Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Индексы и базовые матрицы для алгебро-дифференцнальных систем 16
1.1. Регулярные пары квадратных матриц и их индексы 16
1.2. Объект исследования 17
1.3. Базовые матрицы регулярной пары матриц, имеющей индекс ..21
1.4. Теорема о единственности базовых матриц 24
1.5. Матрица Дразина 27
1.6. Применение матрицы Дразина для нахождения базовых матриц 30
1.7. Ранговые критерии разрешимости системы для базовых матриц...41
Глава 2. Блочные пары матриц индексов 1 и 2 49
2.1. Блочные пары матриц 49
2.2. Ранговые критерии принадлежности блочных пар матриц к парам матриц индекса 1 и их базовые матрицы 51
2.3. Блочные пары матриц индекса 2 65
2.4. Полуявные блочные пары матриц индекса 1 и 2. Теорема о понижении индекса 71
2.5. Частный случай полуявных блочных пар матриц индекса 2 80
2.6. Вертикально-блочные пары матриц индексов 1 и 2 84
Глава 3. Применение базовых матриц к построению численных методов решения линейных и нелинейных АДС 87
3.1. Основные идеи 87
3.2. Системы индекса 1 88
3.3. Итерации 89
3.4. Метод типа ломаных Эйлера 91
3.5. Нелинейные АДС общего вида 93
3.6. Некоторые преобразования полуявных блочных АДС индекса 2 к виду удобному для построения численных методов 99
Список литературы
- Базовые матрицы регулярной пары матриц, имеющей индекс
- Применение матрицы Дразина для нахождения базовых матриц
- Полуявные блочные пары матриц индекса 1 и 2. Теорема о понижении индекса
- Некоторые преобразования полуявных блочных АДС индекса 2 к виду удобному для построения численных методов
Введение к работе
Актуальность темы и объект исследования
При построении математических моделей в различных приложениях, таких как теория электрических цепей, оптимальное управление, автоматическое регулирование, теория переноса нейтронов, в различных экономических задачах, а также при применении разностных схем для уравнений Навье-Стокса, часто используются блочные алгебро-дифференциальные системы
(Ax(t)y = Bx(t)+At). (1)
В литературе для обозначения таких систем применяются и другие
названия: сингулярные, вырожденные, неразрешенные относительно
старших производных, дифференциально-алгебраические и др.
Объектом исследования в диссертации являются системы вида (1), в
которых матрицы А и В - квадратные, образующие регулярную пару матриц
(А, В) и имеющие следующее блочное строение:
А =
О О
в =
(2)
где Q\ и 7?4 - квадратные блоки.
Большое внимание уделяется также системам (1), в которых матрицы имеют вид
А =
(Е (Л
В =
R3 Д4
(3)
Приведем несколько примеров.
П.1. Задача минимизации функционала
J {и) = \[(А1, д;, х) + 2(Л12х, и) + (А22и, u)]dt
при ограничениях, заданных уравнением
dx(J) dt
Dx{t) + Cu(t) + f{t)
и начальными данными х(0)=а, сводится к АДС вида (1), (3)
П.2. Система леонтьевского типа [50], вида
Lu'=Mu + f, где L и М- квадратные матрицы порядка п, detL = 0, а матрицы L и Мимеют вид
N ґ3 _і
1 =
М =
как можно видеть, является АДС вида (1), (2), где
f 7 \\ Ґ2И
200 _8_
V 25
> Qi =
100 200J ' -11
, *з =
, /?2 -
я,=
з -і
U5 11996000J
-4 -2^1
'*Л
ЧХ2У
/:
\J2J
П.З. [20, c.21] Применение метода сферических гармоник для решения уравнения переноса нейтронов в плоскопараллельном случае, при некоторых дополнительных преобразованиях, приводит к системе, вида (1), (2)
Ax'=Bx + F,
А =
7з о о
в=
х =
F =
\flj
Число систем, имеющих блочную структуру, не ограничивается рассмотренными примерами.
Структура матриц (2) (или (3)) позволяет при исследовании получить методы решения блочных алгебро-дифференциальных систем, связанные с применением матриц меньшего порядка, чем порядок исходной системы. Несмотря на сравнительно широкую область применения блочных АДС, детальные описания и целенаправленные исследования их блочной структуры в литературе практически отсутствуют.
