нижним решениями) рассматриваемой задачи (о чем было известно ранее) можно утверждать локальную единственность и асимптотическую устойчивость этого решения. Этот метод применим как для одномерных, так и для многомерных задач (для простоты изложения в работе рассматривается двумерный случай) и вместе с асимптотической устойчивостью и локальной единственностью позволяет получить оценки собственных значений соответствующих линеаризованных операторов.
Разработанный метод позволил обосновать (при различных условиях) асимптотическую устойчивость и локальную единственность двумерных контрастных структур типа ступеньки как с одним, так и с несколькими переходными слоями, причем как в случае краевых условий Дирихле, так и в случае краевых условий Неймана (и вне зависимости от того является ли линеаризованный на исследуемом решении оператор (ЛО) рассматриваемой задачи формально самосопряженным или нет); для случаев задач с формально самосопряженными ЛО получены еще и оценки собственных значений этих ЛО.
Следует отметить, что в данной работе охвачены практически все основные случаи условий, при выполнении которых удается построить формальную асимптотику и доказать существование двумерных контрастных структур типа ступеньки (в рассматриваемых здесь задачах), причем доказательство асимптотической устойчивости и локальной единственности этих решений проходит без добавления каких-либо дополнительных требований.
В работе также рассмотрен случай, когда удается построить формальную асимптотику двумерной контрастной структуры типа ступеньки, но нарушаются условия соответствующей теоремы об асимптотической устойчивости. Для этого случая показано, что двумерная КСТС, если она существует, является неустойчивой. Доказательство неустойчивости проведено с помощью нового подхода, который основан на построении в малой окрестности асимптотики контрастной структуры неупорядоченных верхнего и нижнего решений рассматриваемой задачи. Оказывается, что при определенных условиях в окрестности неупорядоченных верхнего и нижнего решений могут существовать только неустойчивые решения.
Доказательство теоремы (2.1)
Одной из основных и наиболее сложных в теории контрастных структур является проблема их формирования, т.е. вопрос о том, из каких начальных функций в параболических задачах формируются (в финале) такие решения или, по крайней мере, асимптотически не отличимые от них (т.е. обладающие теми же предельными свойствами при стремлении малого параметра к нулю) нестационарные КСТС, а из каких начальных функций подобного формирования не происходит.
Речь прежде всего идет о нахождении областей влияния контрастных структур типа ступеньки в случаях, когда эти решения асимптотически устойчивы. Отметим, что в работе используется термин "глобальная область влияния", отражающий тот факт, что рассматриваемые задачи содержат малый параметр. Под глобальной областью влияния асимптотически устойчивого решения понимается множество всех функций, каждая из которых, при достаточно малых значениях параметра принадлежит области влияния данного решения.
Определенные результаты по глобальной области влияния одномерной контрастной структуры типа ступеньки для некоторого частного случая были получены в работе P. Fife [16]. Но даже для рассмотренного частного случая не было ясности, насколько условия, обеспечивающие в [16] принадлежность начальной функции глобальной области влияния КСТС, близки к необходимым (более того, как следует из результатов нашей работы, указанные условия далеки от необходимых и поэтому позволяют найти лишь сравнительно небольшую часть глобальной области влияния КСТС).
Таким образом, вопрос о том, каковы глобальные области влияния асимптотически устойчивых контрастных структур типа ступеньки оставался открытым даже для одномерного случая.
В работе предложен метод параметрических барьеров, позволивший дать ответ на этот вопрос. Идея метода состоит в том, что нестационарные верхнее и нижнее решения параболической задачи конструируются путем введения зависящего от времени параметра в верхнее и нижнее решения соответствующей стационарной задачи.
С помощью метода параметрических барьеров в работе показано, какие (начальные) функции принадлежат глобальным областям влияния асимптотически устойчивых контрастных структур типа ступеньки, причем как в одномерном, так и в двумерном случае. Показано также, что найденные условия принадлежности функции глобальной области влияния в каждом случае близки к необходимым и, таким образом, достаточно полно описывают глобальную область влияния.
