Усреднение задач теории упругости на тонких периодических структурах Пастухова Светлана Евгеньевна

Содержание к диссертации

Введение

1. Аппроксимативные условия для переменных мер 30

1. Пространства периодических вектор-функций с мерой 30

2. Пространства периодических функций с переменной мерой . 33

3. Соболевские пространства на тонких и составных структурах 36

4. Проверка аппроксимативных условий для структур с особой геометрией 45

2. О неравенствах Корна на тонких периодических структурах 48

1. Особенности неравенств Корна на тонких периодических структурах 48

2. Тонкие периодические сетки 49

3. Ящичные структуры 61

3. Двухм ас штабная сходимость на тонких структурах критической толщины 64

1. Предварительные сведения о двухмасштабной сходимости . 64

2. Двухмасштабная сходимость в пространствах теории упругости на тонких структурах 67

3. Двухмасштабная сходимость в пространствах теории упругости на ящичных структурах критической толщины 69

4. О тензоре релаксации 90

4. Вывод предельного оператора для задач теории упругости на тонких структурах и изучение его спектра 92

1. Леммы о продолжении 92

2. Вывод усредненного уравнения 101

3. Спектр предельного оператора задачи теории упругости на периодической сетке критической толщины 104

4. Проблема корректора 112

5. Об усредненном тензоре на сетках 122

5. Усреднение задач теории упругости на составных структурах 130

1. Постановка задач на составных структурах 130

2. Задача на плите с бесконечно тонким стержнем 134

3. Задача на плите с тонким стержнем 140

4. Задача на плите с сингулярной сеткой 144

5. Коммутативные диаграммы предельных переходов 147

6. Двухмасштабная сходимость с переменной составной мерой . 149

7. Усреднение на составной структуре 155

8. Неравенства Пуанкаре и Корна для составной меры. Принцип компактности 156

9. О сходимости спектра в задачах теории упругости на периодических составных структурах 160

6. Сходимость гиперболических полугрупп в переменном пространстве и её применение к усреднению эволюционных задач теории упругости на тонких периодических структурах 164

1. Теорема Троттсра - Като в переменном пространстве 164

2. Резольвентная сходимость в переменном гильбертовом пространстве 168

3. Абстрактная гиперболическая полугруппа 172

4. Связанные с гиперболической полугруппой переменные гильбертовы пространства 173

5. Слабая сходимость гиперболической полугруппы в среднем по времени 178

6. Сильная сходимость в связанных с гиперболической полугруппой переменных пространствах 181

7. Поточечная сходимость гиперболической полугруппы в переменном пространстве 183

8. О сходимости спектра при резольвентной сходимости 185

9. Операторная форма принципа усреднения для эволюционных задач на периодических структурах критической толщины . 187

10. Эффект долговременной памяти 189

Литература 191

• Соболевские пространства на тонких и составных структурах
• Двухмасштабная сходимость в пространствах теории упругости на ящичных структурах критической толщины
• Спектр предельного оператора задачи теории упругости на периодической сетке критической толщины
• О сходимости спектра в задачах теории упругости на периодических составных структурах

Введение к работе

1. Периодические тонкие и составные структуры

Настоящая работа находится на стыке двух направлений - теории усреднения и теории тонких структур-. В теории усреднения изучаются периодические микронсоднородные среды, характеристики которых быстро меняются с измельчением периода. Задача теории усреднения - найти постоянные эффективные характеристики и доказать, что среда с эффективными характеристиками в некотором смысле близка исходной. За 30 лет существования теории усреднения появилось огромное количество работ, в том числе много монографий [1-8]. Разработаны различные методы: метод асимптотических разложений Н.С. Бахвалова [9,1]. метод компенсированной компактности L.Tartar - F.Murat[10], метод р-связноети В.В. Жикова [11,12], метод двухмасштабной сходимости (Nguetseng - Allaire Жиков) [13-17].

С другой стороны, в классической теории упругости рассматривается возникающая из приложений задача об отыскании поля перемещений, которое вызывается внешним воздействием в балке (плоской или пространственной), пластине или сочленении плит и стержней. Все эти физические объекты примеры простейших тонких структур, у которых неоднородность выражается прежде всего в том, что размеры в различных направлениях являются величинами разного порядка, при этом выделяется малый параметр толщины h —> 0.

Еще в XIX в. механиками (Г.Р.Кирхгоф, С. Жермен) замечено, что при k —> 0 тонкие объекты можно описывать особыми уравнениями (уравнениями балки, пластины, мембраны), которые получаются редукцией размерности при переходе к пределу при h — 0 из общей системы уравнений Ламе. При этом происходит переход от тонкой структуры к сингулярной, размерность которой меньше размерности объемлющего пространства. Понижение размерности в задаче сопровождается повышением ее порядка: из системы уравнений Ламе возникают уравнения четвертого порядка. Подобные результаты вошли во все классические учебники по теории упругости (см., например, [18-22]).

В последние 30 лет появилось большое количество работ с математическим обоснованием этого подхода (Назаров С.А.. Слуцкий А.С, Панасенко

Г.П., Ciarlet P.G., Destuynder Р и многие другие авторы.). Обширную библиографию по этому вопросу можно найти в монографиях [23.24]. Ключевую роль в этих работах играет неравенство Корна, с помощью которого можно оценить поле перемещений и его полный градиент через поле напряжений в нормах лебеговых пространств. Вид неравенства Корна и вхождение в него параметра h сильно зависят от геометрии тонкой структуры. Отыскание "точного вида" неравенства Корна - необходимое условие для обоснования предельного перехода.

В данной работе изучаются задачи, лежащие на стыке двух изложенных выше направлений. Для решения их требуются наряду со старыми методами качественно новые подходы, разработке которых и посвящена диссертация.

1. Дадим определение тонкой периодической структуры. Пусть F -1-периодичсская структура, которая характеризуется "толщиной" h > 0 и при h — 0 переходит в некоторую предельную структуру F с '"нулевой толщиной". Гомотетическое сжатие F^ = eF , где h(e) — 0 при є —» О, задаст с-периодическую структуру толщины єіі(е). Тонкие структуры F¹ удобно описывать как носители 1-периодических борелевых мер р. , слабо сходящихся при Л — 0 к мере //. задающей предельную или сингулярную структуру F.

Перечислим модельные примеры.

1. Сетки. Пусть F - периодический граф (сетка) на плоскости, р. - нормированная мера, сосредоточенная на F и пропорциональная там ли нейной мере Лебега. Тогда F - объединение всех полос ширины 2k > О, симметричных относительно соответствующих звеньев из F, ft - нормиро ванная мера, сосредоточенная на F и пропорциональная там плоской мере Лебега, Аналогично определяются периодические стержневые структуры в Ж³.

Ящичные структуры. Пусть F - периодическая ящичная структура в Ш, , состоящая из координатных плоскостей и их сдвигов на целочисленные векторы, fi - периодическая нормированная мера, сосредоточенная на F и пропорциональная там плоской мере Лебега. Тогда F - объединение бесконечных плит толщиной 2Л. > 0, симметричных относительно соответствующих плоскостей из структуры F, ц - периодическая нормированная мера, сосредоточенная на F ¹ и пропорциональная там пространственоой мере Лебега.

Составные, структуры на плоскости. Здесь мера fi равна полусумме плоской меры Лебега и описанной выше естественной меры на сингулярной сетке F) a fi полусумма плоской меры Лебега и естественной меры на тонкой сетке F ^l. Таким образом, мы имеем плоскость, "армированную" сеткой F^h.

Составные структуры в пространстве. Здесь мера /і равна полусум- ме пространственной меры Лебега и естественной меры на сингулярной ящичной структуре F, а // полусумма пространственной меры Лебега и естественной меры на тонкой ящичной структуре F .

Обычно мера /і абсолютно непрерывна относительно меры Лебега в объемлющем пространстве, dp^h = p^h(x)dx. Если d/i^h — dp ~ dx есть мера Лебега, имеем классические усреднение. Случай, когда dp^h = dp ~ pdx, где р - характеристическая функция некоторого открытого периодического множества, соответствует усреднению в перфорированной области.

Впервые усреднение на тонких периодических структурах было рассмотрено Н,С. Бахваловым и Г,П. Панасенко более 20 лет назад. Для задачи о стационарном распределении тепла на плоском прямоугольном каркасе [1,глава 8] был установлен следующий результат: для любой /і(є) —> 0 предельное при с —* 0 распределение тепла одно и то же и находится из классического типа усредненного уравнения, рассматриваемого в сплошной области, на которую натянут каркас.

В аналогичных задачах теории упругости полная картина усреднения прояснилась лишь в последнее время. В 2001-2002 гг. В.В. Жиковым [25,16] обнаружен масштабный эффект для задач теории упругости на периодических тонких структурах, который не наблюдается в скалярных задачах. Этот эффект заключается в том, что усреднение зависит от величины \\тк(є)/є = 0, 0 Є [0,оо].

При этом усредненное уравнение теряет классический характер и становится "двухмасштабным". В.В. Жиковым [16] получен принцип усреднения для достаточно топких и достаточно толстых упругих структур, когда 9 = 0 или в = сю соответственно. Усреднение в наиболее сложном случае, когда структуры имеют критическую толщину, то есть в = const > 0, изучено в совместных работах В.В.Жикова и С.Е.Пастуховой [26,27], а также в работах С.Е.Пастуховой [87, 88, 91]. Следует отметить основанные на другой технике работы Г.П. Панасенко [63-65].

Тонкая структура представляет собой каркас в пустоте. Сочленение тонкой структуры с однородной средой дает составную структуру. Например, это может быть плоскость или пространство с встроенными в них тонкой сеткой или тонким ящичным каркасом. Составной структуре соответствует составная мера, равная полусумме меры Лебега в объемлющем пространстве и естественной меры на тонкой структуре, dp = ^х -I^!i- . Видим, что dp = p^l(x)dx с плотностью р''(х), сильно контрастной при h —» 0: р¹{х) — 0(1) и p^l(x) = 0(h~ ) соответственно вне тонкой структуры F и на ней. В этом смысле составная структура моделирует армированную среду определенного вида.

На составных структурах (и это сильно отличает их от тонких) усреднение скалярных задач и задач теории упругости однотипно [89, 92]: нет мае- штабного эффекта и усредненное уравнение имеет классический характер. Различие между тонкими и составными структурами проявляется также в неравестве Корна и в структуре так называемых периодических жестких перемещений для предельной меры.

