Введение к работе
' АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМИ. Одна из существенных проблем механика сплошных сред заключается в необходимости иметь строгую математическую теория ее основ. '3 работе рассматриваются такие аспехтн математической теории пластичности, как существование и диф(Теренциальнив свойства решений соответствующих задач.
После того, как Д.Д.Ивлевим, А.А.'Ллыоишним, Л.Г(.Качановим, В.Д.Клшниковым, В.Т.Койтером, [Т.П.Мосолошм, В.П.Мяснк-ковим, Ю.Н.Работновым и другими били достаточно четко с математической точки зрения сформулированы основные классические задачи теории пластичности, стало ясно, что ряд практически интересных задач ш подпадает под те обычные условия творен существования и регулярности резений в обдей теории эллиптических и параболических задач, которые мояно найти в монографиях и обзорах Р.А.Дубинского, Д.И.Кошелева, о.АЛады-кэнской, Ч.Морри, О.А.Олейник, И.В.Скрнпника, З.А.Содоннякова, Н.Н.Уральцевой и других. В частности, в пластичности Гении или в теории течения Прандтля-РеЯсса возникает коэрцктншость в нервфлэхсивннх пространствах типа пространства С.3.Соболева ~W±» в задачах течения вяэкопластических сред невозможно написать уравнения Эйлера из-за недифференцируемости штогринта и т.д. Примеры показывают, что все эти неприятности вызваны суяеством дела, а имонно: возможна разрывные решения, застойные зоны и т.п.
К настоящему времени нанболое полные результаты получеки для случая упругопластического изучения стержня в исследовании проблем существования реїчокия Б.^.Аннпным я его регулярности Х.Брезиоом, Г.Стампакьей, А.Фридманом. Здесь устпкокле-на предельная wt* -гладкость оэгаеикя а иаучеш свойства свободной границы, разделяющей тело на две части: упругув я пластическую, естественно попытаться получить аналогичные результата для плоских и пространственных задач теории пласти1-:-
- b -
ности. Для того, чтош понять, какиз аналитические трудности при гтоМ возникает, рассмотрим в качостш примэра вариацион-ну» задачу деформационной теории пластичмостк.
Пусть однородное и изотропное идеально у пру го пласт л чео-кое тело аштмает область Я. bR (л- - 2 или 3) с лгашицевой гршпшой 35L и находится под действием заданных сил $ иг . Поле переметений U точзк упругопласткчаского тела еегь речение следующей ваоиан ионной задачи
Найти uM^eY+xc,, : ІС") = М [l»: veV0 + U-D J ц) Здесь в качество об-асти определения функционала
' .51 \Я.
добирается пространство
при р « 2 и «f » I; V0 - множество всех вектор-функций из D*'4ffi) 1>а»"их нулю на \ Si ; \ = dSSXT^Si; лс0 - заданное полє перемещений из ])*'*() , (v) - симметричная часть градиента векторного поля V , т.е. (1/-)=(^00), ':(*)= (4^у и ггС)- з 3trc /Э*. ; frfr> ^KeSp1*4 ?.('**') Д*я всоххс/1 (пространство симметричных матриц порядка п.). где jLj,- повелительная постоянная, а функция % определяется набором конкретной кололи пластичности. Будем считать, что
S*C(z-X). Р^-Ш^Г),^W^iO (г)
в. четная функция j^ itR^iR. удовлетворяет условиям:
а) Зъ не проривно дифференцируема на R ; б) J„' не (3) уонва'эт на Со ,+ со С , ^,() - 0; в) ч'Л) f^Z, ^. >
Задача (I) в лучшем случае полег быть коэриитивка ка множестве Л + "К0 нерефлексивного пространстваD ' () , что делает невозможным применение обычной схеми доказательства существования решения, основанного на понятиях полунепрэрив-
ности и коэрцитивности. Главний недостаток естественной функциональной постановки классической задачи заключается в предположении о суммируемости тензора .реформации с(я) . 'Гем самім исключайте;! решения с разрывами типа сїольяониіі, посиленім которих вполне возможно по физическим соображениям.
