Введение к работе
Актуальность темы. В общей теории динамических систем важное место занимают системы, описываемые дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Такие уравнения возникают при изучении колебательных процессов в механике, физике, биологии, химии, экономике и др. Теория дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами являются хорошо развитой составной частью общей теории дифференциальных уравнений, благодаря работам A.M. Ляпунова, А. Пуанкаре, Н.Н. Боголюбова, В. Г. Веретенникова, И.Г. Малкина, ЮА. Митропольского, В.А. Плисса, М. Розо, Ж. Флоке, Л. Чезари, И. 3. Штокало, В.А. Якубовича и многих других математиков.
Одной из наиболее актуальных задач в теории дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами представляется исследование поведения системы в окрестностях стационарных и периодических решений. Здесь особо актуальными представляются исследования поведения системы в предположении, что стационарное или периодическое решение является негиперболическим. В этом случае в системе могут происходить различные бифуркационные явления, возникать новые периодические или квазипериодические решения, становится возможным хаотическое поведение системы. Исследованию этого случая посвящены работы В.И. Арнольда, МА. Красносельского, A.M. Красносельского, А.П. Кузнецова, СП. Кузнецова, B.C. Козякина, НА. Магницкого, Ж.К. Хейла, Л.П. Шильникова и других математиков. Здесь получен ряд важных результатов, связанных с признаками бифуркаций и субфуркаций, построением периодических решений, анализом их устойчивости, исследованием вопросов синхронизации и др. При этом большая часть полученных результатов относится к задачам о бифуркациях коразмерности один. Существенно меньше изучены задачи о локальных бифуркациях коразмерности два и выше. Здесь особо актуальными являются получение достаточных признаков различных сценариев бифуркаций, разработка методов приближенного построения возникающих колебаний, исследование их устойчивости.
Цель работы. Разработка качественных и приближенных методов анализа бифуркационных явлений коразмерности два в динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами, получение достаточных признаков основных сценариев локальных бифуркаций, исследование устойчивости возникающих колебаний.
Методы исследования. В работе использованы методы качественной теории дифференциальных уравнений, теории нелинейных колебаний, нелинейного анализа, приближенного решения операторных уравнений, теории Флоке, малого параметра, метод функционализации параметра, метод Ньютона-Канторовича, метод Розо исследования устойчивости.
Научная новизна определяется впервые проведенными исследованиями, в результате которых разработан математический аппарат для анализа локальных бифуркаций коразмерности два в неавтономных и дискретных динамических системах. При этом получены следующие новые научные результаты:
Разработан новый операторный метод исследования бифуркационного поведения основных сценариев бифуркационного поведения двупарамет-рических неавтономных динамических систем и их дискретных аналогов в окрестностях стационарных решений;
Получены новые достаточные признаки локальных бифуркаций коразмерности два неавтономных динамических систем и их дискретных аналогов;
Разработаны и обоснованы асимптотические формулы, позволяющие определить основные гармоники вынужденных и субгармонических колебаний неавтономных динамических систем в задачах о бифуркации коразмерности два;
Проведен анализ устойчивости вынужденных и субгармонических колебаний, возникающих в неавтономных динамических системах при би-фуркиях коразмерности два;
5. Предложены асимптотические формулы в задаче о локализации языков Арнольда неавтономных динамических систем и их дискретных аналогов в основных резонансах.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. В ней предложены и обоснованы аналитический и приближенный методы исследования задачи об основных сценариях локальных бифуркаций коразмерности два в дифференциальных уравнениях с периодическими коэффициентами. Предлагаемые методы могут быть использованы для анализа бифуркационных явлений в системах, описываемых неавтономными дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Полученные результаты доведены до расчетных и асимптотических формул.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на региональной научно-технической конференции "Новые программные средства для предприятий Урала"(г. Магнитогорск, декабрь 2004 г.); всероссийской школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании "(г. Уфа, 30 октября-3 ноября 2007 г.); научно-практической конференции "Прикладная математика и информационные технологии в науке и образовании "(г. Сибай, 23-24 мая 2008 г.); международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы"(г. Стерлитамак, 24-28 июня 2008 г.); международной научной конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ"(г. Уфа, 13-17 декабря 2010 г.); научном семинаре по дифференциальным уравнениям математической физики Института математики с ВЦ УНЦ РАН (руководители: д.ф.-м.н., профессор Л.А. Калякин и д.ф.-м.н., профессор В.Ю. Новокшенов.); научных семинарах кафедры прикладной математики и информационных технологий Сибайского института (филиала) Башкирского государственного университета (руководитель - д.ф.-м.н., профессор Юмагулов М.Г.); научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета (руководители: д.ф.-м.н., профессор Султанаев Я.Т и д.ф.-м.н., профессор Юмагулов М.Г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[14], при этом статьи [1]-[4] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.
Личный вклад соискателя. Постановки основных задач принадлежат научному руководителю. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. При выполнении работ [2], [3], [6], [7], [9] и [11], опубликованных в соавторстве, соискатель принимал участие в разработке и обосновании предлагаемых методов исследования. Из результатов этих работ в диссертацию автором включены только результаты, полученные им лично.
Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Общий объем работы составляет 128 страниц. Библиография содержит 92 наименования.