2. Дадим точную постановку задачи на тонкой структуре. Через А — {dijsp} обозначим тензор упругости, подчиненный обычным условиям симметрии: Sp = a^pij — fiji_sp. Скалярное произведение симметрических матриц = {&j}, f] = {%} определим как і] = ;/%. Действие тензора А на матрицу есть матрица АІ = {а^_9р^_ар}. Тогда А( = a_ijsp^j(_sp -плотность упругой энергии. Предполагаем, что тензор А положительно определен, А > сд , со > 0.

Для изотропного тензора имеем

Д = k + *!№, jfc > 0, к_г > 0, (0.1) где Е единичная матрица, tт - след матрицы .

В пересечении ограниченной липшицевой области Q с тонкой структурой FJ = cF (являющейся сжатием в г^-1 раз 1-псриодичсской структуры F ) получаем перфорированную область 7 П FJ? сложной геометрии (см. рис. 20). Свяжем с этой областью пространство W_Ejh - замыкание множества Co(f2)^d по норме ( / \-p'1 + -^ I - тензор деформации. fin/-'/¹

Рассмотрим задачу: найти вектор-функцию и^&> Є И^/и д-Л^г которой выполнено интегральное тождество f Ae(if<ⁿ)-e(p)dx = QnF,^h tin Ft (0-2) f-ydx ^d, fec{n)^d.

Это обобщенная или вариационная формулировка краевой задачи для системы теории упругости в области 12 П F_E^l. когда на дП П dF^ задается условие закрепления, т.е. условие Дирихле и-' = 0, а на остальной части границы области fi П F_e' - условие отсутствия напряжений: Ае(и^е' )п = 0, п - нормаль к границе.

Для широкого класса тонких структур доказано равномерное по є, h неравенство Корна (см. гл. 2)

I \2dx < с f \e{2dx, <р Є С^(П)^(І. (0.3)

Из него следует, что решение и^є' ограничено вместе с тензором деформации е(г( ), т.е. справедлива оценка ~щ I (\u<'^h\² + \c(u*'^h)\²)dx

Цель усреднения состоит в том, чтобы изучить поведение решения и^є' при є —+ 0 и найти уравнение, которому удовлетворяет предельная функция. Случай, когда толщина h > 0 - фиксирована, охватывается классической теорией усреднения в перфорированных областях, см. [1], [4], [6]. Будем считать, что толщина структуры стремится к нулю вместе с є, т.е. h = к(є) —> 0 при є —» 0. Для скалярной задачи на тонкой сетке в книге Н.С. Бахвалова и Г.П. Панасенко [1] доказана "сильная" сходимость JS]Jfrb?l ./ К''»-Л*)|²<Ь = , (0-5) QriFp где u^E,h{x) - решение задачи вида (0.2), и(х) - решение усредненной задачи Дирихле и⁰ ЄНЦії), -divA^homVw = f.

При этом усредненная матрица Л¹⁰"¹ определяется с помощью некоторой периодической задачи на сингулярной сетке F. Важно, что предел решений '' не зависит от способа стремления h к нулю, [1, гл. 8].

Особенностью задачи теории упругости является то, что решение u^s' "осциллирует" и для него, вообще говоря, не может быть сильной сходимости (0.5). Более точно, в нулевом приближении решение u^E'^h{x) имеет вид и(х, 7), где и(х, у) - функция двух переменных, периодическая по аргументу у. Функция ii(x,y) служит "двухмасштабным пределом" последовательности V^s-¹. При этом структура функции и(х.у) и уравнение, которому она удовлетворяет, существенно различаются в указанных выше трех случаях (в ~ 0, в = оо, В > 0), хотя всегда и(х,у), как функция аргумента ;у, есть "периодическое жесткое перемещение на сингулярной структуре F".

Поясним это ключевое понятие. Скажем, что заданный на сингулярной структуре F вектор и 6 L (Y,df].y есть периодическое жесткое перемещение, если найдется последовательность гладких периодических векторов фь Є Cper(^')^d) такая, что <Р6 - и, с{ір_ь) ^0в 1²(У,с///.).

Множество периодических жестких перемещений будем обозначать через Я.

Основную роль в теории усреднения играет возможность единственного представления периодического жесткого перемещения '0/) = с + хЫ, (0.6J в котором с - постоянный вектор, а х ~~ поперечное перемещение. Последнее означает, что на каждом составляющем структуры F (звене сетки или грани ящичного каркаса) вектор х ортогонален этому составляющему п.в. Таким образом, справедливо (неортогональнос) разложение "X = Ш + D?i, где К] множество всех поперечных перемещений. Это свойство меры ft (или самой структуры) аналогично так называемой 2-связности меры в скалярной теории и в дальнейшем называется просто связностью.

Представление (0.6) доказано для модельных сеток и ящичной структуры. Для сеток общего вида мы вводим специальное геометрическое условие, обеспечивающее связность структуры. Оно заключается в том, что узлам можно приписать целочисленную метку или уровень, так что каждый узел связан двумя неколлинеарными (в трехмерном случае - тремя некомпланарными) ребрами с узлами меньшего уровня.

В соответствии с (0.6) нулевое приближение для и. (или двухмасштаб-ный предел) имеет структуру и(х,у) = и(х) + х(х,у), x(av) Є Кь

Компонента и принадлежит Соболевскому пространству HQ(Q,dx)^d и является решением обычного типа усредненного уравнения -<1гуА^Ы'^те(и⁰) = f вП. (0.7)

Это верно как в критическом случае $ > 0, так и для достаточно толстых структур. В последнем случае компонента \ ⁼ 0, выполнено соотношение (0.5) и на этом усреднение задачи заканчивается. Для структур критической толщины ответ выглядит сложнее.

Например, для сеток компонента х(^хіУ) определяется как решение некоторой хорошо поставленной периодической задачи на сингулярной сетке. Эта задача включает в себя уравнения балки на каждом звене и условия закрепления и сопряжения в узлах. Вместо сходимости (0.5) возникает сходимость ^щ j |_U^(x)-_UV)-xK^4l²^-»0, (0.8) что является частным случаем "сильной двухмасштабной" сходимости.

Можно сказать, что компонента и (х) описывает (при малых е) перемещение системы узлов как целого, а компонента х(х.у) - поперечное отклонение каждого стержня.

Если область fi неограничена (или она ограничена, но неравенство Корна (0.3) не имеет места) мы рассматриваем "резольвентное" уравнение »^п>? (0.9) - У f-?dx v_P є c₀(n)^d, fec(uy^l.

В этом случае оценка (0.4) выполняется автоматически.

2. Операторная форма принципа усреднения

1. Многие задачи теории усреднения имеют вид операторных уравнений

А_Еи_с + Хи_с = /, (0Д0) где А > 0, Л_є - неотрицательный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве Н типа -пространства. Сам принцип усреднения формулируется в виде сильной сходимости решений и_є -» и (0.11) к решению операторного уравнения

Ли + Хи = /, (ОД 2) где Л - также неотрицательный самосопряженный оператор в том же пространстве Н. называемый усредненным, или предельным,. Соотношения (0.10)-(0.12) означают сильную резольвентную сходимость (Л_г + А)-¹/-^(Л + А)-¹/, (ОДЗ) для любого / Н и любого А > 0 (достаточно для А — 1).

Из резольвентной сходимости (0.13) вытекают далеко идущие следствия для эволюционных и спектральных задач, связанных с уравнением (0.10).

В качестве примера, когда справедлив классический принцип усреднения (0.10)-(0.12), рассмотрим задачу Дирихле и Є Я₀¹(П) : -diving¹ x)Vu) + и = / Є Ь²(П) в П, где ІЇ - ограниченная область в Ж.' , а(у) - измеримая 1-периодическая симметрическая матрица, удовлетворяющая условию эллиптичности и ограниченности. Предельная задача имеет вид и Є НІ(П) : ~diva^hornVu + и = / в П, где а ^от - некоторая постоянная матрица, называемая усредненной. Из резольвентной сходимости (0.13) с помощью теоремы Троттера-Като выводим усреднение для соответствующих параболической и гиперболической задач, а с помощью теоремы Реллиха заключаем о сходимости по Хаус-дорфу спектра исходной задачи к спектру предельной задачи.

Однако, в задачах усреднения на тонких структурах изложенную схему, (вязанную с сильной резольвентной сходимостью, нельзя применить, хотя сама запись исходной задачи в операторном виде (0.10) сохраняется. Дело в том, что оператор Л_г действует в переменном пространстве типа L²(fi₆). где П - переменная область. Известно понятие компактности в переменном пространстве типа L (Гї_е), но в данном случае последовательность решений уравнения (0.10) не является компактной в этом смысле.

Выяснилось, что целесообразно оперировать не с сильной сходимостью, а с так называемой сильной двухмасштабной сходимостью и в соответствии с этим изменить понятие резольвентной сходимости.

Перечислим основные виды сходимости, используемые в настоящей работе.

1. Сходимость в переменном пространстве L². Пусть меры /л_е. // меры Радона в ft, такие что /і —* /і, т.е. f e —» j e) последовательность и_є слабо сходится к функции и Є L' (il.dfi), и_є(х) —> u(x), если і u_eipdfi_s —-у І uipdft V^ Є C^IQ).h h

Скажем, что и_є(х) Є L (fl,d//_s) сильно сходится к и Є L²(il,dfi), и_є(х) —» u(x), если / v(x)u(x)dfi_E —* / v(x)u(x)dfi как только v_E —> v(x).h h

Аналогично определяется сходимость в переменном пространстве периодических функций L²(Y_:d/i^h).

2. Двухмасштабная сходимость. Пусть Y ~ [0,1) - ячейка периодичности с мерой Лебега dy. По определению, ограниченная в L²($l,dx) последовательность и(х) слабо двухмасштабно сходится к функци и(х.у) Є L²{il х Y), и_є(х) —^ь -и(а;, у), сели / u_E(x) / / u(x.y)ip(x)bydxdyп її У для любых <р Є С^(П), Ь{у) Є C{Y).

Скажем, что и_є(х) Є L (fi) сильно двухмасштабно сходится к функции и(х,у) Є ²(Г2 X Y), и_є(х) — и(х.у), если /„(*)«.(*)*. ~JJvlx,vM'.»)i*dv -к только „ і »(,,,). її її V

Двухмасштабная сходимость введена G. Nguetseng [13] и развита в работе G. Allaire [14].

