Содержание к диссертации
Введение
1 Метод гладких областей в задачах двумерной теории упругости для области с негладким разрезом 19
1.1 Вариационная формулировка 20
1.2 Смешанная формулировка 22
1.3 Метод гладких областей 31
2 Дифференцирование функционала энергии для задачи о равновесии тела, содержащего трещину, с краевыми условиями Синьорини 37
2.1 Постановка задачи 38
2.2 Асимптотические разложения 43
2.3 Вывод формулы для производной 48
3 Дифференцирование функционала энергии в задаче о равновесии пластины, содержащей наклонную трещину 50
3.1 Постановка задачи 51
3.2 Вспомогательные утверждения и формулы 54
3.3 Вывод формулы для производной 59
3.4 Предельный переход при а 62
4 Гладкость решения в задаче о равновесии пластины с на клонной трещиной 67
4.1 Постановка задачи 68
4.2 Теорема о гладкости 72
Список литературы 74
- Смешанная формулировка
- Асимптотические разложения
- Вспомогательные утверждения и формулы
- Теорема о гладкости
Введение к работе
Прочность хрупких тел существенно зависит от имеющихся в реальном твердом теле остроконечных дефектов, таких, как трещины, отверстия, включения инородных материалов и т.п. Под воздействием внешних сил тело деформируется, при этом в окрестности таких дефектов возникает значительная концентрация напряжений. Это, в свою очередь, может привести к образованию новых или росту уже имеющихся трещин, т.е. к локальному или полному разрушению тела. Необходимость в наиболее точном описании процессов деформации и разрушения, происходящих в реальных телах, обусловлена в первую очередь увеличивающимся применением инженерных конструкций и техники. Таким образом, изучение поведения тел, содержащих трещины, находящихся под воздействием внешних нагрузок, представляет собой актуальную тему для научных исследований.
В исследовании задач механики деформируемого твердого тела применение аппарата дифференциальных уравнений является одним из широко используемых математических методов.
Существенным моментом в данной работе, с точки зрения математических исследований, является постановка рассматриваемых задач в негладкой области. Предполагается, что граница этой области состоит из внешней границы, описывающей внешние контуры тела, и внутренней — задающей форму трещины. Таким образом, краевые условия задаются на внешней (защемление, контакт) и внутренней границах (условия непроникания). При этом условие непроникания имеет вид системы равенств и неравенств.
Другим важным моментом является то, что все краевые задачи, рассматриваемые в работе относятся к классу задач со свободной границей. Это означает, что конкретное краевое условие в данной точке определяется лишь после решения всей задачи в целом.
В настоящее время для исследования задач теории упругости описывающих равновесие тел с трещинами, разработаны разнообразные математические модели и методы.
Широко применяются следующие подходы, ставший классическими, которые применимы в задачах, где краевые условия,.задаваемые на поверхности трещины для функций перемещений или компонент тензора напряжений, имеют вид равенств (см. [56]-[59], [67]-[72], [97]-[100]) (TijVj = fi на S щ = ді на 5, где Gij - компоненты тензора напряжений, i/j - компоненты вектора внешней нормали к поверхности S, описывающей форму трещины, щ - компоненты вектора перемещений, /,-, gi - заданные функции.
В области исследования задач теории трещин с краевыми условиями такого типа значительный вклад внесли Н. И. Мусхелишвили, Г. П. Черепанов, В. 3. Партон и др. С помощью аппарата теории функций комплексного переменного они изучили широкий класс задач ( см. [23], [57]-[59], [72], [97]-[100]).
Метод интегральных уравнений также относится к одним из наиболее используемых в задачах теории упругости. Сведение задач к интегральным уравнениям и последующее их изучение описаны в [1], [12], [18], [71]. Винер и Хопф предложили метод для решения некоторых интегральных уравнений, основанный на идее факторизации. С техникой этого метода можно ознакомиться в [21].
Теория потенциалов, изложенная в монографии В. Д. Купрадзе [40], также нашла применение к задачам теории трещин [13], [26].
Наряду со способами изучения проблем теории упругости с помощью краевых задач, нередко применяются вариационные подходы [8], [14], [55], [77], [89], [101]. Так, например, задача равновесия упругого тела может быть поставлена как задача минимизации функционала потенциальной энергии.
Благодаря развитым в последней половине XX века теории вариационных неравенств, теории соболевских пространств и т.д., стало возможным исследование более широкого класса практических и теоретических проблем (см. например [4], [16], [27], [61], [67]). Связь вариационных неравенств и краевых задач, их эквивалентность, для конкретных задач механики и физики изложена в [4], [20]. Впервые в отечественной математике теорию вариационных неравенств к теории упругости применил А. С. Кравчук, см. [38], [39].
Трудность в исследовании гладкости решений вариационных неравенств связана с тем, что задачи такого рода могут иметь порог гладкости. Кроме того, как правило, из-за нелинейности задач методы исследования, которые хорошо работают для одних видов задач, будут неприменимы для исследования других, не слишком отличающихся от них, см. [2]-[4], [10], [94].