Заметим, что для простоты изложения результаты по глобальным областям влияния КСТС в работе представлены для задач с краевыми условиями Неймана в так называемом некритическом случае. Метод параметрических барьеров позволяет получить аналогичные результаты и для КСТС в критическом случае, а также для задач с краевыми условиями Дирихле [39].
Наряду с контрастными структурами типа ступеньки, имеющими внутренние переходные слои в окрестностях некоторых замкнутых кривых (кривых переходного слоя), целиком лежащих внутри области определения КСТС, в двумерном случае могут существовать аналогичные решения, у которых кривые переходного слоя имеют общие точки с границей области (при этом указанные кривые могут быть незамкнутыми). Будем называть такие решения контрастными структурами типа ступеньки с внутренними слоями, выходящими на границу области.
Отметим, что основная трудность при изучении решений этого типа связана с тем, что из-за выхода внутреннего слоя на границу не удается построить формальную асимптотику во всей области (а, следовательно, и соответствующих верхнего и нижнего решений достаточной точности методом из [7,8]). В случае краевых условий Дирихле ситуация сильно усложняется еще и тем, что решение имеет пограничный слой, который накладывается на внутренний слой в окрестностях общих точек кривой переходного слоя и границы области.
Отметим также, что доказательство существования КСТС с внутренними слоями, выходящими на границу области, для задач с краевыми условиями Дирихле — один из результатов данной работы. В этом доказательстве (оно пригодно и в случае краевых условий Неймана) существенно используется метод параметрических барьеров. Аналогичный результат для случая краевых условий Неймана другим методом был ранее получен в работе М. del Pino [17].
Проблема формирования КСТС с внутренними слоями, выходящими на границу области, оставалась неисследованной.
На основе метода параметрических барьеров в работе получены результаты по формированию и для двумерных КСТС с внутренними слоями, выходящими на границу области.
А именно, показано, из каких начальных функций в соответствующих параболических задачах формируются решения (нестационарные КСТС с переходными слоями, выходящими на границу области), асимптотически неотличимые при достаточно больших временах от указанных стационарных решений. В работе получены также результаты по формированию контрастных структур типа ступеньки, возникающих в системах, состоящих из двух сингулярно возмущенных (СВ) уравнений с разными степенями малого параметра при старших производных. Будем называть их также двухкомпонентными контрастными структурами типа ступеньки.
Заметим, что алгоритмы построения асимптотики (основанные на методе пограничных функций) и методы доказательства существования двухкомпонентных КСТС хорошо разработаны для одномерного случая [18].
В двумерном случае вопрос существования таких решений оставался открытым и (положительно) решен в данной работе (доказана также локальная единственность решения); соответствующее обоснование (оно проходит и в одномерном случае) основано на оценке собственных значений ЛО некоторой вспомогательной скалярной задачи. При этом существенно использованы основные идеи метода доказательства асимптотической устойчивости решений СВ задач, о котором шла речь выше.
Проблема формирования двухкомпонентных контрастных структур типа ступеньки в системе с разными степенями малого параметра до последнего времени оставалась неизученной.
Исследование данной проблемы в работе проведено на основе предложенного обобщенного метода дифференциальных неравенств. Центральная идея этого метода состоит в построении двухкомпонентных верхнего и нижнего решений рассматриваемой задачи, таких, что одна из компонент указанных решений зависит от другой компоненты. Данный метод наиболее эффективен в тех случаях, когда не удается построить классические верхнее и нижнее решения.
Можно сказать, что с помощью обобщенного метода дифференциальных неравенств удалось распространить определенные результаты по формированию од-нокомпонентных КСТС на двухкомпонентный случай.
Более точно, в работе показано из каких начальных функций в СВ системах параболических уравнений с разными степенями малого параметра при старших производных формируются нестационарные двухкомпонентные КСТС, асимптотически неотличимые при достаточно больших временах от соответствующих стационарных решений. Для простоты изложения данный результат представлен для одномерного случая.
Контрастные структуры типа ступеньки при других условиях
Будем предполагать, что кривая Со (из условия (С2) ) задается также уравнениями хх = х в), хг = х2(в), в Є [О,0о], (3.123) где Хі(в), х2{в) — некоторые функции, a. во — некоторое положительное число, не зависящее от є.