3. Двухмасштабная сходимость с мерой. Пусть \i ~ произвольная 1-периодическая нормированная борелева мера, ц_є - є-периодическая мера, заданная соотношением /^(3) = ^0--^) (0.14) для любого борелева множества В С Ш. . Легко понять, что dfi — dx при

По определению, ограниченная в L (Q,c//i_e) последовательность функций и слабо двухмасштабно сходится к и(х,у) Є Х²(Гі xY.dx х d\i)-, и_є(х) -^-и(ж, ;c(x)(p(x)b(~)d(t_c ~* І u{x,y)Г(У).

Скажем, что и_є(х) Є ²(ft.d/t) сильно двухмасштабно сходится к функции и(х,у) L²(Q х Y',dx X dpi), если

I v_e(x)u_s:(x)dfi —» f f v(x, y)u(x. y)dxd}i как только ігг її у і;_е(х) — v(x.y).

4. Двухмасштабная сходимость с переменной мерой. Пусть

1-периодическая нормированная борелева мера ft зависит от параметра h —> 0, при этом имеет место слабая сходимость ее к мере /л: p^h —^ /г. т.е. j tpdfi¹ —* j rdfi У ip С'_Г(У). Определим г-перио диче скую меру (СY Y равенством (0.14) и свяжем параметры г, Л-, положив h = /і(є) при — 0. Легко понять, что имеет место слабая сходимость мер \i_F_ = /і_є^є к мере Лебега: dft_s —^k йж.

Для ограниченной в L²(il.dfi) последовательности и_є(х) имеем сходимость и_е(х) -^ и(х.у) Є Z-²(Ji х Y.dx х d(i), если выполнено соотношение (0.15), где fi = / . Сильная двухмасштабная сходимость определяется аналогично.

Двухмасштабная сходимость с мерой, в том числе переменной, введена и изучена В.В. Жиковым [15-17] и рассматривалась также G.BoucIiitte и I.Fragala [33]. Эта сходимость играет основную роль при усреднении задач теории упругости на тонких структурах.

5. Резольвентная сходимость. В терминах мер "резольвентное" уравнение (0.9) записывается в виде и^єЛ Є W_E>h, [{Ae(u^E'^h)-e(e-^h-f)diti = I r^M-9dli^!: V^ Є C^(Q)^d. (0.16)

Здесь правая часть взята зависящей от є, h. /^| L²(Q,d/i^k) .

Аналогично, уравнение (0.2) (статическая постановка) принимает вид u-^h Є W_e,_h, J Лс(Ф^к) _e(_P)d_MJ = J f'^h - ydd V^ Є C?(Q)^d. (0.17)

Поскольку квадратичная форма f Ae(u^E- ) е(и^є' )d/i^, заданная на Wj_t,

Ь. является замкнутой, ей отвечает неотрицательный самосопряженный оператор Л'' в гильбертовом пространстве L²(Q,1R. ,dfi^) = L²(Q,d/j^)^d.

Предельному уравнению будет соответствовать самосопряженный оператор Л в пространстве Ь (SI, IR, dx) = L (ЇЇ.ЗІ), которое рассматривается как подпространство в L²(Q х Y.dx х dfif = L²(Q, х Y)^d. Сам принцип усреднения выглядит как "сильная" сходимость резольвент VA > 0 (А^єЛ + \)~¹/_є -^ (Л + А)^_1Р/ как только f'^h{x) A f(x,y), (0.18) где Р : L²(Vt X У) —* ²(ії, 31) - ортогональный проектор.

В том случае, когда операторы (Л^е)~~ равномерно ограничены (например, при выполнении неравенства Корна (0.3)) принцип усреднения формулируется так: (А^Л)^_1Л ^ A~^[Pf как только /^е'''(.х) А Д.х,з/).

Введенная выше "сильная" сходимость операторов эквивалентна специальной "слабой" сходимости: (Л^)~^:Л ^Л Л"¹/³/ как только f^s'^h(x) A /(^), подробнее см. главу 6. В задачах усреднения такая слабая сходимость обычно доказывается проще.

Стоит отметить, что в скалярных задачах не только исходный оператор действует в пространстве L²{11. d/.t^)^ но и усредненный оператор в аналогичном ''предельном'¹ пространстве L (Q.dx). В этом случае имеется резольвентная сходимость {A^cJty^Lf^^h -> (Л)"¹/ в 1?(П,(1рЬ) как только f'^h -* f в L²(fi,d/^). (0.19)

Такого же рода резольвентная сходимость будет наблюдаться и для составных структур.

3. Краткий обзор результатов

Работа посвящена выводу предельных уравнений и анализу предельного оператора для задачи теории упругости на тонких структурах F,¹ = eF^h с критическим параметром толщины h{e) ^ є, а также в составных средах с армированием в виде тонкой структуры F_&¹, параметр толщины которой h(e) —» 0 произвольно.

Исходная задача имеет характер сильного вырождения. Действительно, задача ставится в переменном пространстве ²(Г,(І/і^), при этом d(.i^ ~ р (^)dx и 1-псриодическая плотность р¹(у) не отделена ни от нуля, ни от бесконечности. Более точно, р (у) = 0(h~^l) на F¹ для структур обоих типов, тонкой и составной, р (у) = 0 и р (у) = cq + о(1), со > 0, вне F соответственно для тонкой и составной структуры.

Для изучения исходной задачи используется метод двухмасштабной сходимости в наиболее общем варианте с переменной 1-периодической мерой f.i , слабо сходящейся к мерс jt. Заметим, что предельная мера // оказывается сингулярной. Соответствующее ей соболевское пространство может иметь такие необычные свойства, как множественность градиента или нс-тривиальность множества жестких периодических перемещений. Последнее свойство особенно важно, поскольку приводит к неклассическому характеру принципа усреднения.

Основные теоремы о двухмасштабной сходимости удается доказать лишь в том случае, когда меры fi и j_l связаны особого рода условиями, которые мы называем аппроксимйтийны.Ш)., Глава 1 посвящена разработке нескольких методов проверки этих условий. В частности аппроксимативные условия проверены для всех основных типов тонких и составных структур. Здесь же устанавливается тесная связь между выполнением аппроксимативных условий и возможностью предельного перехода в Соболевском пространстве с переменной мерой //.

В главе 2 доказываются различные неравенства Корна на периодических тонких структурах с "точного вида" константой в правой части. В критическом случае это делает возможным исследование исходной задачи в статической постановке и обеспечивает оценку (0.4), которая в терминах мер имеет вид limsup f(\u^s-^h\² + \e{u^e'^h)\²)dfii < оо. (0.20)

В главе 3 изучается двухмасштабная сходимость на тонких структурах критической толщины. Результаты этой главы напрямую не связаны с уравнениями, а относятся к произвольной последовательности it , для которой выполнено условие ограниченности (0.20). Установлено, что одной оценки (0.20) достаточно для того, чтобы двухмасштабный предел послс-довательности и^е> принадлежал энергетическому пространству предельной задачи, т.е. области определения квадратичной формы, отвечающей предельному оператору. Принадлежность энергетическому пространству включает в себя технически сложные для проверки условия закрепления, сопряжения и повышенной гладкости. После этого в главе 4 предельный переход в интегральном тождестве, основанный на специальном выборе пробных функций, приводит к усредненной задаче. Оператор этой задачи имеет некомпактную резольвенту и сложно устроенный точечный спектр, который удается описать. Для составных структур (см. главу о) двухмасштабная сходимость выглядит проще. Например, если для тонкой структуры важно, как толщина h(e) стремится к нулю, то для составной структуры это безразлично, и всегда получается классического вида предельное уравнение. Имеется несколько факторов, упрощающих усреднение на составных структурах, среди них следующий: пространство периодических жестких перемещений на предельной составной структуре исчерпывается постоянными векторами, в то время как для тонких структур это не так.

Наконец, глава б посвящена эволюционным задачам. В этой главе мы доказываем теоремы типа Троттера-Като и применяем их к усреднению нестационарных задач теории упругости. Здесь же представлены другие наши результаты, связанные с резольвентной сходимостью в переменном пространстве, например, о сходимости спектров.

Далее остановимся на отдельных результатах диссертации более подробно.

4. Усреднение на тонких сетках

Для тонких сеток критической толщины (lim -~L = в > 0) рассматривается є—о - резольвентное уравнение (0.16). Для широкого класса сеток, описанного в 2 главы 2, выполнено неравенство Корна (0.3) и тогда можно взять задачу (0.2).

1. Предельная задача. Рассматривая звено 1 в окрестности узла О, выбираем на нем правую двойку взаимно ортогональных ортов т. v с продольным ортом г, направленным из О. Продольную производ- ную функции а, заданной на звене J, обозначаем через а¹ = 4^. Пусть Н²{1) = {а Є L'²(I) : а', а" Є L²{I)}.

Для векторов (j Є %\ (см. определение в 1) введем условия на ребрах I и в узлах О: (а)^/,|_/ЄЯ²(/); ffto = 0: для любых сходящихся в узле О звеньев J, /, выполнено равенство: -^(rv)\o.

Пусть 3^ - это множество всех периодических поперечных перемещений, удовлетворяющих условиям (а), (Ь). (с) на каждом звене и в каждом узле сетки F.

Введем кусочно-постоянную функцию р(у), значение которой на звене I с направлением г = (ті,Т2), определяется по формуле р{у) = U~S _Vy\ _V = {TiTj}²^.

Б изотропном случае (см. (0.1)) р(у) принимает одно и то же значение на всех звеньях ^р(у) = ^к = 1*Т*о""

Определим усредненный тензор по формуле A^h»^m Ч = inf / A(i + e(u;)) { + e(w))d,i, (0.21) где С^_Г(У) - множество гладких периодических функций.

Для простоты предположим, что тензор А ^т невырожден, т.е. А^"^т( > ^{с с} > 0. Например, это имеет место для модельной сетки (см. рис.

Обозначим через W множество вектор-функций вида и(х,у) = и(х) + Х(х.,у), и⁰ Є tfJ(Sl)², X Ь²(^ДЇ); и назовем его энергетическим пространством предельной задачи.

Скажем, что и Є W есть решение усредненной задачи, если интегральное тождество j А^Ьоте{и) t{X" -i>"dxdit+fi п y (0.22) + [ [ и <р dxd/i = f j J.p dxdfi, f Є ЬЦП x У )2, выполнено для любой вектор-функции tp — ср -f V' Є W.

Дадим операторную трактовку усредненной задачи. Множество W плотно в гильбертовом пространстве L (fi.Oi), а сумма первых слагаемых из левой части (0.22) дает замкнутую билинейную форму на W. Поэтому (0.22) можно записать в виде A-U + u = Pf, где Л. - неотрицательный самосопряженный оператор в L (O.CR). Р : L (fix Y)² —> Ґ²(ІЇ,Л) - ортогональный проектор.

