Содержание к диссертации
Предисловие I
Введение. Аналитические методы в теории ветвления. Обзор литературы 2
Глава I. Модифицирований метод диаграммы Ньютона 47
Введение 47
§1.1.Подготовка уравнения к исследованию 47
§1.2.Символическое правило вычисления производных высших
порядков от сложных функций многих аргументов 53
§1.3.Малые решения. Корни определяющего полинома простые 63
§1.4.Общие формулы для нескольких первых коэффициентов 65
§1.5.Корни определяющего полинома кратные. Частный случай 75
§1.6.Множество Ньютона и его построение 83
§1.7.Корни определяющего полинома кратные. Общий случай 94
§1.8.Приведение Р(4$к стандартному виду 107
Глава II. Многомерное ветвление 112
Введение 112
§2.1.Векторный полином и понятие кратности его корня ИЗ
§2.2.Определяющий В-полином. Случай простых корней 123
§2.3.Метод исследования случая кратных корней определяющего В-полинома 130
§2.4.Правые и левые собственные матрицы 138
§2.5.Структура рекуррентных соотношений. Метод исключениям
§2.6.0 некоторых свойствах матриц и векторов 166
§2.7.Общий метод исследования случая псевдопростых корней
определяющего В-полинома 172
§2.8.Приведение вектор-функции к стандартному виду 183
Глава Ш. Многомерное ветвление. Метод нестандартных представлений 186
Введение 186
§3.I.Векторный одночлен и качестве определяющего В-полинома.18б
§3.2.Полная совокупность главных определяющих В-одночленов..193
§3.3.Множество начальных коэффициентов 199
§3.4.Второе правило определения S и б 201
§3.5.Геометрическая интерпретация. Принцип исключения угловой
точки 205
§3.6.Расщепление нестандартных представлений. Полу стандартные и вполне нестандартные представления 215
§3.7.Прекращение процесса расщепления. Параметрические множества Ньютона и их построение 224
§3.8.0 числе малых решений 244
§3.9.Некоторые замечания и дополнения 259
§3.10.Ветвление малых решений нелинейных систем, когда число ,уравнений не равно числу неизвестных 265
Глава ІV. Приложения к дифференциальным уравнениям 275
Введение 275
§4.1.Условия существования периодических решений линейных неоднородных систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами 275
§4.2.Вывод уравнения периодичности Пуанкаре 280
§4.3.Общие формулы для коэффициентов уравнения периодичности Пуанкаре 287
§4.4.Подготовка уравнения периодичности к исследованию 291
§4.5.0 структуре решений задачи Пуанкаре 293
§4.6.Задача Пуанкаре для автономных систем 296
Литература 302
Введение к работе
Ниже в виде отдельного рассказа сжато раскрывается сущность узловых моментов основных разделов теории ветвления, что, по мнению автора, делает работу автономной, замкнутой в себе и облегчает чтение её, не обращаясь к первоисточникам. После раскрытия сущности того или иного раздела теории, делаются литературные ссылки, которые, сразу же оговоримся, ни в коей мере не претендуют на полноту. Такой подход позволяет проследить диалектический ход развития теории ветвления по спирали: проблема ветвления, возникнув вначале в трудах И.Ньютона, как особый случай задачи о числовых неявных функциях, затем появляется в трудах А.М.Ляпунова, А.Пуанкаре, Э.Шмидта по периодическим решениям дифференциальных уравнений и по теории нелинейных интегральных уравнений, и наконец, вобрав в себя всё предыдущее и абстрагировавшись, в трудах современных математиков достигает пространств Банаха, а оттуда, обогатившись внутренним содержанием, с помощью метода Ляпунова-Шмидта снова возвращается к числовым функциям, но уже не к скалярным, а к векторным.
Таким образом развитие теории, начавшись от числовых функций, снова вернулось к ним, но уже на более высокой основе.
Следуя М.М.Вайнбергу и В.А.Треногину [47] ,проблему ветвления для удобства изложения сформулируем в виде некоторой абстрактной задачи.
Похожие диссертации на Методы исследования проблемы ветвления малых решений нелинейных уравнений. Приложения к дифференциальным уравнениям