Напротив, алгебро-дифференциальные системы общего вида (1) являются объектом пристального внимания многих математиков. Впервые такие системы были рассмотрены Н.Н. Лузиным, 1940г. [33] и Ф.Р. Гантмахером, 1966г. [24]. Ф.Р. Гантмахером, например, было построено решение системы вида (1) с произвольными матрицами А и В, основанное на канонической форме Кронекера-Вейерштрасса. Далее исследования стали проводить независимо друг от друга две группы математиков: Ю.Е. Бояринцев, В.М. Корсуков [18, 20] и C.W. Gear, S.L. Campell, L.R. Petzold, K.E. Brenan [77, 72-76, 71, 70]. Позже изучением таких систем занялись
математики Германии и Швейцарии, такие как R. Maerz, Е. Griepentrog, М. Hanke, R. Lamour, Е. Hairer, Ch. Lubich и др. В настоящее время системам вида (1) посвящено множество работ.
Начало систематического исследования АДС вида (1) и численных методов их решения положил профессор Ю.Е. Бояринцев [8-Ю, 14-17, 61]. В монографиях [20, 14, 15] и серии работ основное внимание уделено взаимосвязи кронекеровой структуры пучка матриц АА-В, общего решения системы (1) и свойств численных методов. При проведении этих исследований широко использовался аппарат обобщенных обратных матриц: полуобратных и Дразина. Ю.Е. Бояринцевым были выведены классы АДС, для которых неособенные преобразования не меняют кронекеровой структуры пучка матриц исходной системы. Для таких систем и их разносных аналогов выписаны формулы общего решения.
В работе [20] впервые было исследовано влияние структуры АДС на поведение численных методов и обнаружено интересное явление, возникающее при применении разносных методов для решения АДС, названное позже «пограничным слоем ошибок».
В книге [11] вводится аппарат базовых матриц, который позволяет исследовать систему (1), с постоянной матрицей А, и преобразовать исходную систему (1) к системе с невырожденной матрицей при производной (в диссертации используется теория базовых матриц, предложенная в этой монографии).
Ряд результатов получен сотрудниками Ю.Е. Бояринцева. В работе [27] В.М. Корсуков сформулировал критерии устойчивости матриц вида А В, где А является полуобратной к А, а именно удовлетворяет уравнению АА А=А. Эти результаты можно использовать при исследовании АДС на устойчивость по Ляпунову и при построении устойчивых разностных схем.
В.А. Данилов в работах [25, 61] обосновал для случая линейных систем с регулярным пучком постоянных матриц класс разностных схем высокого порядка точности.
В.Ф. Чистяковым [6, 62, 63, 23] для исследования и численного решения линейных АДС и систем интегро-дифференциальных уравнений предложен подход, базирующийся на понятии левого регуляризирующего оператора, т.е. оператора, приводящего исходную систему к виду, разрешенному относительно производной. Эти результаты использованы при доказательстве ряда утверждений о свойствах тождественно вырожденного квадратичного функционала.
В работах А.А. Щегловой [65-67, 95, 96] рассматривается проблема разрешимости и излагаются алгоритмы приведения к нормальной форме нелинейных АДС, а также линейных АДС с отклоняющимся аргументом и выраженных систем, с непрерывным и дискретным временем. Исследуются качественные свойства линейных АДС, а также построение решения типа Соболева-Шварца для линейных АДС.
В совместной монографии В.Ф. Чистякова и А.А. Щегловой [64] много внимания уделяется качественным свойствам как линейных, так и нелинейных АДС. В рамках условия разрешимости получены условия устойчивости по Ляпунову и приводимости АДС, доказаны аналоги теорем Ляпунова-Флоке и Еругина. Обоснованы критерии управляемости и наблюдаемости АДС, доказан аналог теоремы дуальности Кальмана.
Ряд аспектов теории и построения численных методов изучены в работах М.В. Булатова [21-23]. В его работах рассмотрен ряд способов преобразования АДС и исследован вопрос о понижении индекса системы (1). Так же исследуется проблема выбора начальных данных, совместных с АДС. Рассматриваются различные численные методы применительно к АДС.
Профессор Г.А. Свиридюк и его ученики [52, 53, 98, 59, 60] развивают теорию вырожденных дифференциальных уравнений с операторными
коэффициентами в банаховых пространствах. Исследуются уравнения Соболевского типа. Введено понятие фазового пространства системы дифференциальных уравнений, как множества, содержащего все ее решения и являющегося замыканием множества допустимых начальных данных задачи Коши исследуемого операторного уравнения. В работах Г.А. Свиридюка и СВ. Брычева [54], Г.А. Свиридюка и И.В. Бурлачко [50, 51] на основе метода фазового пространства построен и реализован численный алгоритм для решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
В работах Н.А. Сидорова, О.А. Романовой, М.В. Фалалеева, Е.Ю. Гражданцевой [55, 56, 58, 97] исследуются некоторые классы вырожденных линейных дифференциальных и интегральных уравнений на предмет существования и построения непрерывных и обобщенных решений с использованием теории псевдообратных операторов и теории фундаментальных операторов-функций соответствующих сингулярных дифференциальных операторов банаховых пространствах.