В случае статической постановки (см. (0.17)) предельное тождество не содержит третьего слагаемого в левой части и уравнение (0.22) распадается на отдельные уравнения для компонент и и Х- Компонента и⁰ есть решение "обычной" усредненной задачи и⁰ Є Я₀^;(«)², -div^^home(«) = / /(.т, y)dfi(y) в fi.

Для компоненты х ⁼ xt-¹')') выполнено уравнение в² -X Є Я?, у*^^(Л/) - ^Fi(y)f(^x-V) (^х - параметр), на сингулярной сетке F¹, дополненное естественными краевыми условиями в каждом узле у <*²(X'fj)| _ где сумма берется по всем сходящимся в узле О звеньям. Здесь Р\.(у) - оператор ортогонального проектирования на поперечное направление в точке У Є F.

Часто условия в узлах можно упростить, воспользовавшись симметрией. Например, для модельных сеток (см. рис.3) в случае f(x,y) = f{x) условие сопряжения (Ь) превращается в равенство нулю производной: -j^{g\i-v)\o = 0 для любого звена / и для любого узла О. Вместе с условием (а) это дает жесткое закрепление в узлах и периодическая задача сводится к стандартным краевым задачам на каждом звене в отдельности.

2. Двухмасштабный принцип усреднения. Определение двухмас-штабной сходимости в L²(fi,d^) было дано выше, в 2. Общие свойства этой сходимости приведены в [16]. Имеет место следующий результат: если для последовательности вектор-функций и Є W_ih выполнено условие ограниченности (0.20), то _и*,\_х) Л _и^_{у) = u}o_(a.j _{+ х(ху}^ _ГД(, _мо _{є Н}^)²_чХЄ ^{(1^), (0.23) см. [16], теорема 12.3. Это верно при любом h(є) —> 0. Для тонких сеток критической толщины свойства предельной функции из (0.23) можно уточнить (теорема 3.1 из [27]): предельная функция имеет компоненту Х(х, у) Є 1'²(П, Я), т.е. и(х. у) є W.

Этот результат применим к последовательности решений задачи (0.16), и в этом случае можно усилить сходимость (0.23), а саму предельную функцию точно описать, что и составляет принцип усреднения.

Теорема 0.1. Пусть и^є' (х) - решение задачи (0.16), причем, fⁱ(x) —» f(x,y). То?,да u^^h{x) -^ и(х,у) = и{х) + х(х,у) Є W, (0.24) где и(х, у) - решение усредненной задачи (0.22). Сходятся также упругие энергии liiri / Ае{Ф^к) e{u^^h)dft^ = f A^home(w) с(и) <1х+^в— І І р(у)х" X ^dxdH-П Si П У (0.25)

Результат теоремы 0.1 означает сильную двухмасштабную резольвентную сходимость (0.18).

В тех случаях, когда выполнено неравенство Корна (0.3), сформулированный выше принцип усреднения справедлив и для задачи в статической постановке.

Наконец, заметим, что при дополнительном условии f^s>' = f(x) Є С(ї"ї)², сильную двухмасштабную сходимость (0.24) можно записать в более простой форме (0.8), где взято естественное продолжение на тонкую сетку F^h вектора x{^xi')i определенного лишь на сингулярной сетке F. Естественное продолжение на каждом Я-стержне сетки F постоянно в поперечном направлении, кроме точек, принадлежащих двум или более Д-стержням, где мы полагаем это продолжение нулевым.

3. О спектре предельного оператора. Оператор Л^є' исходной зада чи (0.16) имеет (при фиксированном е) компактную резольвенту, в то время как оператор А. предельной задачи (0.22) этим свойством не обладает. В 3 главы 4 изучен спектр оператора Л. Он оказывается чисто точечным, име ет бесконечное число точек накопления, а также бесконечное число особого рода лакун, не зависящих от области Г2. Дано точное описание точек нако пления и границ лакун: ими являются собственные значения вполне опреде ленных обладающих компактной резольвентой операторов в пространстве L (Y^dfi) , см. рис. 19, где показаны точки накопления и выделены жирно лакуны. Дано также построение ортонормированного в L (Г2,1Я) базиса, составленного из собственных векторов.

4. О проблеме корректора. Сходимость (0.8) можно трактовать как сильную сходимость к нулю разности и^є' (х) — и(х.є~^]х) в перемен ном пространстве L (П.й?//^), В этом смысле функция и(х.г~¹х) есть L²-аппроксимация точного решения u^E-^h(x). Встает вопрос о построении тако го приближения и{х,є~¹х), чтобы и^с>'¹ - U(x,~^[x) -> 0, е(іг^Л - U(x_: ~^lx)) - 0 в i²(fi, d(4).

В предположении, что fl область с гладкой границей, приближение U строится как двухмаештабное разложение U(x,y) = и(х) + eui(x,y) + e²U2(x,y) + ^Su%(x,y), у - є^-1 ас, где функции и(х), и^(х,у), г — 1,2,3, - гладкие по х Є Л и 1-периодические по у г . Функция и⁰(ж) была введена ранее как решение обычной усредненной задачи (0.7), а функции щ(х, ), г = 1, 2,3. являются решениями вполне определенных задач на ячейке (периодичности), которые возникают по схеме метода асимптотических разложений [1]. Заметим, что никакое разложение для 7, более короткое, чем приведенное выше, не дает сильной аппроксимации в L (H,dfi_e) одновременно решения и его (симметрического) градиента. В то же время некоторые укороченные разложения дают аппроксимации в определенном смысле (сильном или слабом) отдельно для решения или для его градиента. Представляет также интерес построить корректор типа приведенного выше корректора U, определяя его через решения не зависящих от h задач. Это можно сделать, используя специальные продолжения для решений периодических задач на сингулярной сетке. Точные утверждения о различного рода корректорах для задачи теории упругости на тонкой сетке приводятся в 4 главы 4.

5. Усредненный тензор A^hom, заданный равенством (0.21), в случае постоянного тензора А можно определить по формуле релаксации (см. 5 главы 4)

A^hom - = mini f p{y)\i^l + v\² dfi, v Є D

Здесь p(y) ранее введенная функция, * = ( 9)7/, D - подпространство постоянных на звеньях "тангенциальных матриц", т.е. имеющих вид crj, где с - константа.

Сингулярные сетки F, удовлетворяющие условию A^i-i^JpiyM^dti V, У называются оптимальными. Для них усредненный тензор А"^ш" точно вычисляется. Дано геометрическое описание этого класса сеток. В частности, к нему относятся простейшие сетки, составленные из прямых. Та же формула релаксации приводит к точным вычислениям для некоторых неоптимальных сеток и позволяет исследовать свойства невырожденности тензора А ^К)Ш . В случае непостоянного тензора А формула релаксации имеет несколько более сложный вид.

5. Усреднение на тонком ящичном каркасе

Рассмотрим трехмерный вариант задачи (0.17) (d = 3), считая что F^}J -ящичная структура критической толщины (ящичный каркас F описан в примере 2 1). Существование и единственность решения, а также условие ограниченности (0.20) вытекают из неравенства Корна (0.3), доказанного для ящичного каркаса в 3 главы 2.

Ящичная структура F состоит из квадратных граней тг, пересекающихся по ребрам 7'. Рассматривая грань тг в окрестности ребра ^л/. выбираем правую тройку ортов r,n,v, т - продольный орт для 7, v ~ нормаль к т, п - внутренняя нормаль к 7 в плоскости тг.

Для векторов д CR-i (см. определение в 1) введем условия:

9\у = 0; для любых сходящихся по ребру 7 граней тг, л" выполнено равенство: j-(9-v\*)U= -тг(9-*\*)\тan an

По определению, %± - это множество всех периодических поперечных перемещений, удовлетворяющих условиям (а), (Ь). (с) на каждой грани и на каждом ребре.

Как и для сеток, обозначим через W множество вектор-функций вида ч{х,у) = ч\х) + х{х,у), и⁰ Є HoW, X Є Ь²(ПД?); и назовем его энергетическим пространством предельной задачи. Для простоты изложения предположим, что тензор А изотропный (см. (0.1)).

Скажем, что и W есть решение усредненной задачи, если интегральное тождество / Л^Ьогпе(и) е{<р) dx + ~к [ f &ух А_иф dxdft =« « у (0.26) / ip dxdf.i П Y выполнено для любой вектор-функции if — ір^й + ф W. Здесь Ay ''поверхностный" лапласиан на гранях куба [0.1)³, A^horn определен формулой типа (0.21) с учетом трехмерного случая, к — )Л_к У, / Є І²(Г2 х У)³.

Взяв в тождестве (0.26) <р — <р , получим уравнение для компоненты и : и⁰ Є ЯоЧП}³, -dA^1,om_e(u₀) = J f{x,y)dii(y). (0.27)

Рассмотрим случай / = f(x). Благодаря симметрии куба, условие (с) влечет за собой равенство ^ = 0 на каждом ребре. Поэтому задача длл компоненты х распадается на отдельные задачи для х|н, ^на каждой грани Гекуба [0, l)^:i. Например, на нижней грани Пз — {0 < у і < 1, 0 < уі < 1, у% = 0) для хЬь ⁼ х{У-)^)-) У — (у\:У'і)-> выполнено бигармоническое уравнение

В² - --к(Ау)²х = h(x) (х - параметр), с краевыми условиями Дирихле x\dlh — 0? Ztolffl'b — 0- Эта задача описывает изгиб пластины Щ под действием нормальной нагрузки (0,0./,-).

Теорема 0.2. Пусть vr> (х) - решение задачи (0.17) на ящичном каркасе F_{e ;} /^е' (х) — f{x,у). Тогда имеет место сходимость (0.24), где и(х,у) - решение усредненной задачи (0.26). Сходятся также упругие энергии lim f Ae{u^e,h) e(u^e>^h)di = f A^home{u⁽ⁱ)-e(v^Q)dx+^B~k f f \A_yX\² dxdji. fi її П Y

Если в задаче (0.17) f'^h{x) = f(x) Є С(Й)³, Гї область с гладкой границей, то сходимость (0.24) можно сформулировать в виде соотношения (0.8).

6. Усреднение составных структур

Для определенности рассмотрим далее только плоские составные структуры, усреднение пространственных составных структур формулируется аналогично.

