Введение к работе
1 . Актуальность темы. Постановка задачи.
Теория сингулярных возмущений, зародившаяся еще в начале века при решении прикладных задач, связанных с решением погранслойных задач в гидродинамике, в конце 40-х - начале 50-х годов известными работами А.Н.Тихонова была превращена в одно из крупнейших направлений теории дифференциальных уравнений. Далее А.Б.Васильевой был развит метод построения асимптотического разложения решения тихоновской системы по малому параметру для начальной, а затем и краевой задачи. Этот метод, развитый затем для широких классов обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными, интегро-диффервнциальных уравнений, уравнений с отклоняющимся аргументом А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузовым и их учениками, известен в настоящее время как метод пограничных функций и получил свое отражение в монографиях . Не претендуя на полноту, среди работ, развивающих различные подходы в теории сингулярных возмущений выделю работы М.Й.Вишика и Л.А.Люстерника для линейных дифференциальных уранений в частных производных , В.А.Треногина, метод регуляризации С.А.Ломова , метод усреднения, развиваемый в работах Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Митропольского, В.М.Волосова, М.М.Хапаева и др., метод типа ВКБ В.П.Маслова , метод согласования асимптотических разложений А.М.Ильина, теорию релаксационных колебаний Е.Ф.Мищенко
и Н.Х.Розова . Различные направления теории сингулярных возмущений и ее приложений интенсивно развиваются и за рубежом.
Рад важных прикладных задач в химической кинетике, синергетике, биологии, астрофизике, лазерной оптике приводят к уравнениям типа реакция-адвекция-диффузия. Во многих случаях (быстрая реакция, малая диффузия и т.д.) такие уравнения являются сингулярно возмущенными, и, как следствие, их решения имеют зоны быстрого пространственно-временного изменения (пограничные и внутренние слои). Такие решения мы называем контрастными структурами. Теория контрастных структур интенсивно развивается в последнее время, что связано с интересом к такого типа решениям в приложениях и в численном исследовании математических моделей. Значительную роль в развитии теории контрастных структур сыграли работы А.Б.Васильевой и В.Ф.Бутузова для обыкновенных дифференциальных уравнений.
В настоящей диссертации теория контрастных структур развивается для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными.
Определим понятие контрастной структуры на примере следующей задачи
є2Ли = f(u,x,s), XD=R2, (1)
u| = g(x), (2)
где є>0 - малый параметр, А - оператор Лалдзсз.
Контрастной структурой типа всплеска будем называть решение задачи (I), (2), которое близко к некоторому решению вырожденного уравнения
всюду внутри области D за исключением малой окрестности некоторой замкнутой гладкой кривой С. лежащей внутри D, в которой происходит всплеск решения.
Контрастной структурой типа ступеньки будем называть решение задачи (I), (2), которое по разные стороны от некоторой замкнутой кривой С, лежащей внутри D , близко к разным решениям й = ф.,(х) и й = <р2(х) вырожденного уравнения (3). Кривая С, в окрестности которой локализована контрастная структура, как в первом, так и во втором случае заранее не известна. Она находится в ходе построения асимптотики.
Аналогичным образом могут быть определены решения типа контрастных структур и в других классах нелинейных сингулярно возмущенных задач.
Настоящая диссертация в основном посвящена вопросу существования решений типа контрастных структур - стационарных и нестационарных, построению их асимптотики и оценке точности этих асимптотик. В работе получены также некоторые" результаты по
устойчивости контрастных структур, а также по применению теории контрастных структур в прикладных задачах. Проблема формирования контрастных структур не рассматривается.
Доказательство существования решений и оценка точности построенных асимптотик в изученных в диссертации классах задач основано на развитии автором метода дифференциальных неравенств для нелинейных сингулярно возмущенных задач, идеи метода дифференциальных неравенств, берущие свое начало от работ А.С.Чаплыгина и С.Н.Бернштейна , получили свое дальнейшее развитие в работах Нагумо. Идеи метода дифференциальных неравенств и обобщение теорем Нагумо нашли свое отражение и дальнейшее развитие в работах Амана, Бернфельда и Лакшмикантама, позволивших получить результаты, аналогичные теоремам Нагумо для некоторых классов нелинейных эллиптических и параболических задач, в том 'числе для периодических решений, а также расширить класс функций Нагумо (класс нелинейностей, для которых справедлива теоремы о дифференциальных неравенствах), что, как оказалось, может быть эффективно использовано именно в сингулярно возмущенных задачах. В частности, в работах Амана был получен результат для задачи (1), (2), состоящий в том, что
если сущест&уют достаточно гладкие функции <х(х,є) и Р(х,є), называехие нижній и вертим решениел задачи (1), (2) и удовлзтворшщіе неравенстВол
є^Ла - і(a,x,s> > О,
е2Д0 - і(р.х.е) > О,
а(х,є) ^ р(х,є) при х ^ D,
а(х,є) < g(x) < р(х,є) при х є (3D, то существует решете задачи (1), (2) и(х,є) такое,, smo а(х,є) < u(x) < (Их,є).
Развиваемый в диссертации подход позволяет использовать результаты сформулированной выше теоремы о дифференциальных неравенствах и ее аналогов в других классах задач для эффективного в ряде случаев построения нижних и верхних решений на основании построенной по методу пограничных функций формальной асимптотики решения путем ее модификации и представляет, таким образом, некоторое дальнейшее развитие метода пограничных функций. Все рассмотренные в диссертации задачи принадлежат классу, для которого справедливы теоремы о дифференциальных неравенствах. Большинство из рассмотренных задач об'единены еще и тем, что построение асимптотического разложения решения по методу пограничных функций проводится по одной схеме, в частности, функции пограничного слоя строятся с помощью одних и тех же, погранслойных дифференциальных операторов, что позволяет предложить общий для этих задач способ
модификации асимптотик для построения верхних и нижних решений.
изучение устойчивости контрастных структур, полученных для стационарных задач, как решений соответствующих нестационарных задач является весьма важной и непростой теоретической задачей, существенной для приложений, где с устойчивостью связана возможность наблюдения внутренних слоев в изучаемых моделях.
Применительно к задаче (I), (2) речь идет о поведении при X о решений уравнения вида
s2&u - au/at = ї(ц,х),
близких в начальный момент к стационарной контрастной структуре. Одним из основных методов исследования на устойчивость является изучение знака собственных значений 'соответствующей задачи Штурма - Лиувилля (устойчивость по первому приближению). Е связи с тем, что стационарные решения имеют внутренние слои, и, следовательно, производная Г на стационарном решении меняет знак в узкой области, такие задачи являются нестандартными и требуют развития специальных методов. И если для одномерных контрастных структур типа ступеньки проблема изучена гораздо шире, то по устойчивости контрастных структур типа всплеска известны лишь результаты о неустойчивости. В получен результат о неустойчивости контрастной структуры типа всплеска в одномерном аналоге задачи (I), (2). Аналогичный результат о неустойчивости контрастной структуры типа всплеска получен для системы
дзух уравнений, одно из которых является быстрым, а другое медленным, в работе. Поэтому выделение классов задач с устойчивыми контрастными структурами типа всплеска, а также исследование устойчивости двумерных контрастных структур является актуальной и важной задачей. Этому посвящен 4 главы 1.
Основной целью работы является дальнейшее развитие теории сингулярных возмущений, развитие метода дифференциальных неравенств для широкого класса нелинейных сингулярно возмущенных задач с частными производными и построение и обоснование асимптотических разложений по малому параметру решения этих задач, представляющих интерес как с точки зрения теории сингулярных возмущений, так и ее приложений.