Г.А. Куриной в работах [31, 32] изучаются матрично сингулярно возмущенные задачи оптимального управления. Исследуется вопрос о поведении решений этих задач при стремлении к нулю малого параметра. Исследуется связь между множествами сингулярно возмущенной системы и вырожденной системы.
А.А. Абрамов, К. Балла, В.И. Ульянова, Л.Ф. Юхно [1-4] предлагают и исследуют метод решения краевых задач для линейных систем дифференциально-алгебраических уравнений, основанный на совокупности последовательных преобразований исходной системы, в результате которых получается система ОДУ, либо система линейных алгебраических уравнений.
В работах Г.Ю. Куликова [28-30] подробно проанализировано применение различных модификаций методов Адамса, Ньютона и Рунге-Кутты для решения системы дифференциально-алгебраических уравнений.
АДС вида (1) активно изучают и за рубежом. Математиками R. Maerz, Е. Griepentrog, R. Lamour, М. Hanke и др. предлагаются критерии определения АДС индекса 1 и для них строятся численные методы [78-82, 89, 91]. Предлагаются подходы к исследованию разрешимости АДС индексов 1 и 2 [68,90, 83, 84] и согласованию начальных данных [88].
W.C. Rheinboldt, P.J. Rabier [92-94] рассматривают многие аспекты качественной теории АДС. В частности, для квазилинейной автономной системы предлагается процедура последовательного понижения индекса АДС с помощью многообразий касательных пучков, стабилизация процесса означает, что исходная АДС становится эквивалентна системе ОДУ в нормальной форме на некотором многообразии.
В работах P. Kunkel, V. Mehrmann [85, 87] для линейных АДС постоянного ранга построен аналог канонической формы, на основе которого осуществляется процесс понижения индекса. Этот подход также применяется для нелинейных АДС. В вышедшей одновременно с работай [19], книге [86] дастся введение в анализ теории дифференциально-алгебраических уравнений, и описываются некоторые соответствующие численные методы для задач начальных и краевых условий.
Стоит отметить, что все приведенные работы в области АДС в основном исследуют общий вид (1), не затрагивая достаточно распространенной в приложениях блочной структуры (1), (2) или (1), (3). В связи с этим исследование блочных АДС вида (1), (2) и (1), (3) является весьма актуальным.
Диссертационная работа направлена на развитие теории базовых матриц для алгебро-дифференциальных систем, предложенной Ю.Е. Бояринцевым, и на адаптацию данного подхода к исследованию блочных АДС, где А и В постоянные матрицы, с существенным учетом их структуры.
Цель работы - исследование блочных алгебро-дифференциальных систем с учетом их блочной структуры и получение методов решения линейных и нелинейных блочных АДС.
Для достижении поставленной цели решались следующие задачи:
Провести анализ теории базовых матриц Ю.Е. Бояринцева и применить результаты для исследования блочных АДС.
Используя блочную структуру системы, получить критерии ее принадлежности к системам того или иного индекса, при этом особое внимание обратить на системы индексов 1 и 2.
Найти достаточно простые способы вычисления базовых матриц.
Применить полученные результаты для разработки вычислительных методов решения линейных и нелинейных блочных АДС индексов 1 и 2.
Научная новизна и практическая значимость. Основные результаты, изложенные в диссертации, являются новыми и имеют как теоретическую, так и практическую значимость.
Обобщена теория базовых матриц для алгебро-дифференциальных систем Ю.Е. Бояринцева, доказана теорема существования и единственности базовых матриц. Построен метод нахождения базовых матриц с использованием обратной матрицы Дразина. Получены ранговые критерии разрешимости системы для базовых матриц.
Исследованы вопросы применения теории базовых матриц к блочным АДС. Построены критерии принадлежности блочных АДС к системам индексов 1 и 2 и найдены для них явные записи базовых матриц. Исследована возможность понижения индекса системы при построении решения и доказана соответствующая теорема о понижении индекса.
На основе полученных при исследовании результатов разработаны вычислительные методы решения линейных и нелинейных АДС.
Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании математических моделей, возникающих при изучении реальных объектов и процессов, а также при составлении программ для решения задач, связанных сАДС.