Г?робломи математической тоории пластичности, осознаннее в конце 70-х голов, по многом аналоги1.'!?;) проблемам варчациои-ного исчисления функционалов непаранотричэеких ггогюрхностоя, а в обчем случае функционалов, имевших линейний рост i;u бесконечности относительно градиента искомой функцій'.. Урашелмя Эйлера таких функционалов оказываются неравномерно эллиптическими, "дось при расширении естественной функционально}! постановки Тї.Дчусти, И./чаквинта, Д.Модика, 'Д.Соучег. заменили пространство С.Л.Соболева w^CftjR. ) допустимых эектор-функцни на пространство взктоо-Ггунк-.н'.й ограниченной вапиацяя BV(ffiiRy).
Мнтегрант, соответствующий упругепластичоочон сре^о Гонки, удовлетворяет условиям (3). Для этого частного случач расиирение вариационной задачи (і) блтл получено независимо и в разной степени общности р.Анцвллотти, М<,Ддаквкнтой, Р.Коном, р.Темамом, А.М.Хлуднеыш и оэторэм D.fil- Класс функция, которому приичллекит обобщенной репакнэ,- пространство вектор-функций ограниченной деформации 8Ъ(2.).
Весьма актуальное является проблема регулярности обоб-цоншх роиоиий задачи (I). В случае функционалов ликоїг.гаго роста эта проблема достаточно хорошо иоучоиа о.А.Лаяімвнсхол, Н.Н.Уральцевой, К.Герхардтом, А.З.Иванодам, Н.М.Ивячккноа, М.Дкаквинтой,. Д.Мог.икой, Я.Соучеком и другими, когда искомая функция скалярна (/V » і). 3 векторном случао (/V>dL ) ряд результатов по регулярности получеш Г.Анцйтлоттн, М.ліхакглі-той и автором ГіАІ.
Аналогичные проблеми с коэрцитивностьв в нерефлексивных пространствах возникают в тосрии предельного равновесии и в теории течения идеально упругопластичееких сред.
Мало изучена )»к<3$оренциальнне свойства обобщенных pea. -
- б
ний эволюционных вариационных неравенств теории пластичности, поскольку имеющаяся в общей теории техника нуждается в серьезной модификации.
ЦЕЛЬ рАГОТУ. Г. Исследовать общие вариационные задачи в керефлокснвннх пространствах н локаэать теорему существования слабых реаения таких задач. На отой основе получить вариационные расширения для задач идеальной пластичности.
-
Исследовать регулярность решений вариационных задач дефоомационной тоории пластичности. Вияснить, какова топологическая структура множеств, находящихся в упругом или пластическом состоянии.
-
Исследовать регуляоность решений эволюционных вариационных неравенств, описывающих квазистатическое равновесие упругопластических сред.
Ц. Исследовать регулярность решений вариационных неравенств тоории вязколластических сред.
5. Получить глобальную теорему об однозначной разреии-мости эволюционного вариационного неравенства для среды Бингама. Приложить полученные результаты к исследованию поведения его решения при больших временах.
МЕТОДІ ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе применяется общие метода випуклого анализа и теории нелинейных краевых задач. Из випуклого анализа активно используется теория двойственности. При исследовании регулярности ремений вариационных неравенств применяются, как правило, существенная модификация методов установления частичной регулярности, берущих свое начало от работ Ч.Норри, Е.Лчусти, М.Миранды, а также методы М«Дч;аквин-тн, основанные на технике обратных неравенств Гельдера, При исследовании поведения реяения эволюционного вариационного неравенства, описывающего течение среда Бингама, испольэувтея общие методы нахождзния минимальных глобальних аттракторов полугрупп.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все результате, полученные в работе, является новыми. Приведем их облий обзор.
-
Исследованы общие варкапионнпе задачи в нерсфлексив-ных пространствах. Построено их вариационное расширенно и доказаны тооромн существования слабого решении.
-
Результати обстоя теории прилагаются к вариационный задачам деформационной теории идеально упругопластичооких сред, а таюса к некоторым задачам вариационного исчисления Функционалов, имеющих линейный рост на бесконечности относительно градиента і скомой функции.