Использование вариационных неравенств, эквивалентных соответствующим нелинейным краевым задачам теории трещин, позволило получить ряд результатов, касающихся дифференцирования функционалов энергии [82], [95], [96].
В настоящее время имеется достаточно много работ, относящихся к дифференцированию функционалов энергии при возмущении областей в линейных задачах [19], [63], [64], [86]. Например, в работе В.Г. Мазьи, С.А. Назарова рассматриваются краевые задачи с малыми возмущениями границы вблизи конической или изолированной точки [52]. Найдены главные члены асимптотики интегралов энергии для ряда конкретных задач математической физики. Приведен строгий вывод формулы Гриф-фитса для приращения потенциальной энергии деформации при продвижении трещины.
Результаты о численных методах, применяемых для вариационных неравенств, можно найти в [17], [32], [33].
Наряду с исследованием нелинейных краевых задач теории трещин с помощью вариационных неравенств в последние годы успешно используются так называемые смешанные формулировки. В случае областей с гладкими границами и обычными краевыми условиями, смешанные формулировки достаточно хорошо изучены (см. например [9]). В задачах с негладкими областями, благодаря применению смешанных постановок, обоснован метод гладких областей в теории трещин. Этот метод, предложенный сравнительно недавно, уже сейчас получил эффективное применение при численных расчетах задач теории трещин [7]. Кроме того, этот метод оказался крайне полезен при обосновании метода фиктивных областей в задаче Синьорини [87].
Математическая теория трещин, связанная с условиями непроникания берегов, берет свое начало с работ А. М. Хлуднева, исследовавшего с теоретической точки зрения краевые задачи с условиями в виде системы равенств и неравенств на негладкой компоненте границы области. С механической точки зрения условия типа неравенств имеют более точную интерпретацию по сравнении с классическими условиями вида равенств. Приведем, например, условие непроникания, задаваемое для трехмерных тел с трещинами [и]г/ > 0 на Гс. (0.1)
Здесь и = (щ,и2,щ) — перемещения точек тела, скобки [] означают скачок функции на берегах трещины, v — нормаль к поверхности Гс, определяющей форму трещины. Заметим, что для двумерного случая условие непроникания запишется в аналогичном виде как и в (0.1), но для двухкомпонентного вектора и определенной кривой.
Отметим здесь, что поверхности и кривые, описывающие трещины, соответственно, в трехмерном и двумерном случаях, удовлетворяют некоторым предположениям, в частности, они должны обладать гладкостью, которая позволяет определить нормаль, а также они не должны иметь самопересечений. От последнего требования можно отказаться поскольку, в случае кривой, имеющей самопересечения, краевые условия вида (0.1) также можно задавать и исследовать соответствующую контактную задачу.
В ряде работ дополнительно предполагается, что трещина содержится строго внутри тела и описывается более гладкими поверхностями и кривыми. Например, в работах [91], [93] такие предположения необходимы для определения операторов следа и применения соответствующих формул Грина.
При моделировании пластин и оболочек, содержащих вертикальные трещины, А. М. Хлудневым предложено краевое условие взаимного непроникания берегов: № > d\[^]\ на Гс, (0.2) где W, w - горизонтальные и вертикальные перемещения точек срединной поверхности пластины, 2d - толщина оболочки (пластины), кривая Гс задает пересечение поверхности трещины со срединной плоскостью, v - нормаль к Гс. Это условие было предложено в рамках гипотезы Кирхгофа-Л ява, которая состоит в том, что любое волокно, нормальное к срединной поверхности до деформации, остается после деформации прямым и нормальным к срединной поверхности в ее новом очертании; вместе с тем длина волокна вдоль толщины оболочки (пластины) остается неизменной. Дополнительное допущение состоит в том, что нормальными напряжениями в направлении нормали к срединной поверхности можно пренебречь по сравнению с основными напряжениями. Под основными напряжениями в теории оболочек понимают нормальные и касательные напряжения в самой срединной поверхности и в слоях оболочки, ей параллельных. В такой модели горизонтальные перемещения точек оболочки (пластины) линейно зависят от расстояния до срединной поверхности, а вертикальные не изменяются: W(z) = W - zVw, w(z) = w, \z\ < d, где W(z),w(z) - горизонтальные и вертикальные перемещения произвольной точки оболочки (пластины), расположенной на расстоянии z от срединной поверхности.
В настоящее время имеются разнообразные исследования и результаты для задач математической теории трещин с условиями вида (0.1), (0.2) как отечественных так и зарубежных авторов, см. [6], [11], [65], [84], [85], [92]-[96].
В ряде работ для вариационных постановок задач с краевыми условиями непроникания на негладкой компоненте области найдены эквивалентные формулировки в виде краевых задач, доказаны эквивалентность соответствующих вариационных и дифференциальных постановок, см. например [74], [92], [94]. Результаты о гладкости решений вариационных задач с такими условиями можно найти в [6], [75], [94].