Методы исследования. При исследовании использовались: теория матриц и теория итерационных процессов для решения систем алгебраических и трансцендентных уравнений. Также в работе применялась теория базовых матриц для алгебро-дифференциальных систем, предложенная Ю.Е. Бояринцевым.
Краткое содержание диссертации. Кроме введения диссертация содержит три главы и список литературы.
В первой главе приведены некоторые обобщения теория базовых матриц для алгебро-дифференциальных систем.
П.1.1 носит вспомогательный характер. Здесь даны необходимые сведения о регулярности пары матриц и индексе системы. В п.1.2 описан объект исследования. В н.1.3 приводятся общие сведения из теории базовых матриц Ю.Е. Бояринцева [11]. В заключении параграфа вводится система для базовых матриц имеющая единственное решение. Существование и единственность решения системы для базовых матриц доказывается в и.1.4.
В п.1.5 рассматривается частный случай пары матриц (А, В) когда В=Е. В этом случае система для базовых матриц сводится к равенствам, определяющим обратную матрицу Дразина. Также приведены необходимые сведения об обратной матрице Дразина. В п.1.6 предложен метод нахождения базовых матриц с использованием обратной матрицы Дразина.
В п.1.7 исследуется вопрос о разрешимости системы для базовых матриц. Получены критерии разрешимости системы для базовых матриц, которые также могут служить определениями индекса системы.
Во второй главе исследованы вопросы применения теории базовых матриц к блочным алгебро-дифференциальным системам.
В п.2.1 вводятся вспомогательные сведения, адаптированные на структуру системы.
В п.2.2 построены критерии принадлежности блочных АДС вида (1), (2) к системам индекса 1 и получены явные записи их базовых матриц. Все полученные критерии и явные записи базовых матриц также показаны на примерах. В п.2.3 рассматриваются блочные пары матриц (2) индекса 2. Получены критерии принадлежности к системам индекса 2 при некоторых предположениях относительно блоков матриц.
П.2.4 посвящен полуявным блочным парам матриц вида (3) индекса 1 и 2. В заключении параграфа исследована возможность понижения индекса системы при построении решения и доказана соответствующая теорема о понижении индекса.
В п.2.5 рассмотрен частный случай блочных пар матриц индекса 2 и показано, что решение системы индекса 2 сводится к решению системы индекса 1.
Во второй главе (п.2.6) показана также возможность получения результатов, аналогичных результатам для блочных АДС (п.2.1, 2.2, 2.3), для исследования систем, названных в работе вертикально-блочными АДС.
Третья глава посвящена применению полученных результатов для решения и исследования линейных и нелинейных АДС индексов 1 и 2.
В п.3.1 излагаются основные идеи применения базовых матриц при построении решения для нелинейной системы вида (Ах)' = Вх +J{x, t). Далее в п.3.2 рассматривается нелинейная система индекса 1.
В п.3.3 приведены итерационные методы, используемые при решении. Далее, в п.3.4, на примере метода типа ломанных Эйлера показан предлагаемый вычислительный метод.
Предложенный метод в п.3.5 применяется также для случая нелинейных систем общего вида (Ах)' =J[x, /), кроме того, в п.3.5 для нелинейной системы общего вида сформулированы теоремы о согласовании начальных данных.
П.3.6. содержит некоторые преобразования полуявных АДС индекса 2 к виду удобному для построения численных методов. При преобразованиях используется теорема о понижении индекса.
Основные результаты
Доказана теорема существования и единственности базовых матриц для алгебро-дифференциальных систем.
Построен метод нахождения базовых матриц с использованием обратной матрицы Дразина.
Получены ранговые критерии разрешимости системы для базовых матриц.
Используя блочную структуру АДС, найдены критерии ее принадлежности к системам индексов 1, 2 и найдены для них явные записи базовых матриц.
Исследована возможность понижения индекса системы при построении решения и доказана соответствующая теорема о понижении индекса.
Полученные при исследовании результаты применены для построения вычислительных методов для решения линейных и нелинейных АДС.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
S Международная конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Новосибирск, 2002;
S «Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий», Иркутск, 2002-2004гг.;
S Вторая Восточно-Сибирская зональная межвузовская конференция по математике и проблемам ее преподавания в вузе, Иркутск, 2003;
S IV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Красноярск, 2003;
S III Всероссийская конференция «Математика. Информатика. Управление», Иркутск, 2004;
S XIII Байкальская Международная школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения», Иркутск - Северобайкальск, 2005;
S IV Всесибирский конгресс женщин-математиков, Красноярск, 2006;
S Всероссийская научная конференция «Математика. Механика. Информатика», Челябинск, 2006.