1. Принцип усреднения. Пусть F — F^Q и F^h - произвольная сингулярная и соответствующая ей тонкая сетки, р, = //, р - сосредоточенные на них естественные меры, р {h > 0) - составная мера, т.е. dp^h = \{d.x 4- dp ). Рассмотрим задачу Дирихле: найти вектор-функцию и⁶' Є ЙЦії)², для которой выполнено интегральное тождество J Ас(и^е*) c{_v) d~a^f: = J'/ V <ІЇІ *<Р Є С^(П)², (0.28) где А - постоянный изотропный тензор, / Є С^,ос(її) .

Это - обобщенная или вариационная формулировка краевой задачи для системы теории упругости в области Л, армированной периодической сеткой FJ. В терминах обычной меры Лебега задача (0.28) имеет аналогичную формулировку, но с разрывным сильно контрастным тензором, принимающим постоянные значения в областях Q П F-¹ и Q \ FJ?. Соответствующая краевая задача содержит условия сопряжения на границе раздела этих областей и условие закрепления на внешней границе <9Г. При h — О классическая постановка задачи (0.28) содержит краевые условия типа Вентцеля на каждом звене сетки F = eF.

Решение поставленной задачи существует, единственно и удовлетворяет условию ограниченности вида (0-20). Это следует из равномерного (по є и h > 0) неравенства Корна (Доказано в 8 главы 5). / \ufd^ <С і \e(u)\²d^, и Є C\f (tt)\ С = constat F). (0.29)

Введем задачу на отыскание иЄНЦії)², I A^hom е.(и) е(<р) dx = [f<2, (0.30) і hom где усредненный тензор A ^m определен формулой

Л^Ьош = inf I A(t + e(w)) (Є + _c(_w))dji. (0.31) weC^_t(Yy J Y

Теорема 0.3. При любой h(e) —+ 0 для задач (0.28) и (0,80) имеет место сходимость решений и энергий при є —* 0 / \u'^h(x) -u(x)\²dx - 0, а

I Ae{u^E-^h) e{u<^h)d~^ -+ I A^homc(u) e(u)dx.

Результат этой теоремы можно сформулировать в более общей форме - в виде резольвентной сходимости (0.19).

Видим, что принцип усреднения задачи теории упругости на составной структуре с тонкой или сингулярной армирующей сеткой имеет классический вид: есть сильная L -сходимость решений, предельная функция не содержит осциллирующей компоненты и предельная задача одна и та же для любой h(e) —» 0. В этом большое отличие составных структур от тонких структур. Для последних усреднение не является классическим: предельная задача двухмасштабна, вид ее зависит от Л,(«г) -»0 и нет сильной ²-сходимости решений исходной задачи.

Отметим еще одну особенность составных структур, касающуюся задачи на ячейке (0.31): классическая формулировка се уравнения Эйлера содержит краевые условия типа Вентцеля на каждом звене сетки F.

2. Принцип компактности: Если последовательность вектор-функцийu~'^h Є C'^iil)² ограничена в L²(H,dfi^) вместе с тензором е(и^є'-¹), то она, компактна я смысле сильной сходимости в L (Q-.dfi,^).

Заметим, что на тонких структурах аналогичный принцип компактности заведомо не выполняется. Из принципа компатности и резольвентной сходимости (0.19) получаем сходимость спектра SpA^S:i оператора Л^є ' к спектру SpA оператора А.

Теорема 0,4. Имеет место сходимость по Хаусдорфу SpA^,i —> SpA: (Hl)VA Є SpA ЗА/г Є SpA"' . такое что А_е/₍ —-» А; (#г) если А_%/» SpA^s''t А_єд —» А, А < оо, то А Є SpA.

Справедлива также и более точная теорема о сходимости собственных значений (занумерованных по принципу минимакса) и соответствующих собственных подпространств.

3. Коммутативные диаграммы предельных переходов. Рассмотрим составные структуры с независимыми малыми параметрами e.h. В этом случае в задачах теории упругости можно переходить к пределу по пара метрам в любом порядке, в чем проявляется еще одно отличие составных структур от тонких.

Введем вариационные задачи на отыскание минимума энергии J^s'^h - inf / (Ае(и) е(и) - 2f u)dfi^h, (0.32) иЄС(Г»)а J n Г = inf f{Ae(u) e(w) - 2/ - u)dji_E, (0.33) где f Є С(її) . После "естественного замыкания" множества Q^(l)² в этих задачах можно заменить инфимум на минимум, и он достигается на единственных элементах и и и^є, называемых далее минимизантами. Введем также задачи J^h = min f(A\l^om е(и) е(и) - 2/ . u)dx, (0.34) и^НЦЩ² J J = min f(A^h<,me(u) e(u) - 2/ uW*. (0.35) мЄ/їцЧП)"'' J ' где Л^Ьот задан ранее (см. (0.31)), а Л);^ош - формулой

ХГі-і= bf , / Д(Є + _Є(«;)).(С + _Є(ш))гІ/і

Теорема 0.5. Диаграммы предельных переходов для энергий и минимизан-тов задач (0.82)-(0.35)

I h -* О J'= > J и^є > и коммутативны, если рассматривать сходимость функций в L (il)'

7. О неравенствах Корна

Неравенства Корна различного типа пронизывают изучение упругих тонких и составных структур.

Для основных модельных примеров тонких структур доказаны два неравенства J н² dx < с, [\ + (|)²) J |«(tO|² dx_t (о.зб) oo/jr>d\d e²j\Vu\²dx2J (|)² |e(«)|² + |_U| F_r^k K^h dx, иес?{ш^а)^а, (0.37) где константы Сі, C2 не зависят от геометрических параметров с, Л. но могут зависеть от диаметра носителя вектор-функции и и от геометрии структуры F.

Эти два неравенства различны по своей природе. Неравенство (0.37) выполняется ''покусочно" на. определенного типа фрагментах структуры F_e\ тогда как неравенство (0.36) такого "распадения'* не допускает и требует от периодической структуры особых свойств связности или прочности.

Неравенство (0.37) доказані) для произвольной сетки F, а неравенство (0.36} - для так называемых жестких сеток (см. 2 гл.2). Оба эти неравенства доказаны также для ящичной структуры (см. 3 главы 2).

Для структур критической толщины из неравенства (0.36) следует ранее уже упоминавшееся неравенство (0.3), позволяющее рассматривать задачу теории упругости в статической постановке.

В ряде вопросов (например, для изучения задач на ячейке периодичности) важны неравенства Корна для периодических функций. Для некоторого класса сеток (см. гл.2) имеем: h² f(\u\² + \Vu\²)dfi^h < С₀ f\c(u)\²dii^hJ\u-r\²dp^h < Со [\e(u)\²dfi^h. (0.38)

У У У У

Здесь и Є C^,_r(Y)². j udx = 0, Co — const(F). B^h - круг радиуса h с центром в определенном узле сетки F. Для модельной сетки (см. рис. 1) этот узел можно выбирать произвольно. Неравенство (0.38)i выполняется и с более привычным условием нормировки J и dyr = О, при этом для любой

У связной сетки F.

Примечательная особенность составных структур - в том, что для них неравенство (0.38)i выполнено без множителя її в левой части. Аналогично в неравенстве вида (0.36) множитель (1+(^) ) можно опустить.

8. Аппроксимативные условия

Пусть \l ', pi - произвольные 1-периодические борелевы меры, для которых предполагается лишь слабая сходимость //^! —' fi. Для вектора а и симметрической матрицы Ь из Х²(К, rf/i) пишем a = clivb (по мере ц), (0.39) если ja-fi VT{Y)^d. (0.40)

Введем аппроксимативные, условия, связывающие меры ft и р,: (і) для любых а, Ь, удовлетворяющих условию (0.39), найдутся вектор а и симметрическая матрица Ь из L (Y, dji ), такие что a = divfc (по мере p. ) и a^h -ю, b^h ^b в L'²(Y,dfi^h). (И) если в (і) и = 0. то и а ' = 0 (сильная аппроксимируемость соленои- дальных матриц).

Теорема 0.6. Аппроксимативные условия выполнены для естественных мер па тонких структурах следующего типа: плоские и пространственные стержневые структуры, ящичная структура, плоские и пространственные составные структуры с армированием, в виде сетки или мщичной структуры соответственно.

Проверка аппроксимативных условий проводится отдельно для каждого типа тонких структур с учетом геометрии структуры. Существует три основных метода, проверки этих условий.

Первый из них основан на том, что для некоторых структур естественная мера а близка к мере, полученной из предельной меры специальным сглаживанием и тогда можно применить общий результат В.В, Жикова для мер, полученных сглаживанием. Этот метод применим для ящичных структур, квадратной сетки, а также для составной среды с армированием в виде указанных тонких структур.

Другой метод применяется в случае плоских и пространственных стержневых каркасов произвольной геометрии. Он основан на специальном склеивании соленоидальных матриц на тонком каркасе в окрестности узлов, при этом учитывается структура соленоидальных матриц на сингулярном каркасе. Последнее обстоятельство затрудняет применение этого метода в случае составных стуктур, для которых соленой да льные матрицы устроены очень сложно.

Третий метод основан на определенной эквивалентности аппроксимативных свойств и возможности предельного перехода в переменных Соболевских пространствах периодических функций.

Определим соболевскос пространство 1К_рег = !Кр_ЄГ(У, dji) как замыкание множества пар {(^,е(^)), <р е C_r(Y)^d} в произведении I?{Y,diif х ^(У,^)⁴^.

Элементами этого замыкания служат пары ('u,f), и - вектор, v - симметрическая матрица, которую называем (симметрическим) градиентом вектора и и обозначаем е(и). По определению

Э*>» Є C_T(Y)^d; 11« - Vn\²dii -» О, I \v - e{n)\²dn -. 0. (0.41)

Первую компоненту и привычнее называть функцией из Соболевского пространства. Тогда эта функция может иметь много градиентов. Неединственность градиента в предельном пространстве !К_рег(У, dp) делает неочевидным предельный переход в 3~C_pcr(Y, dfi ).

Скажем, что в пространстве !К_рег (У dji ) возможен предельный переход, если как только u^h -ив L²(Y,du^hf, e(u^h) — v в L²(Y,d_}j^h)ⁱⁱ^^X, (щи) %_per(Y,dfi), т.е. v = е(и).

Теорема 0.7. И.я аппроксимативного условия (і) следует возможность придельного перехода в ^<K_Y>QV(Y,diJ^h).

При определенных предположениях (см. 2 главы 1) верно обратное утверждение: из возможности предельного перехода в 3"C_[J0r(Y, d\i') следует, выполнение аппроксимативных условий (г), (и).

Это последнее свойство используется при проверке аппроксимативных условий для составных структур.