Дифференцированию функционала потенциальной энергии для задач этой области математических исследований посвящены работы A.M. Хлу-днева, В.А. Ковтуненко, Я. Соколовского, М. Баха, К. Отсуки, Д. Хем-берга и других авторов.
В [6] сформулирована двумерная задача теории упругости с условием вида (0.1) на трещине и заданной силой трения между берегами трещины. Задача является нелинейной и ставится в виде вариационного неравенства. Получена формула для первой производной функционала энергии по отношению к параметру, который характеризует длину трещины.
Для задачи о равновесии пластины, содержащей вертикальную трещину, удовлетворяющей гипотезе Кирхгофа-Лява, с условием вида (0.2), формула производной функционала потенциальной энергии получена в [82].
В [92], [94] исследованы вопросы выбора экстремальных форм включений, рассмотрены задачи оптимального управления вариационными неравенствами.
В работах [7], [32], [33] приведены численные исследования для вариационных задач теории упругости с условиями непроникания берегов трещины, имеющими вид неравенств.
В данной диссертационной работе решены новые задачи теории трещин со свободными границами и с краевыми условиями типа неравенств.
Первая глава посвящена изучению нелинейной краевой задачи о равновесии упругого двумерного тела, содержащего трещину и находящегося под воздействием внешних нагрузок. Предполагается, что рассматриваемое тело занимает область fic = О, \ Гс, где Q — ограниченная область с гладкой границей Г, через Гс С fi обозначена кривая, описывающая трещину. Неизвестными функциями в задаче являются компоненты вектора перемещений и = (ui,U2) и тензора напряжений {
Здесь, v — нормаль к кривой Гс, {Су*/}^/^ — коэффициенты, определяющие упругие свойства тела. В вышеприведенных формулах и далее предполагается суммирование по повторяющимся индексам, индекс после запятой обозначает производную по соответствующей переменной. Для компонент тензора деформации приняты следующие соотношения
Величины az/, аи, сгг находятся по формулам
Соотношения (0.3) и (0.4) — уравнения равновесия и состояния. Граничное условие (0.5) описывает закрепление тела на внешней границе, выполнение условий (0.6), (0.7) обеспечивает непроникание противоположных берегов трещины друг в друга.
Существо метода гладких областей в теории трещин состоит в исследовании исходной дифференциальной постановки задачи в области с разрезом, с помощью соответствующей слабой формулировки в гладкой области. Для известных краевых задач о равновесии мембраны, двумерного тела, пластины, которые содержат трещины, описываемые достаточно гладкой кривой, найдены подходящие эквивалентные слабые формулировки в области без разрезов. А также доказаны теоремы существования и единственности решения этих задач см. [91], [93]. В частности, для рассматриваемой задачи (0.3)-(0.7) метод был ранее предложен для случая, когда трещина содержится строго внутри тела и описывается с помощью гладкой кривой класса С1,1 [93].
В данной работе рассматривается более общий случай, когда Гс является липшицевой кривой и может выходить в концевых точках на внешнюю границу Г. В таком случае, вообще говоря, трудно определить операторы следа, используемых в свою очередь, при определении множества допустимых функций в [93]. Это обстоятельство вынуждает применить другой, интегральный подход при определении множества допустимых напряжений (см. [93]). Приводится соответствующая слабая формулировка задачи (0.3)-(0.7) в гладкой области, которая является обобщением слабой постановки, предложенной в [93]. В качестве основного результата доказывается существование и единственность решения этой задачи.
Во второй главе получена формула для производной функционала энергии в задаче о равновесии тела, содержащего трещину и контактирующего с жестким штампом. При этом возмущение области, занимаемой телом, задается семейством гладких отображений. Рассматривается задача теории упругости в области с негладкой границей. На внутренней границе (разрезе), соответствующей трещине, задаются краевые условия вида неравенств. Эти условия имеют ясную механическую интерпретацию и не допускают взаимное проникание противоположных берегов трещины. На подповерхности внешней границы, которая имеет ненулевую площадь, задаются условия закрепления. Краевое условие Синьорини, описывающее контакт тела с жестким штампом, также имеет вид системы равенств и неравенств. Это условие предполагается выполненным на остальной части внешней границы. Поверхности, на которых заданы краевые условия, удовлетворяют определенным предположениям о гладкости и относительного взаимного расположения. Доказательство существования и единственности решения вариационных постановок задач, аналогичных этой задаче, а также их эквивалентные дифференциальные формулировки можно найти в [94]. Эквивалентность понимается в следующем смысле: в предположении достаточной гладкости решения вариационной постановки, решение вариационной задачи является решением краевой задачи, и наоборот.
В данном случае для исследования функциональных свойств решения удобно воспользоваться вариационной постановкой. Для исходной невозмущенной области с разрезом П, обозначим через и решение этой задачи, а потенциальную энергию тела' обозначим через J(fi,u). Рассмотрим семейство гладких отображений, зависящих от малого параметра se{-s0,s0)
Ц Є C2(-50,60;W^(R3)), і = 1,2,3.