Результаты работы обсуждались на семинарах лаборатории алгебро-дифференциальных систем, объединенном семинаре ИДСТУ СО РАН и на семинаре кафедры математического анализа Иркутского государственного университета (руководитель-д.ф.-м.н. Н.А. Сидоров).
Работа выполнена при поддержке Фонда содействия отечественной науке.
Публикации. По теме диссертации опубликована 21 работа. В том числе монография [19], написанная совместно с руководителем диссертационной работы Ю.Е. Бояринцевым и три статьи в изданиях, одобренных ВАК [7], [36], [46].
Благодарности. Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Юрию Еремеевичу Бояринцеву за неоценимую помощь в работе над диссертацией и чуткое руководство.
Особую благодарность автор выражает своим родным: мужу Евгению Владимировичу и сыну Владиславу за терпение и заботу; родителям Жилкиным Виталию Васильевичу и Надежде Николаевне за безграничную помощь и за веру в успех.
Базовые матрицы регулярной пары матриц, имеющей индекс
Во второй главе исследованы вопросы применения теории базовых матриц к блочным алгебро-дифференциальным системам. В п.2.1 вводятся вспомогательные сведения, адаптированные на структуру системы. В п.2.2 построены критерии принадлежности блочных АДС вида (1), (2) к системам индекса 1 и получены явные записи их базовых матриц. Все полученные критерии и явные записи базовых матриц также показаны на примерах. В п.2.3 рассматриваются блочные пары матриц (2) индекса 2. Получены критерии принадлежности к системам индекса 2 при некоторых предположениях относительно блоков матриц.
П.2.4 посвящен полуявным блочным парам матриц вида (3) индекса 1 и 2. В заключении параграфа исследована возможность понижения индекса системы при построении решения и доказана соответствующая теорема о понижении индекса.
В п.2.5 рассмотрен частный случай блочных пар матриц индекса 2 и показано, что решение системы индекса 2 сводится к решению системы индекса 1.
Во второй главе (п.2.6) показана также возможность получения результатов, аналогичных результатам для блочных АДС (п.2.1, 2.2, 2.3), для исследования систем, названных в работе вертикально-блочными АДС.
Третья глава посвящена применению полученных результатов для решения и исследования линейных и нелинейных АДС индексов 1 и 2.
В п.3.1 излагаются основные идеи применения базовых матриц при построении решения для нелинейной системы вида (Ах) = Вх +J{x, t). Далее в п.3.2 рассматривается нелинейная система индекса 1.
В п.3.3 приведены итерационные методы, используемые при решении. Далее, в п.3.4, на примере метода типа ломанных Эйлера показан предлагаемый вычислительный метод.
Предложенный метод в п.3.5 применяется также для случая нелинейных систем общего вида (Ах) =J[x, /), кроме того, в п.3.5 для нелинейной системы общего вида сформулированы теоремы о согласовании начальных данных.
П.3.6. содержит некоторые преобразования полуявных АДС индекса 2 к виду удобному для построения численных методов. При преобразованиях используется теорема о понижении индекса.
Основные результаты 1. Доказана теорема существования и единственности базовых матриц для алгебро-дифференциальных систем. 2. Построен метод нахождения базовых матриц с использованием обратной матрицы Дразина. 3. Получены ранговые критерии разрешимости системы для базовых матриц. 4. Используя блочную структуру АДС, найдены критерии ее принадлежности к системам индексов 1, 2 и найдены для них явные записи базовых матриц. 5. Исследована возможность понижения индекса системы при построении решения и доказана соответствующая теорема о понижении индекса. 6. Полученные при исследовании результаты применены для построения вычислительных методов для решения линейных и нелинейных АДС.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Международная конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Новосибирск, 2002; «Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий», Иркутск, 2002-2004гг.; S Вторая Восточно-Сибирская зональная межвузовская конференция по математике и проблемам ее преподавания в вузе, Иркутск, 2003;
IV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Красноярск, 2003; III Всероссийская конференция «Математика. Информатика. Управление», Иркутск, 2004; XIII Байкальская Международная школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения», Иркутск - Северобайкальск, 2005; IV Всесибирский конгресс женщин-математиков, Красноярск, 2006; Всероссийская научная конференция «Математика. Механика. Информатика», Челябинск, 2006.
Результаты работы обсуждались на семинарах лаборатории алгебро-дифференциальных систем, объединенном семинаре ИДСТУ СО РАН и на семинаре кафедры математического анализа Иркутского государственного университета (руководитель-д.ф.-м.н. Н.А. Сидоров).