9, Нестационарная задача теории упругости

На периодической сетке F;¹ критической толщины рассмотрим эволюционную задачу теории упругости ти^є'^к ~ divAe{u'^h) = f(x, t) в П О FJ.¹ при t > О, u>^h = 0 на дП П F/\ Ае(и'^л)п = 0 на П П З*¹* при * > 0, (0.42) и^є'^н = 0, f гг-'¹ = 0 при t = 0, где f(x,t) С{ії х R_t)², n - нормаль к границе Зі⁷!/, и изучим се с точки зрения теории полугрупп. Запишем эту задачу в виде операторного уравнения в пространстве L²{il,d}i^)² (З² + A^e>^h)u^e>^h{t) = Л*), ^^Л(0) ^ 0. йи^^А(0) - 0. (0.43)

Для перехода к пределу в уравнении (0.43) нельзя воспользоваться классической теоремой Троттера Като (см, 2) по следующим причинам: оператор А ' действует в переменном пространстве, резольвентная сходимость (0.18) имеет необычный вид, так как резольвенты (A^e'^L -\- Х)~ сходятся к пс ев до резольвенте (А + А)^-1 Р. причем в терминах сильной двухмас-штабной сходимости. Тем не менее, справедливы утверждения (см. главу 0), аналогичные тем, что имеются в классической теории, о сходимости гиперболических полугрупп в абстрактном переменном гильбертовом пространстве. При этом сходимость полугрупп можно рассматривать в терминах различных сходимостсй, среди которых слабая сходимость в среднем по времени, поточечная (по времени) сильная сходимость и поточечная (по времени) слабая сходимость. Вывод поточечных сходимостсй для гиперболической полугруппы в переменном гильбертовом пространстве опирается на доказанный в главе 6 аналог теоремы Троттера - Като для полугрупп сжатий в переменном банаховом пространстве.

Сформулируем теорему усреднения для задачи (0.43). Для этого введем операторное уравнение в ''предельном'' пространстве Ь²(И^01) (З² + A)u(t) = /(f), u(0) = 0, дМд) = 0. (0.44)

Теорема 0.8. Решения задач (0.4$), (0-44) связаны между совой сходимостью для любого t > 0 u^^h(x, t) -U и(х, у, ), d_tu^e'^h(x,t) -^ d_tu(x, y,t). (0.45)

Для любого t > 0 решение задачи (0.44) принадлежит пространству W (см. 4), и, значит, допускает разложение u(x,y,t) = u(x,t) + _X(x,y,t), u(;t) Є Hi(U)\ хЫ) Є Ь²(ПЛЬ-

Укажем отдельное уравнение для компоненты и . а также формулу, выражающую % через и". Эти соотношения окажутся интегро-дифференци-альными.

Введем самосопряженный оператор А\ в гильбертовом пространстве Ki, отвечающий заданной на 3?₁ квадратичной форме -j J р(у)х" ' х"^Р-

Пусть B(y,t) - матрица-функция размера 2x2, которая является решением матричной операторной задачи Коши (5? + Л_Т)ВД = 0₂, В(0) = 0₂, 3,5(0) = -Р,1₂, где 0₂,І2 - нулевая и единичная матрицы размера 2x2, b(y,t) решение векторной задачи Коши (df+A^Ht) = Р_:/, 6(0) = d_tb(Q) = о,

Полагая B(t) — (B(-.t)} b(t) = Of (b(-,t)), получаем для компоненты и задачу t dfu^Q - df } B(t - s)d*u^a(s)ds = divA^homft(u^Q) + f - b в П при t > 0, u = 0 на дії при t > 0, ^Л^ u(0) = йи(0) = 0приг = 0.

Вектор х находится по формуле tх{х,уЛ) = - J B(y,t-s)d²_Bu(x,_s)ds + b(y,t). (0.47)

Соотношения (0.46),(0.47) свидетельствуют о наличии долговременной памяти у решения предельной задачи. Подобный эффект не наблюдается для тонких структур других типов: достаточно толстых или достаточно тонких.

Общую эволюционную задачу вида (0.42) с переменными правой частью и данными Коши рассматриваем в операторной постановке (df + A"'^h)u^F-^h{t) = f^h-(t), u-^h([)) = іЛ\ d,u'^h(Q) = w'^h.

Изучены условия (см. главу б), при которых возможен предельный переход в этой общей задаче в терминах различных сходимоетсй, в частности поточечной сходимости вида (0.45).

Соболевские пространства на тонких и составных структурах

Рассмотрим тонкие периодические структуры Fsl: сетки на плоскости и ящичные и стержневые каркасы в пространстве. Их геометрия зависит от двух связанных между собой параметров: є определяет ячейку периодичности, а єіі есть толщина составляющих элементов структуры, причем h = Л-(є) —» 0. Упругие свойства периодических структур обнаруживают качественное различие в зависимости от того, каково значение предела lim /і((Г)/е. Напомним классификацию тонких структур, введенную в [16]: достаточно толстые структуры, если h(e)/e — со, структуры критической толщины, если h(e)(e — в О, достаточно тонкие структуры, если h(c)/e — 0.

Наша цель получить весовое неравенство Корна для финитных функций, заданных на тонкой структуре F , которое прояснит отмеченный выше масштабный эффект в теории упругости. Будут обсуждаться два неравенства где константы C\. Сч не зависят от геометрических параметров є, h. но могут зависеть от диаметра носителя вектор-функции и и геометрии структуры F.

Эти два неравенства различны по своей природе. Неравенство (1.2) выполняется "покусочно" на определенного типа фрагментах структуры F;\ тогда как неравенство (1.1) такого "распадения" не допускает и требует от периодической структуры особых свойств связности или прочности. Для структур критической толщины неравенства (1-1), (1.2) означают, что

Весовые неравенства Корна, в которых вес определяется геометрическим параметром тонкой структуры, известны для отдельного стержня и пластины, а также для конструкций специального или общего вида из нескольких стержней (см. [40]-[50] и обширную библиографию в [23]). Эти неравенства имеют анизотропный характер: продольные и поперечные компоненты вектор-функции и, также как и их продольные и поперечные производные, входят в неравенство с различными весами. Например для пластины Л = {х ; \хз\ 2І весовое неравенство имеет вид

Если же тонкие стержни или пластины формируют -периодическую структуру, то при малых z происходит перемешивание анизотропии, в результате чего исчезает различие между продольными и поперечными направлениями и появляются веса другого типа. Все эти веса имеют меньший порядок малости, чем 2, где t - толщина структуры, в нашем случае t — eh (см. (1.3)). Неравенства (1.1), (1.2) представляют интерес и в случае, когда h const 0, т.е. для классических перфорированных областей (см. [1], [4]), Далее мы приводим доказательство неравенств Корна для тонких сеток произвольной геометрии, а также для ящичных структур. 2. Тонкие периодические сетки 1. Простейшие сетки. В этой главе предполагаем, что 1-псриодичсские структуры имеют толщину h. На рис. 1 изображена тонкая периодическая сетка, составленная из бесконечных стержней толщины h 0, ячейка периодичности Y — [2--2) Ука зан пунктиром. Там же изображена соответвующая бесконечно тонкая (или сингулярная) сетка, отвечающая толщине h — 0, которая является каркасом для тонкой сетки. Данная сетка - модельный пример. На нем наглядно видна связь между соответсвующими сингулярной и тонкой структурами, которая остается такой же и в более сложных примерах. Далее F - 1-псриодическая сетка с толщиной Л, F - соответствующая ей сингулярная сетка, Fr = eF1 - гомотетическое сжатие сетки F . Толщина стержней сетки JFV равна eh. Модельная сингулярная сетка составлена из нескольких периодически повторяющихся бесконечных прямых. Такие сетки будем называть простейшими. Мы исключаем из рассмотрения вырожденный случай одной периодически повторяющейся прямой. Теорема 2.1. Для просгпсйгиих сеток F выполняются неравенства (1.1), где константа С\ зависит от геометрии сингулярной сетки F и диаметра suppu, а также, неравенство 2. Жесткие сетки. Перейдем к сеткам, которые не являются простейшими (см. рис. 4). Договоримся сначала, как строить по сингулярной сетке F тонкую сетку F . Для этого каждое звено / удлиним в обе стороны на , так что получится отрезок / длины \I\ -f h. Построим полосу I ширины h со средней линией / . Объединение всех этих полос Ik задает сетку Fh. Отметим, что по построению каждый узел сингулярной сетки F принадлежит сетке F вместе с кругом радиуса

Определим один класс сеток для которых можно доказать неравенство (1.1). Звено сетки назовем пронизывающим, если сетке принадлежит вся проходящая через это звено прямая. Попытаемся присвоить метку к — 0,1,... каждому узлу сетки F. действуя по индукции. Узел получает метку 0, если из него выходят хотя бы два неколлинеарных пронизывающих звена. Пусть определены все узлы, которым можно присвоить метки к N. Тогда метку N 4- 1 присваиваем не помеченному еще узлу, если из него можно выйти по двум нсколлинеарным звеньям в соседние узлы, у которых уже есть метки. Скажем, что сетка F жесткая если вес се узлы оказываются помеченными конечным числом меток. На рис. 7 изображены жесткие сетки: их узлы имеют метки от 0 до 3.

Жесткая сетка F, по определению, содержит пронизывающие прямые. Они образуют простейшую сетку, которая составляет основу сетки F, придавая ей особую связность и прочность по двум или более направлениям.

Понятие жесткой сетки можно расширить следующим образом, присваивая метки не только узлам, но и звеньям. Узел получает метку 0, если из него выходят хотя бы два неколлинеарных пронизывающих звена. Нулевую метку получают звенья, соединяющие узлы с нулевой меткой, а также все пронизывающие звенья. Пусть определены все узлы и звенья, которым можно присвоить метки к N. Тогда метку N 4- 1 присваиваем не помеченному еще узлу, если из него можно выйти по двум нсколлинеарным звеньям в узлы или на звенья, у которых уже есть метки. Определив все узлы с меткой N -f 1, присвоим метку Лг + 1 не помеченным еще звеньям, которые соединяют уже помеченные узлы. В этом расширенном смысле первая из изображенных на рис. 4 сеток регулярна, а остальные нет.

Двухмасштабная сходимость в пространствах теории упругости на ящичных структурах критической толщины

Продолжаем рассматривать в качестве тонких периодических структур Fe ящичные каркасы критической толщины, для которых к(є)є — в 0. Наша цель доказать принцип усреднения для статической задачи теории упругости на таких структурах. Рассмотрим задачу (0.18) с А = 0 иЛ Є Wjl, J Ae(ue h) c(9)df = J t h ,4 V? Є C (9)\ ( 1.1) Здесь правая часть fE,h ограничена в 2(f),d/41)3) т-е.