-
Изучена дий-оренциальные свойства роиений задач, двойственных к вариационним задачам идеальной пластичности. Найдена условии, когда эти решения, являющиеся нелинейными комбинациями первых производных слабих рошений прямой задачі; (задача (I)) и имеющие Физический смысл тензора напряжений, принадлежат пространствам Соболева или Гельдора. В ряде практически интересных случаев полученные результати ио;кно трактовать как доказательство существования упругой области (открытого множества). При некоторых дополнитольшх прядгсолояо-киях относительно ннтегранта ^задачи (I) доказана частичная регулярность (регулярность почти всяду) слабого решения.
^. Установлены дифференциальные свойства слабих ропендй вариационных задач деформационной теории пластичности, функционалы которых имеют стопокноіі рост относительно дениотopа тензора деформации, /оказано существование двух откритнх множеств, на которых слабое рёпвнио регулярно (тензор деформации и тензорнапряжения кепрорызны по Гельдеру) л которое мояно интерпретировать как упругув и пластическую области. В случае квадратичного роста получены интегральные критерии принадлежности точки упругопластического тела упругой или пластической области.
5. .Доказаны тоорош существования к исследованы дифференциальные свойства слабих реаеїшй некоторых оволшнонных вариационных неравенств, описивапщих квазистзтическое равновесие упругоиластичэсг.их сред. В частности, построено вариационное расширение классической задачи теории Праидт-ля-Реяс-са тэчекня идеальной удрутонлистическоя среды и доказано су-
щеотвованио слабого решения. В случае пластических сред с кзотропним ели кинематическим упрочнением исслелована регулярность слабого ромекия.
-
Изучены дифференциальные спойства локальних экстремален нодифферонцируемого функционала вариационной задачи, возникающей при описании медленных стационарных точений среды Бингама. /оказано суаествование открытого множества регулярности экстремали, на котором тонзор скоростей деформаций отличен от нуля, а в дополнении к нону огот тензор равен нулю.
-
В случае периодических краевых условий для плоской задачи получена теорема о глобальной однозначной разрешимости эволюционного вариационного неравенства теории течения среди Бингама.
-
Доказано, что двумерние соотношения двииения среды Бингама при периодических краевых условиях порождают.полугруппу, имеющую миндальный глобальный В -аттрактор, который непуст, свяэнон, компактен, инвариантен, и что при некоторых значениях параметров нагрукония этот аттрактор состоит из единственного нулевого элемента. .Лака оценка "конечномерности динамики" полугруппы на аттракторе.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Метод исследования регулярности слабых речений вапиационных задач теории идеально упругопластичэских сред мо:кот быть использован в общей теории при изучении регулярности pojemiil неравномерно эллиптических систем дифференциальных уравнений с частными произведший или экстремалей функционалов, имеющих линейный рост на бесконечности относительно градиента искомой функции. Некоторые такие приложения приводятся в диссортации.
Ряд результатов могут бить применены при численном анализе задач теории пластичности. В частности, результата по регулярности необходимы для квалифицированной оценки погрешности между точным л приближенным ращениями. Кроме того, pun-аиренные вариационные постановки дают возможность испох.ьзо-зать разрыЕнье конечные элементы. Один поимер такого рода имеется в диссертации.
-у _
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результати доклади вались на Двнинградском семинаре им. З.И.Смкрнова по математической фи-' зика (Л0[ГЛ, ЛГУ, рук. О.АЛадыаенская), на семинаре им. И.Г.Петровского по дифференциальным уравнениям .ч чатема-тичеоким проблемам физики (ИГУ, 1986), на I Всесокзном симпозиума по математическим метолам в механике сплошной среди ((Москва, институт проблем механики АН ССС?, 1984), на сомина-ре памяти А.ИЛурьа по нолинейімм проблемам механики (1987), на конференции по нелинейным краевым задачам (ДОТИ, 198?), на семинаре пол руководством Н.В.Баничука в институте проблем механики АН СССР, на семинаре под руководством Н.Ф.Морозова в ЛГУ, на семинаре пол руководством А.И.Копелева в ЛЭТИ, на семинаре под руководством В.Я.Ривкинда в ЛГМ к на других семинарах.
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результата работы опубликованы б работах Cl-15].
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, списка принятых обозначений, пяти глаз, приложения, заключения и списка литературы. Работа занимает 133 страниц» мааинописного текста. Библиография содержит I'tO наименований.