Считаем, что при 5 — 0, Фо = I — тождественное отображение. Пусть при каждом фиксированном 5 отображение Ф<у устанавливает взаимнооднозначное соответствие между областями G5 = Ф5 обозначим решение задачи для возмущенной области, J(QS; и5) — соответствующий функционал потенциальной энергии. Считая, что Ф<5 устанавливает взаимно-однозначное отображение между соответствующими множествами допустимых функций К и К5 рассматриваемых вариационных задач, находится формула для производной функционала энергии по отношению к параметру 6 dJ(Q5;u5)l _ J(Q5-и5) - J(fi;и)
В третьей и четвертых главах рассматриваются задачи о равновесии упругих пластин, содержащих наклонную трещину на основе модели Кирхгофа-Л ява. Впервые математическая модель условия непроникания берегов трещины для таких пластин была предложена в работе [90]. Это условие имеет вид системы двух неравенств, заданных в области, получаемой проекцией поверхности трещины на срединную плоскость пластины. Несмотря на громоздкость этого условия, его преимуществом по сравнению с условием, предложенным позднее, является возможность применения к более широкому классу поверхностей, задающих трещины. Приближенное условие непроникания применимо при дополнительном предположении относительно перемещений точек пластины вблизи трещины и может быть использовано лишь для трещин, описываемых специальными поверхностями [36].
В третьей главе находится производная функционала энергии по длине трещины. А именно, рассматривается возмущение трещины вдоль заданной поверхности. Малый параметр 5 Є [0,#о] задает возмущение длины трещины. Каждому 5 Є (0, до] ставится в соответствие возмущенная задача о равновесии. Существование и единственность решения этой задачи, сформулированной в вариационном виде, а также ее эквивалентность соответствующей краевой задаче, доказаны в [36].
Пусть срединная поверхность пластины занимает область Qs = 1 \ Г/+5, где О, С R2 — ограниченная область с гладкой границей, Ti+s — пересечение поверхности трещины со срединной плоскостью.
Искомые функции перемещений точек срединной поверхности пластины обозначаются через х = (Щш), где W = W(x) = (u(x),v(x)); w = w(x), — горизонтальные и вертикальное перемещения соответственно, х Є }
Здесь п — внешняя нормаль к Г, функция а(х) = a = const задает угол наклона трещины. При а = 0 получаем условие для вертикальных трещин. Наряду с (0.8), (0.9) на Г/+($ выполнены также и другие краевые условия, точный вид которых здесь мы приводить не будем. При необходимости их можно найти в [36]. Эквивалентная формулировка задачи состоит в минимизации функционала энергии П(П
В этой главе найдена формула для производной функционала энергии по отношению к параметру 8: dS |fc0 - Ь 8 ((U0)
Далее, рассматривая угол наклона а в (0.9) как параметр, меняющийся в интервале [0, ао], будем иметь семейство задач, зависящих от двух параметров а и 5. Обозначим теперь через Xs решение соответствующей задачи равновесия. При фиксированном 6 установлена сильная сходимость последовательности {xs} к {х} ПРИ а -> 0. Доказана возможность предельного перехода в формуле для вычисления производной функционала энергии
ЛІСПАХ?), rfn(n,,xg), Ь—5Ї—|fc0 = —dS~|i=0-
В четвертой главе исследуется гладкость решения вариационной задачи о равновесии пластины, содержащей наклонную трещину. Постановку этой задачи и доказательство существования ее решения можно найти в [90]. Неравенства, описывающие условие непроникания противоположных берегов трещины, входят в определение множества допустимых функций. В отличие от ранее исследованных задач о равновесии пластин и оболочек с вертикальными трещинами, рассматриваемое в этом разделе условие непроникания задается не на кривой, а в области (см. [92], [94]). Кроме того, это условие имеет нелокальный характер в том смысле, что его запись для данной фиксированной точки содержит значения перемещений пластины как в этой точке, так и в точке, взятой на противоположном берегу трещины. Данные обстоятельства существенно отличают рассматриваемое в этом разделе условие непроникания для наклонных трещин от условий для вертикальных разрезов.
Пусть срединная поверхность занимает область fic, а поверхность трещины является частью плоскости. Пересечение трещины и срединной плоскости пластины (х\,Х2) задается множеством Гс = {(#1,^2) | 0 < Х\ < г,Х2 = 0}. Граница dQc состоит из внешней границы dQ, ограничивающей гладкую область П и разреза Гс, fic = Q \ Гс. Нагруженная внешними силами пластина деформируется и приходит в равновесное состояние. Функции перемещений х(х) = (u(x),v(x),w(x)), х = (#Ъ#2) Є Пс? срединной поверхности ищутся в классе функций, принадлежащих пространству
Я(ПС) = Н1>\ПС) х Hl*(Qe) х #2'(ГУ, где подпростанство Я1,0(Г2С) пространства Hl(Qc) состоит из элементов, обращающихся в нуль на сЮ. Аналогично, элементами H2'(QC) являются все функции из Я2,0(ПС), обращающиеся в нуль на дії вместе с первыми производными. Равенство нулю на 8Q. описывает условие жесткого защемления по краям пластины. Искомые функции должны удовлетворять условию в виде системы двух неравенств, выполненных на определенной области Q^ С П. Задача о равновесии пластины рассматривается в виде вариационного неравенства, выполненного для всех пробных функций, принадлежащих пространству Н(С1С) и удовлетворяющих системе неравенств.
