Введение к работе
Актуальность темы. Краевые задачи для линейных дифферен
циальных уравнения эллиптического типа допускают вариацион
ную постановку. При этой нахождение слабого решения исходной
краевой задачи сводится к отысканию безусловного минимума
некоторого випуклого функционала. Переход к вариационной по
становке позволяет ославить ограничения на гладкость искомо
го решения. Кроиэ того, применение вариационных принципов при
дискретизации рассматрииаеиой задачи для ее численной реали
зации, позволяет получить заведомо устойчивые разностные
схеми. "
В последние два-три десятилетия интенсивно развивается теория линейных дифференциальных уравнений с односторонними граничными условиями, а такте приложение этой теории к решению конкретних задач, например, к задаче об упруго-пластическом кручении цилиндрического стераяя, контактной задаче теории упругости, задаче о препятствии и т.д. Одностороннюю задачу в теории упругоэти впервые рассмотрел А. Синьорини. Г. Стампаккья исследовал односторонние задачи, связанные с несишетрическики коэрцитивными йиллинейными формами. Выдающийся вклад в развита» теории односторонняя краевых задач внесли Г. Факера, Ж -Л. їноне, Г. Дюво, X.Брсзис, А.Фридман, П.П. Мосолов, В.П. Мявялхов, А.С. Кравчук, Б.Д. Аипии, A.M. Хлуднев, Н.Н. Уральцеві и другие.
Задачи с односторонними краевыми условиями сводятся к ва-риэционннм задачам, решение которых состоит в «яншиэааян выпуклого Функционала на выпуклом множестве, не являвщикся
-2-линейным подпространством. Экстремальная задача эквивалентна решению соответствующего вариационного неравенства.
Исследования вариационных неравенств проводились, как правило, в предположении строгой коэрцитивгюсти минимизируемого функционала в исходном гильбертовом пространстве. Однако для ряда вакиых в прикладном отношении задач с односторонними граничными условиями выполняется лишь ослабленное условие коэрцитивностк. Поэтому вопрос о существовании и единственности решения требует дополнительного исследования, а при построении приближенных решений приходится приманять специальные меры, обеспечивающие их сходимость.
Цель работы. Исследование некоторого класса односторонних краевых задач, приводявшк к пояукаэрцитивнкм вариационным непавенствам (имеишм нетривиальное ядро). Разработка основанных на аппарате теории односторонних краевых задач обідих подходов к исследованию однозначной разрешимости такого рода задач.Развитие приближенных методов решения полукоэрци-тчвиых вариационных неравенств с использованием аппарата ва~ риационно-разностшге'аппроксимаций, выпуклого анализа к ма-тематичаского программирования.
Научная новизна и практическая значимость работ, В диссертации получены следукиш новда результати:'
а) установлено характеристическое неравенство для полукозр-
цитивных функционалоб, соотвєтстпувдих односторонні',!.; кра
евым задачам;
б) получены теоремы единственности в полукозрщш;ышх вариа
ционных неравенствах, соотсотствуюдих задачам с трением;
в") установлена сильная сходимость ыинпмнйирувди последом
-3-телыюстей для полукоэрцитивного негладкого функционала а задаче с трением; г) получены оценки скоростл сходимости метода конечных элементов в норме исходного гильбертова пространства для по-лукоэрцйтиенше бариав.иоиных неравенств с краевыми условиями типа Синьорини;' д) построен и обоснован алгоритм с пошаговой ргох-регуляриза-зацией для решения задачи с трением; е) исследована скорость сходимости в итерацнониьш процессах с prox-регуляриэацибй, применяемых для реекэния полукоэр-цитивкых вариационных неравенств; s) установлена зависимость определяемого в методэ с ргох-ре-гуляризацией реиения полукоэрцитивного вариационного неравенства от вырабатываемых точек процесса и рассмотрено приложение к контактной задачо теории упругости; Полученные в работе результаты носят как теоретический, так и прикладной характер. Они могут быть использовани при численном решении вариационных неравенств в механике. * Аппробация работы, Ссновные результаты работы докладыва-лнсь на семинаре по механике деформируемого твердого тела в Институте гидродинамики СО РАН в 1392, 1993 г.г., на Международной конференции по задачам со свободными границами в механике сплошной среды, в 1991 г. С г. Новосибирск), на советско-японском и российско-ягокском симпозиумах по вычислительной гидродинамике в 1938, 1992 г.г. С г. Хабаровск, г. Владивосток), на Всесоюзної} конференции по интегральным уравнениям и краевым задачам математической физикк Р 19^0 г. (г. Владивосток), на Всесоюзной конференция по уо.ч- . t г.
-4-ректным задачам математической физики и анализа в 1992 г. Сг. Новосибирск), на Международной конференции по современным проблемам вычислительной и прикладной математики в 1995 г. С г. Новосибирск), на Международной конференции па математическому моделировании и криптографии в 1995 г. С г. Владивосток), на научных семинарах по дифференциальным уравнекиян Хабаровского технического университета.
Публикации, Основные результаты диссертации опубликована в работах 11-151. Работа C5J опубликована совместно с А.А. Каяланом, причем результаты, полученные Капланом по регуля-риэованному (с использованием ргох-отображашш) варианту метода штрафов, в диссертацию не включены. Работы 111, 13) опубликованы совместно с А. Я. Золотухиным.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложения, разбитых на параграфы . й 1-3 в главе /, 5 1-5 в главе //, И 1-2 в главе Ш, « 1-2 в главе IV, ft 1-2 в приложении. Нумерация формул и теорем и т. я. а одной главе состоит яэ двух чисел; первое число есть номер параграфа, второе - номер формули, теорекы и т.д. внутри параграфа. Работа написана на 199 страницах, вкввчгэт библиографию из 119 названий."