Точно таким же образом как в 1 введем малой окрестности кривой Со локальные координаты (г, в). Соответствие между (г, в) и {х\,Х2) можно определить формулами (3.4) (где функции і(0) и х2(в) — те же, что и в (3.123)). В этом параграфе (как и в предыдущем) для краткости мы не будем изменять обозначения для функций при переходе от одних координат к другим.
Далее будем считать, что наряду с требованиями (С1),(С2) выполнено условие (С5) (см. п.1.1 в 1).
В п.2.2 методом пограничных функций [1] построена формальная асимптотика решения задачи (3.1),(3.2) с предельным переходом (3.10) по малому параметру є (как и в 1, следуя терминологии из [1], будем называть такие решения контрастными структурами типа ступеньки).
В п.2.3 определены некоторые дополнительные функции, которые наряду с функциями, входящими в формальную асимптотику, используются в п.2.4 для построения верхнего и нижнего решений задачи (3.1),(3.2) произвольного порядка точности по е.
В п.2.5 при помощи верхнего и нижнего решений, построенных в п.2.4, доказано существование семейства регулярных решений задачи (3.1),(3.2) удовлетворяющих соотношению (3.10).
В п.2.6 приведены основные результаты данного параграфа. Путем анализа результатов п.2.4 там установлено, что условие (В1) главы 2 в данном случае выполнено для к = 1. Этот факт позволяет сделать вывод о том, что при выполнении условий (С1),(С2) ,(С5) и достаточно малых є существует локально единственное регулярное решение и(х,є) с предельным переходом (3.10), для которого формальная асимптотика, построенная в п.2.2, является действительной асимптотикой и которое является асимптотически (С-С)-устойчивым стационарным решением задачи (3.1р),(3.2р).
Построение формальной асимптотики.
Формальное асимптотическое разложение U(x, є) решения и(х,є) задачи (3.1), (3.2) с предельным переходом (3.10) в областях D и D \ на которые область D разделяется некоторой кривой С (D внутри кривой С), которая близка к кривой Со и будет уточнена в процессе построения асимптотики, будем строить в виде (3.11) и (3.12) соответственно. При этом уравнение кривой С в локальных координатах (г, 9), введенных в п.2.1, будем искать в виде: г = \{в,є) = еАі(0) + є2Х2(в) + ... (3.124)
Члены рядов й и Р определены в п.1.2 1. Задачи для определения функций Qi (т 0) (т-е- Функций переходного слоя в окрестности кривой С) где будем получать в соответствие с тем же самым алгоритмом, что и в п.1.2 1 (вслед-ствии этого вид задач для определения функций Q\ (Т,9) здесь будет тот же, что и в предыдущем параграфе). При этом, как и в п.1.2 1, на построение Q№ - функций накладывается требование (3.16), которое будет служить источником уравнений для определения коэффициентов Хі(в) разложения (3.124). Как станет видно из дальнейшего, эти уравнения будут отличаться от уравнений для соответствующих коэффициентов разложения (3.14), полученных в п.1.2 1.
Функции QQ и Зо определим как решения задач (3.18),(3.19) и (3.20),(3.21), к которым добавлены условия Q0 (—оо, в) = 0 и Q0 (+оо,9) = 0 соответственно, точно так же как это сделано в п.1.2 1.
Функции Qi и Qi определим как решения задач (3.34),(3.35) и (3.36),(3.37), к которым добавлены условия Q[ (—со, в) = 0 и Q (+оо,0) = 0. Получим (3.39) и (3.40) соответственно (при этом в выражения для Q\ и Q[ входит неизвестная пока функция Аі(0) из разложения (3.124)).
Итак, функция Аі(0) определена, а значит полностью определены функции Для любого і 2 функции Q\ определяются аналогично функциям Q\ . Приравнивание членов порядка є в (3.16) приводит к алгебраической задаче для ЛІ (0), которую можно записать в виде: .7Г(О,0)А (0) + Я (0)Ф(0,0) = 0, где Ні(в) — известная (на г -том шаге) функция. Отсюда (в силу (3.129)) однозначно определяется Aj(0).