В данной главе установлена дополнительная гладкость решений, в частности, доказано, что для любой точки х = (х^0) из множества Гс существует окрестность 0(гс), такая, что для решения задачи х = (и, v->w) выполнены включения м,і , «,іЄЯ1і0(ПсПО(я;0)); wuE Н2>(ПсПО(х0)).
Смешанная формулировка
Прежде чем перейти к изложению метода гладких областей, сформулируем, так называемую, смешанную постановку задачи (1.1)-(1.5). Для этого необходимо ввести следующие объекты. Пусть Нс — гильбертово пространство, такое, что с нормой Множество допустимых напряжений зададим следующим образом Очевидно, что множество Nc является замкнутым и выпуклым, следовательно, слабо замкнутым в пространстве Нс. Формально эквивалентная смешанная формулировка задачи (1.1)-(1.5) имеет следующий вид. Требуется найти функции и = (wi,W2), с = {aij]i i,j = Чтобы пояснить связь между дифференциальной и смешанной постановками, приведем сначала следующие вспомогательные выкладки. Пусть Гс — кривая полученная продолжением Гс с до внешней границы Г. При этом будем считать, что область fic разбивается на две области fii, fi2 с липшицевыми границами dfii, dfi2 соответственно. Предполагаем также, что Гс не содержит концевых точек. Область, для которой внешняя нормаль на части Гс ее границы совпадает с и, примем за fii. Через z/1, v2 будем обозначать внешние нормали к 9fii, 5fi2 соответственно. Введем следующие пространства Нї(дЄІі), і — 1,2 с нормой Обозначим через Н ї(дО,і) пространство, сопряженное к Нї(дО,і), і = 1,2. Для а Є Яс можно определить следы «л/1 и tri/2 как элементы пространств Н ї(д1і) и Н ї(дЄІ2) соответственно, при этом операторы взятия следа непрерывны. Будем использовать также следующее пространство: снабженное нормой где р(х) = dist(z, дТс). Для области fii справедлива следующая формула Грина [88] где скобки (-,-)15f2j обозначают двойственность между пространствами Я 2(5 і) и Я2(5Пі). Аналогичная формула справедлива для области ГІ2 Пусть а Є iVc, тогда для произвольного и Є -#о( ) имеем Применив в последнем неравенстве формулу
Грина (1.13) по отношению к областям Qi, 0,2, получим Заметим что, в силу равенства й = 0 на внешней границе Г, И Є Щ0(ГС). Обозначим сужение следа аи1 на Г через (аи1)", сужение следа аи2, определяемого на Г+, обозначим через (аи2)+. Поскольку на кривой Гс выполнено равенство и1 = — и2, то (си2)+ = — (аи1) . Обратим внима _i _ ние на то, что следы (сі/1)- и (аи1) принадлежат пространству Я002 (Гс). Так как [й] = 0 на Гс, и и = 0 на внешней границе Г, то из последнего неравенства получим где скачок на Гс определяется следующим образом [сти1] — {avl)+ — (аи1)-, скобки (v)ioof обозначают двойственность между простран I _i ствами #оо(Гс) и Н002(ГС). В силу того, что Ш — произвольная функция і из пространства #020(ГС), выполнено соотношение _i в смысле пространства Н002(ГС). Так как и совпадает с и на Гс, то очевидно, будет выполнено равенство [аи] = 0 в смысле пространства ЯЙ (Ге). Предположим теперь, что (сг, и) — решение смешанной постановки задачи. Тогда из неравенства (1.12) можно извлечь равенство (1.2). Для этого достаточно в качестве пробных функций взять а = а ± ср, где ip — произвольные функции из Со(Пс). Затем снова, используя приведенную формулу Грина (1.13), получаем равенство (1.2), выполненное в смысле распределений. Также можно получить краевое условие (1.3). Точную интерпретацию оставшихся краевых условий можно получить при дополнительных условиях на Гс. Поясним это более подробно. Пусть Гс удовлетворяет следующему предположению. Предположение 1. Кривая Гс С П допускает продолжение до замкну той кривой Ecfi без самопересечений класса С1,1. Пусть D\ — та подобласть области О, для которой dD\ = Е. Соответственно через D2 обозначим подобласть для которой dD2 = Е U Г. Не нарушая общности, будем считать, что внешняя нормаль к Е на части Гс совпадает с v. Для области D\ приведем следующую формулу Грина [88], [94] скобки (-, )і обозначают двойственность между #"(E) и #г(Е). Аналогичная формула справедлива для области D2. Благодаря этой формуле, из смешанной постановки (1.10)-(1.12) можно получить следующие соотношения
Асимптотические разложения