В интегральном тождестве (1.1) можно взять пробную функцию ip = U,e и получить энергетическое равенство из которого в силу неравенства Корна (1.1) из главы 2 следует, что uc h, e(uE,A) ограничены в Г2(П,Л/4). ( 1.2) Далее мы будем переходить к пределу в интегральном тождестве (1.1), применяя двухмасштабную сходимость. Для специального предельного перехода, учитывающего специфику критического случая, необходимы специальные продолжения на тонкий каркас поперечных векторов, заданных на сингулярной структуре. Вопросам продолжения посвящена существенная часть этой главы. 1.2 Полезно выявить плотное множество в связанном с ящичной структурой F пространстве 3 (см. определение 1.1 главы 3), из элементов которого будем конструировать пробные функции для специального предельного перехода в интегральном тождестве (1.1). Далее узлами структуры F называем точки пересечения ее ребер. Определение 1.1. Скажем, что вектор д Є 31-\ принадлежит множеству D, если (г) supp g не содержит узлы структуры F; (ii) g бесконечно дифференцируема вне некоторой окрестности ребер (ііі) в некоторой цилиндрической окрестности каждого ребра 7 С Y — [— к і)3 имеет место представление где уі - продольная координата на ребре f, С (у І) - гладкая функция и?і{у) — г-тый вектор-столбец матрицы Отметим, что ІХ І -жесткое перемещение в IR , т.е. e(wj) = 0, г — 1,2,3. Подробнее условие (1.3) означает, что на любой из четырех сходящихся по ребру 7 граней тг5, s — 1,...,4, нормаль к которой vs, выполнено равенство с одной и той же для всех j = 1,...,4 функцией С(уі), заданной на ребре 7- Очевидно, что С Е 0 в окрестности узлов, это следует из условия (І) определения 1.1. Пусть тг = (О, I)2, Н2(ж) - замыкание по норме І72(тг) множества гладких функций из С00(if), равных нулю на границе дя. Предложение 1.2. В Н (тг) плотно множество ф ункций, равных нул-ю в окрестности вершин квадрата -к. Доказательство. 1 В круге единичного радиуса выделим одну из его четвертей -- сектор В границу сектора Q входят лежащие на осях 0z},0z2 единичные отрезки Іі,І2- Имеет место следующее неравенство типа неравенства Фридрихеа Это неравенство доказывается методом от противного. 2. Пусть В/г = KB круг радиуса /ц его четверть Qh — kQ - сектор, граница которого включает отрезки hl\,hl2- С помощью гомотетии из неравенства (1.4) выводим аналогичное ему неравенство для сектора Q 3. Пусть p(z) C0(B), 0 p 1, p(z) = 1 при \z\ i. Положим ph =z ip (x) ip(h 1x). Для функции и Є C(7f), U\Q = О, рассматривая последовательно (р «, "(v и)) Ш Ш (. и) выводим, благодаря оценке (1.5), следующее неравенство: где константа Сі зависит лишь от функции tp(z) и константы С из (1.4). Отсюда следует, что ]у? "#2(тг) S если достаточно мало. Тогда (1 —р )и = 0 в окрестности вершины (0,0), при этом « — (1 — ? )ияг(к-) 8. Аналогичную срезку с достаточно малым изменением Н -нормы можно сделать в окрестности других трех вершин квадрата тт. Предложение 1.3 доказано. Предложение 1.3. Множество D ТІЛОЇЇІНО в тьрос7гіро,нстпвє Jv-[ . Доказательство. Используя разбиение единицы, видим, что в силу пред-ложения 1.2 изучения требуют фунции g Є j , такие что их носитель в пределах ячейки периодичности (К — [— i, )" ) пересекает ровно одно ребро. Пусть это будет ребро 7: принадлежащее оси Оу{. Покажем возмож-ноть аппроксимировать g функцией g Є D с любой степенью точности по #2-норме. На каждой из четырех граней 7ГЯ, сходящихся по ребру у. выберем правую тройку ортов (rs, T?.S, t/s) так, как показано на рис 14 (по тому же принципу, что в п.1 fj3 главы 3), т.е., если 7г,3 лежит на координатной плоскости ym = О, то TS - СІ, п„ = CJ, иа = ±етп. Тогда уіу уу (j = j(s)) продольные координаты на тг5. Для вектора д Є CR-1 его нормальные проекции д\ я ия = #s(y;,; /j), определенные на гранях irs, имеют свойства: где С (у І) - одна и та же функция для всех четырех значений 5. Сначала предположим, что С (у І) гладкая. Тогда функцию gs{yi Vj) — C(iji)yj можно апроксимировать по Н -норме фунциями, финитными около ребра 7- В результате сами функции gs(yi.yj) будут аппроксимированы функциями д8(УііУз)і линейными по переменной yj около ребра 7. Остается задать вектор д(у) равенством у (у) us = gs на грани я\,. В силу выбора функций gs. в некоторой окрестности ребра 7 на каждой грани тт3 выполнено соотношение Кроме того, что проверяется непосредственно для всех столбцов матрицы d и граней тг5. Например, для граней тгз, тгз, сходящихся по ребру, принадлежащему оси Oyi (см. рис. 15), равенство (1.6) означает uJi(y) е = у 2-І &\{у) ( ег) — уз-Отсюда следует, что g{y)-vs = С(уі)и і(у)- i/s, т.е. равенство (1.3) выполнено (см. также (1.?)). Если функция С (у І) негладкая, сглаживаем ее предварительно с помощью финитного одномерного ядра. 1.3. Введем одну вспомогательную функцию г»о(г2, з)- Пусть G$ - плоская область, изображенная на рис. 16. Это восьмиугольник, "натянутый" на "крест", составленный из полос [-3,3] X [-1,1] и [—1,1] х [-3,3], на плоскости Oz2Z . На выделенных сторонах восьмиугольника заданы линейные функции, указанные на рисунке. Пусть l(z) C(9Go), l{z) кусочно-линейна на сторонах восьмиугольника с заданными значениями на выделенных сторонах. Рассмотрим функцию ио(У2,Уз) обобщенное решение следующей задачи Дирихле

Спектр предельного оператора задачи теории упругости на периодической сетке критической толщины

Замечание 2. 1. L2-аппроксимацию только градиента (но не решения) можно получить (по теореме 0.1 из введения) без специальных продолжений:

Здесь все компоненты были введены ранее и. если необходимо, взяты их естественные продолжения на сетку F . 2. Утверждения, аналогичные теоремам 4.1 и 4.9, верны и в случае достаточно толстых сеток (определение их дано в 1 введения), когда аппроксимации для vE И е(и ) оказываются по форме такими же. как если бы h = const 0. В этом случае в разложении (4.4) достаточно ограничиться тремя членами и обоснование асимптотики оказывается значительно проще, чем в критическом. Здесь выделяется малый параметр е/Л, с помощью которого можно дать оценку сходимости вида (4.15). 3. Предложенную модификацию классического метода асимптотических разложений можно использовать для построения корректора в задаче на составной структуре (см. главу о, где корректор получен методом двухмасштабной сходимости, теорема 7.2) с оценкой погрешности порядка 6. Доказательство общего неравенства Корна для периодических функций на тонкой сетке. Приведем вывод неравенства (2.22) из главы 2, использующий технику этого параграфа - переход к пределу в пространстве с переменной мерой [і . Сначала будем считать, что для сетки F справедливо прдсталение (3,3) из главы 1 (связность меры /г). Заметим также, что в силу соотношения (2.9) из главы 2 достаточно доказать неравенство Предполагая, что оно неверно, найдем и , такие что Тогда можно считать, что (см. лемму 4.3, замечание 3.11 из главы 1. а также неравенство (2.9) из главы 2) hu — 0, и Є Hl(Y,dfj.)2 и выполнены соотношения т.е. иеКи, значит, в силу связности меры /і и — с-\-д: где с - постоянный вектор, д Є Хі. Кроме того, верно утверждение ( доказываемое методами п.З 2 главы 2): если е(и ) —» 0, /ш( и, то и v - линейная функция на каждом звене. Отсюда д v - линейная функция на каждом звене. Из поперечности вектора д и его непрерывности следует условие закрепления д у\о = 0 в каждом узле О. что возможно для линейной функции д v. если только д v = 0. Тогда и = с и соотношения (4.29)2, (4.29)з несовместимы. Значит, неравенство (4.28) верно, если /А связна. В случае несвязной меры /А, когда компонента связности FQ графа F (где fi\fQ связна) не исчерпывает J1, исходим из неравенства Отсюда, если звено I примыкает к графу FQ в узле О и FQUI = F\, вытекает неравенство h2 f \и\2 dfih Сх f \e{u)f dfih, J и dp!1 = 0. Ci = const{Fi). ( 4.31) В самом деле, в противном случае найдется последовательность и , такая что где также, как раньше и Є Н (Y Гі F], dfi), и i/ - линейна на каждом звене графа Fi. Кроме того, и Є C (F02, u\Fo = 0, u-r7 = 0, J \u\2dp = 1. ( 4.32) Равенство (4.32)a выводится с помощью оценок типа (2.27) из главы 2. В силу первых трех соотношений (4.32) и условий сопряжения в узле О для вектора и (см. замечание в конце п.З) имеем равенство и v = 0, противоречащее (4.32)4. Таким образом, неравенство (4.31) верно. Исчерпывая последовательно структуру Y П F, выводим из (4.30) сначала неравенство h2 f \и\2 dfih С f \с(и)(2 dfi\ I udtib=0, C = const(F), У Y YnFuh а потом и неравенство (4.28). 121 5. Об усредненном тензоре на сетках Далее изучается усредненный тензор, возникающий в задачах теории упругости на периодических сетках. На основе формулы релаксации определяются оптимальные сетки, для которых усредненный тензор находится в явном виде. Та же формула приводит к точным вычислениям и для некоторых неоптимальных сеток, а также позволяет исследовать свойства невырожденности усредненного тензора. Подобные проблемы для скалярных задач решаются аналогично, при этом класс оптимальных сеток оказывается более широким, чем для теории упругости. Для удобства чтения напомним некоторые понятия и обозначения из предыдущих глав. Обратим также внимание на то, что в пределах этого параграфа для продольного орта на звене действует не такое, как всюду, обозначение, а символом р обозначаем функцию, совпадающую с общепринятой лишь в случае постоянного тензора А. 1. Основные понятия и обозначения. Через F обозначим перио дический граф на плоскости, называемый далее сеткой. Как правило (но не всегда), ячейкой периодичности будет квадрат У = [0,1) . Пусть //. периодическая нормированная мера, сосредоточенная на сетке F и про порциональная там одномерной мере Лебега, (д) = j gdp, - среднее по мере Y fi. Сетка называется простейшей, если она составлена из прямых. Простейшими являются сетки, изображенные на рис. 3, называемые также модельными: пунктиром показана ячейка периодичности. Условимся считать звеном отрезок, соединяющий два узла сетки и не содержащий внутри себя других узлов. Через і обозначим орт, идущий вдоль звена. Положим т/ = t X і, т.е. щ = tltJ, где t = (t[,t2). Символом t (или n) обозначаем и кусочно-постоянную функцию, равную на каждом звене соответствующему орту (или матрице). Очевидно, что г/ не зависит от выбора направлений на звеньях. Множество симметрических матриц 2 х 2 со скалярным произведением обозначим через Ш/ . В этом пространстве действует симметрический положительно определенный оператор Аь называемый также тензором упругости. Для изотропного тензора упругости имеем А = к + kiEtrt;. к 0, kj 0, где tr - след матрицы, Е - единичная матрица. С мерой р. связано пространство потенциальных матриц Уро1 — Vpot(Y, d/J.) - замыкание множества {в( ), р Є С Г(У)2} в L2(Y, г///.)3. Здесь Cr(Y) множество всех периодических гладких функций, e(ip) = (- тензор деформации. Пространство соленоидальных матриц Vb0\ — VMI\(Y,dfi) определяется как ортогональное дополнение к VPot в L2(Y: dp.)A. 2, О структуре соленоидальных матриц. В задачах теории упруго- сти на сетках усредненный тензор определяется с помощью вариационной задачи на ячейке периодичности см, [1],[16]. Отсюда по теореме двойственности [б, с.359] получаем представление усредненного тензора в терминах соленоидальных матриц В связи с этим важно учитывать структуру соленоидальных матриц. Далее, рассматривая сетку в окрестности узла О, выбираем на каждом выходящем из него звене Ij орт tj направленным из точки О. Известно (см. 3 главы 1): периодическая матрица z Є L (У, dpi) соленоидальна тогда и только тогда, когда (a) на каждом звене / z ст/, где c\j = const: (b) в каждом узле выполнено векторное равенство Y cjtj 0 cj — c\i ; где сумма берется по всем выходящим из этого узла звеньям Ij.