Работа выполнена при поддержке Фонда содействия отечественной науке.
Публикации. По теме диссертации опубликована 21 работа. В том числе монография [19], написанная совместно с руководителем диссертационной работы Ю.Е. Бояринцевым и три статьи в изданиях, одобренных ВАК [7], [36], [46].
Применение матрицы Дразина для нахождения базовых матриц
Т.к. полученная матрица нулевая, то ранг ее равен нулю, и не может быть равен рангу матрицы А, который, очевидно, равен единице. Далее докажем справедливость (1.7.9) при := Т.е. условия (1.7.9), (1.7.10) выполнены и, следовательно, рассмотренная пара матриц имеет индекс 2.
Для индексов к 2 справедлива аналогичная теорема, доказательство которой ввиду громоздкости не включено в эту работу. -і -I ллк rank {А[{В-єА)-хА]К}= rank {А[{В-єАуАу {}, Теорема 1.7.4. Для того чтобы регулярная пара (А, В), имела индекс, равный к 2, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены два условия: rank {А[{В- sAT]Af-]} ф rank {А[(В - sAfAf1}, (1.7.12) (1.7.13) где є-любое число, при котором матрица В - єА имеет обратную. Замечание 1.7.2. Условие (1.7.13) обеспечивает минимальность числа к, при котором выполнено равенство (1.7.12) и, следовательно, определяет действительный (минимальный) индекс пары матриц (А, В). Выполнение одного лишь условия (1.7.12) обеспечивает только разрешимость системы, которой удовлетворяют базовые матрицы, при данном к. Но тогда, как было ранее показано, эта система будет разрешимой и при к + 1 и т.д. В современной литературе минимальность к используется только для оценки сложности АДС: чем выше индекс, тем больше производных от правой части АДС требуется, чтобы решить задачу.
Замечание 2.1.1. В случае произвольной пары матриц вида (2.1.2) из ее регулярности, очевидно, следует, что пара матриц (R3, R4) имеет полный стро чны й ранг, т. е. rank{Ri,RA)=p, иначе матрица (В - єА) была бы особенной при любом є.
В соответствии с блочной структурой системы (2.1.1)-(2.1.2), как уже ранее было сказано (см. 1.3), базовые матрицы для нее могут быть записаны в блочной форме
Блочная форма базовых матриц в дальнейшем будет использована при доказательстве теорем относительно индексов пары матриц (2.1.1)-(2.1.2).
Также, как ранее было описано и доказано в работах [11, 19], решение системы (2.1.1) представляется в виде
В следующих параграфах доказываются теоремы о принадлежности системы (2.1.1)-(2.1.2) к системам индекса 1 и 2. Под индексом здесь будем понимать строгий (минимальный) индекс. Как было показано ранее (см. 1.7) для определения строгого индекса системы (пары матриц) необходимо проверить два условия
Условия (2.1.15), (2.1.16) обеспечивают минимальность индекса системы, что является важным для построения экономичных методов вычисления.
Очевидно, что рассматриваемые нами системы не являются системами индекса 0, т.к. матрица А в этих системах является естественно выраженной. В связи с этим для системы (2.1.1)-(2.1.2) при предположении, что она имеет индекс \,(к= 1), не требует проверки условия (2.1.16).
Однако вследствие условия регулярности (2.1.4) получается det/? 0 и, следовательно, rank(Qi Q2 -R) = m. Но тогда rank3\ = п + р, отсюда вытекает (см. (2.2.20)), что rank(Q{ Q2)=Q, а потому Q\ = 0 и Q2 = 0. Теорема доказана. Замечание 2.2.3. Легко заметить, что в теореме 2.2.4 речь идет о алгебраических системах. Теорема 2.2.5. Если в регулярной паре матриц (2.2.19) det O и R=Q, то пара матриц (2.2.19) имеет индекс, равный единице. Доказательство. Из условия регулярности (2.1.4) при R = 0 следует, что deiQ Ф 0. Но тогда исследования рангов, аналогичные тем, что и при доказательстве теоремы 2.2.3 приводят к равенствам
Используя полученные критерии, были построены блочные представления соответствующих базовых матриц С0 и С]. А именно справедливы следующие три теоремы, доказательства которых получаются с помощью простых подстановок аналогичных тем, что были использованы в доказательстве теоремы 2.2.2.Замечание 2.2.6. При построении критериев не используется линейная независимость строк матрицы (Q\ Q2) поэтому и возникла теорема об алгебраических системах (Т.2.2.4), однако на практике возникают чаще всего системы, у которых строки матрицы (Q\ Q2) линейно независимы. Для этого случая справедлива следующая теорема. Теорема 2.2.13. Для того, чтобы пара матриц (2.1.2) имела индекс 1 и матрица (Q\ Q2) имела полный ранг, необходимо и достаточно, чтобы матрица (2.2.2) была неособенной.