Согласно имеющейся гладкости Ф ?, справедливо разложение в ряд где через поле скоростей V обозначены первые производные - 1 =0) У — (VhV2,Vz), Vi = 9-f\s=0, і = 1,2,3. Заметим, что Справедливы представления для матриц Для обратной матрицы { f) , из (2.10) следует Пусть Ф -у — элементы матрицы Фд. С помощью координатного преобразования, примененного к функциям и интегралам в вариационном неравенстве (2.6), заменим интегралы по Q5 на соответствующие интегралы по невозмущенной области Q. Прежде всего введем трансформированный тензор деформаций Получим Здесь и далее через щ = и5 о Ф$ будем обозначать функцию, соответствующую решению us задачи (2.5) при координатном преобразовании Ф . С учетом разложения (2.11) получим представление Через R здесь и далее мы будем обозначать остаточные Сложим вариационные неравенства (2.4) и (2.12), предварительно взяв в качестве пробных функций соответственно w = us и й5 = и. С учетом (2.16) и (2.18) выводим соотношение Аналогично, применяя здесь неравенства Корна и Гельдера, с учетом оценки (2.20) получаем неравенство На основании неравенств (2.20) и (2.21) относительно множества {us} можно установить следующие сходимости Кроме того, можно выбрать подпоследовательность щп, такую что где и (Ф) некоторая функция из Hl(Q). Заметим, что согласно определению [9], такая функция и (Ф,у) называется слабой материальной производной решения, которую можно также интерпретировать как полную производную от возмущенного решения us по параметру 6. Выведем теперь соотношения для й (Фд). Выберем для фиксированного 5п в неравенстве (2.4) в качестве пробной функции й = щп и разделим его .на 6п. Не нарушая общности, будем считать что 6п 0. Получим неравенство Справедливо также и следующее неравенство, вытекающее из (2.12) для пробной функции й = и и получающееся с учетом разложений (2.16), (2.18) (2.25) В случае отрицательного „ неравенства (2.24), (2.25) меняются на обратные. Переходя к пределу в (2.24) и (2.25) при 8п —У 0 в силу сходимостей (2.22), (2.23), получим для функций нагрузки Имея в виду полученные разложения (2.10) и (2.13)-(2.15), для операторов, стоящих в левой и правой частях вариационного неравенства (2.12), выпишем асимптотические разложения где Яз — непрерывная форма. Из вариационного неравенства (2.12), подставляя в качестве пробных функций й = 0 и й = 2щ, получаем равенство
Согласно асимптотическим разложениям (2.10) и (2.13)-(2.15), можно переписать последнее равенство в виде с некоторой непрерывной формой R4. Используя неравенства Корна и Гельдера [20], при достаточно малых S получим равномерную оценку для нормы щ Сложим вариационные неравенства (2.4) и (2.12), предварительно взяв в качестве пробных функций соответственно w = us и й5 = и. С учетом (2.16) и (2.18) выводим соотношение Аналогично, применяя здесь неравенства Корна и Гельдера, с учетом оценки (2.20) получаем неравенство На основании неравенств (2.20) и (2.21) относительно множества {us} можно установить следующие сходимости Кроме того, можно выбрать подпоследовательность щп, такую что где и (Ф) некоторая функция из Hl(Q). Заметим, что согласно определению [9], такая функция и (Ф,у) называется слабой материальной производной решения, которую можно также интерпретировать как полную производную от возмущенного решения us по параметру 6. Выведем теперь соотношения для й (Фд). Выберем для фиксированного 5п в неравенстве (2.4) в качестве пробной функции й = щп и разделим его .на 6п. Не нарушая общности, будем считать что 6п 0. Получим неравенство Справедливо также и следующее неравенство, вытекающее из (2.12) для пробной функции й = и и получающееся с учетом разложений (2.16), (2.18) (2.25) В случае отрицательного „ неравенства (2.24), (2.25) меняются на обратные. Переходя к пределу в (2.24) и (2.25) при 8п —У 0 в силу сходимостей (2.22), (2.23), получим в пределе равенство Второе необходимое для нас соотношение, характеризующее и (Фв), получается из равенства (2.19) и следующего очевидного свойства решения Вычтем последнее равенство из (2.19) с 5 — 5п, выделенным в (2.23), и перейдем к пределу при 5п -» 0. Используя сходимости (2.22) и (2.23),
Вспомогательные утверждения и формулы