Описанная процедура позволяет определить функции переходного слоя Q\ до любого номера г и попутно найти все коэффициенты разложения (3.124). При этом все Q\ имеют экспоненциальные оценки типа (3.26) (см. [1,6]).
Для любого N 0 введем кривую С , задав ее уравнением: Кривая CpN делит область D на две подобласти: D J (внутри CpN) и Dp . Введем растянутую переменную (здесь и далее) s — то же, что и в (3.2), постоянные 6, Si и функции (.), щ ,Q\ , Pi — те же, что в п.2.2, функции q№ и р построены в п.З этого и предыдущего параграфов соответственно, а функция (,()(6,є) = 0(eN+2) выбрана так же как в п.1.4 1 (введение этой функции обеспечивает нерерывность Рн(х,є) во всей области D).
Вспомогательная задача
Пусть выполнено условие (С1).
Ниже будем считать, что некоторая кривая С удовлетворяет условию (С2) (соответственно (С2)"), если требование (С2) ((С2)") выполнено с Со — С. (Напомним, что условие (С1) сформулировано в п.1.1 в 1, условие (С2) — в п.2.1 2, а условие (С2)"— в конце 3). (Е1).Пусть существует mi (mi 1) кривых (7(1,2), удовлетворяющих условию (С2) и т,2 (т-і 0) кривых С(2,і) удовлетворяющих условию (С2)". Кривые С(і,2) и С(2,і) в совокупности будем обозначать через (7К, г = 1,2,..,п, п = т\ + ТП2.
В дальнейшем через (7(1,2), (7(2,1) и Си) будем обозначать классы кривых (7(1,2), (7(2,1), СУ\ соответственно. Каждая кривая СУ\ делит область D на две подобласти: D\J (внутри СУЛ и D\ZK Через Г2;, / = 1,2, ..,п + 1, обозначим подобласти, на которые кривые из класса Си) разбили область D. Для определенности будем считать, что Пі — та подобласть, в границу dQi которой входит 3D. (ЕЗ).Пусть все кривые из Си), входящие в границу дС1\ области Г2і, принадлежат классу (7(1,2) и выполнено требование (С5). (Е4).Если п 2, область Пі, І Є 2,п + 1, многосвязна, и кривая С1\ из Си), такая, что С%С0П,, OiCDgj, принадлежит классу (7(і,2) (С ,і)), то пусть все кривые СУ- из Си), такие, что принадлежат классу (7(2д) (соответственно (7(1,2)/ Через D(+) обозначим объединение всех множеств Qi, І Є 2,n + 1, таких, что кривые C%Us С dQi, для которых Пі С Djt, принадлежат классу (7(i,2).
Ниже будет показано, что при выполнении условий (С1),(Е1)-(Е4) и достаточно малых є задача (3.1),(3.2) имеет локально единственное регулярное решение и(х,є), удовлетворяющее предельному равенству Um«(.,t)-( „"2(1),п MD " :fim (3.201) и это решение асимптотически (С-С)-устойчиво как стационарное решение задачи (3.1р),(3.2р). Согласно терминологии, принятой в [1], решение и(х, є) относится к классу контрастных структур типа ступеньки (КСТС). Заметим, что в отличии от КСТС, имеющих только один переходный слой, рассмотренных в 1-3, в данном случае и(х, є) имеет по одному переходному слою в окрестности каждой из кривых ( ). = 1,2,.., п.
Обратимся к обоснованию существования и устойчивости (а также локальной единственности) решения и(х,є) с предельным переходом (3.201), предполагая в выкладках, что є достаточно мал.
В соответствие каждой кривой СГл из С ) П С(і,2) можно поставить функции а2(х,є) и (32(х,є) и кривые Са2 и Ср2, построенные в п.2.4 2 для Со = СУу Уменьшим, если потребуется 8 ( 5і), входящее в выражения функций а2(х, є) и (32(х,е), см. п.2.4 2, так, чтобы минимальное расстояние между точками кривых С1,\ Є С(„) с г і ф і и точками, принадлежащими СУ\ (dD) превосходило 25 (25х).