Полуявные блочные пары матриц индекса 1 и 2. Теорема о понижении индекса
Под полуявной блочной парой матриц мы будем понимать пару матриц (Л, В) имеющую вид (см. (1.2.2)) (2.4.1) Для пары матриц (2.4,1) справедлива теорема, являющаяся следствием теоремы 2.2.1, неоднократно доказанная разными способами (см. [11], [62]). Теорема 2.4,1. Для того, чтобы пара матриц (2.4.1), имела индекс 1, необходимо и достаточно, чтобы матрица R$ была неособенной. Доказательство. Если матрица R4 неособенная, то неособенная также и матрица т.е. матрица (2.2.2), в которой Q\ = Е, Qi - 0 и по теореме 2.2.1 индекс пары матриц (2.4.1) равен единице. Таким образом, достаточность доказана.
Необходимость условия следует из равенства, определяющего принадлежность пары матриц к парам матриц индекса 1 (см. 2.2.1). Преобразуя это равенство с учетом неособенности Е, получим rank R4 = p. Теорема доказана.
Рассмотрим систему, состоящую из одного линейного постоянного сопротивления, одного постоянного накопителя энергии и одного внешнего источника энергии. Если выходной сигнал выражается через переменную источника (т.е. через ток внешнего источника напряжения Заметим, что принадлежность полуявной блочной пары матриц (2.4.1) к парам индекса 1 (строго!) обеспечивается неособенностью блока R4. Что касается рассмотрения полуявных пар матриц строгого индекса 2, то здесь следует предполагать, что блок /?4 непременно является особенным и выполнено равенство (2.3.4). Имеет место теорема.или через напряжения внешнего источника токаЯсли У?4 равно нулю, то очевидно что пара матриц (2.4.1) не будет иметь индекс равный 1, а индекс, равный 2, она будет ішеть, если rank{R3R2) -р, т.е. матрица /?3/?2 будет являться неособенной и справедлива следующая теорема.), то уравнение для схемы можно записать следующим образом:
Возможность использования базовых матриц при решении линейных АДС с постоянными матрицами подробно исследована в монографии [19]. Однако в диссертации рассматривается построение численных методов для решения нелинейной системы (Ax) = Bx+J{x,t), (3.1.1) у которой вектор/зависит не только от t, но и от неизвестного решения X. Известно [10, 18], что если ввести в рассмотрение вектор у=Ах, то решение системы (3.1.1) можно искать в виде х = С(у + С]У + ... + СУ\ (3.1.2) где к - индекс пары матриц {А, В) и У = ЛСау+Л ,0. (3.1.3) Со, С\,..., С к - базовые матрицы. Убедиться в том, что вектор (3.1.2) действительно удовлетворяет системе (3.1.1), можно с помощью непосредственной подстановки. В самом деле, используя свойства базовых матриц, получим
Хорошо видно, что если у задано, то для получения вектора х требуется решить уравнение (3.2.2) относительно вектора/.
В дальнейшем основное внимание в диссертации будет направлено на построение численных методов для решения блочных нелинейных систем (3.1.1), у которых матрицы А, В имеют вид
Мы видим, что вектор х от подвектора У і не зависит (см. (3.2.3), (3.2.4)) и, следовательно, тем же свойством обладает и уравнение (3.2.6). Что касается подвектора У і, то он явно выражается через у 2 по формуле (3.2.5).
Таким образом, решение системы (3.2.1), (3.2.2) сводится к решению уравнения (3.2.6) относительно подвектора у \. Кроме того, ясно, что все свойства системы (3.2.1), (3.2.2), необходимые для конструирования численных методов (разрешимость, единственность), определяются аналогичными свойствами уравнения (3.2.6).
Система (3.2.3)-(3.2.6) может быть использована для непосредственного решения системы (3.2.1), (3.2.2). Это возможно приведет к экономии ресурсов ЭВМ, поскольку размерность системы (3.2.6) меньше размерности исходной системы. Однако в последующих параграфах изложение будет вестись относительно исходной системы, к блочной системе (3.2.3)-(3.2.6) мы будем обращаться для дополнительных пояснений и выводов.