Введем дифференцируемое преобразование, отображающее fij взаимнооднозначно на Qo следующим образом. Рассмотрим функцию 9 Є Cg(fi) такую, что 9 = 1 в окрестности точки х\ — (/,0), 9 = 0 в окрестности точки XQ = (0,0). Дополнительно потребуем, чтобы 9,2 = 0 на Г/+0. Определим преобразование независимых переменных по следующей формуле: где у = (2/1,2/г) Є По, {хих2) Є П« . Якобиан преобразования у = у(х,5), определенного формулами (3.7), равен преобразование, обратное к у = у(х,5). Рассмотрим произвольную функцию ф(х), х Є П $, ф{х) = ф(у), у Є По, У = у(х1$)- Запишем формулы для частных производных в новых переменных: /ч Л Преобразование # = #(?/,) при малых 5 устанавливает взаимно-однозначное отображение между множествами Ks(Q$) и KO(QQ). В самом деле, qs 0 при малых 5, следовательно, области По и П $ отображаются взаимно однозначно. Отсюда, в свою очередь, следует, что пространство H(Q,Q) отображается с помощью х = x(y,S) на H(Qs) взаимно однозначно. Далее покажем, что образ произвольной функции из Ks( s) принадлежит Ко (По), И наоборот. Действительно, пусть х Є П , У Є По, х(х) — Х{У)І гДе х = Х(У)$)- Предположим сначала, что х Є Ks(0,s), т.е. X Є H(Q,s), и выполнено неравенство Справедливо равенство w# (х) = u),2 ( /) В самом деле, из условия у Є Г/ согласно (3.7) следует, что ж Є Г/+ . Так как 0,2 = 0 на Г/+(у0, отсюда следует, что w,2 (х) = w,2 (у) и х(у) Є ifo( o) Аналогично, используя полученные формулы, можно показать обратное: из включения х Є - о( о) следует принадлежность х множеству Ks(Qs) Для достаточно малых 5 решению Xs{p) задачи равновесия, согласно установленному факту, можно поставить в соответствие функцию из #о(ЗД : Xs{y) = Хб{х), У Є По-
При 6 = 0 в качестве хо примем хо-Докажем сначала следующее утверждение. Лемма 3.1 Имеет место сходимость xs — Хо сильно в H(Qo). Доказательство. Подставляя в вариационное неравенство (3.5) пробные функции х = 0, х = 2Х(Ь выводим равенство Осуществим в предыдущем равенстве координатное преобразование (3.7). Получим Заметим, что для малых 6 можно показать где Сі, Сі не зависят от 6 и xs- Из предыдущего равенства (3.9), для достаточно малых S, используя неравенства Корна (см.[20]) и Гельдера, получаем постоянная С не зависит от 6 и xs- Имея в виду последнюю оценку, легко вывести неравенство, выполненное для достаточно малых 5 с независящей от 8 постоянной С Из равномерной ограниченности норм ІІХ ІІ следует, что последовательность {xs} сходится слабо к некоторой функции х в H(QQ). В силу слабой замкнутости KO(QQ), функция х принадлежит множеству Ko(Qo). Применив координатное преобразование (3.7) к вариационному неравенству (3.5), получим (3.10) Заметим, что это неравенство, в силу взаимной однозначности KQ(QQ) и K$(Cls), справедливо для всех пробных функций х из KQ(QQ). ДЛЯ остаточного члена Дг в (3.10) для малых 6 справедлива оценка с не зависящей от 5, xs- X постоянной Сз- Принимая во внимание сильную сходимость /к/в JL2(QO) перейдем в (3.10) к пределу при 6 —ї 0. Воспользовавшись слабой полунепрерывностью снизу билинейных форм Д)(-,-) и ( у( ) еч( ))о» получим Произвольность x и предыдущее неравенство обеспечивают справедливость равенства х = Хо- Возвращаясь к равенству (3.9) и переходя в нем к пределу при 6 —) 0, с учетом слабой сходимости xs — Хо в H(QQ) и сильной сходимости f5 — / в 2( 0)5 находим Сравнение двух вариационных неравенств (3.5), выполненных для пробных функций х — О и X = 2хо при = О, дает возможность получить следующее соотношение
Равенства (3.11) и (3.12) обеспечивают сильную сходимость xs — Хо в H(Qo) при 5 — 0. В самом деле, слабая сходимость фп — ф при п — со и сходимость норм \\фп\\ — П Н в ії(По) при п —) со гарантируют сильную сходимость фп—їф при п — со в H(Qo) (см.[25]). Из соотношений (3.11) и (3.12), благодаря отмеченной ранее эквивалентности норм, следует сходимость XJ ІІХоІІ при 6 — 0. Лемма доказана. Далее, вычислим Считаем, что у и J независимые переменные в (3.7). Продифференцируем (3.7) по 6. Имеем
Теорема о гладкости