Если С/,ч дПі, то удалим из выражений для а2{х,є) и /32(я,є) слагаемые, содержащие р и Р- функции (в противном случае функции а2(х,є) и @2(х,є) оставляем без изменений). Получившиеся функции обозначим через а (х,є) и /3 (х,є), а кривые Саг и Ср2 — через ClQ и Ср соответственно.
Аналогичным образом, если т2 1 (см. (Е1)), определим функции а (х,є) и (3 (х,е), а также кривые Сга и Ср для каждой кривой СУ\ из С )ПС(2,і), используя результаты п.3.2 3 (см. замечание 1 в конце п.3.2 3). Отметим, что поскольку ни одна из кривых из класса С(2,і) не входит в dQy (см. (ЕЗ)), то в соответствии со способом определения а и 0( \ принятым выше, в данном случае нет надобности находить р и Р- функции, что позволяет обойтись без требования (С6).
Обозначим через щ (fif), I = 1,2, ..,п + 1, подобласти, на которые кривые Ср (С„) разбили область D. Для определенности будем считать, что в дП (сЮ?) входит dD. Для каждой области щ (Q?) множество всех кривых Ср С дщ (Сга С dQf) обозначим через Cpj (Ca i), а множество всех і, таких, что Ср С Сру\ (С1а С CQii) обозначим через Spj (Sa i).
Определим в каждой области щ функцию /3(х,є) следующим образом. Если область щ такова, что содержит более одной кривой Ср, то из всех функций fl%\x,e), таких, что і Є Spj, кроме какой-нибудь одной, которую оставим без изменений, удалим слагаемые, относящиеся к регулярной части асимптотики (т. е. й-функции и слагаемое є3) и, если Z = 1, то удалим так же слагаемые, содержащие р и Р- функции. Если область fif такова, что дщ содержит только одну кривую Ср, то функцию 0М(х,є), такую, что і Є Spj, оставим без изменений. Таким образом для любой области щ из функций (3 (х, є) с номерами і Є Spj по описанной процедуре можно получить функции (которые мы обозначим через) Рі\х,є).
Аналогично в каждой области Uf, I = 1,2,.., га + 1 определим функцию а(х, є), используя функции а (х,є) с номерами г Є baj. Для удобства в обозначениях Ср и С далее будем опускать индексы г, т. е. будем писать просто Ср и Са соответственно. Функции Р(х,е) и а(х, є) построены таким образом, что при достаточно малых є выполнены следующие утверждения: 1. Р,а Є W. При этом функция /3 (о) является гладкой во всех областях Щ ( ) непрерывной в D, а на каждой кривой Ср (Са) нормальная производная функции (3 (а) испытывает скачок, соответствующий верхнему (нижнему) решению. Из 1-3 следует, что в данном случае условие (В1) (главы 2) выполнено для к = 1. Кроме того ясно, что при достаточно малых є выполнено условие (В2). Применяя теоремы (2.1),(2.2), получаем следующий основной результат для контрастной структуры типа ступеньки с несколькими переходными слоями. Теорема(3.7). Пусть выполнены условия (С1),(Е1)-(Е4). Тогда существует е\ Є (0, Єо], такое что при є Є (0,Єі] выполнены следующие утверждения: 1). Задача (3.1),(3.2) имеет регулярное решение и(х,є), удовлетворяющее (3.201) и такое, что
Аналогичным образом, используя результаты 1 и п.3.1 3, можно исследовать условия существования, локальной единственности и асимптотической устойчивости контрастной структуры типа ступеньки с несколькими переходными слоями в критическом случае, т. е. когда выполняется требование (С2).Требуемый порядок гладкости определяется порядком асимптотики решения, которую надо построить. Как и в главе 3, будем считать данные в постановке задачи сколь угодно гладкими.
В 1 рассмотрен случай, когда для задачи (4.1),(4.2) удается построить формальную асимптотику контрастной структуры типа ступеньки (КСТС), но нарушаются условия соответствующей теоремы об асимптотической устойчивости (а именно - теоремы(3.4), см. главу 3). Для этого случая показано, что КСТС, если она существует, является неустойчивым стационарным решением задачи