Некоторые преобразования полуявных блочных АДС индекса 2 к виду удобному для построения численных методов
Структура матриц (2) (или (3)) позволяет при исследовании получить методы решения блочных алгебро-дифференциальных систем, связанные с применением матриц меньшего порядка, чем порядок исходной системы. Несмотря на сравнительно широкую область применения блочных АДС, детальные описания и целенаправленные исследования их блочной структуры в литературе практически отсутствуют.
Напротив, алгебро-дифференциальные системы общего вида (1) являются объектом пристального внимания многих математиков. Впервые такие системы были рассмотрены Н.Н. Лузиным, 1940г. [33] и Ф.Р. Гантмахером, 1966г. [24]. Ф.Р. Гантмахером, например, было построено решение системы вида (1) с произвольными матрицами А и В, основанное на канонической форме Кронекера-Вейерштрасса. Далее исследования стали проводить независимо друг от друга две группы математиков: Ю.Е. Бояринцев, В.М. Корсуков [18, 20] и C.W. Gear, S.L. Campell, L.R. Petzold, K.E. Brenan [77, 72-76, 71, 70]. Позже изучением таких систем занялись математики Германии и Швейцарии, такие как R. Maerz, Е. Griepentrog, М. Hanke, R. Lamour, Е. Hairer, Ch. Lubich и др. В настоящее время системам вида (1) посвящено множество работ.
Начало систематического исследования АДС вида (1) и численных методов их решения положил профессор Ю.Е. Бояринцев [8-Ю, 14-17, 61]. В монографиях [20, 14, 15] и серии работ основное внимание уделено взаимосвязи кронекеровой структуры пучка матриц АА-В, общего решения системы (1) и свойств численных методов. При проведении этих исследований широко использовался аппарат обобщенных обратных матриц: полуобратных и Дразина. Ю.Е. Бояринцевым были выведены классы АДС, для которых неособенные преобразования не меняют кронекеровой структуры пучка матриц исходной системы. Для таких систем и их разносных аналогов выписаны формулы общего решения.
В работе [20] впервые было исследовано влияние структуры АДС на поведение численных методов и обнаружено интересное явление, возникающее при применении разносных методов для решения АДС, названное позже «пограничным слоем ошибок».
В книге [11] вводится аппарат базовых матриц, который позволяет исследовать систему (1), с постоянной матрицей А, и преобразовать исходную систему (1) к системе с невырожденной матрицей при производной (в диссертации используется теория базовых матриц, предложенная в этой монографии).
Ряд результатов получен сотрудниками Ю.Е. Бояринцева. В работе [27] В.М. Корсуков сформулировал критерии устойчивости матриц вида А В, где А является полуобратной к А, а именно удовлетворяет уравнению АА А=А. Эти результаты можно использовать при исследовании АДС на устойчивость по Ляпунову и при построении устойчивых разностных схем. В.А. Данилов в работах [25, 61] обосновал для случая линейных систем с регулярным пучком постоянных матриц класс разностных схем высокого порядка точности.
В.Ф. Чистяковым [6, 62, 63, 23] для исследования и численного решения линейных АДС и систем интегро-дифференциальных уравнений предложен подход, базирующийся на понятии левого регуляризирующего оператора, т.е. оператора, приводящего исходную систему к виду, разрешенному относительно производной. Эти результаты использованы при доказательстве ряда утверждений о свойствах тождественно вырожденного квадратичного функционала.
В работах А.А. Щегловой [65-67, 95, 96] рассматривается проблема разрешимости и излагаются алгоритмы приведения к нормальной форме нелинейных АДС, а также линейных АДС с отклоняющимся аргументом и выраженных систем, с непрерывным и дискретным временем. Исследуются качественные свойства линейных АДС, а также построение решения типа Соболева-Шварца для линейных АДС.
В совместной монографии В.Ф. Чистякова и А.А. Щегловой [64] много внимания уделяется качественным свойствам как линейных, так и нелинейных АДС. В рамках условия разрешимости получены условия устойчивости по Ляпунову и приводимости АДС, доказаны аналоги теорем Ляпунова-Флоке и Еругина. Обоснованы критерии управляемости и наблюдаемости АДС, доказан аналог теоремы дуальности Кальмана.
Ряд аспектов теории и построения численных методов изучены в работах М.В. Булатова [21-23]. В его работах рассмотрен ряд способов преобразования АДС и исследован вопрос о понижении индекса системы (1). Так же исследуется проблема выбора начальных данных, совместных с АДС. Рассматриваются различные численные методы применительно к АДС.