Теорема 4.1 Пусть хо Є (0,г). Тогда существует А 0,такое, что выполнены следующие включения: Доказательство. Подберем Л так, чтобы окрестность (XQ — 2А,яо + 2Л) точки хо содержалась в интервале (0,г) и Л d. Выберем гладкую функцию 0 так, что ф = 1 в (хо — \,XQ + \) х (—/,/), ф = 0 вне (XQ — Щ-,ХО + )х(-/-Л,/ + Л),0 1всюду, = 0 в (xo-f,xo + f)x(-l,l). Введем обозначения где - единичный вектор оси х, х = (х, у). Рассмотрим функцию Докажем, что для %г справедливы неравенства (4.4) и (4.5). Достаточно показать это для (4.4), справедливость (4.5) устанавливается аналогично. Для фиксированного у Є [0,/) определим функцию р(х),х Є (0, г), равную левой части неравенства (4.4): Очевидно, что р(х) 0, р(х + т) 0, р{х — т) 0, для всех х Є {хо — у, яо + )- Так как (1 — ф2(х,у)), ф уу - неотрицательные функции, то Подставив в последнее неравенство выражения для р(х), р(х+т), р(х — г), мы убеждаемся, что полученное неравенство есть неравенство (4.4) для функции Хт в точке (х,у) Є Щ П (яо " о + у) х (—М)" При я (#о — ) о + 2) выполнено равенство Хт = х, следовательно, Хг удовлетворяет (4.4) во всех точках fij. Аналогично можно показать, что выполнено неравенство (4.5) в точках из Q . Так как ф равно нулю на границе, то Хт Є H(QC). Следовательно, Хт принадлежит множеству допустимых перемещений и ее можно подставлять в качестве пробной функции в вариационное неравенство (4.8). Подставив Хт в качестве пробной функции в вариационное неравенство (4.8),можно легко получить следующее неравенство Можно показать, что разность между b(w 2ATw) и —b(dT w),dT$w)) оценивается сверху выражением в правой части выписанного ниже неравенства (4.12). Аналогично, разность между В(\У,ф2Ат\У) и —В(с1т(ф]), 1т(фУУ)) может быть оценена сверху тем же выражением из с постоянной с, не зависящей от г. Из последнего неравенства, используя оценки (4.2) и (4.3) для билинейных форм, получим оценку для норм конечных разностей dr(xT) где постоянная С не зависит от т. Отсюда, используя известный результат [54], получаем, что Так как ф = 1 в области (XQ — A, XQ + Л) х (—I, /), имеют место следующие включения: [1] Александров А. Я., Соловьев Ю. И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Наука, 1988. [2] Архипова А. А. О предельной гладкости решения задачи с двусторонним препятствием // Вестник ЛГУ. 1984, № 7, С. 5-9. [3] Архипова А. А. О предельной гладкости решения нестационарной задачи с одним или двумя препятствиями // Проблемы математического анализа. Л.: Издательство ЛГУ, 1983, вып. 9, С. 149-156. [4] Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. М.: Наука, 1988. [5] Bach М., Kovtunenko V.A., Sukhorukov I. как (1 — ф2(х,у)), ф уу - неотрицательные функции, то Подставив в последнее неравенство выражения для р(х), р(х+т), р(х — г), мы убеждаемся, что полученное неравенство есть неравенство (4.4) для функции Хт в точке (х,у) Є Щ П (яо " о + у) х (—М)" При я (#о — ) о + 2) выполнено равенство Хт = х, следовательно, Хг удовлетворяет (4.4) во всех точках fij.
Аналогично можно показать, что выполнено неравенство (4.5) в точках из Q . Так как ф равно нулю на границе, то Хт Є H(QC). Следовательно, Хт принадлежит множеству допустимых перемещений и ее можно подставлять в качестве пробной функции в вариационное неравенство (4.8). Подставив Хт в качестве пробной функции в вариационное неравенство (4.8),можно легко получить следующее неравенство Можно показать, что разность между b(w 2ATw) и —b(dT w),dT$w)) оценивается сверху выражением в правой части выписанного ниже неравенства (4.12). Аналогично, разность между В(\У,ф2Ат\У) и —В(с1т(ф]), 1т(фУУ)) может быть оценена сверху тем же выражением из с постоянной с, не зависящей от г. Из последнего неравенства, используя оценки (4.2) и (4.3) для билинейных форм, получим оценку для норм конечных разностей dr(xT) где постоянная С не зависит от т. Отсюда, используя известный результат [54], получаем, что Так как ф = 1 в области (XQ — A, XQ + Л) х (—I, /), имеют место следующие включения: [1] Александров А. Я., Соловьев Ю. И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Наука, 1988. [2] Архипова А. А. О предельной гладкости решения задачи с двусторонним препятствием // Вестник ЛГУ. 1984, № 7, С. 5-9. [3] Архипова А. А. О предельной гладкости решения нестационарной V. Numerical validation of the shape optimization approach to quasi-static crack propagation // SFB404 Bericht, Universitat Stuttgart 2000/29. 2000. [6] Bach M., Khludnev A.M., Kovtunenko V. A. Derivatives of the energy functional for 2D-problem with a crack under Signorini and friction condition /I Math. Mech. in Appl. Sciences. 2000, V. 23, pp. 515-524. [7] Belhachmi Z., Sac-Epee J.M., Sokolowski J. Mixed finite element methods for smooth domain formulation of crack problems // Les prepublications de Plnstitut Elie Cartan. 2003, № 24, pp. 1-27.