Отсюда видно, что пространство VSf)\ конечномерно. Более того, для модельной сетки имеет место полное расщепление T4ol на одномерные пространства в том смысле, что каждая соленоидальная матрица постоянна вдоль прямых, причем соответствующая константа с может быть выбрана произвольной на каждой периодически повторяющейся прямой. Однако, даже если модельную сетку (но не квадратную) рассматривать как периодическую с периодом 2У, то расщепления пространства V i нет (подробнее см. 4 главы 1). В работе [16] вычисление тензора А для модельной сетки было основано на расщеплении пространства V 0]. Поскольку это явление крайне редкое, необходимо выработать другие подходы к изучению усредненного тензора. Далее мы привлекаем для этого метод релаксации.

О сходимости спектра в задачах теории упругости на периодических составных структурах

До сих пор параметры с, h считались независимыми. Изучим усреднение задачи (1.2) в том случае, когда k = h(e) —» 0 при є —» 0, то есть толщина сетки F , равная h(e), стремится к нулю при є — 0 так что F переходит в сингулярную сетку F. Если в задаче (1.2) вместо меры // взять меру / (т.е. рассматривать вариационную задачу на тонкой сетке), усреднение будет зависеть от того, какова величина в = lim k{e)je : в = 0, в Є (0, оо), 0 = ос (см. введение). Вид усредненной задачи и тип сходимости минимизантов иє различаются для трех перечисленных случаев, и усредненная задача, вообще говоря, двух-масштабна. Причину этого масштабного эффекта вскрывает неравенство Корна на -периодических тонких структурах FJ (см. главу 2) где с - константа, зависящая лишь от диаметра 2, а порядки, с которыми входят в правую часть параметры є и Л, точны. Видим, что константа С — с(() + 1) в правой части (1.12) может расти к бесконечности при определенных соотношениях между є и h(e). Ограниченность аналогичной константы в неравенстве Корна (1.4) исключает масштабный эффект при усреднении задачи (1.2) с составной мерой fi. ,h = Ь.(є) — 0. Кроме того, для составной меры Д, в отличие от меры fi, множество периодических жестких перемещений исчерпывается постоянными векторами (см. главу 1). Тогда предельная задача для составных структур не может быть двухмасштабной. Отмеченные выше факторы: отсутствие "масштабного" эффекта в неравенстве Корна и тривиальность множества периодических жестких перемещений определяют классический характер принципа усреднения на составных структурах с тонкой составляющей. Хотя принцип усреднения имеет форму (см. теорему 5.2) сильной сходимости в пространстве L2(i}.dx)2 решений исходной задачи (1.2) к решению обычной усредненной задачи (1.8), дополненной сходимостью энергий: его вывод использует двухмасштабную сходимость. В 7 изучаются свойства двухмасштабной сходимости в пространстве теории упругости с переменной составной мерой, с помощью которой в 8 выводится принцип усреднения в терминах сильной сходимости в переменном пространстве L 2(Q.,dfi ). Доказанные в 9 свойства сходимости в пространстве L2(Q}dp ) позволяют переформулировать принцип усреднения в терминах обычной 2-сходимости.

Принципу усреднения можно придать операторную форму сильной резольвентной сходимости. Кроме того, в 8 доказан принцип компактности в пространстве L (ГЇ, dp ) для скалярных и векторных функций (аналог теоремы Рсллиха). Иэ этих двух положений в 9 выводится сходимость по Хаусдорфу спектра исходной задачи к спектру предельной задачи, а также более точная сходимость собственных чисел и собственных векторов оператора исходной задачи.

3. Рассматривая уравнение Эйлера для задачи (1.3), мы приходим к классической его форме, которая представляет собой смешанную задачу с условием Дирихле на внешней границе dVt и с краевым условием типа Вент-целя на каждом звене сетки Fs П ІЇ. Аналогично для периодической задачи (1.8) в классической форме уравнения Эйлера появляется краевое условие типа Вентцеля на каждом звене сетки F. Чтобы получить классическую форму уравнения Эйлера для задач (1.3), (1-8). мы проводим предварительную релаксацию минимизируемых функционалов на сингулярной сетке Fs или F соответственно. Отметим, что релаксация выпуклых функционалов, заданных в Соболевских пространствах скалярных функций с произвольной мерой, рассматривалась, например, в [15, 33, 54].

Идея релаксации позволяет вычислить для составной структуры усредненный тензор ,4 m из (1.8) при произвольном тензоре упругости А. В изотропном случае (см. (0.9), введение), когда F - квадратная сетка (рис. 3( )), Аналогичная методика применялась в [36] при изучении усредненного тензора А т для периодических тонких и сингулярных сеток. 4. Мера (iL абсолютно непрерывна относительно меры Лебега: dp = pl(x)dx, плотность р1(х), сильно контрастна при Л —» 0 (порядка 0(h ]) на F и 0(1) вне F1). В этом смысле мера р, описывает плоскость, армированную тонкой сеткой. В трехмерном случае с помощью аналогичной меры р можно описать пространство, армированное тонкой ящичной структурой F . Соответствующая сингулярная ящичная структура F составлена из трех семейств плоскостей Х{ = а, где а - любое целое, і — 1,2,3. Для таких трехмерных составных мер, связанных с ящичными структурами, задачи (1.2), (1.3) имеют абсолютно такое же усреднение, как в плоском случае. Заметим, что скалярные и векторные задачи в контрастных композитах изучались и ранее, например, в работах [1, глава 7], [55, 56, 58-60]. Случай, когда одна из фаз композита является периодической тонкой или сингулярной структурой, оставался открытым. 5. Представляют интерес вариационные задачи, аналогичные (1.2), (1.3), когда составная структура наиболее простая, а именно - плита с одиночным стержнем, сингулярным или тонким. Мы изучаем эти задачи в 2. 3, их скалярные аналоги рассматривались в [3,61,62]. 2. Задача на плите с бесконечно тонким стержнем Вариационная постановка задачи. На квадрате Q — (0,1) х (-1/2,1/2) с выделенным интервалом / = (0,1) X {0} введем составную меру Далее Л - тензор упругости, удовлетворяющий обычным условиям симметрии и положительной определенности. Пусть Ср(Й) множество функций из С(П), равных нулю в окрестности Г={0}х (-1/2,1/2). Нас будет интересовать вариационная задача на отыскание минимума энергии Здесь тензор упругости Л и функция G представлены парой компонент: Л — (А, В), G = (/,. /), одна компонента "действует" на квадрате 1Ї, а другая на интервале 7; G Є L2(a,dfi)2, то есть / Є L2(Q,f )2, д Є 12(ГЫ//)2. Пусть WY замыкание множества {(гі,е(и)) : и Cj ffi)2} в L2(Q,dJt.)2 х L (П, d/j) . Элементами пространства WY служат пары (и., "), и - вектор, v - матрица. Матрицу v называем симметричским градиентом (или просто градиентом) вектора и и обозначаем через е(и). Вектор и может иметь много градиентов. Пусть (и) множество всех градиентов функции и. его структура такова:

Похожие диссертации на Усреднение задач теории упругости на тонких периодических структурах

Усреднение задач на тонких периодических структурах методом двухмасштабной сходимости Шумилова Владлена Валерьевна

Развитие теории метода усреднения для квазилинейных параболических начально-краевых задачАлександров, Владимир Юрьевич

Метод потенциальных функций в граничных задачах теории упругости для тел с дефектамиГусенкова Алла Александровна

Метод пограничного слоя в задачах теории упругостиКирпичникова, Наталья Яковлевна

Сингулярные интегро-дифференциальные операторы на многообразии и основные гранично-контактные задачи теории упругостиЧкадуа, Отар Одикович

Краевые задачи теории упругости с условиями на границе типа неравенств Лазарев Нюргун Петрович

Метод гладких возмущений в задачах теории упругости с односторонними ограничениями для областей с негладкими границамиРудой, Евгений Михайлович

Операторные методы исследования краевых задач линейной теории упругостиВеневитина, Светлана Семеновна

Краевые задачи плоской теории упругости при наличии дефектов внутри областиМоисеев, Николай Григорьевич

Контактные задачи плоской теории упругости с кусочно-гладкой границей раздела средЕмельянов, Александр Павлович